新高考数学一轮复习课件第9章计数原理概率随机变量及其分布第6讲 离散型随机变量的数字特征（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习课件第9章计数原理概率随机变量及其分布第6讲 离散型随机变量的数字特征（含解析），共46页。PPT课件主要包含了均值与方差的性质，题组一，走出误区，均程度越小，答案1×，2√3√，题组二，走进教材，答案A，题组三等内容，欢迎下载使用。

1.离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量 X 的分布列为
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(2)D(aX＋b)＝a2D(X).(a，b为常数)3.两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若 X 服从两点分布，则 E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).(2)若 X～B(n，p)，则 E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).
【名师点睛】(1)若x1，x2相互独立，则E(x1·x2)＝E(x1)·E(x2).(2)均值与方差的关系：D(X)＝E(X2)－E2(X).(3)超几何分布的均值：若 X 服从参数为 N，M，n 的
超几何分布，则 E(X)＝
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)期望值就是算术平均数，与概率无关.(
(2)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量.
(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平
(4)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的
情况，因此它们是一回事.(
2.(教材改编题)已知 X 的分布列为
3.(教材改编题)若随机变量 X 满足 P(X＝c)＝1，其中 c为常数，则 D(X)的值为________.答案：0
4.(2021 年浙江)袋中有 4 个红球，m 个黄球，n 个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球 ________，E(ξ)＝________.
5.(2020 年浙江)一个盒子里有 1 个红 1 个绿 2 个黄四个质地大小相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为ξ，则 P(ξ＝0)＝________；E(ξ)＝________.
离散型随机变量的均值与方差
[例 1](2021 年新高考Ⅰ)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有 A，B 两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得 20 分，否则得 0 分；B 类问题中的每个问题回答正确得 80 分，否则得 0 分.
已知小明能正确回答 A 类问题的概率为 0.8，能正确回答 B 类问题的概率为 0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
(1)若小明先回答 A 类问题，记 X 为小明的累计得分，
(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类
解：(1)由已知可得，X 的所有可能取值为 0,20,100，则 P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，
P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48，所以 X 的分布列为
(2)由(1)可知小明先回答 A 类问题累计得分的期望为
E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4，
若小明先回答 B 类问题，记 Y 为小明的累计得分，则 Y 的所有可能取值为 0,80,100，P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4，
P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12，P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48，
则 Y 的期望为 E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝
因为 E(Y)＞E(X)，
所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答 B
【变式训练】1.(2021 年拉萨二模)设随机变量 X，Y 满足 Y＝2X＋3，
若 E(X)＝2，D(X)＝8，则 E(Y)和 D(Y)分别等于(
解析：因为 Y＝2X＋3，E(X)＝2，D(X)＝8，所以 E(Y)＝2E(X)＋3＝2×2＋3＝7，D(Y)＝22×D(X)＝4×8＝32.故选 C.答案：C
2.(2021 年瑶海月考)甲、乙两名运动员站在 A，B，C三处进行定点投篮训练，每人在这三处各投篮一次，每人每次投篮是否投中均相互独立，且甲、乙两人在 A，B，C
(1)设 X 表示甲运动员投中的个数，求随机变量 X 的分
(2)求甲、乙两名运动员共投中的个数不少于 5 的概率.
解：(1)根据题意可知，随机变量 X 的所有可能取值为0,1,2,3，
均值与方差在决策问题中的应用
[ 例 2] 某投资公司对以下两个项目进行前期市场调研，项目 A：通信设备.根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为：获利 40%、损失 20%、不赔不赚，且这三种项目 B：新能源汽车.根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为：获利 30%、亏损 10%，且这两种情况发生的概率分别为 b，c.
经测算，当投入 A，B 两个项目的资金相等时，它们
所获得的平均收益(即数学期望)也相等.
(1)求 a，b，c 的值；
(2)若将 100 万元全部投到其中的一个项目，请你从投资回报稳定性考虑，为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.
【题后反思】随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定.
计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站.过去 50 年的水文资料显示：水库年入流量 X(一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在 40 以上.其中，有 10 年不足 80，有 35 年不低于 80 且不超过 120，有 5年超过 120.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.
(1)求未来 4 年中，至多有 1 年的年入流量超过 120 的
(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量 X 限制，并有如下关系：
若某台发电机运行，则该台发电机年利润为 5 000 万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损 800 万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
(2)记水电站年总利润为 Y(单位：万元).①安装 1 台发电机的情形
由于水库年入流量总大于 40，故一台发电机运行的概
对应的年利润 Y＝5 000，E(Y)＝5 000×1＝5 000.
②安装 2 台发电机的情形
依题意，当 40所以 E(Y)＝4 200×0.2＋10 000×0.8＝8 840.
③安装3台发电机的情形依题意，当40当 X>120 时，三台发电机运行，此时 Y＝5 000×3＝15 000，因此 P(Y＝15 000)＝P(X>120)＝p3＝0.1.因此得 Y的分布列为
所以 E(Y)＝3 400×0.2＋9 200×0.7＋15 000×0.1＝
综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装
⊙利用分类讨论思想求数学期望
[例 3](2021 年佛山调研)某企业拥有三条相同的且相互独立的生产线.据统计，每条生产线每月出现故障的概率
(1)求该企业每月有且只有 1 条生产线出现故障的概
(2)在正常生产的情况下，每条生产线每月的利润是 12万元；如果一条生产线出现故障能及时维修，还能创造 8万元的利润；如果出现故障不能及时维修，该生产线就没有利润.为提高生产效益，企业决定安排维修工人对出现故障的生产线进行维修.如果一名维修工人每月只能及时维修一条生产线，且一名工人每月所需费用为 1 万元，以该企业每月实际利润的期望值为决策依据，你选择安排几名维修工？(实际利润＝生产线创造利润－维修工人费用)
若 X＝1，则 Y1＝12×2＋8×1－1＝31；若 X＝2，则 Y1＝12×1＋8×1＋0×1－1＝19；若 X＝3，则 Y1＝12×0＋8×1＋0×2－1＝7；
(2020 年太原一模)新冠病毒是一种通过飞沫和接触传播的变异病毒，为筛查该病毒，有一种检验方式是检验血液样本相关指标是否为阳性，对于 a 份血液样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则需检验 n 次.二是混合检验，将其中 k 份血液样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这 k 份血液全为阴性，因而检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这 k 份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再逐份检验，此时 k 份血液检验的
次数总共为 k＋1 次.某定点医院现取得 4 份血液样本，考虑以下三种检验方案：方案一，逐个检验；方案二，平均分成两组检验；方案三，四个样本混在一起检验.假设在接受检验的血液样本中，每份样本检验结果是阳性还是阴性
都是相互独立的，且每份样本是阴性的概率为 P＝
(1)求把 2 份血液样本混合检验结果为阳性的概率；(2)若检验次数的期望值越小，则方案越“优”.方案一、二、三中哪个最“优”？请说明理由.
设方案二的检验次数为ξ，则ξ的可能取值为 2,4,6，其分布列为