北师大版（2024）八年级上册7 二次根式学案

这是一份北师大版（2024）八年级上册7 二次根式学案，共24页。学案主要包含了变式1-1，变式1-2，变式1-3，变式2-1，变式2-2，变式2-3，变式3-1，变式3-2等内容，欢迎下载使用。

知识点一：二次根式的乘法法则
1.二次根式的乘法法则：（二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不变）
2.二次根式的乘法法则的推广:
，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数.
3.二次根式的乘法法则的逆用：（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质）
4.二次根式的乘法法则的逆用的推广：
知识点二：二次根式的除法法则
1.二次根式的除法法则：（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变）
2.二次根式的除法法则的推广：.
知识点三：最简二次根式
1.最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式
2.化简二次根式的一般方法
3.分母有理化
分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。
方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号.
考点一：二次根式的乘法
例1．（2024·山西忻州·三模）计算：．
【变式1-1】（2024·山西太原·二模）计算的结果为．
【变式1-2】（2024·山西晋城·二模）计算的结果为．
【变式1-3】（23-24八年级下·湖南湘西·期中）计算的结果为．
考点二：二次根式的除法
例2.（23-24八年级下·福建福州·期中）计算：．
【变式2-1】（2024·山西阳泉·三模）计算：的结果为．
【变式2-2】（23-24八年级下·湖南长沙·期中）计算．
【变式2-3】（23-24八年级下·天津和平·期中）计算：；；．
考点三：二次根式的乘除混合运算
例3.（2024八年级下·安徽·专题练习）计算：．
【变式3-1】（23-24七年级下·上海杨浦·期中）计算：．
【变式3-2】（23-24八年级下·吉林·期中）计算：．
【变式3-3】（23-24八年级下·全国·假期作业）计算：
(1)；(2)；
(3)；(4)．
考点四：最简二次根式的判断
例4.（23-24八年级下·新疆阿克苏·期中）下列二次根式不是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【变式4-1】（23-24八年级下·浙江湖州·阶段练习）下列各式中，为最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】（2024八年级下·安徽·专题练习）下列根式中，属于最简二次根式的是（）
A．B．C．D．
【变式4-3】（23-24八年级下·山东烟台·期中）在根式①；②；③；④，最简二次根式是（ ）
A．①②B．③④C．①③D．①④
考点五：化为最简二次根式
例5.（23-24八年级下·山东烟台·期中）将化为最简二次根式为．
【变式5-1】（23-24八年级下·湖北黄冈·期中）将化为最简二次根式是．
【变式5-2】（23-24八年级上·陕西西安·期末）化简：．
【变式5-3】（23-24八年级上·四川成都·期末）化简：．
考点六：已知最简二次根式求参数
例6.（23-24八年级下·山东日照·期中）已知是最简二次根式，请你写出一个符合条件的正整数a的值．
【变式6-1】（23-24八年级下·吉林·阶段练习）已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的m的整数值：．
【变式6-2】（2023八年级上·全国·专题练习）写出一个正整数n，使是最简二次根式，则n可以是．
【变式6-3】若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a为．
一、单选题
1．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）化简的结果正确的是（ ）
A．B．3C．D．
2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）下列各式中，最简二次根式为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024八年级下·江苏·专题练习）下列运算结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
5．（2021八年级上·全国·专题练习）计算等于（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
6．（23-24八年级上·山西太原·阶段练习）将化成最简二次根式为．
7．（23-24八年级下·河北廊坊·期中）计算：．
8．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）计算：．
9．（2024八年级下·江苏·专题练习）计算的结果是．
10．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）下列二次根式中：①；②；③；④，是最简二次根式的是（填序号）．
三、解答题
11．（23-24八年级下·北京朝阳·阶段练习）把下列二次根式化为最简二次根式：
(1)(2)(3)(4)
12．（23-24八年级下·全国·课后作业）化简：
(1)；(2)；(3)．
13．（23-24八年级下·天津西青·阶段练习）计算：
(1)；(2)
14．（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）计算：
(1)；(2)．
15．（2024八年级下·全国·专题练习）计算：
(1)；(2)．(3)．
第09讲二次根式的乘除
知识点一：二次根式的乘法法则
1.二次根式的乘法法则：（二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不变）
2.二次根式的乘法法则的推广:
，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数.
