数学7 二次根式学案设计

这是一份数学7 二次根式学案设计，共50页。学案主要包含了变式1-1，变式1-2，变式1-3，变式2-1，变式2-2，变式2-3，变式3-1，变式3-2等内容，欢迎下载使用。

知识点一：同类二次根式
同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如
知识点二：二次根式的加减
二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
二次根式加减运算的步骤：
①化：将各个二次根式化成最简二次根式；
②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；
③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。
知识点三：二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）
考点一：同类二次根式的判断
例1．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（23-24八年级下·重庆永川·期中）下列二次根式中，不能与合并的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（23-24七年级下·上海浦东新·阶段练习）下列各组二次根式中，为同类二次根式的是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
【变式1-3】（23-24八年级下·湖北孝感·阶段练习）在二次根式中，与是同类二次根式的个数为（）
A．1B．2C．3D．4
考点二：求同类二次根式中的参数
例2.（23-24八年级下·河北廊坊·期中）已知最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为（ ）
A．1B．C．0D．不确定
【变式2-1】（23-24八年级下·陕西渭南·期中）若二次根式与最简二次根式能合并，则的值为（ ）
A．0B．1C．D．3
【变式2-2】（23-24八年级下·河南商丘·期中）如果二次根式化简后能与合并，那么a的值可以是（ ）
A．10B．11C．12D．13
【变式2-3】（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）若两个最简二次根式与能够合并，则的值为（ ）
A．B．0C．1D．9
考点三：二次根式加减运算
例3.（23-24九年级下·辽宁鞍山·期中）计算：
(1)(2)
【变式3-1】（23-24八年级下·天津滨海新·期中）计算：
(1)(2)
【变式3-2】（23-24八年级下·山东淄博·期中）计算：
(1)
(2)；
【变式3-3】（23-24八年级下·北京朝阳·阶段练习）计算．
(1)．(2)．
(3)．(4)．
考点四：二次根式的混合运算
例4.（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【变式4-1】（23-24八年级下·河南驻马店·期中）计算：
(1)；
(2)．
【变式4-2】（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）计算
(1)；
(2)．
【变式4-3】（23-24八年级下·山东威海·期中）计算：
(1)
(2)；
考点五：分母有理化
例5.（23-24八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）阅读材料并解决问题：，像上述解题过程中，与相乘的积不含二次根式，我们可以将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．
请仿照上面的方法，解决下列问题：
(1)计算： ， ；
若n为正整数，请你猜想 ．
(2)计算：；
【变式5-1】（23-24八年级下·山东临沂·期中）在数学学习中，小明遇到一道题：已知，求的值．小明是这样解答的：∵，．请你根据小明的解题过程，解决下列问题：
(1)填空：_______，_______；
(2)化简：．
【变式5-2】（23-24八年级下·辽宁铁岭·期中）在进行二次根式的化简时，我们有时会遇到形如，的式子，对于这类式子我们可以进一步将其化简，使其分母转化为有理数，这一过程叫做分母有理化．
例如：
．
(1)用上述方法化简；
(2)．
【变式5-3】（23-24八年级下·福建莆田·期中）在解决问题“已知求的值”，小明是这样分析与解答的:
请你根据小明的分析过程，解决如下问题
(1)化简：
(2)若，求的值．
考点六：已知字母的值，化简求值
例6.（23-24八年级下·广东广州·期中）已知，，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
【变式6-1】（23-24八年级下·新疆阿克苏·期中）已知，求下列各式的值
(1)；
(2)．
【变式6-2】（23-24八年级下·广东江门·期中）已知，，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
【变式6-3】（23-24八年级下·甘肃武威·期中）（1）已知：，求代数式的值．
（2）已知：，求代数式的值．
考点七：已知条件式，化简求值
例7.（23-24八年级下·甘肃武威·期中）已知，，求的值．
【变式7-1】（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知，求的值．
【变式7-2】（22-23八年级下·广东东莞·阶段练习）已知：，求的值．
【变式7-3】（22-23八年级下·全国·单元测试）已知a、b满足，求的值．
考点八：二次根式的新定义运算
例8.（2024八年级下·浙江·专题练习）对于两个不相等的实数a，b，定义一种新运算：，则．
【变式8-1】（23-24八年级下·广东广州·期中）对于任意的正数，定义运算“*”为计算计算的结果为．
【变式8-2】（23-24八年级下·黑龙江绥化·期中）对于任意不相等的两个数，定义一种运算※如下：，如．那么．
【变式8-3】（23-24八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）对于任意不相等的两个实数，，定义运算如下：，如，那么的运算结果为．
考点九：比较二次根式的大小
例9.（23-24八年级下·山东济宁·期中）[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．
例如：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式．
（1）的有理化因式是______（写出一个即可），的有理化因式是_______（写出一个即可）；
[材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．
（2）利用分母有理化化简：．
[材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，
