2024年秋季新九年级开学摸底考试数学试卷（苏科版）（含答案解析）

这是一份2024年秋季新九年级开学摸底考试数学试卷（苏科版）（含答案解析），共26页。试卷主要包含了考试范围，点、在反比例函数的图象上，则等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：100分钟试卷满分：100分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试范围：苏科版八年级下册全部。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．第33届夏季奥林匹克运动会由法国巴黎举办，将于2024年7月26日开幕，8月11日闭幕．下面图案是巴黎奥运会的部分比赛场馆标识，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列调查最适合于全面调查的是（ ）
A．华为公司要检测一款手机的待机时长
B．市图书馆了解全市学生暑假期间最喜爱的图书种类
C．班主任统计全班同学的身高、体重以便确定校服尺寸
D．调查全市人民对政府服务的满意程度
4．若反比例函数的图象过点，则一次函数的图象过（ ）
A．第一、二、四象限B．第一、三、四象限
C．第二、三、四象限D．第一、二、三象限
5．在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共个，这些球除颜色外其余完全相同．某数学学习小组从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到下表中的一组统计数据：
根据上表，从这个盒子里随机摸出一个球，它是红球的概率大约是（ ）
A．B．C．D．
6．某生产队承接了240亩地的复合种植任务，为了完成任务，引入新型机械种植，实际工作效率比原来提高了，结果提前2天完成任务．设原计划每天种植的面积为亩地，则下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，平行四边形中点的坐标为，在轴的负半轴上，、两点落在反比例函数上，且点的横坐标为3，四边形的面积是面积的3倍，则的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
8．如图1，在矩形中，动点从点出发，以速度沿折线匀速运动至点停止．设点的运动时间为，的面积为，关于的函数图象如图2所示，则矩形的对角线长为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
9．若代数式有意义，则实数x的取值范围是．
10．点、在反比例函数的图象上，则（用“”或“=”填空）．
11．一组数据中的最小值是40，最大值是75，分析这组数据时，若取组距为4，则组数为．
12．一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球，3个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在，则任意摸一个球是绿球的概率为．
13．菱形的对角线与相交于点O，若，则菱形的面积为．
14．若方程有增根，则．
15．如图所示，在正方形中，若对角线长为，P是上任意一点，过点P分别作，，垂足分别为E，F，则．
16．如图，点A是平面直角坐标系中第一象限内的点，将线段绕着点A顺时针方向旋转至，以为边作菱形，边分别与反比例函数交于点E、F，且轴，，连接，当，时，k的值为．
三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：
（1）；（2）．
18．（6分）解分式方程：
（1）；（2）．
19．（4分）先化简，再求值：，其中．
20．（8分）“书香润沈城，阅读向未来”，沈阳市第十五届全民读书季启动之际·某中学准备购进一批图书供学生阅读，为了合理配备各类图书，从全体学生中随机抽取了部分学生进行了问卷调查．问卷设置了五种选项：A“艺术类”，B“文学类”，C“科普类”，D“体育类”，E“其他类”，每名学生必须且只能选择其中最喜爱的一类图书，将调查结果整理绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）在调查活动中，采取的调查方式是．（填写“普查”或“抽样调查”）；
（2）此次被调查的学生人数为名，在这次调查中，选择D“体育类”的同学有人：
（3）在扇形统计图中，A“艺术类”所对应的圆心角度数是度；
（4）据抽样调查结果，请你估计该校1800名学生中，有名学生最喜爱C“科普类”图书．
21．（6分）如图，矩形的顶点E，G分别在的边，上，顶点F，H在的对角线上．
（1）求证：；
（2）若E为的中点，，求证：四边形是菱形．
22．（6分）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、两点，与双曲线交于点C、D两点，．
（1）分别求直线与双曲线的解析式；
（2）连接并延长交双曲线于点E，连接、，求的面积．
23．（8分）党的二十大报告提出：“加快建设高质量教育体系，发展素质教育”．为扎实做好育人工作，某校深入开展“阳光体育”活动．该校计划购买篮球和足球用于“特色球类”活动．已知一个足球比一个篮球少元，且用元购买足球的数量和用元购买篮球的数量相等．
（1）求每个足球和每个篮球的价格；
（2）学校计划采购足球和篮球共个，且足球的数量不超过篮球数量的倍，要想花费的资金总额最少，则最多购买足球多少个？资金总额最少为多少元？
24．（8分）我们在整式的乘法中学习了完全平方公式，利用此公式可把配成完全平方的形式．
善于思考的小明进行了以下推理：
设（其中均为整数），
则有
，．
这样小明就找到了一种把类似的式子配成完全平方形式的方法．
请你仿照小明的方法解决下列问题：
