辽宁省辽阳市部分学校2023-2024学年下学期九年级开学考试数学试题（原卷版+解析版）

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（本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟）
考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 某校仪仗队队员的平均身高为，如果高于平均身高记作，那么低于平均身高应该记作（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正负数的意义解答即可．
详解】解：高于平均身高记作，那么低于平均身高应该记作．
故选B．
【点睛】本题考查正负数的实际应用，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
2. 如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】解：从正面看有两层，底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形．
故选：A．
【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
3. 下列图形中既是中心对称又是轴对称的是（ ）
A. 可回收垃圾B. 其他垃圾C. 有害垃圾D. 厨余垃圾
【答案】C
【解析】
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义，逐一判断各个选项，即可得到答案．
【详解】解：A．既不是中心对称图形也不是轴对称图形，
B．既不是中心对称图形也不是轴对称图形，
C．既是中心对称又是轴对称图形，
D．是轴对称图形但不是中心对称图形，
故选C．
【点睛】本题主要考查中心对称图形和轴对称图形的定义，熟练掌握上述定义，是解题的关键．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. a+2a=3a2B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据合并同类项、同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方逐项分析即可．
【详解】A．a+2a=3a,该选项错误;
B．,该选项正确;
C．,该选项错误;
D．,该选项错误;
故选B．
【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
5. 下列对一元二次方程x2+x﹣3=0根的情况的判断，正确的是（ ）
A. 有两个不相等实数根B. 有两个相等实数根C. 有且只有一个实数根D. 没有实数根
【答案】A
【解析】
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=13＞0，进而即可得出方程x2+x﹣3=0有两个不相等的实数根．
【详解】∵a=1，b=1，c=﹣3，
∴△=b2﹣4ac=12﹣4×（1）×（﹣3）=13＞0，
∴方程x2+x﹣3=0有两个不相等的实数根，
故选A．
【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
6. 一次函数的图象如图所示，下列结论正确的是（ ）

A. B. y随x增大而增大
C. 图象经过原点D. 图象经过第一、二、三象限
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数图象逐项判断即可．
【详解】解：由函数图象得：y随x增大而减小，图象不经过原点，图象经过第一、二、四象限，
∴，
即B，C，D错误，A正确；
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，准确识别函数图象是解题的关键．
7. 如图，A，B，C是上的三点，若，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先利用圆周角定理求出，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
8. 我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，那么可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出数量关系是解题关键．设清酒x斗，则醑酒斗，根据题意正确列方程即可．
【详解】解：设清酒x斗，则醑酒斗，
由题意可得：，
故选：A．
9. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴；

故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这两个知识点是关键．
10. 如图，中，若，，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质判断即可．
【详解】∵，，
∴∠B=180°-∠BAC-∠ACB=30°，
A．由作图可知，平分，
∴，
故选项A正确，不符合题意；
B．由作图可知，MQ是BC的垂直平分线，
∴，
∵，∴，
故选项B正确，不符合题意；
C．∵，，∴，
∵，∴，
故选项C正确，不符合题意；
D．∵，，
∴；
故选项D错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息．
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 计算：=______．
【答案】．
【解析】
【详解】解：=；故答案为．
点睛：此题考查了二次根式的乘法，掌握二次根式的运算法则：乘法法则是本题的关键．
12. 有四张完全一样正面分别写有汉字“清”“风”“朗”“月”的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面上的汉字后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据列表法求概率即可求解．
【详解】解：列表如下，
共有16中等可能结果，其中，抽取的两张卡片上的汉字相同的情形有4种，
∴抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了列表法求概率，熟练掌握列表法求概率是解题的关键．
13. 将抛物线向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到抛物线的表达式为______．
【答案】
【解析】
【分析】将二次函数一般式化为顶点式，再利用平移规律即可解答．
【详解】解：∵，
∴向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度可得解析式：，
∴新抛物线的表达式为，
故答案为．
【点睛】本题考查了二次函数的平移，学会化简二次函数的解析式是解题的关键．
14. 如图，点在反比例函数的图象上，轴于点轴于点．一次函数与交于点，若为的中点，则的值为_______．

