新高考数学一轮复习讲与练第07讲 一元函数的导数及其应用（练）（2份打包，原卷版+解析版）

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1．若“ SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 成立”是假命题，则实数λ的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】若“ SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 成立”是假命题,则 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 成立是真命题，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
故选:C.
2．若函数 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A．3B．4C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C.
3．下列求导运算错误的是（ ）.
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】解：A选项中， SKIPIF 1 < 0 ，故正确；
B选项中， SKIPIF 1 < 0 ，故正确；
C选项中， SKIPIF 1 < 0 ，故正确
D选项中， SKIPIF 1 < 0 ，故错误，
故选：D.
4．若函数 SKIPIF 1 < 0 处有极大值，则常数 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】函数 SKIPIF 1 < 0 ，
依题意得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取极小值，不符合条件，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取极大值，符合条件，
所以常数 SKIPIF 1 < 0 的值为6.
故选：D.
5、在曲线 SKIPIF 1 < 0 的所有切线中，与直线 SKIPIF 1 < 0 平行的共有（ ）．
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】C
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线与直线 SKIPIF 1 < 0 重合，
故在曲线 SKIPIF 1 < 0 的所有切线中，与直线 SKIPIF 1 < 0 平行的共有3条．
故选:C.
6．已知 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的导数，且 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，则 SKIPIF 1 < 0 也是偶函数,所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减.
因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D.
7．若函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内单调递增，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内单调递增，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 .
故选:D.
8．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，的大小关系为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】解：很显函数是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的偶函数，
由于 SKIPIF 1 < 0 的导函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
且 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，
函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
故函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C．
9．若 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，两边同时以 SKIPIF 1 < 0 为底取对数得 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A.
10．若函数 SKIPIF 1 < 0 恰有2个不同的零点，则实数m的值是_________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 恰有2个不同零点，
故函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ，恰有2个交点，
对于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 变化时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 变化如下：
因为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 恰有两个交点，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
11．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)讨论函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的单调性；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【解析】
（1）
SKIPIF 1 < 0 ，定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
综上所述：当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
（2）
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可转化为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （舍）
可得函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故不等式 SKIPIF 1 < 0 成立．
1．已知 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则下列正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 (舍去)，或 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，对于函数 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故D错误；
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增，故函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误.
故选：B.
（多选）2．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 可取（ ）
A．1B．2C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】CD
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
记 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
故选：CD.
（多选）3．已知 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 的导函数为 SKIPIF 1 < 0 ，下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的极大值为 SKIPIF 1 < 0 D．方程 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的解
【答案】AC
【详解】由题意知： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
当 SKIPIF 1 < 0 时； SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
当 SKIPIF 1 < 0 时； SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，B错误;
SKIPIF 1 < 0 的极大值为 SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
方程 SKIPIF 1 < 0 等价于 SKIPIF 1 < 0 ,
易知函数 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 有且只有一个交点，即方程 SKIPIF 1 < 0 有且只由一个解，D错误;
故选：AC.
4．已知正三棱锥的各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为 SKIPIF 1 < 0 ，则该正三棱锥体积的最大值为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以正三棱锥外接球半径 SKIPIF 1 < 0 ，
正三棱锥如图所示，设外接球圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 向底面作垂线垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 是正三棱锥，所以 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中心，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 递增，在 SKIPIF 1 < 0 递减，
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最大值， SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
5．设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的大小关系是___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
6．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】不等式 SKIPIF 1 < 0 等价于 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的解为 SKIPIF 1 < 0
且 SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立.
又 SKIPIF 1 < 0 即为 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 即为 SKIPIF 1 < 0 ，这与解为 SKIPIF 1 < 0 矛盾；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 即为 SKIPIF 1 < 0 ，这与解为 SKIPIF 1 < 0 矛盾；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 即为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 的解为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立即为 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 为增函数，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .
综上， SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
7．过点 SKIPIF 1 < 0 作曲线 SKIPIF 1 < 0 的切线，若切线有且只有两条，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
设切点为( SKIPIF 1 < 0 )， SKIPIF 1 < 0 ，
所以切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
代入 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 这个关于 SKIPIF 1 < 0 的方程有两个解，
令 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 有最大值， SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
8．若函数 SKIPIF 1 < 0 ，则曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
所以所求切线的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
9．已知函数 SKIPIF 1 < 0
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
(2)若函数 SKIPIF 1 < 0 有3个不同零点，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
（1）
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 时单调递增，
SKIPIF 1 < 0 时单调递减， SKIPIF 1 < 0 时单调递增；
所以函数 SKIPIF 1 < 0 得单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）
注意到 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时有两不同解，
SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是增函数，则 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递增， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时，单调递减， SKIPIF 1 < 0 时，单调递增，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
并且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，并且 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
函数图像如下：
所以 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ；
综上，函数 SKIPIF 1 < 0 得单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
10．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，试讨论函数 SKIPIF 1 < 0 的零点个数．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有1个零点；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有2个零点
【解析】
（1）
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
（ⅰ）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，故函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有且只有一个零点；
（ⅱ）当 SKIPIF 1 < 0 时，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 上单调递减， SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有且只有一个零点，
由 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减知 SKIPIF 1 < 0 ，
构造函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有且仅有两个零点．
综上所述，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有1个零点；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有2个零点．
11．若 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的极值点，则 SKIPIF 1 < 0 ______； SKIPIF 1 < 0 的极大值为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 4e
【详解】∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
列表如下：
所以，函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，函数 SKIPIF 1 < 0 的极大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 的极大值为 SKIPIF 1 < 0 .
