新高考数学一轮复习考点过关练习 解三角形的长度、面积的取值范围问题（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习考点过关练习 解三角形的长度、面积的取值范围问题（含解析），共35页。

解三角形中的长度范围问题时，要着眼于边长之间的关系，可以将边的关系转化为角的关系，也可以将角的关系转化为边的关系，这类问题的主要思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，借助于三角函数的有界性，从而求出范围或最值，或利用余弦定理以及基本不等式求范围或最值.
【题型归纳】
题型一：长度问题
1．已知 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别是线段 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 周长的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．在锐角三角形中，a，b，c分别是内角A，B，C的对应边，设A＝2C，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3． SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
题型二：面积问题
4．在 SKIPIF 1 < 0 中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为( )
A．1B．3C．2D．4
5． SKIPIF 1 < 0 的内角 SKIPIF 1 < 0 所对的边分别为 SKIPIF 1 < 0 .已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积的最大值（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
6．在 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所对的边分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积的最大值为（ ）
A．3B．6C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【双基达标】
7．在 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 所对的边分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
8．在 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 所对的边分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0
9．设点P在 SKIPIF 1 < 0 内且为 SKIPIF 1 < 0 的外心， SKIPIF 1 < 0 ，如图，若 SKIPIF 1 < 0 的面积分别为 SKIPIF 1 < 0 ，x，y，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
10．在 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 所对的边分别为 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 周长的最大值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
11．已知锐角 SKIPIF 1 < 0 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 的外接圆直径为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
12．某小区打算将如图的一直三角形 SKIPIF 1 < 0 区域进行改建,在三边上各选一点连成等边三角形 SKIPIF 1 < 0 ,在其内建造文化景观.已知 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 区域内面积(单位： SKIPIF 1 < 0 )的最小值为
A．25 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
13．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别为边 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 所对的角，若 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 成等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
14．在平面内，四边形ABCD的 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 互补， SKIPIF 1 < 0 ，则四边形ABCD面积的最大值=（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
15．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且有 SKIPIF 1 < 0 ，则线段 SKIPIF 1 < 0 长的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
16．阿波罗尼奥斯是与阿基米德、欧几里得齐名的古希腊数学家，以他姓名命名的阿氏圆是指平面内到两定点的距离的比值为常数 SKIPIF 1 < 0 的动点的轨迹．已知在 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 所对的边分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
17．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 的平分线交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 周长的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
18．如图，某湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台 SKIPIF 1 < 0 ，已知射线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为湿地两边夹角为 SKIPIF 1 < 0 的公路（长度均超过 SKIPIF 1 < 0 千米），在两条公路 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上分别设立游客接送点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 千米，若要求观景台 SKIPIF 1 < 0 与两接送点所成角 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 互补且观景台 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的右侧，并在观景台 SKIPIF 1 < 0 与接送点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 之间建造两条观光线路 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ，则观光线路之和最长是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
19．在 SKIPIF 1 < 0 中，内角 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 所对的边分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
20． SKIPIF 1 < 0 的外接圆半径 SKIPIF 1 < 0 ，角 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．4D． SKIPIF 1 < 0
21．在钝角 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 所对的边分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则最大边 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
22．我国南宋时期数学家秦九韶发现了求三角形面积的“三斜求积”公式：设△ SKIPIF 1 < 0 内角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所对的边分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，面积 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则△ SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
23．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
24．在 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 周长的最大值为（ ）
A．8B．10C．12D．14
25．在锐角 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 分别为角 SKIPIF 1 < 0 的对边，已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积S的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【高分突破】
单选题
26．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 周长的最大值为
A．8B．7C．6D．5
27．如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点D在线段BC上，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．4C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
28．在 SKIPIF 1 < 0 中，A，B，C分别为 SKIPIF 1 < 0 三边a，b，c所对的角，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值是（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
29．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点分别为F1，F2，点M是双曲线右支上一点，满足 SKIPIF 1 < 0 ，点N是F1F2线段上一点，满足 SKIPIF 1 < 0 ．现将△MF1F2沿MN折成直二面角 SKIPIF 1 < 0 ，若使折叠后点F1，F2距离最小，则 SKIPIF 1 < 0 为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
30． SKIPIF 1 < 0 内角A，B，C的对边分别为a，b，c， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 周长的最大值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
二、多选题
31．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 所对的边为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 边上的中点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，下列选项正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D．角 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
32．在 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值可以是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D． SKIPIF 1 < 0
33．在锐角 SKIPIF 1 < 0 中，边长 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则边长c可能的取值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
34．在锐角 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，外接圆半径为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的最大值为3
D． SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
三、填空题
35．已知在 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为___________.
