重庆市渝北区2023-2024学年九年级下学期入学质量抽测数学试题（解析版）

这是一份重庆市渝北区2023-2024学年九年级下学期入学质量抽测数学试题（解析版），共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）
1. 剪纸是中国优秀的传统文化．下列剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ）
A.
B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形，“图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心”，据此逐一判断选项即可．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故该选项错误；
B、不是中心对称图形，故该选项错误；
C、不是中心对称图形，故该选项错误；
D、是中心对称图形，故该选项正确
故选：D．
2. 下列计算正确的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别根据合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法运算，积的乘方运算法则逐一分析判断即可．
【详解】解：，故A不符合题意；
，故B不符合题意；
，故C符合题意；
，故D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查的是合并同类项，同底数幂的乘法运算，同底数幂的除法运算，积的乘方运算，掌握基础的运算法则是解本题的关键．
3. 估计的值在（ ）
A. 4到5之间B. 5到6之间C. 6到7之间D. 7到8之间
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次根式混合运算，无理数的估算；由二次根式混合运算法则运算得，再用逐步逼近法可得即可求解；掌握二次根式运算法则和逐步逼近法是解题的关键．
【详解】解：
，
∵，
，
，
故选：B．
4. 下列命题是真命题的是( )．
A. 一组对边平行且有一组对角相等的四边形是平行四边形；
B. 对角线相等的四边形是矩形；
C. 一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形；
D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形．
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定定理以及矩形、正方形的判定即可逐一判断．
【详解】解：如下图，若四边形ABCD，AD∥BC，∠A=∠C，
∵AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A=∠C，
∴∠C+∠B=180°，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故A正确；
B、对角线相等的四边形也可能为等腰梯形，故B错误；
C、一组对边平行且另一组对边相等的四边形也可能为等腰梯形，故C错误；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故D错误．
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、正方形的判定定理，是基础知识要熟练掌握．
5. 下列图形都是由相同的小正方形按照一定规律摆放而成的，照此规律排列下去，第1个图形中小正方形的个数是3个，第2个图形中小正方形的个数是8个，第3个图形中小正方形的个数是15个，则第6个图形中小正方形的个数是（ ）
A. 24B. 30C. 35D. 48
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查图形变化的规律，解题的关键是依次求出图形中小正方形的个数，并发现其规律．
根据所给图形，依次求出图形中小正方形的个数，发现规律即可解决问题．
【详解】解：由所给图形可知，
第1个图形中小正方形的个数为：；
第2个图形中小正方形的个数为：；
第3个图形中小正方形的个数为：；
…，
依次类推，第n个图形中小正方形的个数为个．
第6个图形中小正方形的个数是，
故选：D．
6. 天气转暖，正是露营好时节．周六，小联同学一家从家出发，开车匀速前往离家30千米的露营基地．行驶小时后，到达露营基地．在基地玩耍一段时间后，按照原路返程回家．由于车流增加，平均行驶速度比去基地的平均速度少．在整个运动过程中，小联同学距家的距离y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数关系如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A. 去基地的平均速度是每小时60千米
B. 露营玩耍的时长为4小时
C. 回家的平均速度是每小时50千米
D. 与家相距10千米时，x的值为
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查从函数图象获取信息，解题的关键是数形结合思想的应用，能从图象中获取有用的信息．用路程除以时间可得去基地的平均速度是每小时60千米，判断A正确；根据图象直接可判断B正确；由按照原路返程回家．由于车流增加，平均行驶速度比去基地的平均速度少列式计算，可判断C正确；分去基地时和回家时两种情况求解，可判断D不正确．
【详解】解：去基地的平均速度是（千米/小时）；故A正确，不符合题意；
露营玩耍的时长为（小时），故B正确，不符合题意；
回家的平均速度是（千米/小时），故C正确，不符合题意；
去基地时，与家相距10千米，；
回家时，与家相距10千米，，
∴与家相距10千米时，x的值为或4.9，故D不正确，符合题意；
故选：D．
7. 电影《孤注一掷》于2023年8月8日在中国大陆上映，某地第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达13亿元，若把每天的平均增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．由第一天为3亿，根据增长率为得出第二天为亿，第三天为亿，根据三天累计为13亿，即可得出关于的一元二次方程．
【详解】解：设增长率为，
根据题意得：．
故选：D．
8. 如图，为的直径，C为上一点，过点C作的切线交的延长线于点D，连接，若，则的长度为（ ）

