新高考数学一轮复习讲与练第11讲 三角函数的图像与性质（练）（2份打包，原卷版+解析版）

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一、单选题
1．若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 是增函数，则a的最大值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根据函数性质，可得 SKIPIF 1 < 0 的单调区间， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 单增区间的子集.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
根据函数图象和性质， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减.
而 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以a的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
2．函数 SKIPIF 1 < 0 的值域是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根据同角三角函数关系式变形，可得函数是关于 SKIPIF 1 < 0 的二次函数，利用换元法可得值域.
【详解】函数 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时，函数取得最小值 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，函数取得最大值 SKIPIF 1 < 0 ，
故函数的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，故选：A．
3．若函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内存在最小值，则 SKIPIF 1 < 0 的值可以是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 的范围，得到 SKIPIF 1 < 0 的范围，由 SKIPIF 1 < 0 在开区间存在最小值，即可列出不等式，求出 SKIPIF 1 < 0 的范围，从而得到结果.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
若 SKIPIF 1 < 0 在开区间 SKIPIF 1 < 0 内存在最小值，则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，故选:B.
4．下列有关命题的说法正确的是（ ）
A．若集合 SKIPIF 1 < 0 中只有两个子集，则 SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 的增区间为 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 终边上有一点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D．函数 SKIPIF 1 < 0 是周期函数，最小正周期是 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】对于A，对方程 SKIPIF 1 < 0 中的 SKIPIF 1 < 0 是否为0分类讨论.
对于B，先求此复合函数的定义域，再根据同增异减原则求增区间.
对于C，根据点P坐标，求出 SKIPIF 1 < 0 ，再利用诱导公式求解.
对于D，画出函数图像即可判断.
【详解】若集合 SKIPIF 1 < 0 只有两个子集，则集合 SKIPIF 1 < 0 只有一个元素，
若 SKIPIF 1 < 0 ，方程 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，满足一个元素的要求.
若 SKIPIF 1 < 0 ，即判别式 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 或1，A错误.
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增，
根据复合函数同增异减原则，增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，B错误.
SKIPIF 1 < 0 ， 所以 SKIPIF 1 < 0 ，C错误.
SKIPIF 1 < 0 的图像如下图所示：
最小正周期T=2π，D正确.故选：D
5．已知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是单调函数，其图象的一条对称轴方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值可能是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】利用正弦函数的图象与性质，列出不等式组，结合选项，即可求解.
【详解】由题意，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是单调函数，
则满足 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
结合选项可得， SKIPIF 1 < 0 可能的值为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 .故选：B.
6．设函数 SKIPIF 1 < 0 (其中 SKIPIF 1 < 0 的大致图象如图所示， 则 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】根据图象求得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，从而即可求 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期.
【详解】解：根据函数 SKIPIF 1 < 0 (其中 SKIPIF 1 < 0 的大致图象，
可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
结合五点法作图，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ，故选：C.
7．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的最大值为3，最小值为1
B． SKIPIF 1 < 0 的最大值为3，最小值为-1
C． SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，最小值为 SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，最小值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】利用换元法求解函数的最大值和最小值即可.
【详解】因为函数 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
二、填空题
8．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 对任意实数x都成立，则 SKIPIF 1 < 0 的一个取值为____________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 （答案不唯一）
【分析】化简 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 对任意实数x都成立等价于 SKIPIF 1 < 0 ，由此即可求出 SKIPIF 1 < 0 的取值.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
要使 SKIPIF 1 < 0 对任意实数x都成立，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 （答案不唯一）.
9．已知函数 SKIPIF 1 < 0 图象的一部分如图所示，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ____________．
【答案】2
【分析】由图可知 SKIPIF 1 < 0 ，根据曲线过点（0,1），可得φ= SKIPIF 1 < 0 ，再由五点作图法得 SKIPIF 1 < 0 ω+ SKIPIF 1 < 0 =2π，进而求出 SKIPIF 1 < 0 的值，可得函数 SKIPIF 1 < 0 的解析式，从而即可求解.