36．拿破仑是十九世纪法国伟大的军事家、政治家，对数学也很有兴趣，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”，在△ABC中，以AB，BC，CA为边向外构造的三个等边三角形的中心依次为D，E，F，若 SKIPIF 1 < 0 ，利用拿破仑定理可求得AB＋AC的最大值为___．
37．线段AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始________h后，两车的距离最小．
38．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则S的最大值为______．
39．如图，扇形OPQ的半径为6，圆心角为60°，C为弧 SKIPIF 1 < 0 上一动点，B为半径上一点且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的周长的最大值是______．
40．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccsB=acsB+bcsA，b=2，则△ABC的面积的最大值是___________.
四、解答题
41．在 SKIPIF 1 < 0 中，内角 SKIPIF 1 < 0 所对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0
(1)求角 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 周长的最大值.
42．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别是角 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 所对的边，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求角 SKIPIF 1 < 0 的大小；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
（3）求 SKIPIF 1 < 0 周长的取值范围.
43．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 .
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 周长的最小值.
44．已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的单调递增区间；
（2）若对 SKIPIF 1 < 0 ，恒有 SKIPIF 1 < 0 成立，且______，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值.
在① SKIPIF 1 < 0 的外接圆直径为4，② SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 截圆 SKIPIF 1 < 0 所得的弦长，③ SKIPIF 1 < 0 这三个条件中，任选两个补充到上面问题中，并完成求解，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 的内角A， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所对的边.
45．在锐角 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求角A的大小；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积；
（3）求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
推导出 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的重心，可得出 SKIPIF 1 < 0 ，利用平面向量加法的平行四边形法则可得出 SKIPIF 1 < 0 ，利用平面向量数量积的运算性质结合余弦定理可得出 SKIPIF 1 < 0 ，利用基本不等式可求得 SKIPIF 1 < 0 的最大值，即可得解.
【详解】
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别是线段 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的重心，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立.
因此， SKIPIF 1 < 0 周长的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
【点睛】
方法点睛：求三角形周长的最值是一种常见的类型，主要方法有两类：
（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；
（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.
2．A
【解析】
【分析】
由正弦定理把边化角，再用三角恒等变换化简，转化为三角函数的值域问题，即可求解
【详解】
由正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
又因为三角形是锐角三角形，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，也即 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A
3．A
【解析】
【分析】
利用平方关系及正弦定理将角化边，再由余弦定理求出 SKIPIF 1 < 0 ，最后由正弦定理及正弦函数的性质计算可得；
【详解】
解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
4．C
【解析】
【分析】
根据 SKIPIF 1 < 0 利用三角恒等变换和正余弦定理得到 SKIPIF 1 < 0 ，再根据余弦定理和基本不等式可得csB的范围，由此得B的范围，从而得到sinB的最大值，从而根据 SKIPIF 1 < 0 可求△ABC面积的最大值．
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当时取等号，
SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C．
5．B
【解析】
【分析】
根据 SKIPIF 1 < 0 ，利用正弦定理化角为边，结合余弦定理求得角 SKIPIF 1 < 0 ，再根据 SKIPIF 1 < 0 ，利用余弦定理化角为边求得边 SKIPIF 1 < 0 ，再利用余弦定理结合基本不等式求得 SKIPIF 1 < 0 的最大值，再根据三角形的面积公式即可得出答案.
【详解】
解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，取等号，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
6．A
【解析】
【分析】
先求出 SKIPIF 1 < 0 ，再使用余弦定理和面积公式表达出 SKIPIF 1 < 0 ，结合三角形三边关系求得 SKIPIF 1 < 0 ，从而得到面积的最大值.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，由余弦定理得： SKIPIF 1 < 0 ，由面积公式得： SKIPIF 1 < 0 ，由三角形三边关系得： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，故当 SKIPIF 1 < 0 时，△ABC面积取得最大值，此时面积为3.