【答案】4
【解析】
【分析】根据题意可设点P的坐标为，则，把代入一次函数解析式中求出m的值进而求出点P的坐标，再求出k的值即可．
【详解】解：∵轴于点轴于点，
∴点P的横纵坐标相同，
∴可设点P的坐标为，
∵为的中点，
∴，
∵直线上，
∴，
∴，
∴，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出点P的坐标是解题的关键．
15. 如图，正方形中，，点P为射线上任意一点（与点B、C不重合），连接，在的右侧作正方形，连接．交射线于E．当长为1时，的长为__________．
【答案】或
【解析】
【分析】由题可分两种情况，当交点在线段上时，或当交点在线段延长线上时，分别将绕点顺时针旋转，可判定全等三角形，用勾股定理求出对应边的长度即可．
【详解】解：分两种情况：
（1）当交点在线段上时，
四边形为正方形，
将绕点顺时针旋转，如图1所示，与重合，且，，三点共线，
四边形是正方形，
，
，
由旋转可得，
，
，
连接，
在和中，
，
，
，
设，
正方形边长，，
，，，
在中，有勾股定理得：，
即：，
解得：；
（2）当交点在线段延长线上时，
同理旋转到，如图2所示，可得，
同理可证，
，
设，
正方形边长，，
，，
在中，有勾股定理得：，
即：，
解得：；
，，
，
，
即，
解得：；
综上所述：或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，利用旋转图形证三角形全等，根据勾股定理和相似图形求出对应线段的长度是解题的关键，本题难点在于利用旋转构造全等三角形．
三、解答题（共8小题．共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16. 计算或化简
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，分式的混合运算，掌握运算法则与运算顺序是解本题的关键；
（1）先代入特殊角的三角函数值，化简绝对值，计算负整数指数幂，零次幂，再合并即可；
（2）先计算括号内的分式的减法，再计算除法运算即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
．
17. “六一”儿童节将至，张老板计划购买A型玩具和B型玩具进行销售，若用1200元购买A型玩具的数量比用1500元购买B型玩具的数量多20个，且一个B型玩具的进价是一个A型玩具进价的1.5倍．
（1）求A型玩具和B型玩具的进价分别是多少？
（2）若A型玩具的售价为12元/个，B型玩具的售价为20元/个，张老板购进A，B型玩具共75个，要使总利润不低于300元，则A型玩具最多购进多少个？
【答案】（1）A型，B型玩具的单价分别是10元/个，15元/个
（2）最多可购进A型玩具25个
【解析】
【分析】（1）设型玩具的单价为元/件．依题意列出分式方程，进行求解；
（2）根据题意列出不等式进行求解即可．
【小问1详解】
设型玩具的单价为元/件．
由题意得：，
解得：
经检验，是原方程的解
B型玩具的单价为元/个
∴A型，B型玩具的单价分别是10元/个，15元/个．
【小问2详解】
设购进A型玩具个．
解得：
∴最多可购进A型玩具25个．
【点睛】本题考查了分式方程，一元一次不等式的实际应用，解题的关键是根据题意列出相应的方程或不等式．
18. “勤能补拙，俭以养德”． 我校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图．

（1）这次被调查的同学共有 名；
（2）把条形统计图补充完整；
（3）在扇形统计图中，“剩大量”对应的扇形的圆心角是 度；
（4）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供人用一餐． 据此估算，我校名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐．
【答案】（1）；
（2）补图见解析； （3）；
（4）人．
【解析】
【分析】（）用“没有剩 ”的人数除以其百分比即可求解；
（）求出“剩少量 ”的人数，即可补全条形统计图；
（）用乘以“剩大量”的占比即可求解；
（）用乘以即可求解；
本题考查了条形统计图和扇形统计图，样本估计总体，弄清条形统计图和扇形统计图之间的数据关系是解题的关键．
【小问1详解】
解：这次被调查的学生数：名，
故答案为：；
【小问2详解】
解：“剩少量 ”的人数：名，
补图如图所示：
【小问3详解】
解：“剩大量 ”对应的扇形的圆心角是：，
故答案为：；
【小问4详解】
解：，
答：我校名学生一餐浪费的食物可供 人食用一餐．
19. 某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午7：00，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路（如图1）到爱国主义教育基地进行研学，上午8：00，军车在离营地的地方追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程s（km）与所用时间t（h）的函数关系如图2所示．

（1）求大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式及a的值，
（2）求部队官兵在仓库领取物资所用的时间．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）设出函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式，将，代入解析式求出的值即可；
（2）先求出军车的速度，然后分别求出军车到达仓库，和从仓库出发到达基地的时间，用总时间减去两段时间即可得解．
【小问1详解】
解：设大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式为，由图象可知，直线过点，
∴，解得：，
∴；
当时：，解得：，
∴；
【小问2详解】
由图象可知，军车的速度为：，
∴军车到达仓库所用时间为：，
从仓库到达基地所用时间为：，
∴部队官兵在仓库领取物资所用的时间为．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用．从函数图象上有效的获取信息，正确的求出函数解析式，是解题的关键．
20. 图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角．

