江苏省连云港市新海高级中学2024-2025学年高一上学期开学质量检测数学试题

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一、单选题（本题共8小题 每小题5分 共40分）
1. 已知或，，则＝（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据交集的定义即可求解.
【详解】因或，，
所以
故选：D.
2. 设集合，，则（ ）．
A. B.
C. D. x-1≤x≤3
【答案】D
【解析】
【分析】利用集合的并集进行求解即可.
【详解】集合，，
则，
故选：D.
3. 若集合，，且，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别讨论与两种情况，结合题意，列出不等式，求解即得.
【详解】因为集合，，且，
当时，则，解得；
当时，则，或，解得；
综上所述，的取值范围是.
故选：D.
4. 下列命题的否定是全称量词命题且为真命题的有（ ）
A. ，B. 所有的正方形都是矩形
C. ，D. 至少有一个实数，使
【答案】A
【解析】
【分析】根据存在命题的否定是全称量词命题进行判断B即可.ACD原命题的否定是全称量词命题，再判断原命题的否定是否为真命题进行判断即可.
【详解】对于A，A是特称命题，其否定为：，，即为真命题，A正确；
对于B，∵B是全称命题，其否定为特称命题，故B排除；
对于C， C是特称命题，其否定为：，，即为假命题，C错误；
对于D， D是特称命题，其否定为：任意实数x，都有，代入不成立，为假命题，D错误；
故选：A．
5. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】由存在量词命题的否定是全称量词命题可得.
【详解】命题“，”的否定是“，”.
故选：D.
6. 已知，，且恒成立，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先利用“1”的代换求得的最小值，再由求解.
【详解】解：设，
则，解得，
则，
，
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为2，
又因为对，，且恒成立，
所以，
故选：B
7. 牛顿冷却定律（Newtn's law f cling）是牛顿在1701年用实验确定的：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，环境温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：.已知环境温度为，一块面包从温度为的烤箱里拿出，经过10分钟温度降为，那么大约再经过多长时间，温度降为？（参考数据：）（ ）
A. 33分钟B. 28分钟C. 23分钟D. 18分钟
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意列出方程，指数对数互化，解出即可．
【详解】解：依题意，得，
化简得，解得.
设这块面包总共经过分钟，温度降为30°，
则，化简得，
解得，
故大约再经过（分钟），这块面包温度降为30°，
故选：C.
8. 已知为正实数，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】把化简为为，然后利用基本不等式即可求出最小值
【详解】因为，则，
由于，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，
故选：C
二、多选题（本题共4小题 每小题5分 满分20分）
9. 设为全集，集合满足条件，那么下列各式中不一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】结合举例及集合的运算和集合的关系求解即可.
【详解】当，，，时，满足，
此时，不是的子集，所以A、B不一定成立；
，，所以C不一定成立；
对于D，若，则，但，因为，
所以，于是，所以，
同理若，则，，
因此，成立，所以D成立.
故选：ABC.
10. 对任意，记，并称为集合的对称差．例如：若，则．下列命题中，为真命题的是（ ）
A. 若且，则A=∅
B. 若且，则
C. 若且，则
D. 存在，使得
【答案】AB
【解析】
【分析】集合的新定义，结合选项以及交并补的性质逐一判断即可．
【详解】对于，因为，所以，
所以，且中的元素不能出现在中，因此，即正确；
对于，因为，所以，
即与是相同的，所以，B正确；
对于，因为，所以，
所以，即错误；
对于，由于
,
而，故，即错误．
故选：AB．
11. 下列说法不正确的是（ ）
A. “”是“”的必要不充分条件
B. 若，则的最大值为2
C. 若不等式的解集为，则必有
D. 命题“，使得．”的否定为“，使得．”
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A：根据充分、必要条件分析判断；对于B：根据不等式运算求解；对于C：根据分类讨论a的符号，结合一元二次不等式分析判断；对于D：根据特称命题的否定是全称命题分析判断.
详解】对于选项A：例如，则，
即，满足题意，但，即充分性不成立；
例如，则，
即，满足题意，但，即必要性不成立；
所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故A不正确；
对于选项B：若，则，当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为12，故B不正确；
对于选项C：若，则的解集不可能为两数之间，不合题意；
若，则的解集不可能为两数之间，不合题意；
综上所述：若不等式的解集为，则必有，故C正确；
对于选项D：命题“，使得．”的否定为“，使得”，故D不正确；
故选：ABD.
12. 已知，且，则（ ）
A. 最小值是B. 最小值为
C. 的最大值是D. 的最小值是
【答案】BC
【解析】
【分析】利用基本不等式即可得到A；二元换一元，代入 ，利用二次函数求出最值，得出B选项；利用即可得到C选项；利用“1”的妙用得出D.
【详解】对于A，∵，且，∴，即时，等号成立，
即的最大值是，故A不正确；
对于B，∵，∴，，
所以，故B正确；
对于C，∵，且，∴，即
当且仅当时，等号成立，故C正确；
对于D，∵，
即时，等号成立，
所以的最小值是，故D错误．
故选：BC．
三、填空题（本题共4小题 每小题5分 满分20分）
13. 设、是非空集合，定义且.已知，，则________.