故选：A
7．A
【解析】
【分析】
利用二倍角公式和正弦定理化简已知等式可得 SKIPIF 1 < 0 ；利用余弦定理可构造等量关系求得 SKIPIF 1 < 0 ，进而得到 SKIPIF 1 < 0 ；利用三角形面积公式，将 SKIPIF 1 < 0 表示为以 SKIPIF 1 < 0 为自变量的二次函数的形式，利用二次函数最值的求法可求得所求最大值.
【详解】
由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，由正弦定理得： SKIPIF 1 < 0 ；
由余弦定理得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
8．C
【解析】
【分析】
首先由数量积的定义求出 SKIPIF 1 < 0 ，再由余弦定理及基本不等式求出 SKIPIF 1 < 0 的最小值；
【详解】
解：∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C．
9．B
【解析】
【分析】
由 SKIPIF 1 < 0 得到外接圆半径的平方，设 SKIPIF 1 < 0 ，将x，y用 SKIPIF 1 < 0 表示，再结合二倍角公式化简即可得到答案.
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 外接圆半径为r，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立．
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：引入变量 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 均用变量 SKIPIF 1 < 0 表示，将最后结果表示为关于 SKIPIF 1 < 0 的三角函数，利用三角函数的性质求最值是解题的关键.
10．B
【解析】
【分析】
由已知利用三角形的面积公式可求的 SKIPIF 1 < 0 ，进而可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由余弦定理，基本不等式可求 SKIPIF 1 < 0 ，根据三角形的周长即可求解其最大值．
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，由余弦定理可得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
则 SKIPIF 1 < 0 周长的最大值是 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B
11．C
【解析】
【分析】
首先由正弦定理化简关系式得到 SKIPIF 1 < 0 ，接着有正弦定理将 SKIPIF 1 < 0 表示成 SKIPIF 1 < 0 ，代入已知条件得到 SKIPIF 1 < 0 ，最后根据锐角三角形求出角B的范围，进而三角函数单调性求出 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【详解】
由正弦定理及 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 是锐角三角形，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
【点睛】
本题主要考查解三角形，在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．
12．D
【解析】
【分析】
设∠CED＝θ；DE＝x，则∠BFE＝ SKIPIF 1 < 0 +θ；则CE＝xcsθ， SKIPIF 1 < 0
在△BFE中利用正弦定理即可求出x与θ的关系式，即可得到x的最小值，即可解出 SKIPIF 1 < 0 面积的最小值．
【详解】
△ABC是直三角形，AB＝20m，AC＝10 m，可得CB SKIPIF 1 < 0 ，
△DEF是等边三角形，设∠CED＝θ；DE＝x，那么∠BFE＝ SKIPIF 1 < 0 +θ；则CE＝xcsθ，
△BFE中由正弦定理，可得 SKIPIF 1 < 0
可得x SKIPIF 1 < 0 ，其中tanα SKIPIF 1 < 0 ；
∴x SKIPIF 1 < 0 ；
则△DEF面积S SKIPIF 1 < 0
故选D
【点睛】
本题考查解三角形，合理设出参数，找到等式是解题的关键．属于中档题．
13．B
【解析】
【分析】
由题意得出 SKIPIF 1 < 0 ，利用余弦定理以及基本不等式求出 SKIPIF 1 < 0 的取值范围，再结合角 SKIPIF 1 < 0 的取值范围，以及余弦函数的单调性可求出角 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【详解】
由于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 成等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
由基本不等式得 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故选B.
【点睛】
本题考查利用基本不等式求三角形中角的取值范围，同时也考查了余弦定理的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
14．B
【解析】
【分析】
根据正弦定理，可求得 SKIPIF 1 < 0 ，即角 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，分类讨论， 由 SKIPIF 1 < 0 ，计算三角形的面积，利用均值不等式求最值即可.
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 互补， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 四点共圆.

所以 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
设四边形 SKIPIF 1 < 0 的外接圆半径为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
（1）设 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
所以四边形 SKIPIF 1 < 0 面积 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，四边形 SKIPIF 1 < 0 面积取得最大值为 SKIPIF 1 < 0
（2）当 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则在 SKIPIF 1 < 0 中由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .所以 SKIPIF 1 < 0 ，
此时，四边形 SKIPIF 1 < 0 面积 SKIPIF 1 < 0 .
综上，四边形 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值等于 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了正弦定理解三角形，三角形面积公式，均值不等式，属于难题.