（1）求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离；
（2）若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险?请说明理由．
（结果精确到，参考数据：，，，）
【答案】（1）车后盖最高点到地面的距离为
（2）没有危险,详见解析
【解析】
【分析】（1）作，垂足为点，先求出的长，再求出的长即可；
（2）过作，垂足为点，先求得，再得到，再求得，从而得出到地面的距离为，最后比较即可．
【小问1详解】
如图，作，垂足为点

在中
∵，
∴
∴
∵平行线间的距离处处相等
∴
答：车后盖最高点到地面的距离为．
【小问2详解】
没有危险，理由如下：
过作，垂足点

∵，
∴
∵
∴
在中，
∴．
∵平行线间的距离处处相等
∴到地面的距离为．
∵
∴没有危险．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．
21. 如图，是的内接三角形，是的直径，，点在上，连接并延长，交于点，连接，作，垂足为．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）分别证明，，从而可得结论；
（2）求解，，可得，证明，设，则，，证明，可得，可得，，，从而可得答案．
【小问1详解】
证明：∵是的直径，，
∴，
∵，
∴．
【小问2详解】
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
∵，，
∴，
∴，
∴，则，
∴，
∵
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，熟记圆的基本性质与重要定理是解本题的关键．
22. 综合与实践：
如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为米．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带的距离为d米．
（1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
（2）求下边缘抛物线与x轴交点B的坐标；
（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围： ．
【答案】（1），喷出水的最大射程为
（2）点B的坐标为
（3）d取值范围是
【解析】
【分析】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键．
（1）由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得a的值，从而解决问题；
（2）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，可得点B的坐标；
（3）根据，求出点F的坐标，利用增减性可得d的最大值为最小值，从而得出答案．
【小问1详解】
解：如图，由题意得是上边缘抛物线的顶点，
设，
又∵抛物线过点，
∴，
∴，
∴上边缘抛物线的函数解析式为，
当时，，
解得，（舍去），
∴喷出水的最大射程为；
【小问2详解】
解：∵对称轴为直线，
∴点的对称点为，
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
∴点B的坐标为；
【小问3详解】
解：∵，
∴点F的纵坐标为，
∴，解得，
∵，
∴，
当时，y随x的增大而减小，
∴当时，要使，
则 ，
∵当时，y随x的增大而增大，且时，，
∴当时，要使，则，
∵，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
∴d的最大值为，
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，
∴d的最小值为2，
综上所述，d的取值范围是．
23. 【模型建立】
（1） 人教版八年级下册数学课本第 62 页第 15 题如下：
如图 1， 四边形 是正方形， 点 G 为 上的任意一点， 于点 E， 交于 F． 求证：
【模型应用】
（2）如图 2， 在等腰 中， ，， 点 D 在 上， 且，连接， 过点 B 作 交于点 E， 垂足为 F，探究 与之间的数量关系；
【深度探究】
（3） 在中（如备用图）， ，， 点 D 是射线上一点，，， 连接， 过点 B 作于点 F， 补全图形， 并求的长．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析， 或
【解析】
【分析】（1）结合正方形的性质利用AAS可证，由全等三角形对应边相等的性质易证结论；
（2）过点C做，交延长线于点H，证明得，证明得，从而，然后利用平行线分线段成比例定理即可求解；
（3）分点D在和点D在延长线上两种情况画出图形求解即可．
【详解】（1）四边形是正方形
，，

在和中，


∴
（2）
过点C做，交延长线于点H，
同理，可证
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴F是中点
∵
∴
∴E是中点
∴
（3）当点D在BC上，补图如图
过点C作交延长线于点H
由（2）得，
∴，
由（2）知
∴
∴，
∵，，
∴，
设，则，
∴
解得：
∴
当点D在延长线上，过点C作于点H
同理可证，
∴，
又∵
∴
设，则，
则
解得：
∴
∴长为 或
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，以及勾股定理等知识，灵活的利用正方形的性质及平行线的性质确定全等的条件是解题的关键．
清
风
朗
月
清
清清
清风
清朗
清月
风
风清
风风
风朗
风月
朗
朗清
朗风
朗朗
朗月
月
月清
月风
月朗
月月