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新高考数学一轮复习课件第6章立体几何第3讲 点直线平面之间的位置关系（含解析）
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这是一份新高考数学一轮复习课件第6章立体几何第3讲 点直线平面之间的位置关系（含解析），共45页。PPT课件主要包含了A30°，B45°，C60°，D90°，答案C，是基本事实，图D38，答案B，答案AD，图6-3-4等内容，欢迎下载使用。
基本事实 1：过不在一条直线上的三个点，有且只有
基本事实 2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，
那么这条直线在此平面内.
基本事实 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，
那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
基本事实 4：平行于同一条直线的两条直线平行.
2.直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类
(2)异面直线所成的角①定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间任一点 O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角).
3.直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平
面相交、直线与平面平行三种情况.
4.平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.5.等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个
题组一 走出误区1.(多选题)设α是给定的平面，A，B 是不在α内的任意
两点，则下列说法一定正确的是(A.在α内存在直线与直线 AB 异面B.在α内存在直线与直线 AB 相交C.在α内存在直线与直线 AB 平行D.存在过直线 AB 的平面与α垂直答案：AD
题组二 走进教材2.(教材改编题)如图 6-3-1 所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别是 AB，AD 的中点，则异面直线
B1C 与 EF 所成角的大小为(
3.(教材改编题)用一个平面去截正方体，截面的形状不
B.正方形D.正六边形
A.正三角形C.正五边形答案：C
题组三 真题展现4.(2019 年全国Ⅲ)如图 6-3-2，点 N 为正方形 ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面 ECD⊥平面 ABCD，M 是
线段 ED 的中点，则(
A.BM＝EN，且直线 BM，EN 是相交直线B.BM≠EN，且直线 BM，EN 是相交直线C.BM＝EN，且直线 BM，EN 是异面直线D.BM≠EN，且直线 BM，EN 是异面直线答案：B
5.(2019 年上海)已知平面α，β，γ两两垂直，直线 a，b，c 满足：a⊆α，b⊆β，c⊆γ，则直线 a，b，c 不可能满足以
B.两两平行D.两两异面
下哪种关系(A.两两垂直C.两两相交答案：B
考点一 平面的基本性质1.(2021 年枣庄期末)有结论：①不共线的三点确定一个平面；②平行于同一条直线的两条直线平行；③经过两条平行直线，有且只有一个平面.
其中公理(基本事实)的个数是(
解析：基本事实 1：过不在一条直线上的三个点，有
且只有一个平面，①是基本事实，
基本事实 4：平行于同一条直线的两条直线平行，②
经过两条平行直线，有且只有一个平面，为共面的判
定定理，③不是基本事实，
故基本事实的个数为 2 个.故选 C.
2.在三棱锥 A-BCD 的边 AB，BC，CD，DA 上分别取
E，F，G，H 四点.如果 EF∩HG＝P，则点 P(A.一定在直线 BD 上B.一定在直线 AC 上C.在直线 AC 或 BD 上D.不在直线 AC 上，也不在直线 BD 上
解析：如图 D38 所示，因为 EF⊂平面 ABC，HG⊂平面 ACD，EF∩HG＝P，所以 P∈平面 ABC，P∈平面 ACD.又因为平面 ABC∩平面 ACD＝AC，所以 P∈AC.故选 B.
3.(多选题)(2020 年全国Ⅱ改编)下列选项正确的是
)A.两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内B.过空间中任意三点有且仅有一个平面C.若空间两条直线不相交，则这两条直线平行D.若直线 l⊂平面α，直线 m⊥平面α，则 m⊥l
解析：对于 A，可设 l1 与 l2 相交，这两条直线确定的平面为α；若 l3 与 l1 相交，则交点 B 在平面α内，同理，l3与 l2 的交点 A 也在平面α内，所以，AB⊂α，即 l3⊂α，A正确；对于 B，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，B 错误；对于 C，空间中两条直线可能相交、平行或异面，C 错误；对于 D，若直线 m⊥平面α，则 m 垂直于平面α内所有直线.因为直线 l⊂平面α，所以直线 m⊥直线 l，D 正确.故选 AD.
【题后反思】共面、共线、共点问题的证明
(1)证明共面的方法：一是先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；二是证明两平面重合.(2)证明共线的方法：一是先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；二是直接证明这些点都在同一条特定直线上.
(3)证明线共点问题的常用方法：先证其中两条直线交
于一点，再证其他直线经过该点.
