新高考数学二轮复习 专题突破 专题2 微重点7　平面向量的最值与范围问题（含解析）

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考点一 求参数的最值(范围)
例1 (1)(2022·沈阳质检)在正六边形ABCDEF中，点G为线段DF(含端点)上的动点，若eq \(CG,\s\up6(→))＝λeq \(CB,\s\up6(→))＋μeq \(CD,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是________．
答案 [1,4]
解析 根据题意，不妨设正六边形ABCDEF的边长为2eq \r(3)，以O为原点建立平面直角坐标系，如图所示，
则F(－2eq \r(3)，0)，D(eq \r(3)，3)，C(2eq \r(3)，0)，B(eq \r(3)，－3)，
设点G的坐标为(m，n)，则eq \(CG,\s\up6(→))＝(m－2eq \r(3)，n)，
eq \(CB,\s\up6(→))＝(－eq \r(3)，－3)，eq \(CD,\s\up6(→))＝(－eq \r(3)，3)，
由eq \(CG,\s\up6(→))＝λeq \(CB,\s\up6(→))＋μeq \(CD,\s\up6(→))可得，
m－2eq \r(3)＝－eq \r(3)λ－eq \r(3)μ，即λ＋μ＝－eq \f(\r(3),3)m＋2，
数形结合可知m∈[－2eq \r(3)，eq \r(3)]，
则－eq \f(\r(3),3)m＋2∈[1,4]，即λ＋μ的取值范围为[1,4]．
(2)设非零向量a，b的夹角为θ，若|a|＝2|b|，且不等式|2a＋b|≥|a＋λb|对任意θ恒成立，则实数λ的取值范围为( )
A．[－1,3] B．[－1,5]
C．[－7,3] D．[5,7]
答案 A
解析 ∵非零向量a，b的夹角为θ，若|a|＝2|b|，
a·b＝|a||b|cs θ＝2|b|2cs θ，
不等式|2a＋b|≥|a＋λb|对任意θ恒成立，
∴(2a＋b)2≥(a＋λb)2，
∴4a2＋4a·b＋b2≥a2＋2λa·b＋λ2b2，
整理可得(13－λ2)＋(8－4λ)cs θ≥0恒成立，
∵cs θ∈[－1,1]，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(13－λ2＋8－4λ≥0，,13－λ2－8＋4λ≥0，))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－7≤λ≤3，,－1≤λ≤5，))
∴－1≤λ≤3.
规律方法 利用共线向量定理及推论
(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)．
(2)eq \(OA,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))(λ，μ为实数)，则A，B，C三点共线⇔λ＋μ＝1.
跟踪演练1 (2022·滨州模拟)在△ABC中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若eq \(AN,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,2)))
C．[0,1] D．[1,2]
答案 C
解析 由题意，设eq \(AN,\s\up6(→))＝teq \(AM,\s\up6(→))(0≤t≤1)，如图．
当t＝0时，eq \(AN,\s\up6(→))＝0，
所以λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))＝0，
所以λ＝μ＝0，从而有λ＋μ＝0；
当00和a，b不共线，同理若向量a，b的夹角为钝角，包括a·b0，b>0，若A，B，C三点共线，则eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)的最小值为( )
A．4 B．6 C．8 D．9
答案 C
解析 由题意得，eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(a－1,1)，eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(－b－1,2)，
∵A，B，C三点共线，
∴eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(AC,\s\up6(→))且λ∈R，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－1＝－λb＋1，,2λ＝1，))可得2a＋b＝1，
∴eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(2,b)))(2a＋b)＝4＋eq \f(b,a)＋eq \f(4a,b)
≥4＋2eq \r(\f(b,a)·\f(4a,b))＝8，
当且仅当b＝2a＝eq \f(1,2)时，等号成立．
∴eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)的最小值为8.
2．设A，B，C是半径为1的圆O上的三点，且eq \(OA,\s\up6(→))⊥eq \(OB,\s\up6(→))，则(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))·(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))的最大值为( )
A．1＋eq \r(2) B．1－eq \r(2)
C.eq \r(2)－1 D．1
答案 A
解析 如图，作出eq \(OD,\s\up6(→))，
使eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OD,\s\up6(→))，
则(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))·(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))
＝eq \(OC,\s\up6(→))2－eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))
＝1－(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))·eq \(OC,\s\up6(→))
＝1－eq \(OD,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))
＝1－eq \r(2)cs〈eq \(OD,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))〉，
当cs〈eq \(OD,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))〉＝－1时，(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))·(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))取得最大值为1＋eq \r(2).
3．(2022·杭州模拟)平面向量a，b满足|a|＝1，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b－\f(3,2)a))＝1，记〈a，b〉＝θ，则sin θ的最大值为( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(\r(5),3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),2)
答案 A
解析 因为|a|＝1，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b－\f(3,2)a))＝1，所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b－\f(3,2)a))2＝|b|2－3a·b＋eq \f(9,4)|a|2＝1，
则|b|2－3|a||b|cs θ＋eq \f(9,4)－1＝0，
即|b|2－3|b|cs θ＋eq \f(5,4)＝0，
所以cs θ＝eq \f(|b|2＋\f(5,4),3|b|)＝eq \f(|b|,3)＋eq \f(5,12|b|)≥2eq \r(\f(5,36))＝eq \r(\f(5,9))，
当且仅当|b|＝eq \f(\r(5),2)时等号成立，因为〈a，b〉＝θ，θ∈[0，π]，
所以sin θ＝eq \r(1－cs2θ)≤eq \r(1－\f(5,9))＝eq \f(2,3)，即sin θ的最大值为eq \f(2,3).