这种变形叫做分子有理化．
比如：
（3）试利用分子有理化比较和的大小．
【变式9-1】（23-24八年级下·山西吕梁·期中）阅读下列解题过程，回答问题：
(1)化简：______，______；
(2)利用上面的规律，比较______（填“”或“”或“”）．
【变式9-2】（23-24八年级下·安徽淮南·阶段练习）我们知道形如，的数可以化简，其化简的目的主要是把分母中的无理数化为有理数，如，，这样的化简过程叫做分母有理化，我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式，完成下列各题．
(1)的有理化因式是_________，的有理化因式是_________；
(2)化简：；
(3)比较，的大小，说明理由．
【变式9-3】（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）材料阅读：二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”；．
类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”；
．
根据上述知识，请你解答下列问题：
(1)化简；
(2)比较与的大小，并说明理由．
考点十：二次根式的应用
例10.（23-24八年级下·江苏南通·期中）某小区有一块长方形绿地，长为米，宽为米，现在要在长方形绿地中修建两个形状大小相同的小长方形花坛（即图中阴影部分），每个小长方形花坛的长为米，宽为米．
(1)求长方形绿地的周长；
(2)除花坛外，其他地方全修建成通道，通道需铺上造价为55元/平方米的地砖，则购买地砖需要多少钱？
【变式10-1】（23-24八年级下·江西宜春·阶段练习）有一块长方形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出面积分别为和的两块正方形木板．
(1)截出的两块正方形木板的边长分别为______，______；
(2)求剩余木板的面积；
(3)如果木工师傅想从剩余的木板中截出长为1.5、宽为1.2的长方形木条，最多能截出______个这样的木条．（参考数据：）
【变式10-2】（23-24八年级下·甘肃庆阳·期中）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛出的物体下落的时间t（单位：）和高度h（单位：）近似满足（不考虑风速的影响）．
(1)从高处抛下的物体落地所需的时间；从高处抛下的物体落地所需的时间
(2)是的多少倍？
(3)若从高空抛下的物体经过落地，则该物体下落的高度是多少？
【变式10-3】（23-24八年级下·江西赣州·期中）秦九韶（1208年~1268年），字道古，南宋著名数学家．与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家，他精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学，他于1247年完成的著作《数学九章》中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果并称“海伦−秦九韶公式”，它的主要内容是，如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，S为三角形的面积，那么．
(1)如图在中，，，，请用上面的公式计算的面积；
(2)一个三角形的三边长分别为a，b，c，，，求的值，
一、单选题
1．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·云南昆明·三模）估算式子的值最接近的整数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．（23-24八年级下·全国·假期作业）若，则代数式的值是（ ）
A．B．C．D．2
4．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知，，，那么a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24八年级下·山东淄博·期中）如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分是一个小正方形，其面积为2，则空白部分的面积为（ ）
A．6B．8C．D．
二、填空题
6．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）计算的结果是．
7．（23-24八年级下·河北沧州·期末）二次根式与最简二次根式可以加减合并，则．
8．（2024八年级下·全国·专题练习）比较大小：
① ②
9．（2024·青海西宁·二模）已知，，则．
10．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）对于任意的正数m，n，定义一种新的运算“*”：，则计算的结果为．
三、解答题
11．（2024·浙江杭州·一模）以下是小滨计算的解答过程：
解：原式
．
小滨的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
12．（23-24八年级下·河北沧州·期末）计算下列各小题．
(1)；
(2)．
13．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
14．（23-24八年级下·浙江台州·期中）对于任意实数a，b，定义一种运算“”如下：．如：．
(1)______，______；
(2)已知，求的值．
15．（23-24八年级下·山东烟台·期中）【问题背景】
已知，求的值．
【问题解决】
（1）小颖通过思考，形成如下解题思路：先将等式两边都除以x，得到的值，再利用完全平方公式求出的值．请按照该思路，写出上述题目完整的求解过程；
【拓展应用】
（2）已知，求的值；
（3）已知，求的值．
16．（23-24八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）阅读材料并解决问题：，像上述解题过程中，与相乘的积不含二次根式，我们可以将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．
请仿照上面的方法，解决下列问题：
(1)计算： ， ；
若n为正整数，请你猜想 ．
(2)计算：；
第10讲二次根式的加减
知识点一：同类二次根式
同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如
知识点二：二次根式的加减
二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
二次根式加减运算的步骤：
①化：将各个二次根式化成最简二次根式；
②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；
