河南省南阳市方城县第一高级中学2024-2025学年高一上学期开学考试数学试题

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一、单选题（共8题，每题5分，共计40分）
1. 已知正数，，满足，则有（ ）
A. 最小值1B. 最小值
C. 最大值D. 最大值1
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用基本不等式即可的解.
【详解】解：因为正数，，满足，
所以，当且仅当时，取等号，
所以有最大值1.
故选：D.
2. 下列命题是全称量词命题的是（ ）
A. 存在一个实数的平方是负数B. 至少有一个整数x，使得是质数
C. 每个四边形的内角和都是360°D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据全称命题与特称命题中的量词即可判断求解.
【详解】选项A，B，D中，分别有“存在”，“至少”，“”这样的特称量词，所以选项A，B，D都为特称命题，选项C：因为有“每个”这样的全称量词，所以命题为全称命题.
故选：C.
3. 下列对象能构成集合的是（ ）
A. 我国近代著名的数学家B. 的所有近似值
C. 所有的欧盟成员国D. 2023年全国高考数学试题中所有难题
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合的性质的判断即可.
【详解】A、B、D：由于描述中标准不明确，无法确定集合；
C：所有欧盟成员国是确定的，可以构成集合.
故选：C
4. ，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】图中阴影部分表示的是集合的交集部分，根据集合交集得到结果即可.
【详解】图中阴影部分表示的是集合的交集部分，
，
由集合交集运算得到结果为：
故选：A.
5. 由实数，，，，所组成的集合，最多含元素个数为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】化简根式，再按x值的正负0，分类讨论即可判断作答.
【详解】显然，，
当时，集合中有1个元素0；
当时，，集合中有2个元素，；
当时，，集合中有2个元素，，
所以集合中最多含2个元素.
故选：A
6. 下列说法正确的是（ ）
A. 是的充分条件
B. 是的必要条件
C. 四边形对角线互相垂直是四边形为菱形充要条件
D. “”是“” 的充分不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件对选项一一分析即可.
【详解】对于A，当时，满足，此时存在，故A错误；
对于B，，等价于或，故是的充分不必要条件，故B错误；
对于C，四边形对角线互相垂直是四边形为菱形的必要不充分条件，故C错误；
对于D，“”是“” 的充分不必要条件，故D正确；
故选：D
7. 已知集合，集合，若，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出集合，然后根据，即可求解.
【详解】由，得x>2，所以，
因，，所以，故D正确.
故选：D.
8. 对于集合A，B，“A⊆B”不成立的含义是( )
A. B是A的子集B. A中的元素都不是B的元素
C. A中至少有一个元素不属于BD. B中至少有一个元素不属于A
【答案】C
【解析】
【分析】根据子集的定义可知，“A⊆B”不成立即A中至少有一个元素不在集合B中.
【详解】“A⊆B”成立的含义是集合A中的任何一个元素都是B的元素，
不成立的含义是A中至少有一个元素不属于B，
故选C．
【点睛】本题考查集合的包含关系，考查命题的否定，属于基础题．
二、多选题（共3题，每题6分，共计18分）
9. （多选）下列说法中，正确的有（ ）
A. 空集是任何集合的真子集
B. 若，，则
C. 任何一个集合必有两个或两个以上的真子集
D. 如果不属于的元素一定不属于，则
【答案】BD
【解析】
【分析】根据空集的定义和性质可判断A，C正确与否，根据真子集的性质可判断B正确与否，根据韦恩图可判断D正确与否.
【详解】空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故选项A错；
子集具有传递性，故选项B正确；
若一个集合是空集，则没有真子集，故选项C错；
由韦恩图易知选项D正确.

故选：BD.
10. 下列不等式中不成立的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】AC
【解析】
【分析】根据特值，不等式的性质及作差法逐项分析即得.
