新高考数学一轮复习考点过关练习 等比数列的判定与证明（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习考点过关练习 等比数列的判定与证明（含解析），共18页。
等比数列的四种常用判定方法
【典例剖析】
典例1．在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）证明：数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列；
（2）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式．
典例2．已知各项都为正数的数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 是等比数列；
(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
典例3．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 为等比数列.
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
【双基达标】
4．设数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）证明：数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
5．在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 为等比数列，并求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)令 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
6．若数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，对于任意的 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明：数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列；
(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式.
7．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明：数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
8．已知数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求证：数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，并求出 SKIPIF 1 < 0 的通项公式 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，求使 SKIPIF 1 < 0 恒成立的最小的整数 SKIPIF 1 < 0 ．
9．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．设 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明：数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，并求出 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的前2n项和．
10．已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；
（2）求{an}和{bn}的通项公式.
【高分突破】
11．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明：数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列；
(2)设数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 .
12．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，并求出数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 .
13．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且满 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列．
(2)若数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．
14．设数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 .
（1）证明： SKIPIF 1 < 0 是等比数列；
（2）令 SKIPIF 1 < 0 ，设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，求使 SKIPIF 1 < 0 成立的最大自然数 SKIPIF 1 < 0 的值.
15．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求证：数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列；
（2）设数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ，若不等式 SKIPIF 1 < 0 对于 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数m的最大值.
16．以数列的任意相邻两项为点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的坐标，均在一次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上，数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求证：数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列；
（2）设数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
17．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的首项为正数，其前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求实数 SKIPIF 1 < 0 的值，使得 SKIPIF 1 < 0 是等比数列；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和．
18．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（Ⅰ）证明：数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，并求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（Ⅱ）记 SKIPIF 1 < 0 ，求使 SKIPIF 1 < 0 成立的最大正整数n的值.（其中，符号 SKIPIF 1 < 0 表示不超过x的最大整数）
19．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
（1）证明：数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，记数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
20．为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得 SKIPIF 1 < 0 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得 SKIPIF 1 < 0 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分， SKIPIF 1 < 0 表示“甲药的累计得分为 SKIPIF 1 < 0 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．假设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(i)证明： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 为等比数列；
(ii)求 SKIPIF 1 < 0 ，并根据 SKIPIF 1 < 0 的值解释这种试验方案的合理性．
定义法
若eq \f(an＋1,an)＝q(q为非零常数，n∈N*)或eq \f(an,an－1)＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列
中项
公式法
若数列{an}中，an≠0且aeq \\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列
通项
公式法
若数列{an}的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列
前n项
和公式法
若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0，1)，则{an}是等比数列
参考答案
1．（1）证明见解析 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】
【分析】
（1）通过计算 SKIPIF 1 < 0 来证得数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列.
（2）结合（1）的结论求得数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式.
【详解】
（1）由题意，知 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为1，公比为4的等比数列．
（2）由（1），可知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ．
2．(1)证明见解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
（1）根据等比数列的定义,利用 SKIPIF 1 < 0 以及 SKIPIF 1 < 0 ,即可得到 SKIPIF 1 < 0 ,即可证明.（2）根据分组求和和等比数列求和公式即可求解.
（1）因为 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 ， 因为 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 是首项和公比均为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列.
（2）由（1）易得： SKIPIF 1 < 0 因为 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
3．(1)证明见解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
（1）由 SKIPIF 1 < 0 可求得 SKIPIF 1 < 0 的值，令 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，两式作差可推导出数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列；
（2）求出 SKIPIF 1 < 0 ，利用裂项相消法可求得 SKIPIF 1 < 0 .
(1)
证明：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
即 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列，所以， SKIPIF 1 < 0 .
(2)
解：由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
4．（1）证明见解析；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】
（1）由 SKIPIF 1 < 0 ,变形为 SKIPIF 1 < 0 ，即可证明；（2）由等比数列的通项公式可得 SKIPIF 1 < 0 ， 于是 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，再利用“裂项求和”即可得出．
【详解】
解：（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为3，公比为3的等比数列.
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，
公比为3的等比数列.
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
5．(1)证明见解析， SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
（1）依题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可得到 SKIPIF 1 < 0 是以4为首项，2为公比的等比数列，从而求出 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，对 SKIPIF 1 < 0 分奇偶，利用等比数列求和公式计算可得；
（1）解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是以4为首项，2为公比的等比数列.故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
（2）解：由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，综上所述， SKIPIF 1 < 0
6．(1)证明见解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
（1）由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即可得证；
（2）由数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，可得数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式，再利用构造法求得数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式.
