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浙江省温州市罗阳联盟2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题 （解析版）
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这是一份浙江省温州市罗阳联盟2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题 （解析版），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 2024的倒数是（ ）
A. B. 2024C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查倒数定义，解题的关键是掌握倒数定义．
根据题意利用倒数定义“相乘等于1的两个数互为倒数”即可得出本题答案．
【详解】解：2024的倒数是，
故选：A．
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的判断识别，解题的关键是掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据中心对称图形的概念：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度后与原图重合，判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故答案为：B．
3. 一个正方体截去四分之一，得到如图所示的几何体，其左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】运用三种视图的空间方位进行解题．
【详解】解：A、选项不符合三种视图，不符合题意；
B、选项是主视图，不符合题意；
C、选项是右视图，不符合题意；
D、选项是左视图，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力．
4. 计算的结果等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据异分母分式加减法法则进行计算即可．
【详解】解：
；
故选：C．
【点睛】本题考查了异分母分式加减法法则，解答关键是按照相关法则进行计算．
5. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，，与位似，原点O是位似中心，则E点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．利用关于以原点为位似中心的对称点的坐标特征，通过点与点的坐标得到位似比，然后根据位似比得到点坐标．
【详解】解：与位似，原点是位似中心，
而，，
与的位似比为，
，
点的坐标是为，，即．
故选：A．
6. 如图，是的两条直径，是劣弧的中点，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先根据“同弧或等弧所对的弦长相等，对的圆心角也相等”求得，再根据等腰三角形“等边对等角”的性质求解即可．
【详解】解：如下图，连接，
∵是劣弧的中点，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了弧与圆心角的关系、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．
7. 如图，P为外一点，分别切于A、B，切于点E，分别交于点C、D，若，则的周长为（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查切线的性质，利用切线长定理求得和则可求得答案．
【详解】解：∵分别切于A、B，切于点E，
∴，
∴，
即的周长为12，
故选：D．
8. 如图，四边形ABCD是矩形，点E、F是矩形ABCD外两点，AE⊥CF于H，AD=3,DC=4,DE=,∠EDF=90°,则DF的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设DF和AE相交于O点，由矩形的性质和已知条件可证明∠E=∠F，∠ADE=∠FDC，进而可得到△ADE∽△CDF，由相似三角形的性质：对应边的比值相等即可求出DF的长．
【详解】解：设DF和AE相交于O点，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠ADC+∠FDA=∠EDF+∠FDA，
即∠FDC=∠ADE，
∵AE⊥CF于点H，
∴∠F+∠FOH=90°，
∵∠E+∠EOD=90°，∠FOH=∠EOD，
∴∠F=∠E，
∴△ADE∽△CDF，
∴AD：CD=DE：DF，
故选A．
【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判断和性质以及等角的余角相等的性质，题目的综合性较强，难度中等．
9. 已知的对称轴为直线，与轴的其中一个交点为，该函数在的取值范围，下列说法正确的是（ ）
A. 有最小值0，有最大值3B. 有最小值，有最大值3
C. 有最小值，有最大值4D. 有最小值，有最大值4
【答案】B
【解析】
