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新高考数学一轮复习课件第9章计数原理概率随机变量及其分布第5讲 条件概率二项分布与正态分布（含解析）
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这是一份新高考数学一轮复习课件第9章计数原理概率随机变量及其分布第5讲 条件概率二项分布与正态分布（含解析），共60页。PPT课件主要包含了条件概率，事件的相互独立性，全概率公式，2二项分布，正态分布，图9-7-1，题组一，走出误区，答案1×，2×3√等内容，欢迎下载使用。
(1)定义：设 A，B 为两个事件，如果 P(AB)＝P(A)·P(B)，
则称事件 A 与事件 B 相互独立.
4.独立重复试验与二项分布(1)伯努利实验
只包含两个可能结果的试验叫做伯努利实验.将一个伯努利试验独立地重复进行 n 次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.n 重伯努利试验具有如下特征：
①同一个伯努利试验重复做 n 次.②各次试验的结果相互独立.
μ和σ为参数(σ>0，μ∈R).我们称函数 f(x)的图象为正态密度曲线，简称正态曲线.(2)正态曲线的特点①曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交.②曲线是单峰的，它关于直线 x＝μ对称.
④当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴.⑤曲线与x轴之间的面积为1.⑥当σ一定时，曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移，如图971甲所示.⑦当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图971乙所示.
(3)正态分布的定义及表示
若随机变量 x 的概率分布密度函数为 f(x)，则称随机变量 X 服从正态分布，记作 X～N(μ，σ2).特别地，当μ＝0，σ＝1 时，称随机变量 X 服从标准正态分布.
正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P(μ－σ
(1)相互独立事件就是互斥事件.(
(2)对于任意两个事件，公式 P(AB)＝P(A)P(B)都成立.
(3)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式 P(X＝k)表示了 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数的概率分
)(4)从装有 3 个红球，3 个白球的盒中有放回地任取一
球，连取 3 次，则取到红球的个数 X 服从超几何分布.(
2.(教材改编题)已知盒中装有 3 个红球、2 个白球、5个黑球，它们的大小和形状完全相同.甲每次从中任取一个球不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到
3.(教材改编题)天气预报，在元旦假期甲地的降雨概率是 0.2，乙地的降雨概率是 0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的
4.(2021 年新高考Ⅰ)有 6 个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回的随机取两次，每次取 1 个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是 1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是 2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是 8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之
B.甲与丁相互独立D.丙与丁相互独立
A.甲与丙相互独立C.乙与丙相互独立答案：B
且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动
5.(2021 年天津)甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局.已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为
也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为________；3 次活动中，甲至少获胜 2 次的概率为________.
考点一 条件概率1.一个盒子里有 6 支好晶体管，4 支坏晶体管，任取两次，每次取一支，每次取后不放回，已知第一支是好晶体
管，则第二支也是好晶体管的概率为(
2.在 100 件产品中有 95 件合格品，5 件不合格品，现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率为________.解析：设事件A 为“第一次取到不合格品”，事件 B为“第二次取到不合格品”，则所求的概率为 P(B|A)，
【题后反思】求条件概率的常用方法
[例 1]有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占 30%，二厂生产的占 50%，三厂生产的占 20%.已知这三个厂的产品次品率分别为 2%,1%,1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少？
解：设事件 A 为“任取一件为次品”，
事件 Bi 为“任取一件为 i 厂的产品”，i＝1,2,3.B1∪B2∪B3＝S，
由全概率公式得P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)P(B3). P(B1)＝0.3，P(B2)＝0.5，P(B3)＝0.2，P(A|B1)＝0.02，P(A|B2)＝0.01，P(A|B3)＝0.01， 故P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)P(B3)＝0.02×0.3＋0.01×0.5＋0.01×0.2＝0.013.
【题后反思】(1)何时用全概率公式：多种原因导致事
(2)如何用全概率公式：将一个复杂事件表示为几个彼
(3)从本质上讲，全概率公式是加法公式与乘法公式的
【变式训练】一个盒子中有 6 个白球、4 个黑球，从中不放回地每次任取 1 个，连取 2 次，求第二次取到白球的概率.