(1)
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为 SKIPIF 1 < 0
(2)
由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，
等式左右两边同时除以 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
7．(1)证明见解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
（1）由递推关系式可得 SKIPIF 1 < 0 ，由等比数列定义可得结论；
（2）利用等比数列通项公式和累加法可求得 SKIPIF 1 < 0 ，由此可得 SKIPIF 1 < 0 ，分别在 SKIPIF 1 < 0 为偶数和 SKIPIF 1 < 0 为奇数的情况下，利用裂项相消法和 SKIPIF 1 < 0 求得结果，综合两种情况可得 SKIPIF 1 < 0 .
(1)
由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列.
(2)
由（1）得： SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 ，
各式作和得： SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 ；
综上所述： SKIPIF 1 < 0 .
8．（1）证明见解析， SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】
（1）将已知条件两边同时取倒数可得 SKIPIF 1 < 0 ，利用构造法令 SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 的值，由等比数列的定义即可求证；求出 SKIPIF 1 < 0 即可得 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求出 SKIPIF 1 < 0 的通项公式，由乘公比错位相减求出 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 即可.
【详解】
（1）由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由等比数列的定义可知：
数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为公比，以 SKIPIF 1 < 0 为首项的等比数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
（2）由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以使 SKIPIF 1 < 0 恒成立的最小的整数 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ．
9．(1) SKIPIF 1 < 0
(2)数列 SKIPIF 1 < 0 的前2n项和为 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
（1）根据数列的递推公式可得 SKIPIF 1 < 0 ，由此构造数列，进而证明结论；
（2）根据数列的递推公式可得数列的偶数项与奇数项之间的关系，由（1）可得数列的奇数项的通项公式，利用等比数列的求和公式，进而求得答案.
(1)
由题意可知： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，以 SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列，
且 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0
(2)
由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意知： SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故数列 SKIPIF 1 < 0 的前2n项和 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
10．（1）见解析；（2） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】
【分析】
(1)可通过题意中的 SKIPIF 1 < 0 以及 SKIPIF 1 < 0 对两式进行相加和相减即可推导出数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列以及数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列；
(2)可通过(1)中的结果推导出数列 SKIPIF 1 < 0 以及数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式，然后利用数列 SKIPIF 1 < 0 以及数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式即可得出结果．
【详解】
(1)由题意可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 、公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 是首项 SKIPIF 1 < 0 、公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列， SKIPIF 1 < 0 ．
(2)由(1)可知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】
本题考查了数列的相关性质，主要考查了等差数列以及等比数列的相关证明，证明数列是等差数列或者等比数列一定要结合等差数列或者等比数列的定义，考查推理能力，考查化归与转化思想，是中档题．
11．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）分 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 两种情况分析，当 SKIPIF 1 < 0 是，构造 SKIPIF 1 < 0 证明即可；
（2）由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用裂项求和求解 SKIPIF 1 < 0 ，进而证明即可
（1）证明：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ∴数列 SKIPIF 1 < 0 是以2为公比，首项 SKIPIF 1 < 0 的等比数列
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 综上所述 SKIPIF 1 < 0
12．(1)证明见解析， SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
（1）根据 SKIPIF 1 < 0 求得 SKIPIF 1 < 0 ，由由已知 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，两式相减可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可证明结论，继而求得通项公式；
（2）利用（1）的结论，求出 SKIPIF 1 < 0 ，利用错位相减法求得答案.
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ,由已知 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ,两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 , 因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以3为首项，3为公比的等比数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
13．(1)答案见解析；’
(2) SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】
（1）证明见解析；
（2）先求出 SKIPIF 1 < 0 ，利用裂项相消法求和.
(1)
对于 SKIPIF 1 < 0 ，
当n=1时，由 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列.
(2)
由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以当n=1时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，
经检验， SKIPIF 1 < 0 对n=1也成立.
所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
14．（1）证明见解析；（2）最大自然数 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】
（1）根据题中条件，可得 SKIPIF 1 < 0 的表达式，根据等比数列的定义，即可得证；
（2）由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，则可得 SKIPIF 1 < 0 ，根据错位相减求和法，可求得 SKIPIF 1 < 0 的表达式，根据 SKIPIF 1 < 0 的单调性，代入数值，分析即可得答案.
【详解】
解：（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为2的等比数列.
（2）由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，①
SKIPIF 1 < 0 ，②
①减②得
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .单调递增.
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
故使 SKIPIF 1 < 0 成立的最大自然数 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】
解题的关键是根据所给形式，进行配凑和整理，根据等比数列定义，即可得证，求和常用的方法有：①公式法，②倒序相加法，③裂项相消法，④错位相减法等，需熟练掌握.