A. B. C. 8D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接，根据切线的定义得出，推出，根据勾股定理得出，进而得出，根据圆周角定理得出，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵CD为的切线，
∴，
∵，
∴，，
∴，
由圆周角定理得：，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了切线的定义，勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识点并熟练运用．
9. 如图，延长矩形的边至点E，使，连接，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定及性质，三角形内角和定理等；连接与交于，根据矩形的性质可证，，由等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可求解；掌握性质，作出辅助线，构建等腰是解题的关键．
【详解】解：如图，连接与交于，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
故选：B．
10. 有个依次排列的整式：第1项是，用第1项乘以，所得之积记为，将第1项加上得到第2项，再将第2项乘以得到，将第2项加得到第3项，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到下列4个结论：
①第5项为； ②；
③若，则； ④当时，第项的值为．
以上结论正确的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查数字变化的规律，能根据题意表示出第n个整式及是解题的关键．
依次求出各整式及…，发现规律即可解决问题．
【详解】解：由题知，
，
整式中的第2项为：，
，
整式中的第3项为：，
……
，
整式中的第n项为：（n为正整数），
所以整式中的第5项为：，
故①正确．
当时，
，
故②正确．
当时，
，
则，
故③正确．
当时，
令整式中的第k项的值为M，
则，
，
两式相减得：
，
，
故④正确；
故选：D．
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）
11. 方程的解是____．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握利用因式分解的方法解方程是解本题的关键．
把方程化为，再利用因式分解的方法解方程即可．
【详解】解：∵，
，
，
或，
解得：．
故答案为：，．
12. 如图，直线经过和两点，则不等式的解集为____．
【答案】
【解析】
【分析】用待定系数法求出k、b的值，然后将它们代入不等式组中进行求解即可．
【详解】解：将和代入中得：
，
解得：k=2，b=8，
∴y=2x+8，
则，解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及不等式的解法，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题关键．
13. 现有四张正面分别标有数字-2，，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，则前后两次抽取的数字之和为正数的概率为 __________________．
【答案】##0.625
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法，根据题意可以画出相应的树状图，即可求得数字之和为正数的概率．
【详解】解：列树状图可得：
由树状图可得共有种等可能结果，其中两次数字之和为正数的有10种，故概率为：，
故答案为：．
14. 如图，在中，，与相切于点与分别交于点，连接．若，则图中阴影部分面积为______．（结果保留）

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，三角形中位线定理，等腰三角形的性质，扇形的面积公式等知识，连接交于F，利用切线的性质，等腰三角形的判定与性质，含的直角三角形性质，以及勾股定理等可求出，，，利用三角形中位线定理可求，然后根据求解即可．
【详解】解：连接交于F，

∵与相切于点C，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∵，即，
∴，，
∴，
同理：，
∴，，
∴，
∴，
∴
．
故答案为：．
15. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，D在反比例函数的图象上，边轴，交x轴于点E，顶点C在第四象限，顶点B在x轴的正半轴上，若点A的纵坐标为5，，则k的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象点坐标特征，菱形的性质，勾股定理，求出的长度是本题的关键.
作于， 根据勾股定理求得，设，则，根据反比例函数系数得到 ， 解得的值, 即可求得的值.
【详解】作于，
∵四边形是菱形，轴，
∴轴，，
设，则，
∴，
，
，
解得x=2，
∴，
设， 则，
∵菱形的顶点在反比例函数的图象上，
∴，
解得 ，
，
故答案为：．
16. 若整数使得关于的不等式组有解，且使得关于的分式方程有正整数解，那么符合条件的所有整数的和为______．
【答案】36
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，正确掌握解分式方程的方法和解一元一次不等式组的方法是解题的关键．根据不等式组有解，得到关于的一元一次不等式，求出的取值范围，解分式方程得且，根据“为整数，且分式方程有正整数解”，找出符合条件的的值，相加后即可得到答案．
【详解】解：
解不等式组得，
∵该不等式组有解，
∴，
解得：，
解分式方程得，
且，
∵为整数，且分式方程有正整数解，
∴的值为：，，，
∴，
即满足条件的所有整数之和为．
故答案为．
17. 如图，在四边形中，和都是直角，且．现将沿翻折，点的对应点为，与边相交于点，恰好是的角平分线，若，则的长为 ________________．