3.二次根式的乘法法则的逆用：（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质）
4.二次根式的乘法法则的逆用的推广：
知识点二：二次根式的除法法则
1.二次根式的除法法则：（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变）
2.二次根式的除法法则的推广：.
知识点三：最简二次根式
1.最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式
2.化简二次根式的一般方法
3.分母有理化
分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。
方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号.
考点一：二次根式的乘法
例1．（2024·山西忻州·三模）计算：．
【答案】5
【分析】根据二次根式的乘法运算解答即可．
本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】．
故答案为：5．
【变式1-1】（2024·山西太原·二模）计算的结果为．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的乘法．根据二次根式的乘法运算法则计算即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
【变式1-2】（2024·山西晋城·二模）计算的结果为．
【答案】3
【分析】本题考查了二次根式的乘法；根据二次根式的乘法法则，把被开方数相乘再化简即可．
【详解】解：；
故答案为：3．
【变式1-3】（23-24八年级下·湖南湘西·期中）计算的结果为．
【答案】10
【分析】根据二次根式的乘法公式计算即可．
本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握公式是解题的关键．
【详解】，
故答案为：10．
考点二：二次根式的除法
例2.（23-24八年级下·福建福州·期中）计算：．
【答案】
【分析】此题主要考查了二次根式的除法运算，直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案．
【详解】解：原式．
故答案为：．
【变式2-1】（2024·山西阳泉·三模）计算：的结果为．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的除法，根据二次根式的除法法则进行计算即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
【变式2-2】（23-24八年级下·湖南长沙·期中）计算．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的除法，根据二次根式的除法法则计算即可得出答案．
【详解】解：，
故答案为：．
【变式2-3】（23-24八年级下·天津和平·期中）计算：；；．
【答案】/
【分析】本题考查二次根式的除法运算，解题的关键是掌握二次根式除法运算法则，根据二次根式除法运算法则进行计算即可．
【详解】解：；
；
．
故答案为：；；．
考点三：二次根式的乘除混合运算
例3.（2024八年级下·安徽·专题练习）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的乘除法的应用，根据二次根式的乘除法法则，系数相乘除，被开方数相乘除，根指数不变，计算后求出即可．
【详解】解：
【变式3-1】（23-24七年级下·上海杨浦·期中）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，把除法转化为乘法，约分即可作答．
【详解】解：
．
【变式3-2】（23-24八年级下·吉林·期中）计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查二次根式的乘除，掌握二次根式的乘除的运算法则，是解题的关键．根据二次根式的乘除混合运算法则，即可求解．
【详解】解：原式=
=．
【变式3-3】（23-24八年级下·全国·假期作业）计算：
(1)；(2)；
(3)；(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算
（1）根据二次根式乘除法法则计算即可；
（2）根据二次根式乘除法法则计算即可；
（3）根据二次根式乘除法法则计算即可；
（4）根据二次根式乘除法法则计算即可．
【详解】（1）解：原式
（2）原式
；
（3）原式；
（4）原式．
考点四：最简二次根式的判断
例4.（23-24八年级下·新疆阿克苏·期中）下列二次根式不是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了最简二次根式：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式；根据最简二次根式的概念判断即可．
【详解】解：，而其它二次根式是最简二次根式，
故选：A．
【变式4-1】（23-24八年级下·浙江湖州·阶段练习）下列各式中，为最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或分式，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中如果含有开方开的尽的因数或因式，也不是最简二次根式．
根据最简二次根式的定义即可判断．
【详解】解：A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、是最简二次根式，故本选项符合题意；
C、不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意．
故选：B．
【变式4-2】（2024八年级下·安徽·专题练习）下列根式中，属于最简二次根式的是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了最简二次根式的定义：被开方数中不含有开得尽方的因数或因式，被开方数中不含有分母；属于基础题型，熟知最简二次根式的定义是正确判断的关键．根据最简二次根式的定义判断即可．