【分析】由抛物线对称轴为直线及抛物线经过可求出，的值，将二次函数解析式化为顶点式，进而求解．
【详解】图象的对称轴为直线，
，
抛物线经过，
，
将代入得，
解得，
，
，
抛物线顶点坐标为，
时，函数最小值为．当时，为最大值，
故选：．
【点睛】本题考查二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系．
10. 如图所示是一株美丽的“勾股树”的基本图，它由3个正方形和直角三角形构成（）．其中，分别为小正方形边的中点，两小正方形分别沿折叠，分别记两阴影部分的面积为，如图所示，当时，时，则的值为（ ）
A. 4B. 5C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质，正切函数等知识，正确作出辅助线是关键．当，作，则，可证明，则，设，，则，，根据列方程可推导出，即，即可求出的值，于是得到结论．
【详解】解：当时，作，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴设，，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，
∴，
∵，，
∴，
∵时，
∴．
故选：D．
二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11. 在“讲政策、讲法制、讲道德、讲恩情”的演讲比赛中，五位选手的成绩如下：
这组成绩的中位数是_______分．
【答案】90
【解析】
【分析】本题考查了中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此解题即可
【详解】解：由表可知，这6位同学的成绩按照从小到大顺序排列为：85、88、90、92、95，
∴中位数为90，
故答案为：90．
12. 已知tan（α+15°）＝，则tanα的值为_____．
【答案】1
【解析】
【分析】首先确定α度数，然后再利用三角函数值求答案．
【详解】∵tan60°＝，
∴α+15°＝60°，
解得：α＝45°，
∴tanα＝1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查求三角函数值，关键是先考虑解出α．
13. 不透明的盒子放有三张大小、形状及质地相同的卡片，卡片上分别写有李白《峨眉山月歌》，李白《渡荆门送别》和王维《寄荆州张丞相》三首诗，小明从盒子中随机抽取两张卡片，卡片上诗的作者都是李白的概率_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算，画树状图，分别数出所有等可能的结果数与符合条件的结果数，依据概率公式求解即可．
【详解】解：把分别写有李白《峨眉山月歌》，李白《渡荆门送别》和王维《寄荆州张丞相》三首诗的卡片分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中卡片上诗的作者都是李白的结果有2种，即，
∴卡片上诗的作者都是李白的概率为
故答案为：．
14. 如图，两个二次函数的图象，其顶点P，Q都在x轴上，且有一水平线与两图象相交于A，B，C，D四点，若，则的长度为_________．
【答案】10
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称性，求出点P、Q的横坐标．设点A的横坐标为m，则点B的横坐标为，点C的横坐标为，点D的横坐标为，求出点P和点Q的横坐标，进而可求出结果．
【详解】解：∵，
∴设点A的横坐标为m，则点B的横坐标为，点C的横坐标为，点D的横坐标为，
∵点P，Q分别为两条抛物线的顶点，A，B，C，D四点的纵坐标相同，
∴点P的横坐标为：，
点Q的横坐标为：，
∴．
故答案为：10．
15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点，分别与对角线，边交于点，，连接，．若点为的中点，的面积为2，则的值为_______．
【答案】6
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的综合应用，设点坐标根据中点坐标公式表示线段和的长是解决本题的关键．设，根据已知条件表示出点，点坐标，易得，，由的面积为2，得的面积为4，所以，即可求出的值．
【详解】解：设，
是矩形，且点为的中点，
点纵坐标为，
代入反比例函数解析式得，
，
点横坐标为，
点横坐标为，代入反比例函数解析式，
得，
，
，
的面积为2，
的面积为4，
，
，
解得．
故答案为：6．
16. 新能源汽车是指采用非常规的车用燃料作为动力来源，综合车辆的动力控制和驱动方面的先进技术，形成的技术原理先进、具有新技术、新结构的汽车．如图1是某新能源汽车侧面示意图，图2是该车后备厢开起侧面示意图，具体数据如图所示（单位：），且，，，箱盖开起过程中，点A，C，F不随箱盖转动，点B，D，E绕点A沿逆时针方向转动相同角度，分别到点，，的位置，气簧活塞杆随之伸长，已知直线， ，则_________ ．
【答案】45
【解析】
【分析】本题考查三角函数的实际应用，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，过A作，过作．由角相等得，故，，再利用勾股定理计算即可．根据实际问题抽象出数学模型是解题的关键．