【答案】
【解析】
【分析】如图，延长和相交于点，根据翻折的性质可以证明，可得，再证明，可得，问题得解．此题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定定理和折叠的性质是解决问题的关键．
【详解】解：如图，延长和相交于点，

由翻折可知：
，，
∵是的角平分线，
，
，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
18. 一个四位正整数的各数位上的数字不完全相同且均不为零，若满足千位和百位数字之和是十位和个位数字之和的两倍，则称这样的四位数为“二阶数”．将“二阶数”的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调得到一个新的“二阶数”记为，记，例如：当．时，，则．已知两个“二阶数”，满足是一个完全平方数，且为整数，则_____，的最大值为_____．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了新定义代数推理问题，多以阅读理解的形式呈现，解题关键是“理解新定义的数位关系，将文字语言转化为数学语言（等量关系）”．首先由千位和百位数字之和是十位和个位数字之和的两倍与得出，，，然后得出并化为最简分式，最后由是一个完全平方数（等量关系），且为整数（等量关系），求解即可．
【详解】解：，
，
，
千位和百位数字之和是十位和个位数字之和的两倍，
，
，
，
，
同理可得：，即，
，
，
，
是不完全相同的正整数且均不为零，
，
，
是一个完全平方数， ，
或，
解得：或（舍去），
，
为整数即为整数，
是正整数且均不为零，，
当时（不符合题意舍去），
当时（符合题意），
当时（不符合题意舍去），
当时（不符合题意舍去），
，
，
求的最大值只需最大，
，，
，
，
，
故，．
三、解答题：（本大题共8个小题，19题8分，20-26题每小题10分，共78分）
19. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查分式的混合运算、整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）根据单项式乘多项式和完全平方公式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可；
（2）先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，再约分即可．
【小问1详解】
；
【小问2详解】
．
20. 如图，在菱形中，对角线、相交于点O．

（1）尺规作图：在的延长线上截取，连接，再过点B作的垂线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：四边形为矩形．
证明：∵
∴ ①
∵四边形是菱形
∴，，
∴
∵
∴ ②
又∵
∴四边形为平行四边形
∴ ③
∴
∴ ④
∴
∴四边形为矩形．
【答案】（1）见解析 （2）①，②，③，④
【解析】
【分析】（1）根据题意画图即可；
（2）根据垂直的性质可得，根据菱形的性质可得，根据平行四边形的性质可得，根据平行线的性质可得，根据矩形的判定可得四边形为矩形．
【小问1详解】
如图：