1．（2022·全国·高考真题（理））当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 取得最大值 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．1
【答案】B
【详解】因为函数 SKIPIF 1 < 0 定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，所以依题可知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因此函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增，在 SKIPIF 1 < 0 上递减， SKIPIF 1 < 0 时取最大值，满足题意，即有 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B.
2．（2022·全国·高考真题（文））函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 的最小值、最大值分别为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 单调递增；
在区间 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
3．（2022·全国·高考真题（理））已知 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ,因为当 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ；
设 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
则 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A
4．（2010·全国·高考真题（文））若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则（ ）
A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1D．a＝－1，b＝－1
【答案】A
【详解】由题意可知k＝ SKIPIF 1 < 0 ，
又(0，b)在切线上，解得：b＝1.
故选：A.
5．（2015·安徽·高考真题（文））函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）
A．a＞0，b＜0，c＞0，d＞0B．a＞0，b＜0，c＜0，d＞0
C．a＜0，b＜0，c＜0，d＞0D．a＞0，b＞0，c＞0，d＜0
【答案】A
【详解】由图像知f(0)＝d>0，因为 SKIPIF 1 < 0 有两个不相等的正实根 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以a>0， SKIPIF 1 < 0
所以b<0，c>0，
所以a>0，b<0，c>0，d>0.
故选：A.
6．（2009·宁夏·高考真题（文））曲线 SKIPIF 1 < 0 在点(0，1)处的切线方程为________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 切线的斜率为 SKIPIF 1 < 0
则切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
7．（2022·全国·高考真题（文））已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 恰有一个零点，求a的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
（2）求导得 SKIPIF 1 < 0 ，按照 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 结合导数讨论函数的单调性，求得函数的极值，即可得解.
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减；所以 SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减；所以 SKIPIF 1 < 0 ，此时函数无零点，不合题意；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增；在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减；又 SKIPIF 1 < 0 ，由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 仅在 SKIPIF 1 < 0 有唯一零点，符合题意；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 单调递增，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 有唯一零点，符合题意；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增；在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减；此时 SKIPIF 1 < 0 ，由（1）得当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 有一个零点，在 SKIPIF 1 < 0 无零点，所以 SKIPIF 1 < 0 有唯一零点，符合题意；综上，a的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
8．（2022·全国·高考真题（文））已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线也是曲线 SKIPIF 1 < 0 的切线．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求a；
(2)求a的取值范围．
【答案】(1)3
(2) SKIPIF 1 < 0
（1）由题意知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，设该切线与 SKIPIF 1 < 0 切于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，设该切线与 SKIPIF 1 < 0 切于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 变化时， SKIPIF 1 < 0 的变化情况如下表：
则 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
9．（2022·全国·高考真题（理））已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求a的取值范围；
(2)证明：若 SKIPIF 1 < 0 有两个零点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)证明见的解析
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 令 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 单调递减当 SKIPIF 1 < 0 单调递增 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
（2）由题知, SKIPIF 1 < 0 一个零点小于1,一个零点大于1不妨设 SKIPIF 1 < 0 要证 SKIPIF 1 < 0 ,即证 SKIPIF 1 < 0 因为 SKIPIF 1 < 0 ,即证 SKIPIF 1 < 0 因为 SKIPIF 1 < 0 ,即证 SKIPIF 1 < 0 即证 SKIPIF 1 < 0 即证 SKIPIF 1 < 0 下面证明 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 设 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 ,而 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增即 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 令 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减即 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ；综上, SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 .
10．（2017·全国·高考真题（文））设A，B为曲线C：y＝ SKIPIF 1 < 0 上两点，A与B的横坐标之和为4．
（1）求直线AB的斜率；
（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．
【答案】（1）1；（2）y＝x＋7．
【详解】解：（1）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1≠x2，y1＝ SKIPIF 1 < 0 ，y2＝ SKIPIF 1 < 0 ，x1＋x2＝4，
于是直线AB的斜率k＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝1．
（2）由y＝ SKIPIF 1 < 0 ，得y′＝ SKIPIF 1 < 0 ．
设M(x3，y3)，由题设知 SKIPIF 1 < 0 ＝1，解得x3＝2，于是M(2，1)．
设直线AB的方程为y＝x＋m，
故线段AB的中点为N(2，2＋m)，|MN|＝|m＋1|．
将y＝x＋m代入y＝ SKIPIF 1 < 0 得x2－4x－4m＝0．
当Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1时，x1，2＝2±2 SKIPIF 1 < 0 ．
从而|AB|＝ SKIPIF 1 < 0 |x1－x2|＝ SKIPIF 1 < 0 ．
由题设知|AB|＝2|MN|，即 SKIPIF 1 < 0 ＝2(m＋1)，
解得m＝7．
所以直线AB的方程为y＝x＋7．
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
+
0
SKIPIF 1 < 0
0
+
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
极大值
SKIPIF 1 < 0
极小值
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
单调递减
极小值
单调递增
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
极小值
SKIPIF 1 < 0
极大值
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
0
SKIPIF 1 < 0
1
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
0
SKIPIF 1 < 0
0
SKIPIF 1 < 0
0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0