【详解】解：如图，过A作，过作．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴设，，
∴，
∵，，
∴，
和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
设，
∴，
∴，
，
在中，，
∴，
∴，
即
故答案为：45．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．）
17. 计算：
（1）
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查含特殊角三角函数值的混合运算和整式的乘法．
（1）先计算负指数幂，零指数幂，特殊角三角函数值和二次根式，再进行加减计算；
（2）根据平方差公式和单项式乘多项式法则计算，再合并同类项即可．
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
18. 如图，AB，DE交于点F，，点C在线段AB上，且AC=BE，AD=BC．连结CD，CE．
（1）求证：△ADC≌△BCE．
（2）若∠A=40°，∠ADC=20°，求∠CDE的度数．
【答案】（1）见解析 （2）50°
【解析】
【分析】（1）由平行线的性质得到∠A=∠B，再根据全等三角形的判定（SAS）即可得出结论；
（2）根据全等三角形的性质得到∠BCE=∠ADC=20°，CD=CE，再根据三角形的外角性质求得∠DCB，然后等腰三角形的性质求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴∠A=∠B，
在△ADC和△BCE中，
，
∴△ADC≌△BCE（SAS）．
【小问2详解】
解：∵△ADC≌△BCE，
∴∠BCE=∠ADC，CD=CE，
∵∠ADC=20°，∠A=40°，
∴∠BCE=20°，∠DCB=∠A+∠ADC=60°，
∴∠DCE=∠DCB+∠BCE=80°，又CD=CE，
∴∠CDE=（180°-80°）÷2=50°．
【点睛】本题考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键．
19. 如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点均落在格点上．
（1）的周长等于 ；
（2）点M在线段上（点M与不重合），点N在线段上（点N与不重合），若直线恰好将的周长和面积都平分，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出直线．
【答案】（1）16 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了应用与设计作图，首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
（1）依据，即可得到的周长；
（2）取格点，使，连接与交于点M，在上取格点N，使，作直线即可．
【小问1详解】
由图可得，根据勾股定理求得，
∵，
的周长；
故答案为：16；
【小问2详解】
如图，取格点，使，连接与交于点M，在上取格点N，使，作直线即为所求．
20. 某校开展“我最喜爱的一项体育活动”调查，要求每名学生必选且只能选一项．现随机抽查了部分学生，并将其结果绘制成如下不完整的条形图和扇形图．
请结合以上信息解答下列问题：
（1）在这次调查中一共抽查了 学生，扇形统计图中“乒乓球”所对应的圆心角为 度，并请补全条形统计图；
（2）已知该校共有1200名学生，请你估计该校最喜爱跑步的学生人数；
（3）若在“排球、足球、跑步、乒乓球”四个活动项目任选两项设立课外兴趣小组，请用列表法或画树状图的方法求恰好选中“排球、乒乓球”这两项活动的概率．
【答案】（1）150人，36°，见解析；
（2）312人； （3）；
【解析】
【分析】（1）根据排球有21人，占比是14%，即可求出总人数，“乒乓球”所对应的圆心角用360°×即可求出；用总人数减去其他的体育项目，就可以求出足球的人数；
（2）用1200×即可求出最喜爱跑步的学生人数；
（3）用画树状图或表格的方式列出总情况，找出恰好选中“排球、乒乓球”两项活动的的情况，计算概率即可；
【小问1详解】
解：在这次调查中一共抽查学生21÷14%＝150（人），
扇形统计图中“乒乓球”所对应的圆心角为360°×＝36°，
“足球”人数150×20%＝30（人），
补全图形如下：
故答案为：150、36；
【小问2详解】
解：估计该校最喜爱跑步的学生人数为1200×＝312（人）；
【小问3详解】
解：排球、足球、跑步、乒乓球依次用①②③④表示，
画树状图：
共有12种等可能的结果数，其中恰好选中“①排球、④乒乓球”两项活动的有2种情况，
所有故恰好选中“排球、乒乓球”两项活动的概率为＝．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体和概率的计算；能从统计图中获取有效信息是解决本题的关键．
21. 如图，是菱形对角线上一点，四边形是矩形．点，分别在，上．
（1）求证：
（2）若，，求的长
【答案】（1）详见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质，以及解直角三角形是解题的关键．
（1）根据菱形的性质可得，从而可得，根据矩形的性质可得，从而可得，然后利用三角形的外角可得，，即可解答；