【详解】解：A、被开方数中含有分母，不是最简二次根式，本选项错误；
B、被开方数中含有，能开得尽方，不是最简二次根式，本选项错误；
C、被开方数中含有8，而，不是最简二次根式，本选项错误；
D、是最简二次根式，本选项正确．
故选D．
【变式4-3】（23-24八年级下·山东烟台·期中）在根式①；②；③；④，最简二次根式是（ ）
A．①②B．③④C．①③D．①④
【答案】C
【分析】本题考查了最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．判断一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【详解】解：①是最简二次根式；
②，被开方数含分母，不是最简二次根式；
③是最简二次根式；
④，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式．
①③是最简二次根式．
故选C．
考点五：化为最简二次根式
例5.（23-24八年级下·山东烟台·期中）将化为最简二次根式为．
【答案】/
【分析】本题考查最简二次根式，正确理解概念是解题的关键．
最简二次根式的概念：“（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式”，依据概念化简即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【变式5-1】（23-24八年级下·湖北黄冈·期中）将化为最简二次根式是．
【答案】/
【分析】此题考查了化简二次根式．根据二次根式的化简方法，被开方数中的分子分母同时乘以3求解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【变式5-2】（23-24八年级上·陕西西安·期末）化简：．
【答案】
【分析】本题考查的是化为最简二次根式，把被开方数的分子分母都乘以5，再化简即可．
【详解】解：，
故答案为：
【变式5-3】（23-24八年级上·四川成都·期末）化简：．
【答案】
【分析】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式的化简方法是解题的关键．根据二次根式的性质解答即可．
【详解】解：．
故答案为：．
考点六：已知最简二次根式求参数
例6.（23-24八年级下·山东日照·期中）已知是最简二次根式，请你写出一个符合条件的正整数a的值．
【答案】2（答案不唯一）
【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念解答即可．
【详解】解：当时，，是最简二次根式，
故答案为：2（答案不唯一）．
【变式6-1】（23-24八年级下·吉林·阶段练习）已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的m的整数值：．
【答案】10（答案不唯一）
【分析】根据最简二次根式的特点：被开方数不含能开方开的尽的因数或因式，被开方数不含分母，进行求解即可．
【详解】解：∵是最简二次根式，
∴不能开方，不含分母，
∴的值可以为2，此时；
故答案为：10（答案不唯一）．
【变式6-2】（2023八年级上·全国·专题练习）写出一个正整数n，使是最简二次根式，则n可以是．
【答案】1（答案不唯一）
【分析】根据最简二次根式的定义解答即可．
【详解】当时，，
是最简二次根式，
故答案为：1（答案不唯一）．
【点睛】本题考查最简二次根式的定义．掌握最简二次根式需满足1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式是解题关键．
【变式6-3】若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a为．
【答案】2
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【详解】解：当时，，不是最简二次根式，
当时，，是最简二次根式，
∴二次根式是最简二次根式，最小的正整数a为2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
一、单选题
1．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）化简的结果正确的是（ ）
A．B．3C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的性质和二次根式的乘法．根据二次根式的乘法法则得到，然后利用二次根式的性质化简即可．
【详解】解：．
故选：A．
2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）下列各式中，最简二次根式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了最简二次根式的判断，掌握最简二次根式的定义是解题的关键．即被开方数中不含开方开的尽的数或因式是最简二次根式．先化简各二次根式，再根据最简二次根式的定义即可得结果．
【详解】A、，是最简二次根式，故本选项正确；
B、，不是最简二次根式，故本选项错误；
C、中含有分母，不是最简二次根式，故本选项错误；
D、，不是最简二次根式，故本选项错误；
故选：A．
3．（2024八年级下·江苏·专题练习）下列运算结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查的是二次根式的化简，二次根式的乘除运算，掌握运算法则是解本题的关键，分别根据二次根式的乘法运算，二次根式的化简，二次根式的除法运算进行计算判断即可．
【详解】解：A．，故此选项符合题意；
B．，故此选项不合题意；
C．，故此选项不合题意；
D．，故此选项不合题意；
故选：A．
4．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次根式的乘除混合计算，直接根据二次根式的乘除混合计算法则求解即可．
【详解】解：
，
故选：C．
5．（2021八年级上·全国·专题练习）计算等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】直接根据二次根式的乘除法法则进行计算即可．
【详解】解：
=
故选：A．