【详解】A. 若，当时，，故A满足题意；
B. 若，则，即，故B不满足题意；
C. 若，则，即，故C满足题意；
D 若，则，即，故D不满足题意.
故选：AC.
11. 若“，”为真命题，“，”为假命题，则集合可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】依题意可知中存在小于的元素且不存在大于或等于的元素，即可判断.
【详解】依题意可知中存在小于的元素且不存在大于或等于的元素，
则集合和均符合题意.
故选：AD
三、填空题（共3题，每题5分，共计15分）
12. 已知全集，集合，，则__，__.
【答案】 ①. ②. .
【解析】
【分析】
化简集合，并求出的补集，根据交集，并集的定义求出结论即可.
【详解】全集，集合，或，
，
因此，A∩B=x2≤x≤3，.
故答案为：；.
【点睛】本题考查了集合的化简与交集，并集、补集的运算问题，是基础题目.
13. 含有3个实数的集合既可表示成又可表示成{a²，a+b，0}，则_______
【答案】－1
【解析】
【分析】根据集合相等，则元素完全相同，分析参数，列出等式，即可求得结果.
【详解】因为，
显然，故，则；此时两集合分别是，，
则，解得或－1．
当时，不满足互异性，故舍去；
当时，满足题意．
所以
故答案为：－1．
14. “一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分条件但不是必要条件的是______；
【答案】（答案不唯一，即可）
【解析】
【分析】根据题意分析可得，结合充分、必要条件可得结果.
【详解】由解得或，
若一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根，
则，解得，
所以“一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分条件但不是必要条件的是.
故答案为：（答案不唯一，即可）.
四、解答题（共5题，共计77分）
15. 已知，求证：.
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】将所证不等式利用三次基本不等式即可得到证明.
【详解】证明：
，
，
，
上面三式相加，得：
，
所以，.
【点睛】本题考查基本不等式在证明题中的应用，属于基础题.
16. 已知全集R，集合，．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）当时，求得集合，进而可求；
（2）由已知可得，可得且，求解即可.
【小问1详解】
当时，，，
所以；
【小问2详解】
，因为，
又因为，所以且，解得，．
17. 已知集合．
（1）若，求集合A（用列举法表示）；
（2）若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）或．
【解析】
【分析】（1）代入，求出a，然后求解集合A即可.
（2）通过讨论当时，当时的情况，结合二次函数的性质求出实数a的取值范围．
【小问1详解】
因为，所以，解得，
解方程可得或，
所以集合．
【小问2详解】
当时，方程为，
此时集合，
当时，集合中至多有一个元素只需判别式，即，即，
综上所述，a的取值范围是或
18. 已知集合，．
（1）当时，求，；
（2）求能使成立的实数的取值范围．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）当时，求出集合A，进而可以求解；
（2）由题可知，然后根据子集的定义建立不等式关系，即可求解．
【小问1详解】
当时，集合，，
所以，.
【小问2详解】
由，可知，
则，解得，
故实数的取值范围为．
19. 甲、乙两人同时从A地出发沿同一路线走到B地，所用时间分别为，．甲有一半的时间以m m/s的速度行走，另一半的时间以n m/s的速度行走；乙有一半的路程以m m/s的速度行走，另一半的路程以n m/s的速度行走，且．
（1）请用含m，n的代数式表示甲、乙两人所用的时间和；
（2）比较与的大小，并判断甲、乙两人谁先到达B地．
【答案】（1）；.
（2），甲先到达B地．
【解析】
【分析】（1）分别根据两人的运动情况表述出所需时间；
（2）利用作差法比较大小即可得到结论.
【小问1详解】
设A地到B地的路程为，
因为甲有一半的时间以m m/s的速度行走，另一半的时间以n m/s的速度行走，
所以，所以，
因为乙有一半路程以m m/s的速度行走，另一半的路程以n m/s的速度行走，
所以,
【小问2详解】
因为，所以m-n2>0，因为
所以
所以，所以甲先到达B地