（2）根据矩形的性质可得，，，再利用（1）的结论在中，利用锐角三角函数的定义和勾股定理求出，的长，根据菱形的性质可得，，从而可得，，进而可得，然后利用等角对等边可得，最后证明，利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
【小问1详解】
证明：四边形是菱形，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，，
；
【小问2详解】
解：四边形是矩形，
，，，
，
，，
，
，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
的长为．
22. 根据下列素材，完成相应任务
【答案】任务1：仓库离地的最大距离为6.35；任务2：可以从右边取出，理由见解析；任务3：2，4，1900
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用—几何问题；二次函数的实际应用—拱桥问题：
任务一：利用已知条件可得到点A，B的坐标，再把A、B两点的坐标代入二次函数解析式中可得到关于b，c的方程组，解方程组求出b，c的值，可得到函数解析式，再利用二次函数的性质，可求出y的最大值．
任务二：分别将代入函数解析式，分别求出对应y的值，再比较大小，可作出判断．
任务三：为求仓储区面积最大，故反面则为过道区尽可能小，结合函数对称性及整数位置对应函数值进行高度判断，找出最小的过道布置即可
【详解】解：任务1：∵米，米，水平距离米，其顶部的轮廓为抛物线的一部分 ，
∴点，点，
∵点A，B在函数上，
∴解得：，
所以函数解析式为，
∵抛物线的开口向下，
∴当时．
∴仓库离地的最大距离为6.35．
任务二：∵ ．当叉车要取货物时，需要将其向上抬升，沿水平方向移动1米后取出，；
当时，，
∴无法从左边取出，
当时，，
当时，，
∴可以从右边取出；
任务3：为使得仓储区越大，过道区所占平面应尽可能小，即三块2米的过道，尽可能布设在较小的区域内，
记表示不超过y的最大整数．
由（1）得：，
可计算整数格大致高度，如下，
在时，由对称可知，结合计算与对称性，
当时与时其对应y值相同，即仓库高度相同；
∴有时，；或时，；时，；
故最少的过道占地为：
①第一块过道，即时，根据题意，此时必然是仓储区，
故至少剩余，
同理，为使得过道尽可能少，此时和所占高度为5米，其余所占高度为6米，
②第二块过道，即及第三块过道为即，
故最后仓储区剩余空间最大，其仓储平面区域为放4件，放5件，或放6件，放5件．
综上所述，仓储区容量为：(件)
故设计要求为：，最大容量为1900件．
故答案为：2，4，1900
23. 如图1，在中，，，为上一动点，连接，以为直径的交，，于，，．
（1）当为中点时，求证：为中点；
（2）若，连接，，当是等腰三角形时，求的长；
（3）如图2，在（1）的条件下，连接交于，若，求的长．
【答案】（1）详见解析
（2）或或
（3）3
【解析】
【分析】（1）连接，根据圆周角定理得出，进而得出即可求证；
（2）先根据题意求出，，，再分三种情况进行讨论即可解答；
（3）过作，交延长线于，连接，先证明得出，再说明得出，，根据题意得出是等边三角形，进而得出，然后根据勾股定理求出即可解答．
【小问1详解】
证明：连接，
为的直径，
，
，
，
，
为中点，
，
，
为中点；
【小问2详解】
解：，，，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
①当，
，
连接并延长交于，
则，，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②当时，
，
，
，
，
；
③当时，
连接并延长交于，
则，，
，
，
，
，
，
综上所述，当是等腰三角形时，的长为或或；
【小问3详解】
解：过作，交延长线于，连接，如图所示：
，
为中点，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
是斜边上的中线．
，
设，则，，
，则，
是的直径，
，
，
是线段的中垂线，
，
是等边三角形，
，
，是的一个外角．
，
，，
．
【点睛】本题考查与圆有关的性质和概念，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题关键．
选手编号
1
2
3
4
5
成绩（分）
85
92
90
95
88
仓储品装容的优化设计
素材1
如图1是某个仓库，图2是其横截面的示意图，已知墙体米，米，水平距离米，其顶部的轮廓为抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系后它可以近似地用函数
表示
素材2
图3是棱长为的立方体仓储品，将四件一样的仓储品如图4所示叠放在处，．当叉车要取货物时，需要将其向上抬升，沿水平方向移动1米后取出．
素材3
如图5，为保证能够用叉车安全顺利地搬运和放置仓储品进出仓库，需设计三条宽度为2米的过道，以及在过道之间设计两块宽度不少于2米的仓储区域．
要求：
①靠近过道的仓储品需从就近过道搬运，其余可从左或右搬运．
②尽可能多的装容仓储品．
问题解决
任务1
确定顶部形状
求仓库离地的最大距离．
任务2
确定摆放高度
当米时，试分别判断叉车能否从左边或右边取出？请说明理由．
任务3
设计最优方案
已知该仓库的长为50米，请你根据素材和要求设计：仓储区 米，