【详解】解：由图象可知A=2，且点(0，1)在图象上，
所以1=2sin(ω·0+φ)，即sinφ= SKIPIF 1 < 0 ，因为|φ|< SKIPIF 1 < 0 ，所以φ= SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 是函数的一个零点，由五点作图法可得 SKIPIF 1 < 0 ω+ SKIPIF 1 < 0 =2π，
所以ω=2，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .故答案为：2.
10．已知 SKIPIF 1 < 0 是奇函数，则 SKIPIF 1 < 0 的值为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】首先根据奇函数的性质 SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 ，再代入验证.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，经检验当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，不管函数是 SKIPIF 1 < 0 还是 SKIPIF 1 < 0 ，都是奇函数.
所以 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0
三、解答题
11．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为奇函数，且其图象上相邻的一个最高点与一个最低点之间的距离为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的解析式；
(2)若已知三点坐标 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由题意设最高点为 SKIPIF 1 < 0 ，相邻最低点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，由三角函数的图象及已知可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，利用周期公式可求 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，结合范围 SKIPIF 1 < 0 ，可求 SKIPIF 1 < 0 的值，即可得解 SKIPIF 1 < 0 的解析式．
（2）由（1）利用诱导公式化简三点坐标，利用向量平行的坐标表示可得 SKIPIF 1 < 0 ，进而利用三角函数恒等变换即可求解 SKIPIF 1 < 0 的值．
（1）解：设最高点为 SKIPIF 1 < 0 ，相邻最低点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由三角函数的图象及已知，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为奇函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 ，
（2）解：由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 三点坐标 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
一、单选题
1．已知 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】先求出 SKIPIF 1 < 0 ，再根据 SKIPIF 1 < 0 解方程即可.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A．
2．将函数 SKIPIF 1 < 0 的图象向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位，得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，则 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．0
【答案】C
【分析】利用函数 SKIPIF 1 < 0 的图象变换规律求得 SKIPIF 1 < 0 的解析式，可得 SKIPIF 1 < 0 的值．
【详解】解：将函数 SKIPIF 1 < 0 的图象向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位，
得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，
则 SKIPIF 1 < 0 ，故选C．
3．已知 SKIPIF 1 < 0 ，其部分图象如图所示，则 SKIPIF 1 < 0 的解析式为
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】根据图像可得函数周期，最值，则可得 SKIPIF 1 < 0 ，再根据五点作图法求得 SKIPIF 1 < 0 即可.
【详解】由图可知 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，故可得 SKIPIF 1 < 0 ；
由五点作图法可知 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .故选：D.
4．函数 SKIPIF 1 < 0 的图像向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度后对应的函数是奇函数，函数 SKIPIF 1 < 0 ．若关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内有两个不同的解 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】利用函数 SKIPIF 1 < 0 的图象变换规律，利用三角函数的图象和三角恒等变形，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，从而得到 SKIPIF 1 < 0 ，进而得到的值.
【详解】函数 SKIPIF 1 < 0 的图像向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度后，可得 SKIPIF 1 < 0 的图象.
由条件 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内有两个不同的解 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内有两个不同的解 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内有两个不同的解 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，其中( SKIPIF 1 < 0 为锐角) 在 SKIPIF 1 < 0 内有两个不同的解 SKIPIF 1 < 0 ，
即方程即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内有两个不同的解 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 故选：D
5．如果函数 SKIPIF 1 < 0 的图像关于点 SKIPIF 1 < 0 对称，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根据三角函数的对称性，带值计算即可.
【详解】根据题意， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值 SKIPIF 1 < 0 .故选：B.
6．函数 SKIPIF 1 < 0 图像上一点 SKIPIF 1 < 0 向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位，得到的点 SKIPIF 1 < 0 也在 SKIPIF 1 < 0 图像上，线段 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 的图像有5个交点，且满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有两个交点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】首先根据已知条件分析出 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，再由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，利用 SKIPIF 1 < 0 可以求出符合题意的一个 SKIPIF 1 < 0 的值，进而得出 SKIPIF 1 < 0 的解析式，再由数形结合的方法求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围即可.