独立重复试验与二项分布
(1)求乙、丙两个家庭各自回答这道题正确的概率；(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于 2 个家庭回答这道题正确的概率.解：(1) 记“甲回答这道题正确”“乙回答这道题正确”“丙回答这道题正确”分别为事件 A，B，C，则 P(A)
有 1 个家庭回答正确的概率为
[例 3](2021 年广东四校联考)连续抛掷同一颗均匀的骰子，令第 i 次得到的点数为 ai，若存在正整数 k，使a1＋a2＋…＋ak＝6，则称 k 为抛掷者的幸运数字.(1)求抛掷者的幸运数字为 3 的概率；(2)若 k＝1，则抛掷者的得分为 6 分；若 k＝2，则抛掷者的得分为 4 分；若 k＝3，则抛掷者的得分为 2 分；若抛掷三次还没找到幸运数字则记 0 分，求得分ξ的分布列和均值.
[例 4]某社区组织开展“扫黑除恶”宣传活动，为鼓励更多的人积极参与到宣传活动中来，宣传活动现场设置了抽奖环节.在盒中装有 9 张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“扫黑除恶利国利民”或“普法宣传人人参与”图案.抽奖规则：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张分别是“普法宣传人人参与”卡和“扫黑除恶利国利民”卡即可获奖，否则，均为不获奖.卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行.活动开始后，一位参加者问：“盒中有几张‘普法宣传人人参与’卡？”主持人答：“我只知
道，从盒中抽取两张都是‘扫黑除恶利国利民’卡的概率
(1)求抽奖者获奖的概率；
(2)为了增加抽奖的趣味性，规定每个抽奖者先从装有9 张卡片的盒中随机抽出 1 张不放回，再用剩下 8 张卡片按照之前的抽奖规则进行抽奖，现有甲、乙、丙三人依次抽奖，用 X 表示获奖的人数，求 X 的分布列和均值.
解：(1)设“扫黑除恶利国利民”卡有 n 张，
【题后反思】(1)求相互独立事件同时发生的概率的
①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；②正面计算较烦琐或难以入手时，可从其对立事件入
(2)独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题
①在求 n 次独立重复试验中事件恰好发生 k 次的概率时，首先要确定 n 和 k 的值，再准确利用公式求概率；②在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数 n 和变量的概率，从而求得概率.
【考法全练】1.(考向 1)如图 9-7-3，已知电路中 4 个开关闭合的概
2.(考向 2)为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取 100 名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在 55 名男性驾驶员中，平均车速超过 100 km/h 的有 40 人，不超过100 km/h 的有 15 人；在 45 名女性驾驶员中，平均车速超过 100 km/h 的有 20 人，不超过 100 km/h 的有 25 人.
(1)在被调查的驾驶员中，从平均车速不超过 100 km/h的人中随机抽取 2 人，求这 2 人恰好有 1 名男性驾驶员和1 名女性驾驶员的概率；
(2)以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取 3 辆，记这 3 辆车平均车速超过 100 km/h且为男性驾驶员的车辆为 X，求 X 的分布列.
3.(考向 3)(2021 年宁夏高级中学开学)设甲、乙两位同
乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
(1)用 X 表示甲同学上学期间的三天中 7：30 之前到校
的天数，求随机变量 X 的分布列和均值；
(2)设 M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在 7：30之前到校的天数比乙同学在 7：30 之前到校的天数恰好多2”，求事件 M 发生的概率.
[例 5](1)(2021 年新高考Ⅱ)某物理量的测量结果服从
正态分布N(10，σ2 )，则下列结论中不正确的是( )
A.σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.1)内的概率越大B.该物理量在一次测量中大于 10 的概率为 0.5C.该物理量在一次测量中小于 9.99 与大于 10.01 的概率相等D. 该物理量在一次测量中结果落在(9.9,10.2) 与落在(10,10.3)的概率相等
解析：因为某物理量的测量结果服从正态分布 N(10，σ2 )，所以测量的结果的概率分布关于10对称，且方差σ2越小，则分布越集中.
