数学必修 第三册7.2.1 三角函数的定义同步训练题

这是一份数学必修 第三册7.2.1 三角函数的定义同步训练题，共6页。

(1)求角A的大小;
(2)请在①sin B=217;②a+c=7两个条件中任选一个,求△ABC的面积.
2.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A).
(1)证明:2a2=b2+c2;
(2)若a=5,cs A=2531,求△ABC的周长.
3.在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,b=a+1,c=a+2.
(1)若2sin C=3sin A,求△ABC的面积.
(2)是否存在正整数a,使得△ABC为钝角三角形?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
4.已知函数f(x)=2sin xcs x-3cs 2x(x∈R).
(1)若f(α)=12且α∈5π12,2π3,求cs 2α的值;
(2)记函数f(x)在π4,π2上的最大值为b,且函数f(x)在[aπ,bπ](a5.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a-b=c(cs B-cs A).
(1)判断△ABC的形状并给出证明;
(2)若a≠b,求sin A+sin B+sin C的取值范围.
6.如图,在四边形ABCD中,BD(1)求A;
(2)若AB=3,AD=3,CD=1,C=2∠CBD,求四边形ABCD的面积.
参考答案与解析
1.解 (1)由csinB+C2=asin C可得:sin CsinB+C2=sin Asin C,即sin Csinπ-A2=sin Asin C,即sin CcsA2=2sinA2csA2sin C,因为00,00,所以sinA2=12,即A2=π6,A=π3.
(2)选①:sin B=217,由正弦定理可得asinA=bsinB,即a32=2217,解得a=7,由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccs A,即7=4+c2-2c,解得c=3(负值舍),所以S△ABC=12bcsin A=12×2×3×32=332.
选②:a+c=7,由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccs A,
即(7-c)2=4+c2-2c,解得c=154,
所以S△ABC=12bcsin A=12×2×154×32=1538.
2.(1)证明 ∵sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A),
∴sin Csin Acs B-sin Csin Bcs A=sin Bsin Ccs A-sin Bsin Acs C,由正弦定理及余弦定理,得ca·a2+c2-b22ac-cb·b2+c2-a22bc=bc·b2+c2-a22bc-ba·a2+b2-c22ab,
化简整理,得2a2=b2+c2.
(2)解 ∵a=5,∴b2+c2=2a2=50.由余弦定理,得cs A=b2+c2-a22bc=252bc=2531,∴bc=312.∴b+c=b2+c2+2bc=9,
∴a+b+c=14.故△ABC的周长为14.
3.解 (1)因为2sin C=3sin A,所以由正弦定理得2c=3a,解b=a+1,c=a+2,2c=3a,得a=4,b=5,c=6,在△ABC中,由余弦定理得,cs C=a2+b2-c22ab=18,所以sin C=1-cs2C=378,所以S△ABC=12absin C=12×4×5×378=1574.
(2)假设存在正整数a,使得△ABC为钝角三角形.
因为b=a+1,c=a+2,所以可知c>b>a,所以角C为钝角,
则cs C=a2+b2-c22ab<0,即a2+b2-c2<0,
则a2+(a+1)2-(a+2)2<0,整理得a2-2a-3<0,
即(a-3)(a+1)<0,所以-1又因为a为正整数,所以a=1或a=2.
当a=1时,b=2,c=3,不能构成三角形,舍去;
当a=2时,b=3,c=4,满足条件.
故当a=2时,△ABC为钝角三角形.
4.解 (1)f(x)=sin 2x-3cs 2x=2sin2x-π3,
∵f(α)=12,∴sin2α-π3=14,
∵α∈5π12,2π3,∴2α-π3∈π2,π,
∴cs2α-π3=-154,∴cs 2α=cs2α-π3+π3=-154×12−14×32=-3+158.
(2)当x∈π4,π2时,2x-π3∈π6,2π3,f(x)∈[1,2],
∴b=2,由-π2+2kπ≤2π-π3≤π2+2kπ,k∈Z,
得-π12+kπ≤x≤5π12+kπ,k∈Z,
又∵函数f(x)在[aπ,2π](a<2)上单调递增,
∴[aπ,2π]⊆-π12+2π,5π12+2π,∴-π12+2π≤aπ<2π,
∴2312≤a<2,∴实数a的最小值是2312.
5.解 (1)△ABC为等腰三角形或直角三角形,证明如下:
由a-b=c(cs B-cs A)及正弦定理得,sin A-sin B=sin C(cs B-cs A),
即sin(B+C)-sin(A+C)=sin C(cs B-cs A),
即sin Bcs C+cs Bsin C-sin Acs C-cs Asin C=sin Ccs B-sin Ccs A,整理得sin Bcs C-sin Acs C=0,
所以cs C(sin B-sin A)=0,故sin A=sin B或cs C=0,
又A,B,C为△ABC的内角,所以a=b或C=π2,
因此△ABC为等腰三角形或直角三角形.
(2)由(1)及a≠b知△ABC为直角三角形且不是等腰三角形,且A+B=π2,C=π2,故B=π2-A,且A≠π4,
所以sin A+sin B+sin C=sin A+sin B+1=sin A+cs A+1=2sinA+π4+1,因为A∈0,π4∪π4,π2,故A+π4∈π4,π2∪π2,3π4,得sinA+π4∈22,1,
所以2sinA+π4+1∈(2,2+1),
因此sin A+sin B+sin C的取值范围为(2,2+1).
6.解 (1)因为π3-A+π6+A=π2,
所以sinπ3-A=csπ6+A,
所以sinπ3-Acsπ6+A=14可化为sin2π3-A=14,由二倍角公式可得cs2π3-2A=12.因为BD所以2π3-2A=π3,解得A=π6.
(2)在△ABD中,AB=3,AD=3,A=π6,
由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB·ADcs A,
即BD2=3+9-2×3×3×32=3,所以BD=3.
在△BCD中,由正弦定理得sinCsin∠CBD=BDCD=3,
所以sin C=3sin∠CBD.
又因为C=2∠CBD,所以cs∠CBD=32.又因为∠CBD∈(0,π),所以∠CBD=π6,从而C=2∠CBD=π3,所以∠BDC=π2.
因此四边形ABCD的面积S=12AB·AD·sin A+12BD·CD=12×3×3×12+12×3×1=534.