③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。
知识点三：二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）
考点一：同类二次根式的判断
例1．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了同类二次根式，根据几个二次根式化为最简二次根式后被开方数相同的二次根式即为同类二次根式．
【详解】解：A、与的被开方数不同，不是同类二次根式，故不符合题意；
B、，化简后不是根式，故不符合题意；
C、=，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故不符合题意；
D、，符合同类二次根式的定义，与是同类二次根式，故符合题意．
故选D．
【变式1-1】（23-24八年级下·重庆永川·期中）下列二次根式中，不能与合并的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式，熟练掌握知识点，正确化简是解题的关键．
化简至最简二次根式，比较被开方数是否一样即可．
【详解】解：A、，可以与进行合并，故本选项不符合题意；
B、，不可以与进行合并，故本选项符合题意；
C、，可以与进行合并，故本选项不符合题意；
D、，可以与进行合并，故本选项不符合题意；
故选：B．
【变式1-2】（23-24七年级下·上海浦东新·阶段练习）下列各组二次根式中，为同类二次根式的是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
【答案】C
【分析】本题主要考查了同类二次根式．将二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．根据同类二次根式的定义逐项判断即可解答．
【详解】解：A、与的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误；
B、与的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误；
C、与的被开方数相同，所以它们是同类二次根式；故本选项正确；
D、与的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误；
故选：C．
【变式1-3】（23-24八年级下·湖北孝感·阶段练习）在二次根式中，与是同类二次根式的个数为（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，把二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，那么这样的二次根式叫做最简二次根式，据此求解即可．
【详解】解：，，，，
∴与是同类二次根的有，共3个，
故选：C．
考点二：求同类二次根式中的参数
例2.（23-24八年级下·河北廊坊·期中）已知最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为（ ）
A．1B．C．0D．不确定
【答案】B
【分析】根据同类二次根式的定义，得，求得选择即可．
本题考查了同类二次根式，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】根据题意，得，
解得，
故选B．
【变式2-1】（23-24八年级下·陕西渭南·期中）若二次根式与最简二次根式能合并，则的值为（ ）
A．0B．1C．D．3
【答案】C
【分析】本题考查了最简二次根式、同类二次根式．先将化简为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义即可得．
【详解】解：，
∵即与最简二次根式能合并，
∴，
解得，
故选C．
【变式2-2】（23-24八年级下·河南商丘·期中）如果二次根式化简后能与合并，那么a的值可以是（ ）
A．10B．11C．12D．13
【答案】C
【分析】本题考查同类二次根式的概念，把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式，熟练掌握二次根式的化简是解答本题的关键．因为二次根式化简后能与合并，所以二次根式化简后与为同类二次根式，即是的整数倍，代入选项的值验证即可．
【详解】解：A、当时，，与不是同类二次根式不能合并，故不符合题意；
B、当时，，与不是同类二次根式不能合并，故不符合题意；
C、当时，，与是同类二次根式可以合并，故符合题意；
D、当时，，与不是同类二次根式不能合并，故符合题意；
故选：C．
【变式2-3】（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）若两个最简二次根式与能够合并，则的值为（ ）
A．B．0C．1D．9
【答案】C
【分析】本题考查了同类二次根式和最简二次根式的定义，根据合并同类二次根式得出，，求出、的值，最后代入求出即可．
【详解】解：∵两个最简二次根式与能够合并，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
考点三：二次根式加减运算
例3.（23-24九年级下·辽宁鞍山·期中）计算：
(1)(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，掌握运算法则是解本题的关键；
（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可；
【详解】（1）解：
；
（2）
．
【变式3-1】（23-24八年级下·天津滨海新·期中）计算：
(1)(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，
（1）直接化简二次根式，进而合并得出答案；
（2）直接化简二次根式，进而合并得出答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
【变式3-2】（23-24八年级下·山东淄博·期中）计算：
(1)
(2)；
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算：
（1）先化简二次根式，再计算二次根式加减法即可；
（2）先计算二次根式乘除法，再计算二次根式加减法即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【变式3-3】（23-24八年级下·北京朝阳·阶段练习）计算．
(1)．(2)．
(3)．(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了二次根式的加减运算，应先把各个二次根式化成最简二次根式，然后再合并同类二次根式即可．同类二次根式的合并方法是把系数相加减，被开方式和根号不变．
（1）（2）（3）（4）先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可．
【详解】（1）原式，
（2）原式，
（3）原式，
（4）原式.
