新高考数学一轮复习讲与练第04讲 函数的概念与性质（讲）（2份打包，原卷版+解析版）

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本讲为重要知识点，题型主要围绕函数的思想以及函数的性质考察，配合导数的几何意义对学生的逻辑思维能力要求很高。主要学习用集合语言和对应关系刻画函数概念。通过函数的不同表示方法加深对函数概念的认识。学习用精确的符号语言刻画函数性质的方法，并通过幂函数的学习函数研究函数的基本内容、过程和方法。
考点一 函数的概念及其表示
1.函数的定义
设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数y＝f(x)，x∈A
2．函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.显然，值域是集合B的子集．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
(4)函数的表示法：解析法、图象法、列表法．
3．分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发．
(2)如果函数y＝f(x)用表格给出，则表格中x的集合即为定义域．
(3)如果函数y＝f(x)用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域.
值域是一个数集，由函数的定义域和对应关系共同确定．
(1)分段函数虽由几个部分构成，但它表示同一个函数．
(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
(3)各段函数的定义域不可以相交.
4．常用结论
(1)若f(x)为整式，则函数的定义域为R；
(2)若f(x)为分式，则要求分母不为0；
(3)若f(x)为对数式，则要求真数大于0；
(4)若f(x)为根指数是偶数的根式，则要求被开方式非负；
(5)若f(x)描述实际问题，则要求使实际问题有意义．
如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，求定义域常常等价于解不等式(组)．
考点二 函数的基本性质
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
3.函数的奇偶性
4.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
注意：
（1）如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
（2）如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).
（3）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.
（4）函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
①若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).
②若f(x＋a)＝eq \f(1,f（x）)，则T＝2a(a>0).
③若f(x＋a)＝－eq \f(1,f（x）)，则T＝2a(a>0).
5.对称性的三个常用结论
①若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
②若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
③若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.
高频考点一 函数的概念及其表示
例1、下列命题中，正确的有 SKIPIF 1 < 0
A. 函数 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 表示同一函数
B. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C. 若函数，则 SKIPIF 1 < 0
D. 若函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【解析】
解： SKIPIF 1 < 0 的定义域是 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的定义域是 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ，
两函数的定义域不同，故不是同一函数，A错误;
函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
若函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
若函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，即函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误.
【变式训练】
1、若函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 3B．3C．1D． SKIPIF 1 < 0 1
【答案】A
【解析】
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可知上式的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 为方程 SKIPIF 1 < 0 的一个根，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A
高频考点二 函数的基本性质
例2：已知函数 SKIPIF 1 < 0 是奇函数，且在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数，且在区间 SKIPIF 1 < 0 上的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，则在区间 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0
A. 有最大值4B. 有最小值 SKIPIF 1 < 0 C. 有最大值 SKIPIF 1 < 0 D. 有最小值 SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
解： SKIPIF 1 < 0 函数 SKIPIF 1 < 0 是奇函数，在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上也是减函数，
SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上也是减函数，且最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选： SKIPIF 1 < 0
【变式训练】
1．设函数 SKIPIF 1 < 0 ，则满足 SKIPIF 1 < 0 的x的取值范围是（ ）
A．（－∞，－1]B．（0，＋∞）
C．（－1，0）D．（－∞，0）
【答案】D
【解析】
解：函数 SKIPIF 1 < 0 ，的图象如图：
满足 SKIPIF 1 < 0 ，
可得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D.
高频考点三 中心对称性质：几个复杂的奇函数
例3、对于定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 图像的一个对称中心的充要条件是：对任意 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 ，判断函数 SKIPIF 1 < 0 的对称中心______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 图像的一个对称中心的充要条件，列出式子，即可得出结果.
解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .所以 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的一个对称中心.
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【变式训练】
1、设函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足不等式 SKIPIF 1 < 0 ，则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
的最大值为
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以函数 SKIPIF 1 < 0 为奇函数,又因为 SKIPIF 1 < 0 为单调减函数,且 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上减函数,因此 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以可行域为一个三角形 SKIPIF 1 < 0 及其内部,其中 SKIPIF 1 < 0 ,因此直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 时取最大值 SKIPIF 1 < 0 ,选B.
【基本规律】
1、若 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 中心对称
SKIPIF 1 < 0
3. SKIPIF 1 < 0
高频考点四 轴对称
例4：已知函数 SKIPIF 1 < 0 有唯一零点，则负实数 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】函数 SKIPIF 1 < 0 有有唯一零点，设 SKIPIF 1 < 0
则函数 SKIPIF 1 < 0 有唯一零点，则 SKIPIF 1 < 0 3e|t|-a（2t+2-t）=a2，
设 SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 为偶函数，
∵函数 SKIPIF 1 < 0 有唯一零点，∴ SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有唯一的交点，
∴此交点的横坐标为0， SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），故选A．
【变式训练】
1.已知函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】C
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为奇函数，图象关于原点对称， SKIPIF 1 < 0 是将上述函数图象向右平移2个单位，并向上平移3个单位得到，所以 SKIPIF 1 < 0 图象关于 SKIPIF 1 < 0 对称，则 SKIPIF 1 < 0 ，故选 SKIPIF 1 < 0 .
【基本规律】
1.函数 SKIPIF 1 < 0 对于定义域内任意实数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，特别地当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称；
2.如果函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称.
3. SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称。
高频考点五 中心对称和轴对称构造出周期性
例5：已知函数为定义域为的偶函数，且满足，当时，.若函数在区间上的所有零点之和为__________．
【答案】5
【详解】∵足，∴，又因函数为偶函数，∴，即，∴，令，，，即求与交点横坐标之和.，
作出图象：
由图象可知有10个交点，并且关于中心对称，∴其和为故答案为：5
【变式训练】
1.定义在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，若方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有实数根，则方程 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上所有实根之和是（ ）
A．30B．14C．12D．6
【答案】A
【详解】
由 SKIPIF 1 < 0 知函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是R上的奇函数，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 的周期为4，考虑 SKIPIF 1 < 0 的一个周期，例如 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数，
对于奇函数 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有实数根，
则这实数根是唯一的，因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是单调函数，
则由于 SKIPIF 1 < 0 ，故方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有唯一实数，在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 ，
则方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上没有实数根，从而方程 SKIPIF 1 < 0 在一个周期内有且仅有两个实数根，
当 SKIPIF 1 < 0 ，方程 SKIPIF 1 < 0 的两实数根之和为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ，方程 SKIPIF 1 < 0 的所有6个实数根之和为 SKIPIF 1 < 0 .故选：A.
【基本规律】
关于对称中心与对称轴构造周期的经验结论
1.若函数有两个对称中心（a，0）与（b，0）），则函数具有周期性，周期T=2|a-b|。
2.若函数有两条对称轴x=a与x=b，则函数具有周期性，周期T=2|a-b|。
3.若函数有一个对称中心（a，0）与一条对称轴x=b，，则函数具有周期性，周期T=4|a-b|。
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
前提
设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
对于任意x∈I，都有f(x)≤M；
存在x0∈I，使得f(x0)＝M
对于任意x∈I，都有f(x)≥M；
存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数
关于原点对称