山东省日照市东港区北京路中学2023-2024学年七年级下学期开学考试数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列实数中，无理数的个数是（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了无理数的定义：无限不循环小数，据此逐个分析，即可作答．
【详解】解：是无限不循环小数
∴无理数的个数是3个
故选：B
2. 有理数在数轴上的对应的位置如图所示，则下列各式①；②；③；④；⑤；⑥．一定成立的有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了利用数轴化简式子，在数轴上表示有理数，根据越在数轴的右边的数越大，据此依次判断即可．
【详解】解：依题意，由数轴得
则，故①是正确的；
则，故②是错误的；
则，故③是错误的；
则，故是正确的；
则，故是正确的；
则，故是正确的；
综上，有4个是正确，
故选：C．
3. 如图，已知a∥b，∠1＝50°，∠2＝90°，则∠3的度数为( )
A. 40°B. 50°C. 150°D. 140°
【答案】D
【解析】
【分析】作c∥a，由于a∥b，可得c∥b．然后根据平行线的性质解答．
【详解】作c∥a，
∵a∥b，
∴c∥b．
∴∠1＝∠5＝50°，
∴∠4＝90°﹣50°＝40°，
∴∠6＝∠4＝40°，
∴∠3＝180°﹣40°＝140°．
故选D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，作出辅助线是解题的关键．
4. 规定用符号[x ]表示一个实数的整数部分，例如[3.69]=3，[]=1，按此规定，[]等于（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】先求出的范围，再根据范围求解即可．
【详解】解：∵
∴
∴

故选B
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．
5. 在平面直角坐标系中，点到轴的距离是（ ）
A. 4B. 3C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，根据点到轴的距离是横坐标的绝对值，进行作答即可．
【详解】解：依题意，点到轴的距离是
故选：A
6. 下列说法中，不正确是（ ）
A. 是整式B. 是二次二项式
C. 多项式三次项的系数为D. 的项有
【答案】C
【解析】
【分析】分别根据整式和多项式的定义判断即可；单项式和多项式统称为整式；几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项；多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数；
【详解】A、是多项式，属于整式，原说法正确，故本选项不合题意；
B、是二次二项式，说法正确，故本选项不合题意；
C、多项式的三次项的系数为，原说法错误，故本选项符合题意；
D、的项有，说法正确故本选项不合题意；
故选：C
【点睛】本题考查了整式和多项式，掌握相关定义是解答本题的关键．
7. 下列命题：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④平行于同一条直线的两条直线互相平行．其中是真命题有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了命题的真假判断，常见的定义，定理，注意到特殊点是解题的关键．
根据相关定义判断即可．
【详解】①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故①是假命题；
②垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故②是真命题；
③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故③是假命题；
④平行于同一条直线的两条直线互相平行，故④是真命题．
故选B．
8. 近似数精确到（ ）
A. 十分位B. 个位C. 十位D. 百位
【答案】C
【解析】
【分析】根据近似数的精确度求解．
【详解】近似数5.0×102精确到十位．
故选C．
【点睛】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．
9. 已知，如图，两点把线段分成三部分，是的中点，，则线段的长是（ ）．
A. 4B. 3C. 1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是两点间的距离，解题的关键是要注意各线段之间的和、差及倍数关系．
可设，，，再根据求出k的值，故可得出线段的长度，再根据M是的中点可求出的长，由即可得出结论
【详解】解：∵ ，
∴设，，，
∵，即，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
，
故选：B．
10. 是不为的有理数，我们把称为的“哈利数”． 如：的“哈利数”是，的“哈利数”是，已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，…，依此类推，则等于 （ ）
A. B. C. D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了数字类规律探索，有理数的混合运算，根据“哈利数”的概念，分别求出、、、，发现每4个数按5、、、循环出现，据此即可得到答案．
【详解】解：，
，，，，
……
观察可知，每4个数按5、、、循环出现，
，
，
故选：A．
二、填空题（每题4分，共24分）
11. 的平方根是_______．
【答案】±2
【解析】
【详解】解：∵
∴的平方根是±2．
故答案为±2．