作法：延长，以为圆心，的长为半径，在的延长线上画弧，即为点；连接，分别以，为圆心，的长为半径，在的上方画弧，两弧交于一点，连接该点与点，与交于一点，即为点
【小问2详解】
证明：∵
∴
∵四边形是菱形
∴，，
∴
∵
∴
又∵
∴四边形为平行四边形
∴
∴
∴
∴
∴四边形为矩形．
【点睛】本题考查了尺规作图，菱形的性质，平行四边形的性质，平行线的性质，矩形的判定等，解题的关键是根据要求尺规作图．
21. 为全面增强中学生体质健康，某学校开展“阳光体育活动”，开设了：A．跳绳；B．篮球；C．排球；D．足球，这4门选修课，要求每名学生只能选择其中的一项参加．全校共有100名男同学选择了A项目，为了解选择A项目男同学的情况，从这100名男同学中随机抽取了30人在操场进行测试，并将他们的成绩（个/分钟）绘制成频数分布直方图．
（1）若抽取的同学的测试成绩落在这一组的数据为160，162，161，163，162，164，则该组数据的中位数是______，众数是______；
（2）根据题中信息，估计选择B项目的男生共有______人，扇形统计图中D项目所占圆的圆心角为______度；
（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全区的跳绳比赛，请用画树状图法或列表法计算出甲和乙同学同时被选中的概率．
【答案】（1）162；162
（2）175；108 （3）
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法、频数（率分布直方图、扇形统计图、中位数、众数，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法、中位数和众数的定义是解答本题的关键．
（1）根据中位数和众数的定义可得答案．
（2）先用选择项目的男生人数除以扇形统计图中的百分比可得全校的男生人数，再用全校的男生人数乘以扇形统计图中的百分比可得选择项目的男生人数；用乘以扇形统计图中得百分比即可．
（3）画树状图得出所有等可能的结果数以及甲和乙同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【小问1详解】
将这组数据按照从小到大的顺序排列，排在第3和第4的为162和162，
该组数据的中位数是．
该组数据中出现次数最多的为162，
该组数据的众数为162．
故答案为：162；162．
【小问2详解】
全校的男生人数为（人，
选择项目的男生共有（人．
扇形统计图中项目所占圆的圆心角为．
故答案为：175；108．
【小问3详解】
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种，
甲和乙同学同时被选中的概率为．
22. 清明节，除了扫墓踏青之外，传统时令小吃——青团也深受大家欢迎，知味观推出一款鲜花牛奶青团和一款芒果青团，鲜花牛奶青团每个售价是芒果青团的倍，4月份鲜花牛奶青团和芒果青团总计销售个，鲜花牛奶青团销售额为元，芒果青团销售额为元．
（1）求鲜花牛奶青团和芒果青团的售价？
（2）5月份正值知味观店庆，决定再生产个青团回馈新老顾客，但考虑到芒果青团较受欢迎，同时也考虑受机器设备限制，因此芒果青团的个数不少于鲜花牛奶青团个数的，不多于鲜花牛奶青团的倍，其中，鲜花牛奶青团每个让利元销售，芒果青团售价不变，并且让利后的鲜花牛奶青团售价不得低于芒果青团售价的，问：知味观如何设计生产方案？使总销售额最大．
【答案】（1）芒果青团的售价为0.8元，则鲜花牛奶青团的售价为1元；（2）当0＜a≤0.2时，鲜花牛奶青团生产4800个，芒果青团生产7200个，销售额最大；当a=0.2时，销售额不变；当0.2＜a≤0.4时，鲜花牛奶青团生产4000个，芒果青团生产8000个，销售额最大．
【解析】
【分析】（1）设芒果青团的售价为x元，则鲜花牛奶青团的售价为x元，根据销售额以及4月份鲜花牛奶青团和芒果青团总计销售个列出分式方程即可解答；
（2）设鲜花牛奶青团生产m个，芒果青团生产（12000-m）个，根据题意列出不等式，求出，设销售额为W元，表达出函数关系式，根据题意计算出a的取值范围，对a的值进行分类讨论，利用一次函数的增减性，确定方案即可．
【详解】解：（1）设芒果青团的售价为x元，则鲜花牛奶青团的售价为x元，则：
，
解得：x=0.8，
经检验：x=0.8是原方程的解，
∴x=1，
∴芒果青团的售价为0.8元，则鲜花牛奶青团的售价为1元．
（2）设鲜花牛奶青团生产m个，芒果青团生产（12000-m）个，
由题意可得：，
解得：，
设销售额为W元，
则，
∵a＞0，且，则，
①当0＜a≤0.2时，0.2-a＞0，W随m的增大而增大，
∴当m=4800时，W最大，
②当a=0.2时，0.2-a=0，则无论如何设计，销售额不变；
③当0.2＜a≤0.4时，0.2-a＜0，W随m的增大而减小，
∴当m=4000时，W最大，
综上所述，当0＜a≤0.2时，鲜花牛奶青团生产4800个，芒果青团生产7200个，销售额最大；当a=0.2时，销售额不变；当0.2＜a≤0.4时，鲜花牛奶青团生产4000个，芒果青团生产8000个，销售额最大．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，以及一次函数与方案设计问题，解题的关键是读懂题意，找出关系式，列出方程或函数关系式，并熟悉一次函数的性质．
23. 如图1，在梯形中，，，点E在边上且．动点同时从点E出发，点P以每秒1个单位长度沿折线E→A→D方向运动到点D停止，点Q以每秒2个单位长度沿折线E→B→C方向运动到点C停止．设运动时间为t秒，的面积为y．

（1）请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；
（2）如图2，在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出的面积大于15时的t的取值范围 ．
【答案】（1）
（2）作图见解析，函数y的最大值是24（答案不唯一）
（3）
【解析】
【分析】（1）分两种情形：当时，当时，分别求解即可;
（2）利用描点法画出函数图象即可;
（3）利用解析式结合图象判断即可．
【小问1详解】
在梯形中，，
，点在边上且.
，,
当时，
当时，如图，

