新高考数学一轮复习学案第13讲 基本不等式（2份打包，原卷版+解析版）

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1. 几个重要的不等式
（1） SKIPIF 1 < 0
（2）基本不等式：如果 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 (当且仅当“ SKIPIF 1 < 0 ”时取“”).
特例： SKIPIF 1 < 0 同号）.
（3）其他变形：
① SKIPIF 1 < 0 (沟通两和 SKIPIF 1 < 0 与两平方和 SKIPIF 1 < 0 的不等关系式)
② SKIPIF 1 < 0 (沟通两积 SKIPIF 1 < 0 与两平方和 SKIPIF 1 < 0 的不等关系式)
③ SKIPIF 1 < 0 (沟通两积 SKIPIF 1 < 0 与两和 SKIPIF 1 < 0 的不等关系式)
④重要不等式串： SKIPIF 1 < 0 即
调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件).
2. 均值定理
已知 SKIPIF 1 < 0 .
（1）如果 SKIPIF 1 < 0 (定值)，则 SKIPIF 1 < 0 (当且仅当“ SKIPIF 1 < 0 ”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.
（2）如果 SKIPIF 1 < 0 (定值)，则 SKIPIF 1 < 0 (当且仅当“ SKIPIF 1 < 0 ”时取“=”).即积为定值，和有最小值”.
【典型例题】
例1．（2022·江苏·高三专题练习）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点 SKIPIF 1 < 0 在半圆 SKIPIF 1 < 0 上，点 SKIPIF 1 < 0 在直径 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例2．（2022·全国·高三专题练习（文））若实数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例3．（2022·全国·高三专题练习）已知a，b，c均为正数，且abc＝4(a＋b)，则a＋b＋c的最小值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
例4．（2022·全国·高三专题练习）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例5．（2021·山西大同·高三阶段练习（理））已知点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．4
例6．（2021·四川·乐山市教育科学研究所一模（文））已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例7．（2021·贵州遵义·高三阶段练习（文））已知a，b为正实数，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C．4D． SKIPIF 1 < 0
例8．（2021·重庆·西南大学附中高三阶段练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
例9．（2021·江西·高三阶段练习（理））已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时取得最小值，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A．6B．8C．16D．36
2．（2021·黑龙江·大庆实验中学高三阶段练习（文））三国时期赵爽所制的弦图由四个全等的直角三角形构成，该图可用来解释下列哪个不等式（ ）
A．如果 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 ；
B．如果 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 ；
C．对任意实数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立；
D．如果 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 ．
3．（2020·广东·普宁市第二中学高三阶段练习）下列不等式一定成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
4．（2022·全国·高三专题练习）函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A．3B．2C．1D．-1
5．（2022·全国·高三专题练习）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 有（ ）
A．最大值 SKIPIF 1 < 0 B．最小值 SKIPIF 1 < 0 C．最大值2D．最小值2
6．（2022·浙江·高三专题练习）已知x＞0，y＞0，且x+2y＝1，若不等式 SKIPIF 1 < 0 m2+7m恒成立，则实数m的取值范围是（ ）A．﹣8≤m≤1B．m≤﹣8或m≥1C．﹣1≤m≤8D．m≤﹣1或m≥8
7．（2022·全国·高三专题练习）已知非负数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）
A．3B．4C．10D．16
8．（2022·全国·高三专题练习）设 SKIPIF 1 < 0 均为正实数，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．8B．16C．9D．6
9．（2022·全国·高三专题练习）若正数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
10．（2022·全国·高三专题练习）若对满足 SKIPIF 1 < 0 的任意正数 SKIPIF 1 < 0 及任意 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
11．（2022·全国·高三专题练习）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为正数，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、多选题
12．（2022·江苏·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
三、填空题
13．（2022·浙江·高三专题练习）若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是________（填序号）.
① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ≥2；④a2＋b2≥8.
14．（2022·全国·高三专题练习）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值是 _______
15．（2022·全国·高三专题练习）若正数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值是________．
16．（2022·全国·高三专题练习）函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）的图象恒过定点A，若点A在直线 SKIPIF 1 < 0 上，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则mn的最大值为___________.
17．（2022·全国·高三专题练习）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最小值为______．
18．（2022·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为_________
19．（2022·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为______．20．（2022·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为___________.
21．（2022·上海·高三专题练习）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为____________．
22．（2022·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是________．
23．（2022·全国·高三专题练习）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为正实数，满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是__________．
24．（2022·全国·高三专题练习）函数 SKIPIF 1 < 0 的值域是_______．
25．（2021·四川·成都七中一模（文））已知实数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为___________.
26．（2020·辽宁·开原市第二高级中学三模）如图，将一矩形花坛 SKIPIF 1 < 0 扩建成一个更大的矩形花坛 SKIPIF 1 < 0 ，要求点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，且对角线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，那么当 SKIPIF 1 < 0 _______时，矩形花坛的 SKIPIF 1 < 0 面积最小，最小面积为______.