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新高考数学一轮复习课件第2章函数导数及其应用第9讲 函数模型及其应用（含解析）
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这是一份新高考数学一轮复习课件第2章函数导数及其应用第9讲 函数模型及其应用（含解析），共47页。PPT课件主要包含了答案ABCD，答案D，答案C，A①③，B②③④，C③④，D①④，答案B，合的两种方法，答案5等内容，欢迎下载使用。
1.常见的几种函数模型
2.三种函数模型性质比较
(1)“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢.(2)易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.
1.(多选题)下列结论错误的是(
A.函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大B.“指数爆炸”是指数型函数 y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻C.幂函数增长比直线增长更快
题组二 走进教材2.(教材改编题)某家具的标价为 132 元，若降价以九折出售(即优惠 10%)，仍可获利 10%(相对进货价)，则该家具
B.105 元D.108 元
的进货价是(A.118 元C.106 元答案：D
3.(教材改编题)在某个物理实验中，测得变量 x 和变量y 的几组数据，如下表：
则对 x，y 最适合的拟合函数是(
B.y＝x2－1D.y＝lg2x
A.y＝2xC.y＝2x－2
题组三 真题展现4.(2020 年全国Ⅲ)Lgistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 I(t)(t 的单位：天)的 Lgistic
＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则 t*约为(ln 19≈3)
5.(2021 年北京)对 24 小时内降雨量在平地上的积水厚度(mm)进行如下定义：如图 2-9-1 所示，小明用一个底面直径为 200 mm，高为 300 mm 的圆锥形容器接了 24 小时的雨水，积水深度为150 mm，那么这 24 小时降雨的等级是(平地降雨量等于圆
锥形容器内积水的体积除以容器口面积)(
A.小雨C.大雨答案：B
考点一 用函数图象刻画变化过程1.(2020 年新高考Ⅱ改编)我国新冠肺炎疫情防控进入常态化，各地有序推动复工复产，图 2-9-2 是某地连续 11
天复工复产指数折线图，下列说法正确的是(图 2-9-2
①这 11 天复工指数和复产指数均逐日增加；②这 11 天期间，复产指数的增量大于复工指数的增量；③第 3 天至第 11 天复工、复产指数均超过 80%；④第 9 天至第 11 天复产指数的增量大于复工指数的增量.
解析：由折线图知这 11 天的复工、复产指数有增有减，①错误；由第 1 天和第 11 天复工和复产指数位置可知，复产指数的增量小于复工指数的增量，②错误；由折线图知，第 3 天至第 11 天复工、复产指数均超过 80%，③正确；由折线图知，第 9 天至第 11 天复产指数增量大于复工指数的增量，④正确.故选 C.
2.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，图 2-9-3 描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度
下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是(图 2-9-3
A.消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米
B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽
C.甲车以 80 千米/时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升
D.某城市机动车最高限速 80 千米/时，相同条件下，
在该市用丙车比用乙车更省油
解析：根据图象知消耗 1 升汽油，乙车最多行驶里程大于 5 千米，A 错误；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，B 错误；甲车以 80 千米/时的速度行驶时燃油效率为10 千米/升，行驶 1 小时，里程为 80 千米，消耗 8 升汽油，C 错误；最高限速 80 千米/时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，D 正确.
3.如图 2-9-4，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P 处有一棵树与两墙的距离分别是 4 m 和 a m(0＜a＜12).不考虑树的粗细，现用 16 m 长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃 ABCD，设此矩形花圃的最大面积为 u，若将这棵树围在矩形花圃内，
则函数 u＝f(a)(单位：m2)的图象大致是(
解析：设 AD 的长为 x m，则 CD 的长为(16－x) m，则矩形 ABCD 的面积为 x(16－x) m2.因为要将点 P 围在矩形 ABCD 内，所以 a≤x≤12.当 0＜a≤8 时，当且仅当 x＝8 时，u＝64；当 8＜a＜12 时，u＝a(16－a).作出函数图象可得其形状与 B 选项接近.故选 B.
【题后反思】判断函数图象与实际问题变化过程相吻
(1)构建函数模型法：根据题意易构建函数模型时，先
建立函数模型，再结合模型选择图象.