米，仓库最大仓储品容量为 件．
x
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4
5
5
5
6
6
6
6
5
5
5
仓储数/件
4
5
5
5
6
6
6
6
5
5
5
1. 2024的倒数是（ ）
A. B. 2024C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查倒数定义，解题的关键是掌握倒数定义．
根据题意利用倒数定义“相乘等于1的两个数互为倒数”即可得出本题答案．
【详解】解：2024的倒数是，
故选：A．
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的判断识别，解题的关键是掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据中心对称图形的概念：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度后与原图重合，判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故答案为：B．
3. 一个正方体截去四分之一，得到如图所示的几何体，其左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】运用三种视图的空间方位进行解题．
【详解】解：A、选项不符合三种视图，不符合题意；
B、选项是主视图，不符合题意；
C、选项是右视图，不符合题意；
D、选项是左视图，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力．
4. 计算的结果等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据异分母分式加减法法则进行计算即可．
【详解】解：
；
故选：C．
【点睛】本题考查了异分母分式加减法法则，解答关键是按照相关法则进行计算．
5. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，，与位似，原点O是位似中心，则E点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．利用关于以原点为位似中心的对称点的坐标特征，通过点与点的坐标得到位似比，然后根据位似比得到点坐标．
【详解】解：与位似，原点是位似中心，
而，，
与的位似比为，
，
点的坐标是为，，即．
故选：A．
6. 如图，是的两条直径，是劣弧的中点，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先根据“同弧或等弧所对的弦长相等，对的圆心角也相等”求得，再根据等腰三角形“等边对等角”的性质求解即可．
【详解】解：如下图，连接，
∵是劣弧的中点，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了弧与圆心角的关系、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．
7. 如图，P为外一点，分别切于A、B，切于点E，分别交于点C、D，若，则的周长为（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查切线的性质，利用切线长定理求得和则可求得答案．
【详解】解：∵分别切于A、B，切于点E，
∴，
∴，
即的周长为12，
故选：D．
8. 如图，四边形ABCD是矩形，点E、F是矩形ABCD外两点，AE⊥CF于H，AD=3,DC=4,DE=,∠EDF=90°,则DF的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设DF和AE相交于O点，由矩形的性质和已知条件可证明∠E=∠F，∠ADE=∠FDC，进而可得到△ADE∽△CDF，由相似三角形的性质：对应边的比值相等即可求出DF的长．
【详解】解：设DF和AE相交于O点，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠ADC+∠FDA=∠EDF+∠FDA，
即∠FDC=∠ADE，
∵AE⊥CF于点H，
∴∠F+∠FOH=90°，
∵∠E+∠EOD=90°，∠FOH=∠EOD，
∴∠F=∠E，
∴△ADE∽△CDF，
∴AD：CD=DE：DF，
故选A．
【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判断和性质以及等角的余角相等的性质，题目的综合性较强，难度中等．
9. 已知的对称轴为直线，与轴的其中一个交点为，该函数在的取值范围，下列说法正确的是（ ）
A. 有最小值0，有最大值3B. 有最小值，有最大值3
C. 有最小值，有最大值4D. 有最小值，有最大值4
【答案】B
【解析】
【分析】由抛物线对称轴为直线及抛物线经过可求出，的值，将二次函数解析式化为顶点式，进而求解．
【详解】图象的对称轴为直线，
，
抛物线经过，
，
将代入得，
解得，
，
，
抛物线顶点坐标为，
时，函数最小值为．当时，为最大值，
故选：．
【点睛】本题考查二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系．