考点四：二次根式的混合运算
例4.（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)0
(2)
(3)14
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，关键是熟练掌握计算方法正确进行计算．
（1）先化简二次根式，再计算加减法；
（2）先算乘除法，再算加减法；
（3）根据多项式乘法和完全平方公式计算即可求解；
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
【变式4-1】（23-24八年级下·河南驻马店·期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的性质进行化简，平方差公式等知识．熟练掌握二次根式的混合运算，利用二次根式的性质进行化简，平方差公式是解题的关键．
（1）先计算二次根式的乘除，然后利用二次根式的性质进行化简，最后进行加减运算即可；
（2）先计算二次根式的乘除，然后利用二次根式的性质进行化简，最后进行加减运算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式4-2】（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）计算
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键．
（1）根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式即可；
（2）先进行二次根式的乘除运算，然后化简后合并同类二次根式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
【变式4-3】（23-24八年级下·山东威海·期中）计算：
(1)
(2)；
【答案】(1)44；
(2)；
【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算．
（1）现根据乘法分配律计算，再根据二次根式加减混合运算法则进行计算即可；
（2）先分母有理化和化简绝对值，根据二次根式混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
考点五：分母有理化
例5.（23-24八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）阅读材料并解决问题：，像上述解题过程中，与相乘的积不含二次根式，我们可以将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．
请仿照上面的方法，解决下列问题：
(1)计算： ， ；
若n为正整数，请你猜想 ．
(2)计算：；
【答案】(1)；；
(2)2023
【分析】本题考查了分母有理化的计算，平方差公式的应用，熟练掌握有理化的依据和计算是解题的关键．
（1）根据平方差公式，类比例子解答即可；
（2）根据平方差公式，类比例子解答即可．
【详解】（1）解：
；
；
；
（2）解：原式
．
【变式5-1】（23-24八年级下·山东临沂·期中）在数学学习中，小明遇到一道题：已知，求的值．小明是这样解答的：∵，．请你根据小明的解题过程，解决下列问题：
(1)填空：_______，_______；
(2)化简：．
【答案】(1)；
(2)
【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的加减计算：
（1）先分子和分母都乘进行分母有理化即可；分子和分母都乘进行分母有理化即可；
（2）先分母有理化，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可．
【详解】（1）解：，
，
故答案为：；；
（2）解：
．
【变式5-2】（23-24八年级下·辽宁铁岭·期中）在进行二次根式的化简时，我们有时会遇到形如，的式子，对于这类式子我们可以进一步将其化简，使其分母转化为有理数，这一过程叫做分母有理化．
例如：
．
(1)用上述方法化简；
(2)．
【答案】(1)
(2)2024
【分析】本题考查了分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
（1）根据例题的方法，分母有理化即可求解；
（2）将每一项都分母有理化，继而即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式5-3】（23-24八年级下·福建莆田·期中）在解决问题“已知求的值”，小明是这样分析与解答的:
请你根据小明的分析过程，解决如下问题
(1)化简：
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则、分母有理化，乘法公式等知识点．
（1）分子分母都乘，利用平方差公式计算化简即可；
（2）将a的值的分子、分母都乘以得，将其配方代入计算可得答案．
【详解】（1）解：；
（2）解：，
∴，
∴．
考点六：已知字母的值，化简求值
例6.（23-24八年级下·广东广州·期中）已知，，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)8．
【分析】本题考查了二次根式的化简求值．
（1）由，的值，求出与的值，将原式提取公因式得到，代入计算即可；