(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.
考点二 构造函数模型求解实际问题考向 1 二次函数、分段函数模型[例 1]某企业生产 A，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润 y 与投资 x 成正比，其关系如图 2-9-5；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2-9-6.(利润和投资单位：万元)
(1)分别将 A，B 两种产品的利润表示为投资的函数关
(2)已知该企业已筹集到 18 万元资金，并将全部投入
A，B 两种产品的生产.
①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？②如果你是厂长，怎样分配这 18 万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？
此时 x＝16,18－x＝2.
∴当 A，B 两种产品分别投入 2 万元，16 万元时，可
使该企业获得最大利润，最大利润为 8.5 万元.
考向 2 构建指数(对数)型函数模型[例 2]一片森林原来面积为 a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是 10 年，为保护生态环境，森林面积至少要保留
(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
解：(1)设每年砍伐面积的百分比为 x(0
解析：根据图象求得 y＝－(x－6)2＋11(x>0)，
∴要使年平均利润最大，客车营运年数为 5.
(1)指数函数、对数函数模型解题，关键是对模型的判断，先设定模型，将有关数据代入验证，确定参数，求解时要准确进行指数、对数运算，灵活进行指数与对数的互化.
(2)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解.但应关注以下两点：
①分段要简洁合理，不重不漏；②分段函数的最值是
各段的最大(或最小)值中的最大(或最小)值.
【考法全练】1.(考向 1)(2021 年新乡期中)2021 年 9 月 10 日，小王开始读小学一年级，小王父母决定给他开一张银行卡，每月的 16 号存钱至该银行卡(假设当天存钱当天到账).用于小王今后的教育开支.2021 年 9 月 16 日小王父母往卡上存入 500 元.以后每月存的钱数比上个月多 100 元，则他这张银行卡账上存钱总额(不含银行利息)首次达到 100 000 元
A.2024 年 11 月 16 日C.2025 年 1 月 16 日
B.2024 年 12 月 16 日D.2025 年 2 月 16 日
解析：由题可知，小王父母从 2021 年 9 月开始，每月所存钱数依次成首项为 500，公差为 100 的等差数列，
∴第 41 个月的 16 号存完钱后，他这张银行卡账上存钱总额(不含银行利息)首次达到 100 000 元，故 2025 年 1月 16 日他这张银行卡账上存钱总额(不含银行利息)首次达到 100 000 元.故选 C.
令50n2＋450n≥100 000，即n2＋9n≥2 000，∵402＋9×40＜2 000，412＋9×41＞2 000，
2.(考向 2)(2020 年新高考Ⅰ)基本再生数 R0 与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert 描述累计感染病例数 I(t)随时间 t(单位：天)的变化规律，指数增长率 r 与 R0，T 近似满足 R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出 R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时间约为(ln 2
3.(考向 3)某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为 60°(如图 2-9-8)，考虑防洪堤坚固
性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为 9
方米，且高度不低于 米.记防洪堤横断面的腰长为 x 米，外周长(梯形的上底线段 BC 与两腰长的和)为 y 米.要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长 x＝________米.图 2-9-8
⊙已知函数模型求解实际问题[例 4]为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元. 该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度 x(单位：cm)满足关系：C(x)
消耗费用为 8 万元，设 f(x)为隔热层建造成本与 20 年的能源消耗费用之和.
(1)求 k 的值及 f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小？并求最
此时 x＝5，因此 f(x)的最小值为 70.∴隔热层修建 5 cm 厚时，总费用 f(x)达到最小，最小值为 70 万元.
【反思感悟】已知函数模型解决实际问题的关注点(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.(3)利用该模型求解实际问题.
1.拟定甲、乙两地通话 m 分钟的电话费(单位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)给出，其中 m>0，[m]是不超过 m 的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话 6.5 分钟的电话费为________元.
解析：∵m＝6.5，∴[m]＝6，则 f(6.5)＝1.06×(0.5×
2.(一题两空)某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本 Q(单位：元/100 kg)与上市时间 t(单位：天)的数据如下表：
根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红
柿种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关系：
Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·lgbt.
利用你选取的函数，求：
①西红柿种植成本最低时的上市天数是________；②最低种植成本是________元/100 kg.