（1）请把下列各式都配成完全平方的形式：
（2）且a、m、n都为正整数，求a的值．
25．（8分）在正方形中，将边绕点逆时针旋转得到线段，连接并延长交边于点，连接．
（1）如图1，
①若，求的度数；
②求的度数．
（2）如图2，点在边上，，连接，求证：；
（3）如图3，过作于，延长交的延长线于，若，求正方形的面积．
26．（8分）我们研究反比例函数图象平移后的性质．
初步探究（1）将反比例函数的图象沿轴向左平移1个单位，可以得到函数的图象如图①，观察图象，以下结论正确的有______（写序号）；
①该函数图象与轴的交点坐标是；②该函数图象是中心对称图形，对称中心是；③当时，随的增大而减小．
（2）在图②中画出函数的图象（无需列表），填空：该图象的对称中心坐标为 ______．
问题解决（3）①若函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，求的值；
②在①的条件下，如图③，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在x轴、y轴上，点坐标为，点是中点，连接交于，若函数的图象经过点，取线段的中点，经过点作直线与这个函数图象交于两点，点P横坐标为5，请直接写出四边形的面积为______．
深入思考（4）当时，对于任意正数，方程均无解，直接写出满足的数量关系______．摸球的次数
摸到红球的次数
摸到红球的频率
参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．C
【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的概念，熟练掌握中心对称图形的概念，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合是解题的关键．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，根据以上概念逐一判断即可得到答案．
【详解】解：A、图形不是轴对称图形，但是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、图形不是轴对称图形，但是中心对称图形，故本选项不符合题意
故选：C．
2．D
【分析】本题考查了二次根式的运算法则，掌握二次根式加减乘除的运算法则是本题的关键．利用二次根式的运算法则，对每个选项进行计算即可找出正确答案．
【详解】解：A、，选项运算错误，不符合题意；
B、，选项运算错误，不符合题意；
C、，选项运算错误，不符合题意；
D、，运算正确，符合题意；
故选：D．
3．C
【分析】本题考查了全面调查与抽样调查的区别，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据以上区别逐项判断即可．
【详解】解：A、华为公司要检测一款手机的待机时长，适合抽样调查，故不符合题意；
B、市图书馆了解全市学生暑假期间最喜爱的图书种类，适合抽样调查，故不符合题意；
C、班主任统计全班同学的身高、体重以便确定校服尺寸，适合全面调查，故符合题意；
D、调查全市人民对政府服务的满意程度，适合抽样调查，故不符合题意；
故选：C．
4．A
【分析】本题主要考查一次函数图象，求解反比例函数的解析式，先求解，再结合一次函数的性质可得答案；
【详解】解：∵反比例函数的图象过点，
∴，
∴一次函数为，
∴的图象过第一、二、四象限.
故选A.
5．C
【分析】本题考查利用频率估计概率，解题的关键是理解：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．据此解答即可．
【详解】解：根据上表，从这个盒子里随机摸出一个球，它是红球的概率大约是．
故选：C．
6．B
【分析】本题考查了由实际问题列分式方程，设原计划每天种植的面积为亩地，则实际每天种植的面积为亩地，根据“提前2天完成任务”，列出分式方程即可，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键．
【详解】解：设原计划每天种植的面积为亩地，则实际每天种植的面积为亩地，
由题意得：，
故选：B．
7．D
【分析】先根据四边形的面积是三角形面积的3倍，结合平行四边形的性质得出是的中点，、两点的横坐标互为相反数，设点横坐标为，则点横坐标为．再由平行四边形中点的坐标为，点的横坐标为3，求出．设，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出，再利用平行四边形的性质求出，，那么．
【详解】解：四边形的面积是面积的3倍，
，
是的中点，
在轴上，横坐标是0，
、两点的横坐标互为相反数，设点横坐标为，则点横坐标为，
平行四边形中点的坐标为，点的横坐标为3，
，即，
解得，
设，
、两点落在反比例函数上，
点纵坐标为，
，
，，，，且四边形是平行四边形，
，即，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的定义，平行四边形的性质，求出、两点的横坐标是解题的关键．
8．D
【分析】本题考查矩形的性质，动点的函数图形，勾股定理，根据函数的图象、结合图形求出、的值，即可得出矩形的对角线．
【详解】解：动点从点出发，沿、、运动至点停止，而当点运动到点，之间时，的面积不变，
函数图象上横轴表示点运动的时间，时，开始不变，说明，时，接着变化，说明，
矩形的对角线长为．
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
9．
【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数是非负数，列出不等式求解即可．
【详解】解：根据题意得：，解得：，故答案为：．
10．