考点二 判断空间两直线的位置关系[例1](1)α是一个平面，m，n 是两条直线，A 是一个点，
α，n⊂α，且 A∈m，A∈α，则 m，n 的位置关系不
解析：依题意，m∩α＝A，n⊂α，∴m 与 n 可能异面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行.答案：D
(2)(2021 年黄山期中)如图 6-3-3，已知平面α，β，且α∩β＝l.在梯形 ABCD 中，AD∥BC，且 AB⊂α，CD⊂β.则下列
A.直线 AB 与 CD 可能为异面直线B.直线 AB，CD，l 相交于一点C.AB＝CD
D.直线 AC 与 BD 可能为异面直线
解析：梯形 ABCD 中，AD∥BC，所以 AB，CD 是梯
形 ABCD 的两腰，
所以 AB，CD 是共面直线，A 错误；
由题意知，AB 与 CD 不一定相等，C 错误；
在梯形 ABCD 中，对角线 AC，BD 是共面直线，D 错
画出图形，如图 6-3-4 所示：
设 AB∩CD＝M.又 AB⊂α，CD⊂β，所以 M∈α，
且 M∈β，所以 M∈α∩β.
又α∩β＝l，所以 M∈l，即直线 AB，CD，l 相交于一
空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定.异面直线的判定可采用直接法或反证法；平行直线的判定可利用三角形(梯形)中位线的性质、基本事实 4及线面平行与面面平行的性质定理；垂直关系的判定往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决.
【变式训练】1.若直线 l1 和 l2 是异面直线，l1 在平面α内，l2 在平面β
内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是(A.l 与 l1，l2 都不相交B.l 与 l1，l2 都相交C.l 至多与 l1，l2 中的一条相交D.l 至少与 l1，l2 中的一条相交
解析：由直线 l1 和 l2 是异面直线可知 l1 与 l2 不平行，
故 l1，l2 中至少有一条与 l 相交.故选 D.
2.如图 6-3-5 所示，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M，N分别为棱 C1D1，C1C 的中点，有以下四个结论：
①直线 AM 与 CC1 是相交直线；②直线 AM 与 BN 是平行直线；③直线 BN 与 MB1 是异面直线；④直线 AM 与 DD1 是异面直线.其中正确的结论为________.
解析：因为点 A 在平面 CDD1C1 外，点 M 在平面
CDD1C1内，直线CC1在平面CDD1C1内，CC1不过点M，所以AM与CC1是异面直线，①错误；取DD1中点E，连接AE(图略)，则BN∥AE，但AE与AM相交，②错误；因为B1与BN都在平面BCC1B1内，M在平面BCC1B1外，BN不过点B1，所以BN与MB1是异面直线，③正确；同理④正确.填③④.
考点三 求两条异面直线所成的角[例 2](2021 年青岛模拟)如图 6-3-6，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，AA1 ＝2AB
＝2，则异面直线 A1B 与 AD1 所成角的余弦值为(图 6-3-6
【题后反思】用平移法求异面直线所成的角的三个
(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角.(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角.(3)三求：解三角形，求出所作的角.
【变式训练】1.(2021 年聊城一模)如图 6-3-8，圆柱的轴截面 ABCD为正方形，E 为弧 BC 的中点，则异面直线 AE 与 BC 所成
解析：如图 D39，过点 E 作圆柱的母线交下底面于点
F，连接 AF，易知 F 为 的中点，
⊙构造模型解决空间线、面位置关系[例 3]已知 m，n 是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：①若 m⊥α，n⊥α，则 m∥n；②若 m∥α，n∥α，则 m∥n；③若 n∥α，m∥β，α∥β，则 m∥n；④若 m⊥α，n∥β，α∥β，则 m⊥n.
则以上命题中真命题的个数为(
解析：垂直于同一平面的两条直线平行，即①为真命
若 m∥α，n∥α，则 m 与 n 的位置关系是平行、相交
或异面，即②为假命题；
若 n∥α，m∥β，α∥β，则 m 与 n 的位置关系是平行、
相交或异面，即③为假命题；
因为 m⊥α，α∥β，所以 m⊥β，又 n∥β，所以 m⊥n，
(1)构造法实质上是结合题意构造适合题意的直观模型，然后将问题利用模型直观地作出判断，这样减少了抽象性，避免了因考虑不全面而导致解题错误.
(2)由于长方体或正方体中包含了线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直及面面垂直等各种位置关系，故构造长方体或正方体来判断空间直线、平面间的位置关系，显得直观、易判断.构造时注意其灵活性，想象各种情况反复验证.
【高分训练】1.(2021 年郑州模拟)已知空间三条直线 l，m，n，若 l
与 m 垂直，l 与 n 垂直，则(
A.m 与 n 异面B.m 与 n 相交C.m 与 n 平行D.m 与 n 平行、相交、异面均有可能
解析：空间三条直线 l，m，n，当 l 与 m 垂直，且 l与 n 垂直时，m 与 n 可能平行，也可能相交，也可能异面.故选 D.