（2）由（1）得，，将原式利用完全平方公式变形后代入计算即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
∴．
（2）解：由（1）得，，
∴．
【变式6-1】（23-24八年级下·新疆阿克苏·期中）已知，求下列各式的值
(1)；
(2)．
【答案】(1)20
(2)
【分析】本题考查了因式分解，二次根式的化简求值；
（1）先求出的值，再分解因式，并整体代入即可；
（2）先求出的值，再分解因式，并整体代入即可．
【详解】（1）解：由已知得：，
；
（2）解：，
．
【变式6-2】（23-24八年级下·广东江门·期中）已知，，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)11
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值：
（1）先求出，，再根据进行求解即可；
（2）先求出，再根据进行求解即可．
【详解】（1）解；∵，，
∴，，
∴，，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴
．
【变式6-3】（23-24八年级下·甘肃武威·期中）（1）已知：，求代数式的值．
（2）已知：，求代数式的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，先求出、的值，再对式子进行化简，最后整体代入是解此题的关键．
（1）先求出、的值，再将式子变形为，整体代入计算即可得出答案；
（2）先求出、的值，再将式子变形为，整体代入计算即可得出答案．
【详解】解：（1）∵，
∴，，
∴；
（2）∵，
∴，，
∴．
考点七：已知条件式，化简求值
例7.（23-24八年级下·甘肃武威·期中）已知，，求的值．
【答案】
【分析】先根据，，可判断，，再将原式化简，然后将已知条件整体代入求值即可．
本题主要考查了二次根式化简及二次根式的性质，熟练掌握是解题的关键．
【详解】，，
，，
∴原式=
．
原式．
【变式7-1】（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知，求的值．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
先根据二次根式的运算法则化简得到，再把，整体代入计算即可．
【详解】解：∵，，
∴a、b同号，且a、b均为正数数，
∴
．
【变式7-2】（22-23八年级下·广东东莞·阶段练习）已知：，求的值．
【答案】
【分析】根据进行计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的变形求值，正确根据完全平方公式得到是解题的关键．
【变式7-3】（22-23八年级下·全国·单元测试）已知a、b满足，求的值．
【答案】
【分析】根据二次根式的非负性列出方程组，通过解方程组求出a，b的值，然后将其代入所求的代数式求值即可．
【详解】解：依题意有，
解得：
当时
【点睛】本题主要考查二次根式的求值及非负数的性质，根据非负数性质列出方程组是解题的前提，代入求值是关键．
考点八：二次根式的新定义运算
例8.（2024八年级下·浙江·专题练习）对于两个不相等的实数a，b，定义一种新运算：，则．
【答案】3
【详解】本题考查了二次根式的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键．
按照定义的新运算，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：，
故答案为：3．
【变式8-1】（23-24八年级下·广东广州·期中）对于任意的正数，定义运算“*”为计算计算的结果为．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的混合运算和实数的运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．根据新定义把数值代入得，再化简计算即可．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
【变式8-2】（23-24八年级下·黑龙江绥化·期中）对于任意不相等的两个数，定义一种运算※如下：，如．那么．
【答案】/
【分析】本题考查了新定义运算、二次根式的混合运算，根据新定义结合二次根式的混合运算计算即可得出答案．
【详解】解：，
，
故答案为：．
【变式8-3】（23-24八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）对于任意不相等的两个实数，，定义运算如下：，如，那么的运算结果为．
【答案】
【分析】本题主要考查了新定义，化简二次根式，根据新定义得到，据此计算求解即可．
【详解】解：由题意得，，
故答案为：．
考点九：比较二次根式的大小
例9.（23-24八年级下·山东济宁·期中）[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．
例如：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式．
（1）的有理化因式是______（写出一个即可），的有理化因式是_______（写出一个即可）；
[材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．