10. 如图所示是一株美丽的“勾股树”的基本图，它由3个正方形和直角三角形构成（）．其中，分别为小正方形边的中点，两小正方形分别沿折叠，分别记两阴影部分的面积为，如图所示，当时，时，则的值为（ ）
A. 4B. 5C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质，正切函数等知识，正确作出辅助线是关键．当，作，则，可证明，则，设，，则，，根据列方程可推导出，即，即可求出的值，于是得到结论．
【详解】解：当时，作，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴设，，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，
∴，
∵，，
∴，
∵时，
∴．
故选：D．
二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11. 在“讲政策、讲法制、讲道德、讲恩情”的演讲比赛中，五位选手的成绩如下：
这组成绩的中位数是_______分．
【答案】90
【解析】
【分析】本题考查了中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此解题即可
【详解】解：由表可知，这6位同学的成绩按照从小到大顺序排列为：85、88、90、92、95，
∴中位数为90，
故答案为：90．
12. 已知tan（α+15°）＝，则tanα的值为_____．
【答案】1
【解析】
【分析】首先确定α度数，然后再利用三角函数值求答案．
【详解】∵tan60°＝，
∴α+15°＝60°，
解得：α＝45°，
∴tanα＝1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查求三角函数值，关键是先考虑解出α．
13. 不透明的盒子放有三张大小、形状及质地相同的卡片，卡片上分别写有李白《峨眉山月歌》，李白《渡荆门送别》和王维《寄荆州张丞相》三首诗，小明从盒子中随机抽取两张卡片，卡片上诗的作者都是李白的概率_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算，画树状图，分别数出所有等可能的结果数与符合条件的结果数，依据概率公式求解即可．
【详解】解：把分别写有李白《峨眉山月歌》，李白《渡荆门送别》和王维《寄荆州张丞相》三首诗的卡片分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中卡片上诗的作者都是李白的结果有2种，即，
∴卡片上诗的作者都是李白的概率为
故答案为：．
14. 如图，两个二次函数的图象，其顶点P，Q都在x轴上，且有一水平线与两图象相交于A，B，C，D四点，若，则的长度为_________．
【答案】10
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称性，求出点P、Q的横坐标．设点A的横坐标为m，则点B的横坐标为，点C的横坐标为，点D的横坐标为，求出点P和点Q的横坐标，进而可求出结果．
【详解】解：∵，
∴设点A的横坐标为m，则点B的横坐标为，点C的横坐标为，点D的横坐标为，
∵点P，Q分别为两条抛物线的顶点，A，B，C，D四点的纵坐标相同，
∴点P的横坐标为：，
点Q的横坐标为：，
∴．
故答案为：10．
15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点，分别与对角线，边交于点，，连接，．若点为的中点，的面积为2，则的值为_______．
【答案】6
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的综合应用，设点坐标根据中点坐标公式表示线段和的长是解决本题的关键．设，根据已知条件表示出点，点坐标，易得，，由的面积为2，得的面积为4，所以，即可求出的值．
【详解】解：设，
是矩形，且点为的中点，
点纵坐标为，
代入反比例函数解析式得，
，
点横坐标为，
点横坐标为，代入反比例函数解析式，
得，
，
，
的面积为2，
的面积为4，
，
，
解得．
故答案为：6．
16. 新能源汽车是指采用非常规的车用燃料作为动力来源，综合车辆的动力控制和驱动方面的先进技术，形成的技术原理先进、具有新技术、新结构的汽车．如图1是某新能源汽车侧面示意图，图2是该车后备厢开起侧面示意图，具体数据如图所示（单位：），且，，，箱盖开起过程中，点A，C，F不随箱盖转动，点B，D，E绕点A沿逆时针方向转动相同角度，分别到点，，的位置，气簧活塞杆随之伸长，已知直线， ，则_________ ．
【答案】45
【解析】
【分析】本题考查三角函数的实际应用，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，过A作，过作．由角相等得，故，，再利用勾股定理计算即可．根据实际问题抽象出数学模型是解题的关键．
【详解】解：如图，过A作，过作．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴设，，
∴，
∵，，
∴，
和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
设，
∴，
∴，
，
在中，，
∴，
∴，
即
故答案为：45．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．）