【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
二、填空题
6．（23-24八年级上·山西太原·阶段练习）将化成最简二次根式为．
【答案】
【分析】此题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质求解即可．
【详解】．
故答案为：
7．（23-24八年级下·河北廊坊·期中）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，二次根式的性质化简，掌握其运算法则是解题的关键．
根据二次根式的性质先化简，再根据二次根式的乘法运算即可求解．
【详解】解：
，
故答案为：．
8．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）计算：．
【答案】
【分析】根据二次根式的乘除法则进行计算即可．
【详解】
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的乘除，掌握运算法则是解题的关键．
9．（2024八年级下·江苏·专题练习）计算的结果是．
【答案】
【分析】本题考查的是二次根式的乘除法，熟知二次根式的除法法则是解题的关键．
根据二次根式的乘除法则进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴
．
故答案为：．
10．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）下列二次根式中：①；②；③；④，是最简二次根式的是（填序号）．
【答案】②③/③②
【分析】本题考查了最简二次根式及分母有理化，根据最简二次根式的定义及分母有理化逐一判断即可求解，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
【详解】解：①，不是最简二次根式；
②是最简二次根式；
③是最简二次根式；
④，不是最简二次根式；
故答案为：②③．
三、解答题
11．（23-24八年级下·北京朝阳·阶段练习）把下列二次根式化为最简二次根式：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了二次根式的性质，最简二次根式，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键．
（1）根据二次根式的性质化简即可．
（2）根据二次根式的性质化简即可．
（3）根据二次根式的性质化简即可．
（4）根据二次根式的性质化简即可．
【详解】（1）
（2）
（3）
（4）
12．（23-24八年级下·全国·课后作业）化简：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次根式乘的除法及二次根式的化简．
（1）直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案；
（2）直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案；
（3）直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
13．（23-24八年级下·天津西青·阶段练习）计算：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键.
（1）利用二次根式的乘法法则计算即可；
（2）先计算二次根式的除法，再计算乘法即可.
【详解】（1）
；
（2）
14．（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）利用二次根式的性质化简，再进行乘除运算即可；
（2）先计算括号内的二次根式的除法，再计算二次根式的乘法即可．
【详解】（1）解：
（2）
15．（2024八年级下·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)．
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，
（1）根据二次根式的乘法运算即可求出答案．
（2）根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案．
（3）根据二次根式的乘除混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
（3）
．
模块一思维导图串知识
模块二基础知识全梳理（吃透教材）
模块三核心考点举一反三
模块四小试牛刀过关测
掌握二次根式的乘法法则：，能利用其进行计算，并能逆用法则进行化简；
2．掌握二次根式的除法法则：，能利用其进行计算，并能逆用法则进行化简；
3．理解最简二次根式的概念，会进行二次根式的乘除法混合运算，并能将二次函数化为最简形式。
方法
举例
将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方
化去根号下的分母
若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数
若被开方数中含有小数，先将小数化成分数
若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算
(a＞0，b＞0，c＞0）
被开方数时多项式的要先因式分解
（x≥0，y≥0）
模块一思维导图串知识
模块二基础知识全梳理（吃透教材）
模块三核心考点举一反三
模块四小试牛刀过关测
掌握二次根式的乘法法则：，能利用其进行计算，并能逆用法则进行化简；
2．掌握二次根式的除法法则：，能利用其进行计算，并能逆用法则进行化简；
3．理解最简二次根式的概念，会进行二次根式的乘除法混合运算，并能将二次函数化为最简形式。
方法
举例
将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方
化去根号下的分母
若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数
若被开方数中含有小数，先将小数化成分数
若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算
(a＞0，b＞0，c＞0）
被开方数时多项式的要先因式分解
（x≥0，y≥0）