2.已知 m，n，l 为不同的直线，α，β为不同的平面，
则下列四个命题正确的是(
A.m，n 为异面直线，m∥α，n∥α，且 l⊥m，l⊥n，则 l⊥αB.若 m∥α，且 n⊥m，则有 n⊥αC.若α⊥β，m∥n，n⊥β，则 m∥αD.m 与α相交但不垂直，则与直线 m 平行的平面不可能与平面α垂直
基本事实 1：过不在一条直线上的三个点，有且只有
基本事实 2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，
那么这条直线在此平面内.
基本事实 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，
那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
基本事实 4：平行于同一条直线的两条直线平行.
2.直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类
(2)异面直线所成的角①定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间任一点 O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角).
3.直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平
面相交、直线与平面平行三种情况.
4.平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.5.等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个
题组一 走出误区1.(多选题)设α是给定的平面，A，B 是不在α内的任意
两点，则下列说法一定正确的是(A.在α内存在直线与直线 AB 异面B.在α内存在直线与直线 AB 相交C.在α内存在直线与直线 AB 平行D.存在过直线 AB 的平面与α垂直答案：AD
题组二 走进教材2.(教材改编题)如图 6-3-1 所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别是 AB，AD 的中点，则异面直线
B1C 与 EF 所成角的大小为(
3.(教材改编题)用一个平面去截正方体，截面的形状不
B.正方形D.正六边形
A.正三角形C.正五边形答案：C
题组三 真题展现4.(2019 年全国Ⅲ)如图 6-3-2，点 N 为正方形 ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面 ECD⊥平面 ABCD，M 是
线段 ED 的中点，则(
A.BM＝EN，且直线 BM，EN 是相交直线B.BM≠EN，且直线 BM，EN 是相交直线C.BM＝EN，且直线 BM，EN 是异面直线D.BM≠EN，且直线 BM，EN 是异面直线答案：B
5.(2019 年上海)已知平面α，β，γ两两垂直，直线 a，b，c 满足：a⊆α，b⊆β，c⊆γ，则直线 a，b，c 不可能满足以
B.两两平行D.两两异面
下哪种关系(A.两两垂直C.两两相交答案：B
考点一 平面的基本性质1.(2021 年枣庄期末)有结论：①不共线的三点确定一个平面；②平行于同一条直线的两条直线平行；③经过两条平行直线，有且只有一个平面.
其中公理(基本事实)的个数是(
解析：基本事实 1：过不在一条直线上的三个点，有
且只有一个平面，①是基本事实，
基本事实 4：平行于同一条直线的两条直线平行，②
经过两条平行直线，有且只有一个平面，为共面的判
定定理，③不是基本事实，
故基本事实的个数为 2 个.故选 C.
2.在三棱锥 A-BCD 的边 AB，BC，CD，DA 上分别取
E，F，G，H 四点.如果 EF∩HG＝P，则点 P(A.一定在直线 BD 上B.一定在直线 AC 上C.在直线 AC 或 BD 上D.不在直线 AC 上，也不在直线 BD 上
解析：如图 D38 所示，因为 EF⊂平面 ABC，HG⊂平面 ACD，EF∩HG＝P，所以 P∈平面 ABC，P∈平面 ACD.又因为平面 ABC∩平面 ACD＝AC，所以 P∈AC.故选 B.
3.(多选题)(2020 年全国Ⅱ改编)下列选项正确的是
)A.两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内B.过空间中任意三点有且仅有一个平面C.若空间两条直线不相交，则这两条直线平行D.若直线 l⊂平面α，直线 m⊥平面α，则 m⊥l
解析：对于 A，可设 l1 与 l2 相交，这两条直线确定的平面为α；若 l3 与 l1 相交，则交点 B 在平面α内，同理，l3与 l2 的交点 A 也在平面α内，所以，AB⊂α，即 l3⊂α，A正确；对于 B，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，B 错误；对于 C，空间中两条直线可能相交、平行或异面，C 错误；对于 D，若直线 m⊥平面α，则 m 垂直于平面α内所有直线.因为直线 l⊂平面α，所以直线 m⊥直线 l，D 正确.故选 AD.
【题后反思】共面、共线、共点问题的证明
(1)证明共面的方法：一是先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；二是证明两平面重合.(2)证明共线的方法：一是先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；二是直接证明这些点都在同一条特定直线上.
(3)证明线共点问题的常用方法：先证其中两条直线交
于一点，再证其他直线经过该点.