对于 A，σ越小，概率越集中在 10 左右，则该物理量一次测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大，故 A 正确；对于 B，由于概率分布关于 10 对称，测量结果大于
10 的概率为 0.5，故 B 正确；
对于 C，因为 10.01 和 9.99 关于 10 对称，所以测量结果大于 10.01 的概率等于小于 9.99 的概率，故 C 正确；对于 D，由于概率分布是集中在 10 附近的，(9.9,10.2)分布在 10 附近的区域大于(10,10.3)分布在 10 附近的区域，故测量结果落在(9.9,10.2)内的概率大于落在(10,10.3)内的概率，故 D 错误.
(2)(2020 年曲靖二模)设 X～N(1,1)，其正态分布密度曲线如图 9-7-4 所示，那么向正方形 ABCD 中随机投掷 10 000
个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是(
[注：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ
【题后反思】解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴 x＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为 3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为 x＝0.
【变式训练】设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量 X，且X～N(800,502).则一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900
[参考数据：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σ
[例6]甲、乙两选手比赛，假设每局比赛甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为 0.4，那么采用 3 局 2 胜制还是采用 5局 3 胜制对甲更有利？你对局制长短的设置有何认识？
解：每局比赛只有两个结果，甲获胜或乙获胜，每局比赛可以看成是相互独立的，所以甲获胜的局数 X 是随机变量，X 服从二项分布.
可以看出采用 5 局 3 胜制对甲更有利，由此可以猜测
“比赛局数越多，对水平高的选手越有利.”
【反思感悟】数据分析是指针对研究对象获取数据，运用数学方法对数据进行整理、分析和推断，形成关于研究对象知识的素养.数据分析过程主要包括：收集数据，整理数据，提取信息，构建模型，进行推断，获得结论.
匣中有 3 红 5 黑 2 白共 10 个球.现甲、乙二人轮流从匣中取球，甲先取而乙后取，每人每次取一球且取后不放回.按规定先取到红球者获胜，而出现白球时为平局.分别求甲获胜、乙获胜和平局的概率.
解：甲获胜则必为甲先取到了红球，即：甲取到黑球时乙必取黑球，甲取到红球后比赛马上结束，比赛过程中不会取到白球.
(1)定义：设 A，B 为两个事件，如果 P(AB)＝P(A)·P(B)，
则称事件 A 与事件 B 相互独立.
4.独立重复试验与二项分布(1)伯努利实验
只包含两个可能结果的试验叫做伯努利实验.将一个伯努利试验独立地重复进行 n 次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.n 重伯努利试验具有如下特征：
①同一个伯努利试验重复做 n 次.②各次试验的结果相互独立.
μ和σ为参数(σ>0，μ∈R).我们称函数 f(x)的图象为正态密度曲线，简称正态曲线.(2)正态曲线的特点①曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交.②曲线是单峰的，它关于直线 x＝μ对称.
④当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴.⑤曲线与x轴之间的面积为1.⑥当σ一定时，曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移，如图971甲所示.⑦当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图971乙所示.
(3)正态分布的定义及表示
若随机变量 x 的概率分布密度函数为 f(x)，则称随机变量 X 服从正态分布，记作 X～N(μ，σ2).特别地，当μ＝0，σ＝1 时，称随机变量 X 服从标准正态分布.
正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P(μ－σ
(1)相互独立事件就是互斥事件.(
(2)对于任意两个事件，公式 P(AB)＝P(A)P(B)都成立.
(3)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式 P(X＝k)表示了 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数的概率分
)(4)从装有 3 个红球，3 个白球的盒中有放回地任取一
球，连取 3 次，则取到红球的个数 X 服从超几何分布.(
2.(教材改编题)已知盒中装有 3 个红球、2 个白球、5个黑球，它们的大小和形状完全相同.甲每次从中任取一个球不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到
3.(教材改编题)天气预报，在元旦假期甲地的降雨概率是 0.2，乙地的降雨概率是 0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的
4.(2021 年新高考Ⅰ)有 6 个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回的随机取两次，每次取 1 个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是 1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是 2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是 8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之
B.甲与丁相互独立D.丙与丁相互独立
A.甲与丙相互独立C.乙与丙相互独立答案：B
且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动
5.(2021 年天津)甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局.已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为
也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为________；3 次活动中，甲至少获胜 2 次的概率为________.