12. 已知在平面直角坐标系中，线段AB=4，AB//x轴，若点A坐标为（-3，2），则点B坐标为_____．
【答案】（1，2）或（-7，2）
【解析】
【分析】线段AB∥x轴，可得A、B两点纵坐标相等，B点可能在A点左边或者右边，根据AB=4，确定B点坐标即可．
【详解】解：∵AB∥x轴，
∴A、B两点纵坐标都为2，
∵AB=4，
∴当B点在A点左边时，B（1，2），
当B点在A点右边时，B（﹣7，2）．
故答案为（1，2）或（﹣7，2）．
【点睛】本题考查坐标与图形性质，熟练掌握平行于x轴的直线上的点纵坐标相等并分类讨论是解题关键．
13. 已知三点在同一直线上，线段是线段的中点，且，则线段的长等于______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了线段的中点运算以及线段的和差运算，分类讨论且结合图形进行列式计算，即可作答．
【详解】解：∵三点在同一直线上，线段是线段的中点，
∴
∵，
∴
如图：
∴
或
故答案为：或
14. 如图，将直角三角形沿边向右平移得到三角形，交于点．，，，则图中阴影部分的面积为______．

【答案】
【解析】
【分析】根据的长度求出的长度，再利用梯形的面积公式求解即可．
【详解】解：∵直角三角形沿边向右平移得到三角形，，
∴，，，
即阴影部分为梯形，
∵，，
∴，
∴阴影部分的面积为：；
故答案为：．
【点睛】本题考查了平移的性质以及梯形的面积，根据平移的性质确定出的长度是解题的关键．
15. 若与的两边分别平行，且比的2倍少，则的度数为________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质求角度，二元一次方程组的实际应用，分类讨论思想的掌握，考虑问题的全面性，根据平行线的性质可得或，再根据题意可得，再代入求解即可．
【详解】解：∵与的两边分别平行，
∴或，
∵比的2倍少，
∴，
当时，
∴
当时，
∴或
故答案为：或．
16. 某超市推出如下优惠方案：
①一次性购物不超过100元不享受优惠；
②一次性购物超过100元但不超过300元，一律9折
③一次性购物超过300元，一律8折
小李两次购物分别付款80元，252元，如果他一次性购买以上两次相同的商品，应付款________
【答案】288元或316元
【解析】
【分析】设小李第二次购物的商品在不优惠时的费用为元，分和两种情况，分别根据优惠方案②和③建立方程，解方程求出的值，从而可得小李两次购物的商品在不优惠时的总费用，然后根据优惠方案即可得出答案
【详解】解：因为在优惠方案②下，最低付款为（元），且，
所以小李第一次购物的商品在不优惠时的费用为80元，
设小李第二次购物的商品在不优惠时的费用为元，
因为，，
所以分以下两种情况：
（1）当时，
则，
解得，符合题设，
此时小李两次购物的商品在不优惠时的总费用为（元），
所以如果他一次性购买以上两次相同的商品，应付款为（元）；
（2）当时，
则，
解得，符合题设，
此时小李两次购物的商品在不优惠时的总费用为（元），
所以如果他一次性购买以上两次相同的商品，应付款为（元）；
综上，应付款为288元或316元，
故答案为：288元或316元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，分两种情况讨论，并正确建立方程是解题关键．
三、简答题（共6小题，共66分）
17. （1）求下列各式中的值：
①；
②；
（2）计算：
①；
②．
【答案】（1）①；②；（2）①；②
【解析】
【分析】本题考查了平方根的定义，解一元一次方程，算术平方根，立方根，绝对值的代数意义，解题时注意一个正数的平方根有2个，不要漏解．
（1）①根据平方根的定义解方程即可；②根据解一元一次方程的方法步骤求解即可；
（2）①先计算有理数的乘方运算，绝对值化简，然后计算乘法运算，最后计算加减法即可；②根据算术平方根，立方根，绝对值的代数意义，化简即可．
【详解】解：（1）①∵，
∴，
∴；
②
去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
系数化为1得：；
（2）①
；
②
．
18. 已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分，求的平方根．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了平方根、立方根、算术平方根的定义及无理数的估算能力，掌握二次根式的基本运算技能，灵活估算无理数是解题的关键．
详解】解：根据题意，可得，
故，
又
的平方根为．
19. 先化简，再求值：，其中，满足．
【答案】；．
【解析】
【分析】先去括号化简整式，再根据非负数的和为0求出、的值，最后代入求值．
【详解】解：
．
，，，
，．
，．
当，时，
原式
．
【点睛】本题考查了整式的化简求值，掌握去括号法则、合并同类项法则、非负数的和为0及有理数的混合运算是解决本题的关键．
20. 已知，小明在计算时，误将其按计算，结果得到．
（1）求的正确结果；
（2）若的值与无关，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了整式的加减运算、及整式加减运算中的无关型问题：
（1）由题意得，确定得值，利用整式的加减运算法则即可求解；
（2）的值与x无关，即x的系数为0，进而可得，再代入即可求解；
熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键．
【小问1详解】
解：由题意得：，
．
则
．
【小问2详解】
由题意得：，
的值与x无关，
，
解得：，
．
21. 某服装厂要生产一批同样型号的运动服，已知每3米长的某种布料可做2件上衣或3条裤子，现有此种布料600米，请你帮助设计一下，该如何分配布料，才能使运动服成套而不致于浪费，能生产多少套运动服？
【答案】使用360米做上衣，240米做裤子，可得240套运动服.