15．C
【解析】
【分析】
在 SKIPIF 1 < 0 中，设角 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，利用正弦定理得出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，利用平面向量数量积的运算性质得出 SKIPIF 1 < 0 ，利用三角恒等变换思想化简得出 SKIPIF 1 < 0 ，利用正弦型函数的有界性可得出线段 SKIPIF 1 < 0 长的最大值.
【详解】
在 SKIPIF 1 < 0 中，设角 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，即当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最大值，
即 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
【点睛】
思路点睛：求三角形有关代数式最值是一种常见的类型，主要方法有两类：
（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；
（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.
16．A
【解析】
【分析】
求得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，然后以 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 为原点， SKIPIF 1 < 0 所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴建立平面直角坐标系，求出点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程，可得出 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 边上的高的最大值，由此可求得 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值.
【详解】
由正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 的外接圆半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
以 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 为原点， SKIPIF 1 < 0 所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴建立平面直角坐标系，如下图所示：
则 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
设点 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 的边 SKIPIF 1 < 0 上的高的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，因此， SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
【点睛】
方法点睛：求与圆有关的轨迹方程时，常用以下方法：
（1）直接法：根据题设条件直接列出方程；
（2）定义法：根据圆的定义写出方程；
（3）几何法：利用圆的性质列方程；
（4）代入法：找出要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．
17．C
【解析】
【分析】
根据等面积法得 SKIPIF 1 < 0 ，进而结合基本不等式得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，再结合余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，进而得周长最小值.
【详解】
解：根据题意，设 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为根据基本不等式有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
由余弦定理得
SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立.
所以 SKIPIF 1 < 0 周长的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
18．B
【解析】
【分析】
求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，利用余弦定理结合基本不等式即可得出答案.
【详解】
解：在 SKIPIF 1 < 0 中，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 互补，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，取等号，
所以观光线路之和最长是4.
故选：B.
19．B
【解析】
【分析】
利用正弦定理结合余弦定理可求得 SKIPIF 1 < 0 的值，可求得角 SKIPIF 1 < 0 的值，利用余弦定理结合基本不等式可求得 SKIPIF 1 < 0 的最大值，再利用三角形的面积公式可求得结果.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
故 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
20．A
【解析】
【分析】
由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，进而结合余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，再根据基本不等式得 SKIPIF 1 < 0 ，最后根据三角形面积公式求解即可.
【详解】
解：由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以由余弦定理 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
21．D
【解析】
【分析】
根据给定条件利用余弦定理建立不等关系即可计算作答.
【详解】
因 SKIPIF 1 < 0 是钝角三角形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 是最大边，则由余弦定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
于是得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，而有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以最大边 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是： SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
22．C
【解析】
【分析】
由正弦定理边角关系得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，由题设得 SKIPIF 1 < 0 ，结合二次函数的性质即可求△ SKIPIF 1 < 0 面积的最大值.
【详解】
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 时，△ SKIPIF 1 < 0 面积取最大值 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C．
23．B
【解析】
【分析】
由条件可得 SKIPIF 1 < 0 ，根据正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，从而得出角 SKIPIF 1 < 0 ,由余弦定理结合均值不等式可得 SKIPIF 1 < 0 ，从而得出答案.
【详解】
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
由正弦定理可得： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0
由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取得等号. 所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 面积 SKIPIF 1 < 0
故选：B
24．C
【解析】
【分析】
根据余弦定理算出 SKIPIF 1 < 0 ，再利用基本不等式即可得 SKIPIF 1 < 0 ，从而可得到 SKIPIF 1 < 0 周长的最大值．
【详解】
解： SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 由余弦定理，得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
由基本不等式有 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 （当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立），
SKIPIF 1 < 0 周长 SKIPIF 1 < 0 （当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立），
即当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 周长的最大值为12，
故选：C．
【点睛】
关键点点睛：先用余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，再结合基本不等式 SKIPIF 1 < 0 即可求 SKIPIF 1 < 0 的最大值，从而得 SKIPIF 1 < 0 周长的最大值.
25．C
【解析】
【分析】
根据条件求出 SKIPIF 1 < 0 ，利用三角形面积公式得到 SKIPIF 1 < 0 ，采用极端值方法求出 SKIPIF 1 < 0 的最值，进而得到 SKIPIF 1 < 0 的范围，求出面积的取值范围.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 为锐角三角形，故 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，当BC⊥AB时， SKIPIF 1 < 0 ，当CB⊥AC时， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
26．C
【解析】
先由 SKIPIF 1 < 0 得到A= SKIPIF 1 < 0 ,再利用基本不等式求b+c的最大值，即得三角形周长的最大值.