【详解】
如图假设 SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 的图像有5个交点，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以由分析可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的对称轴，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，可令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
作 SKIPIF 1 < 0 图象如图所示：
当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
由图知若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有两个交点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A
7．三个数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的大小关系是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】诱导公式化余弦为正弦，然后由正弦函数的单调性比较大小．
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
又∵ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．故选：C．
二、填空题
8．函数 SKIPIF 1 < 0 的图象向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，则下列函数 SKIPIF 1 < 0 的结论：①一条对称轴方程为 SKIPIF 1 < 0 ；②点 SKIPIF 1 < 0 是对称中心；③在区间 SKIPIF 1 < 0 上为单调增函数；④函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .其中所有正确的结论为______.（写出正确结论的序号）
【答案】②③④
【解析】先求得 SKIPIF 1 < 0 ，然后利用代入法判断①②，根据单调区间和最值的求法判断③④.
【详解】函数 SKIPIF 1 < 0 的图象向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位得到函数 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以①错误.
SKIPIF 1 < 0 ，所以②正确.
由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上为单调增函数，即③正确.
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，所以④正确.故答案为：②③④
9．已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是单调递增函数，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，求出函数 SKIPIF 1 < 0 的一个增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，利用子集关系得到m的范围，进而求函数的值域即可.
【详解】由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 的一个增区间为 SKIPIF 1 < 0
又函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是单调递增函数，
∴ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 故答案为 SKIPIF 1 < 0
10．已知函数 SKIPIF 1 < 0 的部分图像如图所示，则满足条件 SKIPIF 1 < 0 的最小正整数x为________．
【答案】2
【分析】先根据图象求出函数 SKIPIF 1 < 0 的解析式，再求出 SKIPIF 1 < 0 的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得.
【详解】由图可知 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
由五点法可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
所以由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以，
方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 的最小正整数为2.
方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，符合题意，可得 SKIPIF 1 < 0 的最小正整数为2.
故答案为：2.
三、解答题
11．已知函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的值.
（2）将函数 SKIPIF 1 < 0 的图象向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度(纵坐标不变)，得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，
①求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间；
②求函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的最大值.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；（2）① SKIPIF 1 < 0 ；②最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）根据正弦型函数的最小正周期公式，结合特殊角的三角函数值进行求解即可；
（2）根据正弦型函数图象的变换性质，得到 SKIPIF 1 < 0 的解析式.
①根据余弦型函数的单调性进行求解即可；
②根据余弦型函数的最值性质进行求解即可.
【详解】解：（1） SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 .
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）可知 SKIPIF 1 < 0 ，
函数 SKIPIF 1 < 0 的图象向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度(纵坐标不变)，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
①由 SKIPIF 1 < 0 ，
得函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 .
②因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 时，
函数 SKIPIF 1 < 0 取得最大值，最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
12．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ,设函数 SKIPIF 1 < 0
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期．
（2）求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递减区间．
（3）求 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的最大值和最小值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 ．(3) 最大值为1,最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】先由题意得到 SKIPIF 1 < 0 ；
（1）根据周期计算公式，即可求出结果；
（2）根据正弦函数的单调区间得到 SKIPIF 1 < 0 ，求解，即可得出结果；
（3）先由题意得到 SKIPIF 1 < 0 ，结合正弦函数的性质，即可得出结果.
【详解】由已知可得：
SKIPIF 1 < 0 ,
（1） SKIPIF 1 < 0 的最小正周期 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由 SKIPIF 1 < 0 ,可得 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 的单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ．
（3） SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 的最大值为1,最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．

一、单选题
1．（2022·天津·高考真题）已知 SKIPIF 1 < 0 ，关于该函数有下列四个说法：
① SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ；
② SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
③当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ；
④ SKIPIF 1 < 0 的图象可由 SKIPIF 1 < 0 的图象向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根据三角函数的图象与性质，以及变换法则即可判断各说法的真假．
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ，①不正确；
令 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，②正确；因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，③不正确；
由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的图象可由 SKIPIF 1 < 0 的图象向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度得到，④不正确．故选：A．
2．（2022·北京·高考真题）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减B． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增
C． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减D． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增
【答案】C
【分析】化简得出 SKIPIF 1 < 0 ，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 .