解析：因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当 t＝60 和 t＝180 时种植成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数Q＝at2＋bt＋c，即Q＝a(t－120)2＋m描述，将表中数据代入可得
1.常见的几种函数模型
2.三种函数模型性质比较
(1)“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢.(2)易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.
1.(多选题)下列结论错误的是(
A.函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大B.“指数爆炸”是指数型函数 y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻C.幂函数增长比直线增长更快
题组二 走进教材2.(教材改编题)某家具的标价为 132 元，若降价以九折出售(即优惠 10%)，仍可获利 10%(相对进货价)，则该家具
B.105 元D.108 元
的进货价是(A.118 元C.106 元答案：D
3.(教材改编题)在某个物理实验中，测得变量 x 和变量y 的几组数据，如下表：
则对 x，y 最适合的拟合函数是(
B.y＝x2－1D.y＝lg2x
A.y＝2xC.y＝2x－2
题组三 真题展现4.(2020 年全国Ⅲ)Lgistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 I(t)(t 的单位：天)的 Lgistic
＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则 t*约为(ln 19≈3)
5.(2021 年北京)对 24 小时内降雨量在平地上的积水厚度(mm)进行如下定义：如图 2-9-1 所示，小明用一个底面直径为 200 mm，高为 300 mm 的圆锥形容器接了 24 小时的雨水，积水深度为150 mm，那么这 24 小时降雨的等级是(平地降雨量等于圆
锥形容器内积水的体积除以容器口面积)(
A.小雨C.大雨答案：B
考点一 用函数图象刻画变化过程1.(2020 年新高考Ⅱ改编)我国新冠肺炎疫情防控进入常态化，各地有序推动复工复产，图 2-9-2 是某地连续 11
天复工复产指数折线图，下列说法正确的是(图 2-9-2
①这 11 天复工指数和复产指数均逐日增加；②这 11 天期间，复产指数的增量大于复工指数的增量；③第 3 天至第 11 天复工、复产指数均超过 80%；④第 9 天至第 11 天复产指数的增量大于复工指数的增量.
解析：由折线图知这 11 天的复工、复产指数有增有减，①错误；由第 1 天和第 11 天复工和复产指数位置可知，复产指数的增量小于复工指数的增量，②错误；由折线图知，第 3 天至第 11 天复工、复产指数均超过 80%，③正确；由折线图知，第 9 天至第 11 天复产指数增量大于复工指数的增量，④正确.故选 C.
2.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，图 2-9-3 描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度
下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是(图 2-9-3
A.消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米
B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽
C.甲车以 80 千米/时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升
D.某城市机动车最高限速 80 千米/时，相同条件下，
在该市用丙车比用乙车更省油
解析：根据图象知消耗 1 升汽油，乙车最多行驶里程大于 5 千米，A 错误；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，B 错误；甲车以 80 千米/时的速度行驶时燃油效率为10 千米/升，行驶 1 小时，里程为 80 千米，消耗 8 升汽油，C 错误；最高限速 80 千米/时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，D 正确.
3.如图 2-9-4，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P 处有一棵树与两墙的距离分别是 4 m 和 a m(0＜a＜12).不考虑树的粗细，现用 16 m 长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃 ABCD，设此矩形花圃的最大面积为 u，若将这棵树围在矩形花圃内，
则函数 u＝f(a)(单位：m2)的图象大致是(
解析：设 AD 的长为 x m，则 CD 的长为(16－x) m，则矩形 ABCD 的面积为 x(16－x) m2.因为要将点 P 围在矩形 ABCD 内，所以 a≤x≤12.当 0＜a≤8 时，当且仅当 x＝8 时，u＝64；当 8＜a＜12 时，u＝a(16－a).作出函数图象可得其形状与 B 选项接近.故选 B.
【题后反思】判断函数图象与实际问题变化过程相吻
(1)构建函数模型法：根据题意易构建函数模型时，先
建立函数模型，再结合模型选择图象.
(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.