【详解】
由题得 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
因为 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 .
由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当b=c=2时取等.
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选C
【点睛】
本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
27．C
【解析】
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，根据三角形的面积公式求出AC，AB，然后由 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，根据三角函数的性质求出面积的最大值．
【详解】
解：设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，同理 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 其中 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C．
【点睛】
本题考查了余弦定理和三角恒等变换，以及三角形的面积公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．
28．D
【解析】
【分析】
根据已知条件求得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用正弦定理将角化边，将问题转化为求 SKIPIF 1 < 0 的最大值问题求解即可.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
在 SKIPIF 1 < 0 中，由正弦定理得：
SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值 SKIPIF 1 < 0
故选：D
29．B
【解析】
【分析】
由已知条件及双曲线的定义可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，将△MF1F2沿MN折成直二面角 SKIPIF 1 < 0 后，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，应用直角三角形边角关系、余弦定理及勾股定理求 SKIPIF 1 < 0 最小时 SKIPIF 1 < 0 的大小，进而求 SKIPIF 1 < 0 值.
【详解】
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
将△MF1F2沿MN折成直二面角 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴在△ SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时等号成立.
∴F1，F2距离最小时， SKIPIF 1 < 0 为角平分线，故 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
【点睛】
关键点点睛：由双曲线的定义求 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，结合直角三角形边角关系、余弦定理、勾股定理求 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的函数关系，再求最小值，最后即可求参数值.
30．B
【解析】
【分析】
结合两角和的正切公式、诱导公式求得 SKIPIF 1 < 0 ，结合正弦定理、三角函数值域的求法，求得 SKIPIF 1 < 0 周长的最大值.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
依题意 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 为锐角， SKIPIF 1 < 0 .
由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以三角形 SKIPIF 1 < 0 周长为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时，三角形 SKIPIF 1 < 0 的周长取得最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
31．ABC
【解析】
【分析】
利用余弦定理结合三角形的面积公式可判断A选项的正误；利用基本不等式结合三角形的面积公式可判断B选项的正误；利用余弦定理可判断C选项的正误；利用余弦定理结合基本不等式可判断D选项的正误.
【详解】
对于A，由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，A对；
对于B，由基本不等式可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，B对；
对于C， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，C对；
对于D，由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
因为 SKIPIF 1 < 0 且函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，故 SKIPIF 1 < 0 ，D错.
故选：ABC.
32．CD
【解析】
【分析】
结合正弦定理、三角函数值域的求法，求得 SKIPIF 1 < 0 的取值范围，从而确定正确答案.
【详解】
依题意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以CD选项正确，AB选项错误.
故选：CD
33．BD
【解析】
【分析】
根据c边最大边或 SKIPIF 1 < 0 最大边，利用余弦定理的变形形式即可求解.
【详解】
若c边为最大边，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 边为最大边，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以边长c可能的取值是2、 SKIPIF 1 < 0 .
故选：BD
【点睛】
本题考查了余弦定理的应用，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
34．ACD
【解析】
【分析】
由正弦定理求外接圆半径；由题设知 SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 即可求范围；由余弦定理及基本不等式求 SKIPIF 1 < 0 的最大值，注意取最大的条件；由C分析有 SKIPIF 1 < 0 ，结合正弦定理边角关系及 SKIPIF 1 < 0 的范围，应用二倍角正余弦等恒等变换，根据三角函数的值域求范围.
【详解】
由题设，外接圆直径为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
锐角 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，B错误；
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，C正确；
由C分析知： SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，D正确.
故选：ACD
【点睛】
关键点点睛：D选项 SKIPIF 1 < 0 ，应用边角关系及角的范围，结合三角恒等变换将 SKIPIF 1 < 0 转化为三角函数性质求范围.
35． SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
由正弦定理和题设条件，得到 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，再在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理化简得到 SKIPIF 1 < 0 ，转化为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 ，进而得到 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，由正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相加，可得 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
36． SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
结合拿破仑定理求得 SKIPIF 1 < 0 ，利用勾股定理列方程，结合基本不等式求得AB＋AC的最大值.
