重庆市北碚区西南大学附属中学2023-2024学年九年级下学期 入学数学试题（原卷版+解析版）

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1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列调查中，最适合普查的是（ ）
A. 检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件
B. 调查某款新能源车电池的使用寿命
C. 了解全国中学生的视力情况
D. 对2024年春节联欢晚会满意度的调查
4. 如图，已知和是以点为位似中心的位似图形，的面积为，的周长与的周长比是，则的面积等于（ ）
A. B. C. D.
5. 估计的值应在（ ）
A. 3和4之间B. 4和5之间C. 5和6之间D. 6和7之间
6. 下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 今年除夕夜时，小明班上的同学都将自己编辑好的各不相同的拜年短信发送给班级的每一位同学，全班共发送1980条拜年短信，如果全班有x名同学，则可列方程为（ ）
A. B.
C D.
8. 如图，是的直径，点C、D、E在上，，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，在正方形中，，交于点O，平分交于点M，交于点E，过点M作交于点F，，则的长为（ ）
A. B. C. 1D.
10. 把1，2，…，这个正整数任意分成n组（n为正整数），每组两个数，现将每组两个数中的一个记为x，另一个记为y，代入代数式中进行计算并求出结果，将这n组都代入后，可求得n个值，将这n个值的和记为，下列说法：①当时，有3种不同的结果；②当时，这个代数式的最小值为；③当时，的最小值为．其中正确的个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．）
11. ___________________．
12. 若和同类项，则________．
13. 现有四张正面分别标有数字的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀后，随机抽取一张记下数字后不放回，背面朝上洗均匀后再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字之积为正数的概率为_____________________．
14. 如图，直线与x轴，y轴分别交于A、B两点，与反比例函数交于点C，连接，过点C作轴于点D，，则k的值为 _________．
15. 如图，在菱形中，分别以点A，C为圆心，为半径画弧，则图中阴影部分面积为 ___________．（结果保留π）
16. 如图，在中，，，是的中点，过点作交的延长线于点，则线段的长度为______________________．
17. 若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是______．
18. 若一个四位自然数M的各数位上的数字互不相同且均不为0，且千位上的数字与百位上的数字之和等于十位上的数字与个位上的数字之和，则称这样的四位数为“平衡数”．将M的千位上的数字与十位上的数字对调，百位上的数字与个位上的数字对调，组成一个新的四位数记为，并规定，若为“平衡数”且，则_______，若s和t都是“平衡数”，其中，（且m，n，x，y均为整数），规定： ，若为整数，则k的最大值是_____________．
三、解答题（本大题共8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分．）解答时每小题必须写出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19. 计算：
（1） ；
（2）．
20. 如图，四边形中，直线分别与交于点E，F，与交于点O，，，平分．
（1）尺规作图：作的角平分线交于点N；（只保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图形中，求证：．
证明：∵，
∴ ，
在和中，
，
∴，
∴ ，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴ ，
∴．
小西进一步研究发现，两条平行线被第三条直线所截，所得的一组内错角的角平分线均有此特征，请依照题意完成下面命题：
两条平行线被第三条直线所截， ．
21. 语文王老师为了了解同学们的语文寒假作业完成情况，进行了一个简单的练习，现从1班，2班中各随机抽取20名学生的练习成绩（满分10分，6分及6分以上为合格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
1班20名学生的练习成绩为：
5，7，8，6，6，7，10，8，9，7，7，8，8，8，6，10，9，5，6，10
2班20名学生的练习成绩条形统计图如图：
1班、2班抽取的学生的练习成绩的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比如表所示：
（1）直接写出上述表中的a，b，c的值；
（2）根据以上数据，你认为1班，2班中哪个班学生掌握知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）1班，2班共110名学生参加此次练习，估计参加此次练习成绩合格的学生人数是多少？
22. 为鼓励同学们读名著，学校购进了《朝花夕拾》和《昆虫记》若干．
（1）已知某书店1本《朝花夕拾》和2本《昆虫记》需72元；2本《朝花夕拾》和3本《昆虫记》需119元，求《朝花夕拾》和《昆虫记》单价各多少元？
（2）由于量大从优，该书店《朝花夕拾》和《昆虫记》的价格均有所下调，其中每本《昆虫记》的价格是每本《朝花夕拾》的1.1倍，学校分别花费了7000元、5500元购买《朝花夕拾》和《昆虫记》，一共购买了600本，则学校购进《朝花夕拾》和《昆虫记》各多少本？
23. 如图，在矩形中，，动点M，N分别以每秒个单位长度的速度和每秒1个单位长度的速度同时从点C出发，点M沿折线方向运动，点N沿折线C→D→A方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为x秒，点M，N的距离为y．

（1）请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，写出点M，N相距4个单位长度时x的值．
24. 哈尔滨旅游火爆全网，小西和小附两家前往哈尔滨冰雪大世界玩耍，如图，两家到达入口R处后分两条线路进行游玩，最后前往最大游玩项目B处集合．经测量，项目B在入口R的正北方向米处，项目A在入口R的北偏西方向，在项目B的南偏西方向，项目D在入口R的东北方米处，项目C在项目D的北偏西方向，在项目B的正东方向．
（1）求项目C和项目D之间的距离；（结果保留根号）
（2）已知小西家沿线路①进行游玩，小附家沿线路②进行游玩，请通过计算说明哪一条线路更短？（参考数据：，，）
25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，交轴于点，两点，交轴于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接，，为线段上一动点，过点作交直线于点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标；
（3）在（2）中面积取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，是平移后的抛物线上一动点，连接，当与的一个内角相等时，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
26. 已知，在中，，，以为边向下作一个且，连接．
（1）如图1，若，当时，求线段的长度；；
（2）如图2，若点E是线段的中点，连接，猜想线段，，之间的数量关系，并给出证明；
（3）在（2）的条件下，当取得最小值时，请直接写出的值．
年级
平均数
众数
中位数
8分及以上人数所占百分比
1班
7.5
a
75
c
2班
7.5
7
b