2021-2022学年北京八中怡海分校八年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2021-2022学年北京八中怡海分校八年级（上）期中数学试卷【含解析】，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）20的值为（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
2．（3分）下列几种著名的数学曲线中，不是轴对称图形的是（ ）
A．笛卡尔爱心曲线B．蝴蝶曲线
C．费马螺线曲线D．科赫曲线
3．（3分）下列运算结果为a6的是（ ）
A．a3•a2B．a9﹣a3C．（a2）3D．a18÷a3
4．（3分）要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线上取两点C、D，使BC＝CD，再作出BF的垂线DE，使E与A、C在一条直线上（如图所示），可以测得DE的长就是AB的长（即测得河宽），可由△EDC≌△ABC得到，判定这两个三角形全等的理由是（ ）
A．边角边B．角边角C．边边边D．边边角
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（x+y）（﹣y+x）＝x2﹣y2B．（﹣x+y）2＝﹣x2+2xy+y2
C．（﹣x﹣y）2＝﹣x2﹣2xy﹣y2D．（x+y）（y﹣x）＝x2﹣y2
6．（3分）若x2﹣6x+k是完全平方式，则k的值是（ ）
A．±9B．9C．±12D．12
7．（3分）如图，A、F、C、D在一条直线上，△ABC≌△DEF，∠B和∠E是对应角，BC和EF是对应边，AF＝1，FD＝4．则线段FC的长为（ ）
A．1.5B．2C．2.5D．3
8．（3分）如图，在长方形ABCD中，连接AC，以A为圆心适当长为半径画弧，分别交AD，AC于点E，F，分别以E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧在∠DAC内交于点H，画射线AH交DC于点M．若AD＝6，DM＝3，AC＝10，则△AMC的面积为（ ）
A．9B．15C．18D．30
9．（3分）有A，B两个正方形，按图甲所示将B放在A的内部，按图乙所示将A，B并列放置构造新的正方形．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为3和16，则正方形A，B的面积之和为（ ）
A．13B．19C．11D．21
10．（3分）如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC到点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（ ）
A．0.5B．0.9C．1D．1.25
二、填空题（本题共8个小；；每小题2分，共16分）
11．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC＝16cm，则BD＝ cm．
12．（2分）已知图中的两个三角形全等，则∠1等于 度．
13．（2分）如图，∠ACD＝120°，AB＝BC＝CD，则∠A等于 ．
14．（2分）若am＝10，an＝6，则am+n＝ ．
15．（2分）若x2+mx﹣12＝（x+3）（x+n），则m的值 ．
16．（2分）如图，弹性小球从点P（0，1）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形OABC的边时反弹，反弹的反射角等于入射角（反射前后的线与边的夹角相等），当小球第1次碰到正方形的边时的点为P1（2，0），第2次碰到正方形的边时的点为P2，…，第n次碰到正方形的边时的点为Pn，则点P2021的坐标为 ．
17．（2分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，2），B（0，4），在坐标轴上找一点P，使得△ABP是等腰三角形，则这样的点P共有 个．
18．（2分）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，CA＝4，BD是∠ABC的平分线．若P，Q分别是BD和AB上的动点，则PA+PQ的最小值是 ．
三、解答题（本题共10道题，满分54分）
19．（6分）计算：
（1）（﹣3x2y）2•xy；
（2）（x+2）（4x﹣）；
（3）（8x2y﹣4x4y3）÷（﹣2x2y）．
20．（5分）先化简，再求值：（3x+2）（3x﹣2）﹣5x（x﹣1）﹣（2x﹣1）2，其中x＝﹣．
21．（4分）已知，如图，△ABC．
（1）尺规作图：作AC边的垂直平分线DE，交BC边于点D，AC边于点E；
（2）连接AD，若AE＝4cm，△ABD的周长为15cm，则△ABC的周长为 cm．
22．（7分）已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣6，0）、C（﹣1，0）．
（1）将△ABC沿y轴翻折，画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并直接写出点A1的坐标 ．
（2）若以D、B、C为顶点的三角形与△ABC全等，请画出所有符合条件的△DBC（点D与点A重合除外）．
（3）在y轴上找一点P，使点P到点A，点C的距离和最短，请画出点P．
23．（5分）如图，C是AB的中点，CD∥BE，CD＝BE，连接AD，CE．求证：AD＝CE．
24．（5分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F．
（1）若CD＝3，则求CE的长；
（2）求证：BF⊥AE．
25．（5分）如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，且AE＝．请你猜想∠1和∠2有什么数量关系？并证明你的猜想．
解：猜想： ．
证明：