综上所述：
【小问2详解】
函数图象如图所示，函数的最大值是24．
【小问3详解】
当时，，
解得
当时，，
解得
观察图象可得，时 ,
故答案为： ．
【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了函数的图象，梯形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
24. 如图，在中，过点A、C作，，分别交、的延长线于点F和E．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，交于点O，点G是线段的中点，若，，求矩形的周长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，得到，结合，，推出，证明四边形是平行四边形，再根据即可得到四边形是矩形；
（2）根据平行四边形的性质和点G是线段的中点可得是的中位线，，根据勾股定理可得的长，从而得到的周长．
小问1详解】
证明：在中，，，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，即，
四边形是矩形．
【小问2详解】
解：在中，，
点G是线段的中点，，
是的中位线，，
又，，
在中，，
，
矩形的周长为．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识，熟练掌握矩形的判定和性质是解题的关键．
25. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点、，与轴交于点．已知点为轴上一点，且．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，作的角平分线交轴于点，点为直线上方抛物线上的一个动点，过点作交直线于点，过点作轴交直线于点，求的最大值，并求出此时点的坐标；
（3）如图2，将原抛物线沿轴向左平移个单位得到新抛物线，新抛物线交轴于点、，点为新抛物线的对称轴与轴的交点，点为新抛物线上一动点，使得，请直接写出所有满足条件的点的坐标．
【答案】（1）；
（2），；
（3）或．
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键．
（1）利用待定系数法，即可求解；
（2）交直线于，过点作于，可得出是正三角形，只需求的最大值即可；
（3）求出平移后的函数解析式为，求出、，分点在的上方和下方两种情况讨论；
【小问1详解】
解：将点、代入，
得：，
解得，
；
【小问2详解】
如图1，交直线于，过点作于，
在中，，
，，
平分，
，
，
，
轴，
，，
，
，
，
，
在中，，
是正三角形，
平分，
，
在，，
在正中，，
是中线，
，
，
，
故当取最大值时，最大，
，
在中，且，
，
或（舍去），
，
设直线解析式为，
，
，
，
设，则，
，
当时，最大，
，
，
即，
当时，有最大值；
【小问3详解】
，
对称轴为，
将向左平移个单位后新抛物线，
、，的对称轴为直线，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，
则，
，
，
，
与重合，
当在下方时，
，，
，
，，
，
设直线的解析式为：，
，
，
直线的解析式为：，
联立得：，
解得：或（舍去），
，
点的坐标为或．
26. 在中，点G是直线上一点，，连接．
（1）如图1，若交于点H，，求的长；
（2）如图2，若，的平分线交于点E，过点E作，交的平分线于点F，连接，且，请猜想线段，，之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）若，是边长为2的等边三角形，将绕点D顺时针旋转得到，点K是线段的中点．在旋转的过程中，当线段得最小值时，请直接写出的值．
【答案】（1）
（2），见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理首先求出的长，再求出即可；
（2）延长交于H，连接，先通过三角形全等证明是等边三角形，证明四边形是平行四边形，再证明是菱形，得，则都是等边三角形，再利用证明，从而说明是等边三角形，可得，再证得，由，利用等量代换即可证得结论；
（3）由旋转性质可得是边长为2的等边三角形，可得，在旋转过程中，，当点K落在边上时，为最小值，过点G作于Q，过点D作于H，利用等腰直角三角形性质可得，得出，即可求得答案．
【小问1详解】
解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
在中，，
在中，；
【小问2详解】
猜想：，理由如下：
延长交于H，连接，如图2，
平分，
，
在和中，
，
，
，
是等边三角形，
．
又四边形是平行四边形，
，
，
，
则四边形是平行四边形，
，
平分，
，
，
，
菱形，
，
，
、都是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
【小问3详解】
是边长为2的等边三角形，
旋转后的是边长为2的等边三角形，
是线段的中点，
，
在旋转过程中，，如图3，
当点K落在边上时，为最小值，如图4，过点G作于Q，过点D作于H，
则，
四边形是矩形，
，
，
，
，
．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形的相关计算，全等三角形的判定与性质，根据旋转性质求解，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．