考点一 条件概率1.一个盒子里有 6 支好晶体管，4 支坏晶体管，任取两次，每次取一支，每次取后不放回，已知第一支是好晶体
管，则第二支也是好晶体管的概率为(
2.在 100 件产品中有 95 件合格品，5 件不合格品，现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率为________.解析：设事件A 为“第一次取到不合格品”，事件 B为“第二次取到不合格品”，则所求的概率为 P(B|A)，
【题后反思】求条件概率的常用方法
[例 1]有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占 30%，二厂生产的占 50%，三厂生产的占 20%.已知这三个厂的产品次品率分别为 2%,1%,1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少？
解：设事件 A 为“任取一件为次品”，
事件 Bi 为“任取一件为 i 厂的产品”，i＝1,2,3.B1∪B2∪B3＝S，
由全概率公式得P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)P(B3). P(B1)＝0.3，P(B2)＝0.5，P(B3)＝0.2，P(A|B1)＝0.02，P(A|B2)＝0.01，P(A|B3)＝0.01， 故P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)P(B3)＝0.02×0.3＋0.01×0.5＋0.01×0.2＝0.013.
【题后反思】(1)何时用全概率公式：多种原因导致事
(2)如何用全概率公式：将一个复杂事件表示为几个彼
(3)从本质上讲，全概率公式是加法公式与乘法公式的
【变式训练】一个盒子中有 6 个白球、4 个黑球，从中不放回地每次任取 1 个，连取 2 次，求第二次取到白球的概率.
独立重复试验与二项分布
(1)求乙、丙两个家庭各自回答这道题正确的概率；(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于 2 个家庭回答这道题正确的概率.解：(1) 记“甲回答这道题正确”“乙回答这道题正确”“丙回答这道题正确”分别为事件 A，B，C，则 P(A)
有 1 个家庭回答正确的概率为
[例 3](2021 年广东四校联考)连续抛掷同一颗均匀的骰子，令第 i 次得到的点数为 ai，若存在正整数 k，使a1＋a2＋…＋ak＝6，则称 k 为抛掷者的幸运数字.(1)求抛掷者的幸运数字为 3 的概率；(2)若 k＝1，则抛掷者的得分为 6 分；若 k＝2，则抛掷者的得分为 4 分；若 k＝3，则抛掷者的得分为 2 分；若抛掷三次还没找到幸运数字则记 0 分，求得分ξ的分布列和均值.
[例 4]某社区组织开展“扫黑除恶”宣传活动，为鼓励更多的人积极参与到宣传活动中来，宣传活动现场设置了抽奖环节.在盒中装有 9 张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“扫黑除恶利国利民”或“普法宣传人人参与”图案.抽奖规则：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张分别是“普法宣传人人参与”卡和“扫黑除恶利国利民”卡即可获奖，否则，均为不获奖.卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行.活动开始后，一位参加者问：“盒中有几张‘普法宣传人人参与’卡？”主持人答：“我只知
道，从盒中抽取两张都是‘扫黑除恶利国利民’卡的概率
(1)求抽奖者获奖的概率；
(2)为了增加抽奖的趣味性，规定每个抽奖者先从装有9 张卡片的盒中随机抽出 1 张不放回，再用剩下 8 张卡片按照之前的抽奖规则进行抽奖，现有甲、乙、丙三人依次抽奖，用 X 表示获奖的人数，求 X 的分布列和均值.
解：(1)设“扫黑除恶利国利民”卡有 n 张，
【题后反思】(1)求相互独立事件同时发生的概率的
①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；②正面计算较烦琐或难以入手时，可从其对立事件入
(2)独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题
①在求 n 次独立重复试验中事件恰好发生 k 次的概率时，首先要确定 n 和 k 的值，再准确利用公式求概率；②在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数 n 和变量的概率，从而求得概率.