【解析】
【分析】设做上衣布料用xm，做裤子的布料用ym，根据3m长的某种布料可做上衣2件或裤子3条，得出做上衣与裤子所用的布料关系，进而得出等式求出即可．
【详解】解：设做上衣的布料用xm，做裤子的布料用ym，
由题意得，
解得：
能生产运动服为：×2=240（套）．
答：做上衣的布料用360m，做裤子的布料用240m，能生产240套运动服．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，根据已知得出做上衣与裤子所用的布料关系是解题关键．
22. 如图，点在上，点在上，．求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】涉及到平行线，无论是性质还是判定需从三类角：同位角、内错角和同旁内角出发去思考，根据平行线的判定和性质求证即可．
【详解】证明：∵∠1＝∠2（已知），
又∠1＝∠4（对顶角相等），
∴∠2＝∠4（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行），
∴∠3＝∠C（两直线平行，同位角相等），
又∵∠B＝∠C（已知），
∴∠3＝∠B（等量代换），
∴（内错角相等，两直线平行）．
【点睛】此题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解决问题的关键．
23. 华联超市第一次用7000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数是乙商品件数的2倍，甲、乙两种商品的进价和售价如表：（注：获利售价进价）
（1）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？
（2）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍．甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两种商品都售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多800元，求第二次乙商品是按原价打几折销售？
【答案】（1）可获利2000元
（2）第二次乙商品是按原价打9折销售
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程求解是解题的关键．
（1）设购进甲商品x件，则购进乙商品件，根据“用7000元购进甲、乙两种商品”列出方程确定购进甲商品150件，购进乙商品100件，然后求利润即可；
（2）先得出第二次购进甲商品200件，乙商品300件，设第二次乙商品是按原价打y折销售，根据“第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多800元”列出方程求解即可．
【小问1详解】
解：设购进甲商品x件，则购进乙商品件，
，
解得：，
∴，
∴购进甲商品200件，购进乙商品100件；
∴（元），
答：可获利2000元；
【小问2详解】
解：第二次购进甲商品200件，
第二次购进乙商品（件），
设第二次乙商品是按原价打y折销售，
，
解得：，
答：第二次乙商品是按原价打9折销售．
24. 如图，，点P为平面内一点．

（1）如图①，当点P在与之间时，若，则 °；
（2）如图②，当点P在点B右上方时，之间存在怎样的数量关系，请给出证明；（不需要写出推理依据）
（3）如图③，平分，平分，若，求度数．
【答案】（1）
（2），证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）过点P作，则，根据平行线的性质可得，，根据即可求解；
（2）延长AB交于点H，根据得，结合三角形的外角定理 ，即可得出结论；
（3）延长AB交于点H，过点G，作，则，可推出，，，则，，即可求解．
【小问1详解】
解：如图①，过点P作，
∵，
∴，
又∵，，
∴，，
∴；
故答案：60；
【小问2详解】
解：如图②，，证明如下；
证明：延长AB交于点H，
∴是的一个外角，
∵，
∴，
∴在，，
∴、、之间存在的数量关系为：∠；
【小问3详解】
解：如图③，延长AB交于点H，过点G，作，
∵，
∴，
∴，，，
∵平分，平分，，
∴，，，
∴，
，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形的外角定理，解题的关键是掌握平行线的判定：同旁内角互补，两直线平行；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．
甲
乙
进价/（元/件）
20
30
售价/（元/件）
25
40