新高考数学二轮复习 专题突破 专题2 培优点5　平面向量“奔驰定理”（含解析）

这是一份新高考数学二轮复习 专题突破 专题2 培优点5　平面向量“奔驰定理”（含解析），共10页。
考点一 平面向量“奔驰定理”
定理：如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·eq \(PA,\s\up6(→))＋S△PAC·eq \(PB,\s\up6(→))＋S△PAB·eq \(PC,\s\up6(→))＝0．
例1 已知O是△ABC内部一点，满足eq \(OA,\s\up6(→))＋2eq \(OB,\s\up6(→))＋meq \(OC,\s\up6(→))＝0，且eq \f(S△AOB,S△ABC)＝eq \f(4,7)，则实数m等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 C
解析 由奔驰定理得S△BOC·eq \(OA,\s\up6(→))＋S△AOC·eq \(OB,\s\up6(→))＋S△AOB·eq \(OC,\s\up6(→))＝0，
又eq \(OA,\s\up6(→))＋2eq \(OB,\s\up6(→))＋meq \(OC,\s\up6(→))＝0，
∴S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶2∶m.
∴eq \f(S△AOB,S△ABC)＝eq \f(m,1＋2＋m)＝eq \f(4,7)，解得m＝4.
易错提醒 利用平面向量“奔驰定理”解题时，要严格按照定理的格式，注意定理中的点P为△ABC内一点；定理中等式左边三个向量的系数不是三角形的面积，而是面积之比．
跟踪演练1 设点O在△ABC内部，且eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))，则eq \f(S△OAB,S△OBC)＝________.
答案 eq \f(3,5)
解析 由eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))，
得－12eq \(OA,\s\up6(→))＝4(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))＋3(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))，
整理得5eq \(OA,\s\up6(→))＋4eq \(OB,\s\up6(→))＋3eq \(OC,\s\up6(→))＝0，
所以eq \f(S△OAB,S△OBC)＝eq \f(3,5).
考点二 “奔驰定理”和三角形的“四心”(四心在三角形内部)
(1)O是△ABC的重心
⇔S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶1∶1
⇔eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝0．
(2)O是△ABC的内心
⇔S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝a∶b∶c
⇔aeq \(OA,\s\up6(→))＋beq \(OB,\s\up6(→))＋ceq \(OC,\s\up6(→))＝0．
(3)O是△ABC的外心
⇔S△BOC∶S△AOC∶S△AOB
＝sin 2A∶sin 2B∶sin 2C
⇔sin 2A·eq \(OA,\s\up6(→))＋sin 2B·eq \(OB,\s\up6(→))＋sin 2C·eq \(OC,\s\up6(→))＝0．
(4)O是△ABC的垂心
⇔S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝tan A∶tan B∶tan C
⇔tan A·eq \(OA,\s\up6(→))＋tan B·eq \(OB,\s\up6(→))＋tan C·eq \(OC,\s\up6(→))＝0．
考向1 “奔驰定理”与重心
例2 已知在△ABC中，G是重心，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且56aeq \(GA,\s\up6(→))＋40beq \(GB,\s\up6(→))＋35ceq \(GC,\s\up6(→))＝0，则B＝________.
答案 eq \f(π,3)
解析 依题意，可得56a＝40b＝35c，
所以b＝eq \f(7,5)a，c＝eq \f(8,5)a，
所以cs B＝eq \f(a2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,5)a))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,5)a))2,2a×\f(8,5)a)＝eq \f(1,2)，
因为0