（2）利用分母有理化化简：．
[材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，
这种变形叫做分子有理化．
比如：
（3）试利用分子有理化比较和的大小．
【答案】（1），；（2）；（3）
【分析】本题考查分母有理化，估算无理数的大小及规律探索问题，熟练掌握分母有理化的步骤及方法是解题的关键．
（1）根据有理化因式的定义即可求得答案；
（2）根据所得规律计算即可；
（3）利用分母有理化得到，，然后比较大小即可．
【详解】（1）解：∵，
∴的有理化因式是；
∵，
∴的有理化因式是；
故答案为：，；
（2）解：
；
（3）．
理由如下：
∵，，
∵，
∴，
∴．
【变式9-1】（23-24八年级下·山西吕梁·期中）阅读下列解题过程，回答问题：
(1)化简：______，______；
(2)利用上面的规律，比较______（填“”或“”或“”）．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式比较大小：
（1）仿照题意求解即可；
（2）根据分母有理化的方法得到，，根据，得到，．
【详解】（1）解：
；
，
故答案为：，；
（2）解：，
，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式9-2】（23-24八年级下·安徽淮南·阶段练习）我们知道形如，的数可以化简，其化简的目的主要是把分母中的无理数化为有理数，如，，这样的化简过程叫做分母有理化，我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式，完成下列各题．
(1)的有理化因式是_________，的有理化因式是_________；
(2)化简：；
(3)比较，的大小，说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)，理由见解析
【分析】本题考查了分母有理化，熟练掌握二次根式的性质以及平方差公式是解本题的关键．
（1）根据题目所给有理化因式的定义进行解答即可；
（2）分子分母同乘以即可得出答案；
（3）将原式按类比分母有理化的步骤进行化简，再根据分子相同，分母越大，式子越小即可比较大小．
【详解】（1）的有理化因式是，的有理化因式是；
故答案为：，；
（2）；
（3）；；
，
．
【变式9-3】（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）材料阅读：二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”；．
类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”；
．
根据上述知识，请你解答下列问题：
(1)化简；
(2)比较与的大小，并说明理由．
【答案】(1)2
(2)，理由见解析
【分析】本题考查的是分母有理化：
（1）根据分母有理化是要求把分子分母同时乘以，再计算即可得到答案；
（2）根据分子有理化的要求把原式变形为同分子的分数，再比较大小即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：∵，，且，
∴．
考点十：二次根式的应用
例10.（23-24八年级下·江苏南通·期中）某小区有一块长方形绿地，长为米，宽为米，现在要在长方形绿地中修建两个形状大小相同的小长方形花坛（即图中阴影部分），每个小长方形花坛的长为米，宽为米．
(1)求长方形绿地的周长；
(2)除花坛外，其他地方全修建成通道，通道需铺上造价为55元/平方米的地砖，则购买地砖需要多少钱？
【答案】(1)米
(2)3080元
【分析】此题考查了二次根式的四则混合运算的应用，读懂题意，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键．
（1）根据长方形的周长公式计算即可；
（2）先利用长方形的绿地面积减去花坛的面积，再用化简结果乘以地砖的单价即可．
【详解】（1）解：(米），
∴长方形的周长为米．
（2）解：(平方米)，
则(元)，
∴要铺完整个通道，则购买地砖需要花费3080元．
【变式10-1】（23-24八年级下·江西宜春·阶段练习）有一块长方形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出面积分别为和的两块正方形木板．
(1)截出的两块正方形木板的边长分别为______，______；
(2)求剩余木板的面积；
(3)如果木工师傅想从剩余的木板中截出长为1.5、宽为1.2的长方形木条，最多能截出______个这样的木条．（参考数据：）
【答案】(1)，
(2)
(3)2
【分析】本题考查二次根式的应用；
（1）由正方形的面积可得边长，再利用二次根式的性质化简，即可求解；
（2）求出剩余的木料的长和宽，即可求面积；
（3）求剩余的木料的长和宽，即可求解．
【详解】（1）根据题意得：截出的两块正方形木料的边长分别为，，
故答案为：，；
（2）根据题意得：从剩余的木料的长为，宽为，
∴剩余的面积为；
（3）根据题意得：从剩余的木料的长为，宽为，
∵，，
能截出块这样的木条．
故答案为：2．
【变式10-2】（23-24八年级下·甘肃庆阳·期中）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛出的物体下落的时间t（单位：）和高度h（单位：）近似满足（不考虑风速的影响）．