【考法全练】1.(考向 1)如图 9-7-3，已知电路中 4 个开关闭合的概
2.(考向 2)为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取 100 名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在 55 名男性驾驶员中，平均车速超过 100 km/h 的有 40 人，不超过100 km/h 的有 15 人；在 45 名女性驾驶员中，平均车速超过 100 km/h 的有 20 人，不超过 100 km/h 的有 25 人.
(1)在被调查的驾驶员中，从平均车速不超过 100 km/h的人中随机抽取 2 人，求这 2 人恰好有 1 名男性驾驶员和1 名女性驾驶员的概率；
(2)以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取 3 辆，记这 3 辆车平均车速超过 100 km/h且为男性驾驶员的车辆为 X，求 X 的分布列.
3.(考向 3)(2021 年宁夏高级中学开学)设甲、乙两位同
乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
(1)用 X 表示甲同学上学期间的三天中 7：30 之前到校
的天数，求随机变量 X 的分布列和均值；
(2)设 M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在 7：30之前到校的天数比乙同学在 7：30 之前到校的天数恰好多2”，求事件 M 发生的概率.
[例 5](1)(2021 年新高考Ⅱ)某物理量的测量结果服从
正态分布N(10，σ2 )，则下列结论中不正确的是( )
A.σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.1)内的概率越大B.该物理量在一次测量中大于 10 的概率为 0.5C.该物理量在一次测量中小于 9.99 与大于 10.01 的概率相等D. 该物理量在一次测量中结果落在(9.9,10.2) 与落在(10,10.3)的概率相等
解析：因为某物理量的测量结果服从正态分布 N(10，σ2 )，所以测量的结果的概率分布关于10对称，且方差σ2越小，则分布越集中.
对于 A，σ越小，概率越集中在 10 左右，则该物理量一次测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大，故 A 正确；对于 B，由于概率分布关于 10 对称，测量结果大于
10 的概率为 0.5，故 B 正确；
对于 C，因为 10.01 和 9.99 关于 10 对称，所以测量结果大于 10.01 的概率等于小于 9.99 的概率，故 C 正确；对于 D，由于概率分布是集中在 10 附近的，(9.9,10.2)分布在 10 附近的区域大于(10,10.3)分布在 10 附近的区域，故测量结果落在(9.9,10.2)内的概率大于落在(10,10.3)内的概率，故 D 错误.
(2)(2020 年曲靖二模)设 X～N(1,1)，其正态分布密度曲线如图 9-7-4 所示，那么向正方形 ABCD 中随机投掷 10 000
个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是(
[注：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ
【题后反思】解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴 x＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为 3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为 x＝0.
【变式训练】设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量 X，且X～N(800,502).则一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900
[参考数据：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σ
[例6]甲、乙两选手比赛，假设每局比赛甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为 0.4，那么采用 3 局 2 胜制还是采用 5局 3 胜制对甲更有利？你对局制长短的设置有何认识？
解：每局比赛只有两个结果，甲获胜或乙获胜，每局比赛可以看成是相互独立的，所以甲获胜的局数 X 是随机变量，X 服从二项分布.
可以看出采用 5 局 3 胜制对甲更有利，由此可以猜测
“比赛局数越多，对水平高的选手越有利.”
【反思感悟】数据分析是指针对研究对象获取数据，运用数学方法对数据进行整理、分析和推断，形成关于研究对象知识的素养.数据分析过程主要包括：收集数据，整理数据，提取信息，构建模型，进行推断，获得结论.
匣中有 3 红 5 黑 2 白共 10 个球.现甲、乙二人轮流从匣中取球，甲先取而乙后取，每人每次取一球且取后不放回.按规定先取到红球者获胜，而出现白球时为平局.分别求甲获胜、乙获胜和平局的概率.
解：甲获胜则必为甲先取到了红球，即：甲取到黑球时乙必取黑球，甲取到红球后比赛马上结束，比赛过程中不会取到白球.
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