考点二 构造函数模型求解实际问题考向 1 二次函数、分段函数模型[例 1]某企业生产 A，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润 y 与投资 x 成正比，其关系如图 2-9-5；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2-9-6.(利润和投资单位：万元)
(1)分别将 A，B 两种产品的利润表示为投资的函数关
(2)已知该企业已筹集到 18 万元资金，并将全部投入
A，B 两种产品的生产.
①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？②如果你是厂长，怎样分配这 18 万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？
此时 x＝16,18－x＝2.
∴当 A，B 两种产品分别投入 2 万元，16 万元时，可
使该企业获得最大利润，最大利润为 8.5 万元.
考向 2 构建指数(对数)型函数模型[例 2]一片森林原来面积为 a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是 10 年，为保护生态环境，森林面积至少要保留
(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
解：(1)设每年砍伐面积的百分比为 x(0
解析：根据图象求得 y＝－(x－6)2＋11(x>0)，
∴要使年平均利润最大，客车营运年数为 5.
(1)指数函数、对数函数模型解题，关键是对模型的判断，先设定模型，将有关数据代入验证，确定参数，求解时要准确进行指数、对数运算，灵活进行指数与对数的互化.
(2)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解.但应关注以下两点：
①分段要简洁合理，不重不漏；②分段函数的最值是
各段的最大(或最小)值中的最大(或最小)值.
【考法全练】1.(考向 1)(2021 年新乡期中)2021 年 9 月 10 日，小王开始读小学一年级，小王父母决定给他开一张银行卡，每月的 16 号存钱至该银行卡(假设当天存钱当天到账).用于小王今后的教育开支.2021 年 9 月 16 日小王父母往卡上存入 500 元.以后每月存的钱数比上个月多 100 元，则他这张银行卡账上存钱总额(不含银行利息)首次达到 100 000 元
A.2024 年 11 月 16 日C.2025 年 1 月 16 日
B.2024 年 12 月 16 日D.2025 年 2 月 16 日
解析：由题可知，小王父母从 2021 年 9 月开始，每月所存钱数依次成首项为 500，公差为 100 的等差数列，
∴第 41 个月的 16 号存完钱后，他这张银行卡账上存钱总额(不含银行利息)首次达到 100 000 元，故 2025 年 1月 16 日他这张银行卡账上存钱总额(不含银行利息)首次达到 100 000 元.故选 C.
令50n2＋450n≥100 000，即n2＋9n≥2 000，∵402＋9×40＜2 000，412＋9×41＞2 000，
2.(考向 2)(2020 年新高考Ⅰ)基本再生数 R0 与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert 描述累计感染病例数 I(t)随时间 t(单位：天)的变化规律，指数增长率 r 与 R0，T 近似满足 R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出 R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时间约为(ln 2
3.(考向 3)某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为 60°(如图 2-9-8)，考虑防洪堤坚固
性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为 9
方米，且高度不低于 米.记防洪堤横断面的腰长为 x 米，外周长(梯形的上底线段 BC 与两腰长的和)为 y 米.要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长 x＝________米.图 2-9-8
⊙已知函数模型求解实际问题[例 4]为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元. 该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度 x(单位：cm)满足关系：C(x)
消耗费用为 8 万元，设 f(x)为隔热层建造成本与 20 年的能源消耗费用之和.
(1)求 k 的值及 f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小？并求最
此时 x＝5，因此 f(x)的最小值为 70.∴隔热层修建 5 cm 厚时，总费用 f(x)达到最小，最小值为 70 万元.
【反思感悟】已知函数模型解决实际问题的关注点(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.(3)利用该模型求解实际问题.
1.拟定甲、乙两地通话 m 分钟的电话费(单位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)给出，其中 m>0，[m]是不超过 m 的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话 6.5 分钟的电话费为________元.
解析：∵m＝6.5，∴[m]＝6，则 f(6.5)＝1.06×(0.5×
2.(一题两空)某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本 Q(单位：元/100 kg)与上市时间 t(单位：天)的数据如下表：
根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红
柿种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关系：
Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·lgbt.
利用你选取的函数，求：
①西红柿种植成本最低时的上市天数是________；②最低种植成本是________元/100 kg.
解析：因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当 t＝60 和 t＝180 时种植成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数Q＝at2＋bt＋c，即Q＝a(t－120)2＋m描述，将表中数据代入可得
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