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质．熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
由，可知反比例函数的图象在第一或第三象限，且在各象限中随着的增大而减小，由，可得．
【详解】解：∵，，
∴反比例函数的图象在第一或第三象限，且在各象限中随着的增大而减小，
∵，
∴，
故答案为：．
11．9
【分析】本题考查了频数分布直方图中数据组数的计算，根据组数（最大值最小值）组距，注意小数部分要进位，即可得到答案．
【详解】解：组数为：，
∴组数为：9．
故答案为：9．
12．
【分析】本题考查了由频率估计概率；理解题意，熟练运用相关知识是解题的关键，根据题意利用频率估计概率的知识即可求解．
【详解】解：由题意，经过大题重复实验后，摸到绿球的频率稳定在，
所以估计任意摸一个球是绿球的概率为，
故答案为．
13．
【分析】本题考查利用菱形性质计算菱形面积：对角线乘积的一半；直接根据菱形面积公式计算即可．
【详解】解：菱形面积为；
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了分式方程的增根问题，先解分式方程得出，再由原分式方程有增根得出，从而得出，计算即可得解．
【详解】解：去分母得：，
解得：，
∵方程有增根，
∴，即，
∴，
解得：，
故答案为：．
15．5
【分析】本题考查了正方形的性质，连接，根据正方形的性质得出，，，根据三角形的面积得出，将值代入计算即可．
【详解】解：连接，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：5．
16．/
【分析】本题考查了反比例函数与四边形的综合，全等三角形的判定和性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，矩形的判定和性质等知识点．延长交x轴于点G，过点F作轴于点H，证明，得到，．根据四边形是菱形，，得到，设，则，根据勾股定理求出，求出点，即可求出，证四边形为矩形，得到，求出点，根据，，，即可求出的值，则可以得出点的坐标，根据点F在反比例函数图象上，即可得到答案．
【详解】解：延长交x轴于点G，过点F作轴于点H，如图所示，
∵轴，，，
∴轴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∵四边形是菱形，，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∵反比例函数的图象经过点E，
∴，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，
∵点F在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
，
解得：，
∵，
∴，
∴点，
∵点F在反比例函数的图象上，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（1）；（2）
【分析】本题考查二次根式的混合运算，考查了二次根式的除法法则，二次根式的化简，平方差公式和完全平方公式．正确化简二次根式是解题的关键．
（1）先算括号内的减法，再算除法；
（2）先利用平方差公式及完全平方公式将原式展开，然后去括号再合并即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．（1）；（2）无解
【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的一般步骤，准确计算，注意最后要进行检验．
（1）按照解分式方程的步骤和方法计算即可；
（2）先将原式化为，再按照解分式方程的步骤逐一计算即可；
【详解】（1）解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项并合并同类项得：，
化系数为得：，
检验：将代入得：，
是原方程的根；
（2）解：原式可化为：，
去分母得：，
去括号得：，
移项并合并同类项得：，
检验：将代入得，
是原方程的增根，即原分式方程无解．
19．，
【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可．
【详解】解：原式
．
∵，
∴原式．
20．（1）抽样调查；（2）100，25；（3）36；（4）720
【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
（1）由题意直接回答即可；
（2）用的人数除以对应百分比可得样本容量，用样本容量减去其它四类的人数可得类的人数；
（3）用360乘 “艺术类”所占百分比可得对应的圆心角度数；
（4）用总人数乘样本中喜欢C“科普类”图书的人数所占比例即可．
【详解】（1）在调查活动中，采取的调查方式是抽样调查，
故答案为：抽样调查；
（2）此次被调查的学生人数为：（名，
选择D“体育类”的同学有（人）：
故答案为：100，25；
（3）在扇形统计图中， “艺术类”所对应的圆心角度数是：，
故答案为：36；
（4）（名，
答：估计全校喜欢C“科普类”图书的人数大约为720名．
21．（1）见解析；（2）见解析．
【分析】本题考查了菱形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别作图是解题的关键．
（1）根据矩形的性质得到，，求得，根据平行四边形性质得到，得，证明即可得到结论；
（2）连接，根据中点的性质求得，在证四边形是平行四边形，得，求得，根据．得，即可得出结论．
【详解】（1）四边形是矩形，
，，
，得，
四边形是平行四边形，
，
，
在和中
，
．
（2）连接，
E为的中点，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
，
．