【详解】
设BC＝a，AC＝b，AB＝c，如图，连接AF，BD，AD．
由拿破仑定理知，△DEF为等边三角形．
因为D为等边三角形的中心，所以在△DAB中， SKIPIF 1 < 0 ，
同理 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
在△ADF中，由勾股定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
由基本不等式得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
（当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号），所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0
37． SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
如图所示，设t h后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，利用余弦定理求出DE2＝12900t2－42000t＋40000.再利用二次函数的性质求出t的值和最小值.
【详解】
如图所示，设t h后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，则AD＝80t，BE＝50t.因为AB＝200，所以BD＝200－80t，由余弦定理得，DE2＝(200－80t)2＋2500t2－(200－80t)·50t＝12900t2－42000t＋40000.所以当t＝ SKIPIF 1 < 0 时，DE最小．
故答案为 SKIPIF 1 < 0
【点睛】
(1)本题主要考查解三角形的应用，考查余弦定理解三角形和二次函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是利用余弦定理求出DE2＝12900t2－42000t＋40000.
38． SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
应用余弦定理有 SKIPIF 1 < 0 ，再由三角形内角性质及同角三角函数平方关系求 SKIPIF 1 < 0 ，根据基本不等式求得 SKIPIF 1 < 0 ，注意等号成立条件，最后利用三角形面积公式求S的最大值.
【详解】
由余弦定理知： SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
又 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立.
故答案为： SKIPIF 1 < 0
39． SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，然后利用正弦定理表示出 SKIPIF 1 < 0 ，相加化简后利用三角函数的性质可求出其最大值
【详解】
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，由正弦定理得
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的周长为
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的周长的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
40． SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
由余弦定理得出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由基本不等式得出 SKIPIF 1 < 0 ，最后由三角形面积公式得出面积的最大值.
【详解】
因为2ccsB=acsB+bcsA，由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，b=2，得出 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 （当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，取等号），即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故△ABC的面积的最大值是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
41．(1) SKIPIF 1 < 0
(2)9
【解析】
(1)
因为 SKIPIF 1 < 0
由正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)
由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 周长的最大值为9.
42．（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】
（1）利用平面向量垂直的坐标表示可求得 SKIPIF 1 < 0 的值，结合角 SKIPIF 1 < 0 的取值范围可求得角 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）利用三角形的面积公式可求得 SKIPIF 1 < 0 的值，结合余弦定理可求得 SKIPIF 1 < 0 的值；
（3）利用正弦定理以及三角恒等变换可得出 SKIPIF 1 < 0 ，求出角 SKIPIF 1 < 0 的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得 SKIPIF 1 < 0 周长的取值范围.
【详解】
（1）由已知条件可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由三角形的面积公式可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因此， SKIPIF 1 < 0 ；
（3）由正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 .
因此， SKIPIF 1 < 0 的周长的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
43．（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）12.
【解析】
【分析】
（1）由题意， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由余弦定理、基本不等式，即可求 SKIPIF 1 < 0 的最大值；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，求出 SKIPIF 1 < 0 ，利用余弦定理、基本不等式，即可求出 SKIPIF 1 < 0 周长的最小值.
【详解】
解：（1）由题意， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 周长为 SKIPIF 1 < 0
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 周长的最小值为12.
【点睛】
本题考查了余弦定理、基本不等式，考查三角形面积、周长的求解，考查学生分析解决问题的能力，属于较难题.
44．（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；（2）答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）化简 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即可求得 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间；
（2）由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 为锐角三角形；
②利用弦心距、半径、弦长的关系求解；
③由 SKIPIF 1 < 0 求得 SKIPIF 1 < 0 ．选择①②，选择①③，选择②③，分别结合基本不等式求解最大值．．
【详解】
解：（1） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，同理 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 为锐角三角形.
②中圆心到直线的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .
③中由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，又A为锐角，所以 SKIPIF 1 < 0 .
选择①②， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
选择①③， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ；
选择②③，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
所以 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
45．（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
（1）由条件利用两角和差的三角公式求出 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解；
（2）由余弦定理与三角形面积公式即可求解；
（3）把边化为角利用三角函数的值域求解即可
【详解】
（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（3）由正弦定理可得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为锐角，
因为 SKIPIF 1 < 0 为锐角三角形，则 SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0