对于A选项，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，A错；对于B选项，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上不单调，B错；
对于C选项，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，C对；
对于D选项，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上不单调，D错.
故选：C.
3．（2022·全国·高考真题（理））设函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 恰有三个极值点、两个零点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 的取值范围得到 SKIPIF 1 < 0 的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．
【详解】解：依题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
要使函数在区间 SKIPIF 1 < 0 恰有三个极值点、两个零点，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的图象如下所示：
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．故选：C．
4．（2022·全国·高考真题（文））将函数 SKIPIF 1 < 0 的图像向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】先由平移求出曲线 SKIPIF 1 < 0 的解析式，再结合对称性得 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
【详解】由题意知：曲线 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .故选：C.
5．（2022·浙江·高考真题）为了得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，只要把函数 SKIPIF 1 < 0 图象上所有的点（ ）
A．向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度B．向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度
C．向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度D．向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度
【答案】D
【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出．
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以把函数 SKIPIF 1 < 0 图象上的所有点向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度即可得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图象．故选：D.
6．（2021·全国·高考真题（理））把函数 SKIPIF 1 < 0 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 SKIPIF 1 < 0 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度，得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图像，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】解法一：从函数 SKIPIF 1 < 0 的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到 SKIPIF 1 < 0 ，即得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用换元思想求得 SKIPIF 1 < 0 的解析表达式；
解法二：从函数 SKIPIF 1 < 0 出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到 SKIPIF 1 < 0 的解析表达式.
【详解】解法一：函数 SKIPIF 1 < 0 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 SKIPIF 1 < 0 倍，纵坐标不变，得到 SKIPIF 1 < 0 的图象，再把所得曲线向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度，应当得到 SKIPIF 1 < 0 的图象，
根据已知得到了函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ；
解法二：由已知的函数 SKIPIF 1 < 0 逆向变换，
第一步：向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度，得到 SKIPIF 1 < 0 的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到 SKIPIF 1 < 0 的图象，即为 SKIPIF 1 < 0 的图象，所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：B.
7．（2020·天津·高考真题）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．给出下列结论：
① SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ；
② SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的最大值；
③把函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上所有点向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度，可得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图象．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①B．①③C．②③D．①②③
【答案】B
【分析】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以周期 SKIPIF 1 < 0 ，故①正确；
SKIPIF 1 < 0 ，故②不正确；
将函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上所有点向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度，得到 SKIPIF 1 < 0 的图象，
故③正确.故选：B.
8．（2019·天津·高考真题（文））已知函数 SKIPIF 1 < 0 是奇函数，将 SKIPIF 1 < 0 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为 SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】只需根据函数性质逐步得出 SKIPIF 1 < 0 值即可．
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
又 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 故选C．
二、多选题
9．（2022·全国·高考真题）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图像关于点 SKIPIF 1 < 0 中心对称，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 单调递减
B． SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 有两个极值点
C．直线 SKIPIF 1 < 0 是曲线 SKIPIF 1 < 0 的对称轴
D．直线 SKIPIF 1 < 0 是曲线 SKIPIF 1 < 0 的切线
【答案】AD
【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．
【详解】由题意得： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ．
对A，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，由正弦函数 SKIPIF 1 < 0 图象知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是单调递减；
对B，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，由正弦函数 SKIPIF 1 < 0 图象知 SKIPIF 1 < 0 只有1个极值点，由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 为函数的唯一极值点；
对C，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 不是对称轴；
对D，由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,
从而得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
切线方程为： SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ．故选：AD．
三、填空题
10．（2020·江苏·高考真题）将函数y= SKIPIF 1 < 0 的图象向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是____.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【分析】先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果.
【详解】 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，故答案为： SKIPIF 1 < 0