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形．
22．（1）一次函数解析式为，反比例函数解析式为；（2）8
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键．
（1）将B点坐标代入直线解析式求出b值即可得到一次函数解析式；利用相似可得长，从而得到点C坐标，继而得到反比例函数解析式；
（2）联立方程组求出点D坐标，利用直线解析式求出A点坐标，根据中心对称图形性质，继而代入数据计算即可．
【详解】（1）解：∵直线与y轴交于点，
∴，
∴一次函数解析式为，
如图，作轴，垂足为E，
∵，
∴，
∵．
∴，
∵，
∴，
在函数中，当时，，
∴，
∴
∴反比例函数解析式为；
（2）解：联立方程组，解得，，
∴，
在直线中，当时，，
∴，
根据反比例函数关于原点成中心对称图形，
∴，
∴．
23．（1）每个足球的价格是元，每个篮球的价格是元
（2）最多购买足球个，资金总额最少为元
【分析】本题考查了一次函数和分式方程的应用，熟练掌握分式方程、一元一次不等式的解法和一次函数的增减性是解题的关键．
（1）设每个足球的价格是元，则每个篮球的价格是元，根据题意列方程并求解即可；
（2）设购买足球个，则购买篮球个，根据题意列关于的一元一次不等式并求解；设花费的资金总额为元，写出关于的函数，根据该函数的增减性，确定当取何值时取最小值，求出最小值即可．
【详解】（1）解：设每个足球的价格是元，则每个篮球的价格是元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是分式方程的根，且满足题意，
，
∴每个足球的价格是元，每个篮球的价格是元；
（2）解：设购买足球个，则购买篮球个，
根据题意，得，
解得，
设花费的资金总额为元，则，
，
随的增大而减小，
且为整数，
当时，取最小值，，
要想花费的资金总额最少，则最多购买足球个，资金总额最少为元．
24．（1）①；②；（2）a的值为：21或9
【分析】本题考查了二次根式的恒等变形，弄清材料中解题的方法，熟练掌握和灵活运用二次根式的相关运算法则以及完全平方公式是解题的关键．
（1）①根据完全平方公式运算法则，即可求解；②根据完全平方公式运算法则，即可求解；
（2）根据题意得，首先确定m、n的值，通过分析，或，，然后即可确定a的值．
【详解】（1）解：；
．
（2）解：，
，
，
∵a、m、n都为正整数，
∴，或，，
当，时，，
当，时，．
∴a的值为：21或9．
25．（1）①；②；（2）见解析；（3）58
【分析】（1）①先证明，得出，得到；
②根据，，得出，从而得到；
（2）过B作交的延长线于Q，证明，根据勾股定理得出，再证明，得到，根据，得到；
（3）连接，，通过计算得出线段长度，根据勾股定理得出，再根据四边形是正方形，得出，得到，所以正方形的面积为58．
【详解】（1）解：①将边绕点逆时针旋转得到
．
四边形是正方形，
．
；
②
．
又，
，
．
（2）证明：如图，过作交的延长线于
．
，
．
在中，根据勾股定理得，，
．
四边形是正方形，
，
，
，
又
．
；

（3）解：如图，连接
是的垂直平分线，
，
，
．
在中，根据勾股定理得，，
．
四边形是正方形，
，
正方形的面积为58．

【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，角度计算等，掌握正方形的性质是解题的关键．
26．（1）①②；（2）见解析，；（3）①；②6；（4）
【分析】（1）数形结合判断作答即可；
（2）由题意知，的图象是由的图象向下平移1个单位得到的，任何作函数图象，确定该图象的对称中心坐标即可；
（3）①由函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，可得，计算求解即可；②由题意知，，，同理（1）可知，的对称中心为，当时，，即；待定系数法求直线的解析式为，联立，可求或，即，则的中点，即为对称中心，当时，，即；同理，直线l的解析式为，联立，计算求解，进而可得，与重合，如图③，根据，计算求解即可；
（4）由，令，，由当时，对任意正数，方程均无解，可知函数，的图象无交点，如图④，由题意知，的对称中心为，即图象不经过，由为任意正数，可知当经过点时，两图象无交点，即无解，将代入得，，整理得．
【详解】（1）解：由图象可知，该函数图象与轴的交点坐标是，①正确，故符合要求；
该函数图象是中心对称图形，对称中心是，②正确，故符合要求；
当时，随的增大而减小，③错误，故不符合要求；
故答案为：①②．
（2）解：由题意知，的图象是由的图象向下平移1个单位得到的，作函数图象如下；
∴该图象的对称中心坐标为；
（3）①解：∵函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，
∴，
解得，，
∴的值为；
②解：由题意知，，，
同理（1）可知，的对称中心为，
当时，，即；
设直线的解析式为，
将代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
联立，
解得，或，
∴，
∴的中点，即为对称中心，
当时，，即；
同理，直线l的解析式为，
联立，
解得，或，
∴，与重合，如图③，
∵是对称中心，
∴，
故答案为：6；
（4）解：，
令，，
∵当时，对任意正数，方程均无解，
∴函数，的图象无交点，
如图④，
由题意知，的对称中心为，即图象不经过，
∵为任意正数，
∴当经过点时，两图象无交点，即无解，
将代入得，，整理得；
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，图象的平移，一次函数解析式，一次函数与反比例函数综合，坐标与图形等知识．熟练掌握反比例函数的图象与性质，图象的平移，一次函数解析式，一次函数与反比例函数综合，坐标与图形是解题的关键．