4．已知向量a，b及单位向量e，若a·e＝1，b·e＝2，a·b＝3，则|a＋b|的取值不可能为( )
A．3 B．3eq \r(2)
C.eq \r(13) D．6
答案 A
解析 设e＝(1,0)，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
由a·e＝1得x1＝1，
由b·e＝2得x2＝2，
由a·b＝x1x2＋y1y2＝3，可得y1y2＝1，
则|a＋b|＝eq \r(a＋b2)＝eq \r(x1＋x22＋y1＋y22)
＝eq \r(11＋y\\al(2,1)＋y\\al(2,2))≥eq \r(11＋2y1y2)＝eq \r(13)，
当且仅当y1＝y2＝1时取等号．
5.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，BC＝2，P是线段AB上的动点，则|eq \(PC,\s\up6(→))＋4eq \(PD,\s\up6(→))|的最小值为( )
A．3eq \r(5) B．6
C．2eq \r(5) D．4
答案 B
解析 如图，以点B为坐标原点，BC，BA所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，设AB＝a，BP＝x(0≤x≤a)，
因为AD＝1，BC＝2，
所以P(0，x)，C(2,0)，D(1，a)，
所以eq \(PC,\s\up6(→))＝(2，－x)，eq \(PD,\s\up6(→))＝(1，a－x)，
4eq \(PD,\s\up6(→))＝(4,4a－4x)，
所以eq \(PC,\s\up6(→))＋4eq \(PD,\s\up6(→))＝(6,4a－5x)，
所以|eq \(PC,\s\up6(→))＋4eq \(PD,\s\up6(→))|＝eq \r(36＋4a－5x2)≥6，
所以当4a－5x＝0，即x＝eq \f(4,5)a时，|eq \(PC,\s\up6(→))＋4eq \(PD,\s\up6(→))|的最小值为6.
6．已知不共线的平面向量m，n满足|m|＝2，|n|≥eq \r(3)，|m＋n|－|m－n|＝2，则m与n夹角的余弦值的取值范围为( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),2))) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(\r(3),2)))
答案 B
解析 ∵|m|＝2，不妨设m＝(2,0)，由|m＋n|－|m－n|＝2，得|n＋m|－|n－m|＝2，
令n＝eq \(ON,\s\up6(→))，其对应点N的轨迹是以(－2,0)，(2,0)为焦点的双曲线的右支，
方程为x2－eq \f(y2,3)＝1(x>0)，
实半轴长为1，虚半轴长为eq \r(3)，又|n|≥eq \r(3)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2＝3，,x2－\f(y2,3)＝1，))得Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)，\f(\r(6),2)))，
此时eq \(ON,\s\up6(→))与x轴的夹角为eq \f(π,4)，
则满足|n|≥eq \r(3)的N在图中双曲线N点的上方或在双曲线上与N点关于x轴对称的N1点下方的位置，如图所示，
又双曲线的渐近线为y＝±eq \r(3)x，所以m与n夹角的取值范围为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,3)))，所以m与n夹角的余弦值的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(2),2))).
7．(2022·武汉模拟)正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，如图，点P是以AB为直径的半圆上的任意一点，eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AD,\s\up6(→))＋μeq \(AE,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则下列结论正确的是________．(填序号)
①λ的最大值为eq \f(1,2)；
②μ的最大值为1；
③eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))的最大值为2；
④eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AE,\s\up6(→))的最大值为eq \r(5)＋2.
答案 ②③④
解析 如图，以AB的中点O为原点建立平面直角坐标系，则A(－1,0)，D(－1,2)，E(1,1)，连接OP，
设∠BOP＝α(α∈[0，π])，
则P(cs α，sin α)，eq \(AP,\s\up6(→))＝(cs α＋1，sin α)，
eq \(AD,\s\up6(→))＝(0,2)，eq \(AE,\s\up6(→))＝(2,1)，
由eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AD,\s\up6(→))＋μeq \(AE,\s\up6(→))，
得(cs α＋1，sin α)＝λ(0,2)＋μ(2,1)，则2μ＝cs α＋1且2λ＋μ＝sin α，α∈[0，π]，
所以λ＝eq \f(1,4)(2sin α－cs α－1)
＝eq \f(\r(5),4)sin(α－θ)－eq \f(1,4)≤eq \f(\r(5)－1,4)，其中tan θ＝eq \f(1,2)，故①错误；
当α＝0时，μmax＝1，故②正确；
eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝2sin α≤2，故③正确；
eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AE,\s\up6(→))＝sin α＋2cs α＋2
＝eq \r(5)sin(α＋φ)＋2≤eq \r(5)＋2，其中tan φ＝2，故④正确．
8．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝3，则|2a＋b|＋|2a－b|的最小值是________，最大值是________．
答案 6 2eq \r(13)
解析 ∵|2a＋b|＋|2a－b|≥|2a＋b＋2a－b|
＝4|a|＝4，
且|2a＋b|＋|2a－b|≥|2a＋b－2a＋b|
＝2|b|＝6，
∴|2a＋b|＋|2a－b|≥6，当且仅当2a＋b与2a－b反向时取等号．
此时|2a＋b|＋|2a－b|的最小值为6.
∵eq \f(|2a＋b|＋|2a－b|,2)≤eq \r(\f(|2a＋b|2＋|2a－b|2,2))
＝eq \r(|2a|2＋|b|2)＝eq \r(13)，
∴|2a＋b|＋|2a－b|≤2eq \r(13)，当且仅当|2a＋b|＝|2a－b|时取等号，
∴|2a＋b|＋|2a－b|的最大值为2eq \r(13).