17. 计算：
（1）
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查含特殊角三角函数值的混合运算和整式的乘法．
（1）先计算负指数幂，零指数幂，特殊角三角函数值和二次根式，再进行加减计算；
（2）根据平方差公式和单项式乘多项式法则计算，再合并同类项即可．
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
18. 如图，AB，DE交于点F，，点C在线段AB上，且AC=BE，AD=BC．连结CD，CE．
（1）求证：△ADC≌△BCE．
（2）若∠A=40°，∠ADC=20°，求∠CDE的度数．
【答案】（1）见解析 （2）50°
【解析】
【分析】（1）由平行线的性质得到∠A=∠B，再根据全等三角形的判定（SAS）即可得出结论；
（2）根据全等三角形的性质得到∠BCE=∠ADC=20°，CD=CE，再根据三角形的外角性质求得∠DCB，然后等腰三角形的性质求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴∠A=∠B，
在△ADC和△BCE中，
，
∴△ADC≌△BCE（SAS）．
【小问2详解】
解：∵△ADC≌△BCE，
∴∠BCE=∠ADC，CD=CE，
∵∠ADC=20°，∠A=40°，
∴∠BCE=20°，∠DCB=∠A+∠ADC=60°，
∴∠DCE=∠DCB+∠BCE=80°，又CD=CE，
∴∠CDE=（180°-80°）÷2=50°．
【点睛】本题考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键．
19. 如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点均落在格点上．
（1）的周长等于 ；
（2）点M在线段上（点M与不重合），点N在线段上（点N与不重合），若直线恰好将的周长和面积都平分，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出直线．
【答案】（1）16 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了应用与设计作图，首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
（1）依据，即可得到的周长；
（2）取格点，使，连接与交于点M，在上取格点N，使，作直线即可．
【小问1详解】
由图可得，根据勾股定理求得，
∵，
的周长；
故答案为：16；
【小问2详解】
如图，取格点，使，连接与交于点M，在上取格点N，使，作直线即为所求．
20. 某校开展“我最喜爱的一项体育活动”调查，要求每名学生必选且只能选一项．现随机抽查了部分学生，并将其结果绘制成如下不完整的条形图和扇形图．
请结合以上信息解答下列问题：
（1）在这次调查中一共抽查了 学生，扇形统计图中“乒乓球”所对应的圆心角为 度，并请补全条形统计图；
（2）已知该校共有1200名学生，请你估计该校最喜爱跑步的学生人数；
（3）若在“排球、足球、跑步、乒乓球”四个活动项目任选两项设立课外兴趣小组，请用列表法或画树状图的方法求恰好选中“排球、乒乓球”这两项活动的概率．
【答案】（1）150人，36°，见解析；
（2）312人； （3）；
【解析】
【分析】（1）根据排球有21人，占比是14%，即可求出总人数，“乒乓球”所对应的圆心角用360°×即可求出；用总人数减去其他的体育项目，就可以求出足球的人数；
（2）用1200×即可求出最喜爱跑步的学生人数；
（3）用画树状图或表格的方式列出总情况，找出恰好选中“排球、乒乓球”两项活动的的情况，计算概率即可；
【小问1详解】
解：在这次调查中一共抽查学生21÷14%＝150（人），
扇形统计图中“乒乓球”所对应的圆心角为360°×＝36°，
“足球”人数150×20%＝30（人），
补全图形如下：
故答案为：150、36；
【小问2详解】
解：估计该校最喜爱跑步的学生人数为1200×＝312（人）；
【小问3详解】
解：排球、足球、跑步、乒乓球依次用①②③④表示，
画树状图：
共有12种等可能的结果数，其中恰好选中“①排球、④乒乓球”两项活动的有2种情况，
所有故恰好选中“排球、乒乓球”两项活动的概率为＝．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体和概率的计算；能从统计图中获取有效信息是解决本题的关键．
21. 如图，是菱形对角线上一点，四边形是矩形．点，分别在，上．
（1）求证：
（2）若，，求的长
【答案】（1）详见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质，以及解直角三角形是解题的关键．
（1）根据菱形的性质可得，从而可得，根据矩形的性质可得，从而可得，然后利用三角形的外角可得，，即可解答；
（2）根据矩形的性质可得，，，再利用（1）的结论在中，利用锐角三角函数的定义和勾股定理求出，的长，根据菱形的性质可得，，从而可得，，进而可得，然后利用等角对等边可得，最后证明，利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
【小问1详解】