(1)从高处抛下的物体落地所需的时间；从高处抛下的物体落地所需的时间
(2)是的多少倍？
(3)若从高空抛下的物体经过落地，则该物体下落的高度是多少？
【答案】(1)；
(2)是的倍
(3)下落的高度是
【分析】本题主要考查了二次根式的实际应用：
（1）根据所给公式代值计算即可；
（2）根据（1）的计算结果求解即可；
（3）把代入公式求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，，，
故答案为：；；
（2）解：，
∴是的倍；
（3）解：由题意得，，
解得，
∴下落的高度是．
【变式10-3】（23-24八年级下·江西赣州·期中）秦九韶（1208年~1268年），字道古，南宋著名数学家．与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家，他精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学，他于1247年完成的著作《数学九章》中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果并称“海伦−秦九韶公式”，它的主要内容是，如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，S为三角形的面积，那么．
(1)如图在中，，，，请用上面的公式计算的面积；
(2)一个三角形的三边长分别为a，b，c，，，求的值，
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，熟悉掌握海伦－秦九韶公式求三角形的面积．
（1）根据题意，了解海伦-秦九昭公式，根据具体的数字先计算p的值，然后再代入公式，计算三角形的面积即可；
（2）根据得以得到，再根据面积可以得到，计算即可．
【详解】（1）由题意，，
∴．
即的面积为；
（2）由题意，，
∴，
∵，
∴
∴．
∴，即
∴．
一、单选题
1．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了同类二次根式，根据几个二次根式化为最简二次根式后被开方数相同的二次根式即为同类二次根式．
【详解】解：A、与的被开方数不同，不是同类二次根式，故不符合题意；
B、，化简后不是根式，故不符合题意；
C、=，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故不符合题意；
D、，符合同类二次根式的定义，与是同类二次根式，故符合题意．
故选D．
2．（2024·云南昆明·三模）估算式子的值最接近的整数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】本题考查了估算无理数的大小，以及二次根式的混合运算．
根据二次根式的混合计算法则化简后，估算即可得到结果．
【详解】解：
∵，，
∴，即，
故最接近的整数是5．
故选C．
3．（23-24八年级下·全国·假期作业）若，则代数式的值是（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【解析】略
4．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知，，，那么a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】此题考查了实数的运算，掌握实数的运算法总则是解题的关键．
根据已知条件得出，，，再进行比较，即可得出答案．
【详解】解：∵，
，
，
∵，
∴．
故选：A
5．（23-24八年级下·山东淄博·期中）如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分是一个小正方形，其面积为2，则空白部分的面积为（ ）
A．6B．8C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的应用，先算出三个小正方形的边长，再得到大正方形的边长，通过面积的计算得结论．
【详解】解：三个小正方形的面积分别为18、12、2，
三个小正方形的边长分别为、、，
由题图知：大正方形的边长为：，
．
故选：D．
二、填空题
6．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）计算的结果是．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的减法，正确化简计算是本题的解题关键．先将二次根式进行化简，然后合并同类二次根式进行计算．
【详解】解：，
故答案为：．
7．（23-24八年级下·河北沧州·期末）二次根式与最简二次根式可以加减合并，则．
【答案】6
【分析】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键．化成最简二次根式后，如果被开方式相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．根据同类二次根式的定义列式求解即可．
【详解】解：∵二次根式与最简二次根式可以加减合并，
∴与是同类二次根式，
∴，
∴．
故答案为：6．
8．（2024八年级下·全国·专题练习）比较大小：
① ②
【答案】
【分析】①利用作差法比较大小即可；
②利用分子有理化即可比较大小．