15．（1）证明见解析；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
（1）利用 SKIPIF 1 < 0 可得数列 SKIPIF 1 < 0 的递推关系， SKIPIF 1 < 0 ，然后可证明 SKIPIF 1 < 0 是等比数列；
（2）由（1）求出 SKIPIF 1 < 0 ，即得 SKIPIF 1 < 0 ，利用错位相减法求得 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 对于 SKIPIF 1 < 0 恒成立，转化为 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求出 SKIPIF 1 < 0 的最小值即可得结论．
【详解】
（1）由 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），
两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 是以1为首项，2为公比的等比数列.
（2）由 SKIPIF 1 < 0 ，又由（1）可知 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递增；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，所以实数m的最大值是 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】
本题考查由 SKIPIF 1 < 0 求 SKIPIF 1 < 0 ，考查等比数列的证明，等比数列的通项公式，考查错位相减法求和以及数列不等式恒成立问题．考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力，属于中档题．
16．（1）证明见解析；（2）8.
【解析】
【分析】
（1）可根据题目条件得到 SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，即可证得 SKIPIF 1 < 0 为等比数列；
（2）分别写出 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和表达式，列出方程组，即可求解出 SKIPIF 1 < 0 的值．
【详解】
（1）证明：依题意可知 SKIPIF 1 < 0 ，
整理可得 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 ，即数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为2的等比数列．
（2）数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 可列方程组 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ．
17．(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
由题可知，数列的代数表达式是很复杂的，需要进行恒等变换；
（1）当 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 同时出现在代数表达式中的时候，往往需要利用 SKIPIF 1 < 0 ，把 SKIPIF 1 < 0 转换成 SKIPIF 1 < 0 ，但是本题是要证明 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，所以要把 SKIPIF 1 < 0 转换成 SKIPIF 1 < 0 ，再利用等比数列的定义即可证明；
（2）依题意很显然应该是裂项相消求和.
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时，把 SKIPIF 1 < 0 代入题设条件得: SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，很显然 SKIPIF 1 < 0 是首项为8+1=9，公比为9的等比数列，∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比 SKIPIF 1 < 0 的等比数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．故数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为： SKIPIF 1 < 0 .
18．（Ⅰ）证明见解析， SKIPIF 1 < 0 ；（Ⅱ）45.
【解析】
【分析】
（1）等式两边同时除以 SKIPIF 1 < 0 即可；
（2）需要对 SKIPIF 1 < 0 的整数部分与小数部分进行分析.
【详解】
∵ SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，3为公比的等比数列
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
因为n≥2时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
所以n≥2时， SKIPIF 1 < 0 .
又n=1时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ，及 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
所以使 SKIPIF 1 < 0 成立的最大正整数n的值为45.
【点睛】
本题说明n≥2时， SKIPIF 1 < 0 是解决问题的关键.
19．（1）证明见详解；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】
（1）由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，化简整理，结合定义即可得证.
（2）由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，代入可得 SKIPIF 1 < 0 ，分别讨论 SKIPIF 1 < 0 为奇数和偶数时 SKIPIF 1 < 0 的表达式，结合单调性，即可求出 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【详解】
（1）证明：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
从而数列 SKIPIF 1 < 0 是以6为首项，2为公比的等比数列
（2）解：由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0 是递减的，此时当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最大值 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 是递增的，此时 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
综上， SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】
本题考查了数列构造法，等比数列的定义以及裂项相消求和，还涉及了分类讨论的思想，属于难题
20．（1）见解析；（2）（i）见解析；（ii） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】
（1）首先确定 SKIPIF 1 < 0 所有可能的取值，再来计算出每个取值对应的概率，从而可得分布列；（2）（i）求解出 SKIPIF 1 < 0 的取值，可得 SKIPIF 1 < 0 ，从而整理出符合等比数列定义的形式，问题得证；（ii）列出证得的等比数列的通项公式，采用累加的方式，结合 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的值可求得 SKIPIF 1 < 0 ；再次利用累加法可求出 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】
（1）由题意可知 SKIPIF 1 < 0 所有可能的取值为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 的分布列如下：
（2） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
（i） SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0
整理可得： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列
（ii）由（i）知： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，……， SKIPIF 1 < 0
作和可得： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为 SKIPIF 1 < 0 ，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种实验方案合理.
【点睛】
本题考查离散型随机变量分布列的求解、利用递推关系式证明等比数列、累加法求解数列通项公式和数列中的项的问题.本题综合性较强，要求学生能够熟练掌握数列通项求解、概率求解的相关知识，对学生分析和解决问题能力要求较高.
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0