考点二 判断空间两直线的位置关系[例1](1)α是一个平面，m，n 是两条直线，A 是一个点，
α，n⊂α，且 A∈m，A∈α，则 m，n 的位置关系不
解析：依题意，m∩α＝A，n⊂α，∴m 与 n 可能异面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行.答案：D
(2)(2021 年黄山期中)如图 6-3-3，已知平面α，β，且α∩β＝l.在梯形 ABCD 中，AD∥BC，且 AB⊂α，CD⊂β.则下列
A.直线 AB 与 CD 可能为异面直线B.直线 AB，CD，l 相交于一点C.AB＝CD
D.直线 AC 与 BD 可能为异面直线
解析：梯形 ABCD 中，AD∥BC，所以 AB，CD 是梯
形 ABCD 的两腰，
所以 AB，CD 是共面直线，A 错误；
由题意知，AB 与 CD 不一定相等，C 错误；
在梯形 ABCD 中，对角线 AC，BD 是共面直线，D 错
画出图形，如图 6-3-4 所示：
设 AB∩CD＝M.又 AB⊂α，CD⊂β，所以 M∈α，
且 M∈β，所以 M∈α∩β.
又α∩β＝l，所以 M∈l，即直线 AB，CD，l 相交于一
空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定.异面直线的判定可采用直接法或反证法；平行直线的判定可利用三角形(梯形)中位线的性质、基本事实 4及线面平行与面面平行的性质定理；垂直关系的判定往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决.
【变式训练】1.若直线 l1 和 l2 是异面直线，l1 在平面α内，l2 在平面β
内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是(A.l 与 l1，l2 都不相交B.l 与 l1，l2 都相交C.l 至多与 l1，l2 中的一条相交D.l 至少与 l1，l2 中的一条相交
解析：由直线 l1 和 l2 是异面直线可知 l1 与 l2 不平行，
故 l1，l2 中至少有一条与 l 相交.故选 D.
2.如图 6-3-5 所示，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M，N分别为棱 C1D1，C1C 的中点，有以下四个结论：
①直线 AM 与 CC1 是相交直线；②直线 AM 与 BN 是平行直线；③直线 BN 与 MB1 是异面直线；④直线 AM 与 DD1 是异面直线.其中正确的结论为________.
解析：因为点 A 在平面 CDD1C1 外，点 M 在平面
CDD1C1内，直线CC1在平面CDD1C1内，CC1不过点M，所以AM与CC1是异面直线，①错误；取DD1中点E，连接AE(图略)，则BN∥AE，但AE与AM相交，②错误；因为B1与BN都在平面BCC1B1内，M在平面BCC1B1外，BN不过点B1，所以BN与MB1是异面直线，③正确；同理④正确.填③④.
考点三 求两条异面直线所成的角[例 2](2021 年青岛模拟)如图 6-3-6，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，AA1 ＝2AB
＝2，则异面直线 A1B 与 AD1 所成角的余弦值为(图 6-3-6
【题后反思】用平移法求异面直线所成的角的三个
(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角.(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角.(3)三求：解三角形，求出所作的角.
【变式训练】1.(2021 年聊城一模)如图 6-3-8，圆柱的轴截面 ABCD为正方形，E 为弧 BC 的中点，则异面直线 AE 与 BC 所成
解析：如图 D39，过点 E 作圆柱的母线交下底面于点
F，连接 AF，易知 F 为 的中点，
⊙构造模型解决空间线、面位置关系[例 3]已知 m，n 是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：①若 m⊥α，n⊥α，则 m∥n；②若 m∥α，n∥α，则 m∥n；③若 n∥α，m∥β，α∥β，则 m∥n；④若 m⊥α，n∥β，α∥β，则 m⊥n.
则以上命题中真命题的个数为(
解析：垂直于同一平面的两条直线平行，即①为真命
若 m∥α，n∥α，则 m 与 n 的位置关系是平行、相交
或异面，即②为假命题；
若 n∥α，m∥β，α∥β，则 m 与 n 的位置关系是平行、
相交或异面，即③为假命题；
因为 m⊥α，α∥β，所以 m⊥β，又 n∥β，所以 m⊥n，
(1)构造法实质上是结合题意构造适合题意的直观模型，然后将问题利用模型直观地作出判断，这样减少了抽象性，避免了因考虑不全面而导致解题错误.
(2)由于长方体或正方体中包含了线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直及面面垂直等各种位置关系，故构造长方体或正方体来判断空间直线、平面间的位置关系，显得直观、易判断.构造时注意其灵活性，想象各种情况反复验证.
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与 m 垂直，l 与 n 垂直，则(
A.m 与 n 异面B.m 与 n 相交C.m 与 n 平行D.m 与 n 平行、相交、异面均有可能
解析：空间三条直线 l，m，n，当 l 与 m 垂直，且 l与 n 垂直时，m 与 n 可能平行，也可能相交，也可能异面.故选 D.
2.已知 m，n，l 为不同的直线，α，β为不同的平面，
则下列四个命题正确的是(
A.m，n 为异面直线，m∥α，n∥α，且 l⊥m，l⊥n，则 l⊥αB.若 m∥α，且 n⊥m，则有 n⊥αC.若α⊥β，m∥n，n⊥β，则 m∥αD.m 与α相交但不垂直，则与直线 m 平行的平面不可能与平面α垂直
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