此题考查的是实数的比较大小，掌握利用作差法和分子有理化比较大小是解决此题的关键．
【详解】解：①，
∵，
∴，
∴
②
∵
∴
∴
故答案为：；．
9．（2024·青海西宁·二模）已知，，则．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，根据完全平方公式得到，据此代值计算即可．
【详解】解：∵，，
∴
，
故答案为：．
10．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）对于任意的正数m，n，定义一种新的运算“*”：，则计算的结果为．
【答案】/
【分析】根据新定义把所求的式子化为二次根式运算，再进行二次根式的运算即可．
【详解】解：∵，
∴
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的计算，理解新定义，将式子转化为二次根式的计算，并正确进行二次根式计算是解题关键．
三、解答题
11．（2024·浙江杭州·一模）以下是小滨计算的解答过程：
解：原式
．
小滨的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
【答案】有错误；
【分析】本题考查了二次根式的混合运算．先把和化简，再化为，接着把除法运算转化为乘法运算，然后根据二次根式的乘法法则运算．
【详解】解：小滨的解答过程有错误；
正确的解答过程:
．
12．（23-24八年级下·河北沧州·期末）计算下列各小题．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)8
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键．
（1）先把分子化简、合并，再算除法和乘法；
（2）根据混合运算的顺序计算即可．
【详解】（1）
（2）
13．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)0
(2)
(3)14
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，关键是熟练掌握计算方法正确进行计算．
（1）先化简二次根式，再计算加减法；
（2）先算乘除法，再算加减法；
（3）根据多项式乘法和完全平方公式计算即可求解；
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
14．（23-24八年级下·浙江台州·期中）对于任意实数a，b，定义一种运算“”如下：．如：．
(1)______，______；
(2)已知，求的值．
【答案】(1)1，3
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是理解新定义的含义，列出正确的算式．
（1）根据已知条件中的新定义，列出算式，根据二次根式的性质进行计算即可；
（2）根据新定义，列出含有的等式，再根据平方差公式分解因式，然后进行解答可．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
故答案为：1，3；
（2）∵，
∴，
，
，
，
∴．
15．（23-24八年级下·山东烟台·期中）【问题背景】
已知，求的值．
【问题解决】
（1）小颖通过思考，形成如下解题思路：先将等式两边都除以x，得到的值，再利用完全平方公式求出的值．请按照该思路，写出上述题目完整的求解过程；
【拓展应用】
（2）已知，求的值；
（3）已知，求的值．
【答案】（1），见解析；（2）；（3）
【分析】本题考查了完全平方公式的变形，二次根式的运算等知识．熟练掌握完全平方公式的变形，二次根式的混合运算法则是解题的关键．
（1）根据题意可得，根据，代值求解即可；
（2）同理（1）计算求解即可；
（3）同理（1）可得，进而可求
【详解】（1）解：∵ ，
∴
，
∴的值为．
（2）解：，
∴，
∴的值为；
（3）解：，
∴，
∴，
∴，
∴的值为．
16．（23-24八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）阅读材料并解决问题：，像上述解题过程中，与相乘的积不含二次根式，我们可以将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．
请仿照上面的方法，解决下列问题：
(1)计算： ， ；
若n为正整数，请你猜想 ．
(2)计算：；
【答案】(1)；；
(2)2023
【分析】本题考查了分母有理化的计算，平方差公式的应用，熟练掌握有理化的依据和计算是解题的关键．
（1）根据平方差公式，类比例子解答即可；
（2）根据平方差公式，类比例子解答即可．
【详解】（1）解：
；
；
；
（2）解：原式
．
模块一思维导图串知识
模块二基础知识全梳理（吃透教材）
模块三核心考点举一反三
模块四小试牛刀过关测
1．理解同类二次根式的定义；
2．掌握合并化简后被开方数相同的最简二次根式的方法；
3．掌握二次根式的加减法则，会运用法则进行二次根式的加减运算；
4.能应用运算律及乘法公式熟练地进行二次根式的混合运算。
模块一思维导图串知识
模块二基础知识全梳理（吃透教材）
模块三核心考点举一反三
模块四小试牛刀过关测
1．理解同类二次根式的定义；
2．掌握合并化简后被开方数相同的最简二次根式的方法；
3．掌握二次根式的加减法则，会运用法则进行二次根式的加减运算；
4.能应用运算律及乘法公式熟练地进行二次根式的混合运算。