【答案】或
【解析】
【分析】先求出，再求出，从而可求 。
【详解】∵、是非空集合，且，
而，，∴，，
故或.
故答案为：或.
14. 已知集合，，若，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】可求出集合，然后根据，得到，从而求出实数的取值范围.
【详解】由，可得，
由于，且，则，
所以，则实数的取值范围是，
故答案为：
15. 已知，则________．
【答案】5
【解析】
【分析】设，再用表达求解即可.
【详解】设，则，，，
故.
故答案为：5
16. 设，则的最大值为___________.
【答案】2
【解析】
【分析】设，利用基本不等式得到，再将右式配凑成的倍数，从而得解.
【详解】设，则，，
当且仅当，时，等号成立，
故.
令，解得，，
所以，当，时，等号成立.
故答案为：2.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用基本不等式，配凑出一个定值出来，从而得解.
四、解答题（本题共6小题 第17题10分 第18—22题12分 满分70分）
17. 设集合，；
（1）若，求实数取值范围；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分为和两种情形进行讨论，根据，列不等式组求实数a的取值范围；
（2）分为和两种情形进行讨论，根据，列不等式组求实数a的取值范围；
【小问1详解】
由题意，集合，，需分为和两种情形进行讨论：
当时，，
解得，，满足题意；
当时，
因为，
所以，
解得，，
综上所述，实数的取值范围为.
【小问2详解】
由题意，需分为和两种情形进行讨论：
当时，，
解得，，满足题意；
当时，
因为，
所以，解得，
或无解；
综上所述，实数的取值范围为．
18. 已知集合，，全集.
（1）当时，求；
（2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意可得集合A，进而根据集合的补集和交集运算求解；
（2）分析可知，根据包含关系分析求解.
小问1详解】
当时，集合，则或，
所以.
【小问2详解】
若“”是“”的必要条件，则，
因为，则，可知，
可得，解得，
所以实数的取值范围.
19. （1）已知，计算和的值；
（2）已知，，求的值．
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】运用换底公式结合对数运算公式化简即可.
【详解】解：（1）∵，
∴；
．
（2）（方法一）
．
（方法二）
20. （1）设，求的值；
（2）已知，且，求的值．
【答案】（1）1；（2）
【解析】
【分析】（1）（2）根据题意将指数式化为对数式，利用换底公式可得，代入运算求解即可.
【详解】（1）因为，则，
则
所以；
（2）因为，则，，
可得，，则．
由题意可得，则，且，所以．
21. 中国建设新的芯片工厂的速度处于世界前列，这是朝着提高半导体自给率目标迈出的重要一步.根据国际半导体产业协会(SEMI)的数据，在截至2024年的4年里，中国计划建设31家大型半导体工厂.某公司打算在2023年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年产出万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本（单位：万元），已知当时，；当时，；当时，，已知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出.
（1）已知2024年该型芯片生产线的利润为（单位：万元），试求出的函数解析式.
（2）请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润.
【答案】（1）；
（2）当2024年该型芯片产量为40万枚时利润最大，最大利润为220万元．
【解析】
【分析】（1）根据利润等于售价减成本可求利润的表达式；
（2）根据的表达式分别求出每段函数的最大值即可.
【小问1详解】
（1）由题意可得，，
所以，
即.
【小问2详解】
当时，；
当时，，对称轴，；
当时，由基本不等式知，
当且仅当，即时等号成立，故，
综上，当2024年该型芯片产量为40万枚时利润最大，最大利润为220万元．
22. 设为正整数，集合．对于集合中的任意元素和，记．
（1）当时，若，，求和的值；
（2）当时，设是的子集，且满足：对于中的任意元素，当相同时，是奇数；当不同时，是偶数．求集合中元素个数的最大值；
（3）给定不小于的，从集合中任取个两两互不相同的元素．证明：存在，使得．
【答案】（1）2，1；
（2）最大值为4个； （3）证明见解析．
【解析】
【分析】（1）直接根据定义计算；
（2）注意到1的个数的奇偶性，根据定义反证证明；
（3）设，，，，则且，对从集合中任取个两两互不相同的元素，分两种情况讨论，第一种若存在两个不同元素同时属于一个；第二种若任意两个不同元素都不同时属于一个，由第二种情况推出矛盾即可．
【小问1详解】
因为，
所以，
．
【小问2详解】
设，
令其中()
则，，
，则，
当，且()时，
由题意知，是奇数，(不同)是偶数，等价于是奇数，(不同)是偶数．
若是奇数时，则中等于1的个数为1或3，
所以，
且．
将上述集合中的元素分成如下四组：
经检验，每组中两个元素，均有，
所以每组中两个元素不可能同时是集合中的元素．
所以集合中元素的个数不超过4个．
当且时，或，所以
又集合满足条件．
所以集合中元素个数最大值为4个．
【小问3详解】
设，
，
，
则且，
从集合中任取个两两互不相同的元素，
若存在两个不同元素同时属于一个，则，
记，
所以，存在，使得；
若任意两个不同元素都不同时属于一个，
则至多取个两两互不相同的元素，与已知取个两两互不相同的元素矛盾．
综上，存在，使得．
【点睛】本题主要考查集合的含义与表示、集合的运算以及集合之间的关系．综合性较强，难度较