证明：四边形是菱形，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，，
；
【小问2详解】
解：四边形是矩形，
，，，
，
，，
，
，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
的长为．
22. 根据下列素材，完成相应任务
【答案】任务1：仓库离地的最大距离为6.35；任务2：可以从右边取出，理由见解析；任务3：2，4，1900
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用—几何问题；二次函数的实际应用—拱桥问题：
任务一：利用已知条件可得到点A，B的坐标，再把A、B两点的坐标代入二次函数解析式中可得到关于b，c的方程组，解方程组求出b，c的值，可得到函数解析式，再利用二次函数的性质，可求出y的最大值．
任务二：分别将代入函数解析式，分别求出对应y的值，再比较大小，可作出判断．
任务三：为求仓储区面积最大，故反面则为过道区尽可能小，结合函数对称性及整数位置对应函数值进行高度判断，找出最小的过道布置即可
【详解】解：任务1：∵米，米，水平距离米，其顶部的轮廓为抛物线的一部分 ，
∴点，点，
∵点A，B在函数上，
∴解得：，
所以函数解析式为，
∵抛物线的开口向下，
∴当时．
∴仓库离地的最大距离为6.35．
任务二：∵ ．当叉车要取货物时，需要将其向上抬升，沿水平方向移动1米后取出，；
当时，，
∴无法从左边取出，
当时，，
当时，，
∴可以从右边取出；
任务3：为使得仓储区越大，过道区所占平面应尽可能小，即三块2米的过道，尽可能布设在较小的区域内，
记表示不超过y的最大整数．
由（1）得：，
可计算整数格大致高度，如下，
在时，由对称可知，结合计算与对称性，
当时与时其对应y值相同，即仓库高度相同；
∴有时，；或时，；时，；
故最少的过道占地为：
①第一块过道，即时，根据题意，此时必然是仓储区，
故至少剩余，
同理，为使得过道尽可能少，此时和所占高度为5米，其余所占高度为6米，
②第二块过道，即及第三块过道为即，
故最后仓储区剩余空间最大，其仓储平面区域为放4件，放5件，或放6件，放5件．
综上所述，仓储区容量为：(件)
故设计要求为：，最大容量为1900件．
故答案为：2，4，1900
23. 如图1，在中，，，为上一动点，连接，以为直径的交，，于，，．
（1）当为中点时，求证：为中点；
（2）若，连接，，当是等腰三角形时，求的长；
（3）如图2，在（1）的条件下，连接交于，若，求的长．
【答案】（1）详见解析
（2）或或
（3）3
【解析】
【分析】（1）连接，根据圆周角定理得出，进而得出即可求证；
（2）先根据题意求出，，，再分三种情况进行讨论即可解答；
（3）过作，交延长线于，连接，先证明得出，再说明得出，，根据题意得出是等边三角形，进而得出，然后根据勾股定理求出即可解答．
【小问1详解】
证明：连接，
为的直径，
，
，
，
，
为中点，
，
，
为中点；
【小问2详解】
解：，，，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
①当，
，
连接并延长交于，
则，，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②当时，
，
，
，
，
；
③当时，
连接并延长交于，
则，，
，
，
，
，
，
综上所述，当是等腰三角形时，的长为或或；
【小问3详解】
解：过作，交延长线于，连接，如图所示：
，
为中点，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
是斜边上的中线．
，
设，则，，
，则，
是的直径，
，
，
是线段的中垂线，
，
是等边三角形，
，
，是的一个外角．
，
，，
．
【点睛】本题考查与圆有关的性质和概念，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题关键．
选手编号
1
2
3
4
5
成绩（分）
85
92
90
95
88
仓储品装容的优化设计
素材1
如图1是某个仓库，图2是其横截面的示意图，已知墙体米，米，水平距离米，其顶部的轮廓为抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系后它可以近似地用函数
表示
素材2
图3是棱长为的立方体仓储品，将四件一样的仓储品如图4所示叠放在处，．当叉车要取货物时，需要将其向上抬升，沿水平方向移动1米后取出．
素材3
如图5，为保证能够用叉车安全顺利地搬运和放置仓储品进出仓库，需设计三条宽度为2米的过道，以及在过道之间设计两块宽度不少于2米的仓储区域．
要求：
①靠近过道的仓储品需从就近过道搬运，其余可从左或右搬运．
②尽可能多的装容仓储品．
问题解决
任务1
确定顶部形状
求仓库离地的最大距离．
任务2
确定摆放高度
当米时，试分别判断叉车能否从左边或右边取出？请说明理由．
任务3
设计最优方案
已知该仓库的长为50米，请你根据素材和要求设计：仓储区 米，
米，仓库最大仓储品容量为 件．
x
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4
5
5
5
6
6
6
6
5
5
5
仓储数/件
4
5
5
5
6
6
6
6
5
5
5
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