新高考数学二轮复习 专题突破 专题1 第6讲 母题突破1　导数与不等式的证明（含解析）

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母题突破1 导数与不等式的证明
母题 已知函数f(x)＝ex－x2.
(1)求曲线f(x)在x＝1处的切线方程；
(2)求证：当x>0时，eq \f(ex＋2－ex－1,x)≥ln x＋1.
思路分析
❶求切线方程
↓
❷fx≥e－2x＋1
↓
❸ex－x2－e－2x－1≥0
↓
❹ex＋2－ex－1≥x2
↓
❺eq \f(ex＋2－ex－1,x)≥x≥ln x＋1
(1)解 f′(x)＝ex－2x，f′(1)＝e－2，
又f(1)＝e－1.
∴切线方程为y－(e－1)＝(e－2)(x－1)，
即y＝(e－2)x＋1.
(2)证明 令φ(x)＝f(x)－[(e－2)x＋1]
＝ex－x2－(e－2)x－1(x>0)，
φ′(x)＝ex－2x－(e－2)，
令t(x)＝φ′(x)＝ex－2x－(e－2)，
t′(x)＝ex－2，
当x∈(0，ln 2)时，t′(x)0，
∴φ′(x)在(0，ln 2)上单调递减，
在(ln 2，＋∞)上单调递增，
又φ′(0)＝3－e>0，φ′(1)＝0，
∴φ′(ln 2)0，x∈(x0，1)时，φ′(x)0)，
∴h′(x)＝1－eq \f(1,x)＝eq \f(x－1,x)，
h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
∴h(x)min＝h(1)＝0，
∴h(x)≥0，即x≥ln x＋1，
则原不等式成立．
[子题1] 已知函数f(x)＝ex－ax－a，当a＝1时，令g(x)＝eq \f(x2,2fx).求证：当x>0时，g(x)0，
∴φ′(x)＝ex－1>0，
∴φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴φ(x)>φ(0)＝0，
即ex－x－1>0.
要证g(x)0，
∴h(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴h(x)>h(0)＝0，
∴ex－x－1－eq \f(x2,2)>0，即证原不等式成立．
方法二 即证eq \f(x2,2)＋x＋1