26．（5分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，延长AB至点E，使∠AEC＝∠DAB．判断CE与AD的数量关系，并证明你的结论．
27．（5分）当我们利用2种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式．例如，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
（1）由图2，可得等式： ．
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：
已知 a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；
（3）利用图3中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）；
（4）小明用2 张边长为a 的正方形，3 张边长为b的正方形，5 张边长分别为a、b 的长方形纸片重新拼出一个长方形，那么该长方形较长的一条边长为 ．
28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的线段MN及点Q，给出如下定义：
若点Q满足QM＝QN，则称点Q为线段MN的“中垂点”；当QM＝QN＝MN时，称点Q为线段MN的“完美中垂点”．
（1）如图1，A（4，0），下列各点中，线段OA的中垂点是 ．
Q1（0，4），Q2，（2，﹣4），Q3（1，）
（2）如图2，点A为x轴上一点，若Q（2，2）为线段OA的“完美中垂点”，写出线段OQ的两个“完美中垂点”是 和 ，两者的距离是 ．
（3）如图3，若点A为x轴正半轴上一点，点Q为线段OA的“完美中垂点”，点P（0，m）在y轴上，在线段PA上方画出线段AP的“完美中垂点”M，直接写出MQ＝ （用含m的式子表示）．并求出∠MQA（写出简单思路即可）．
2021-2022学年北京八中怡海分校八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分。下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。）
1．（3分）20的值为（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
【分析】根据a0＝1（a≠0）进行求解即可．
【解答】解：20＝1，
故选：C．
【点评】本题考查零指数幂的运算，熟练掌握a0＝1（a≠0）是解题的关键．
2．（3分）下列几种著名的数学曲线中，不是轴对称图形的是（ ）
A．笛卡尔爱心曲线B．蝴蝶曲线
C．费马螺线曲线D．科赫曲线
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：选项A、B、D均能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
选项C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．（3分）下列运算结果为a6的是（ ）
A．a3•a2B．a9﹣a3C．（a2）3D．a18÷a3
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
【解答】解：A．a3•a2＝a5，故本选项不合题意；
B．a9与﹣a3不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
C．（a2）3＝a6，故本选项符合题意；
D．a18÷a3＝a15，故本选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
4．（3分）要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线上取两点C、D，使BC＝CD，再作出BF的垂线DE，使E与A、C在一条直线上（如图所示），可以测得DE的长就是AB的长（即测得河宽），可由△EDC≌△ABC得到，判定这两个三角形全等的理由是（ ）
A．边角边B．角边角C．边边边D．边边角
【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法．
【解答】解：因为证明在△EDC≌△ABC用到的条件是：CD＝BC，∠ABC＝∠EDC，∠ACB＝∠ECD，
所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即角边角这一方法．
故选：B．
【点评】此题考查了三角形全等的应用，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做题时注意选择．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（x+y）（﹣y+x）＝x2﹣y2B．（﹣x+y）2＝﹣x2+2xy+y2
C．（﹣x﹣y）2＝﹣x2﹣2xy﹣y2D．（x+y）（y﹣x）＝x2﹣y2
【分析】根据完全平方公式和平方差公式逐个判断即可．
【解答】解：A、结果是x2﹣y2，原计算正确，故本选项符合题意；
B、结果是x2﹣2xy+y2，原计算错误，故本选项不符合题意；
C、结果是x2+2xy+y2，原计算错误，故本选项不符合题意；
D、结果是y2﹣x2，原计算错误，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了完全平方公式和平方差公式，能熟记公式的特点是解此题的关键，注意：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．
6．（3分）若x2﹣6x+k是完全平方式，则k的值是（ ）
A．±9B．9C．±12D．12
【分析】根据平方项和乘积二倍项列式即可确定出k的值．
【解答】解：∵x2﹣6x+k是完全平方式，
∴k＝32＝9．
故选：B．
【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项和乘积二倍项确定出k的值是解题的关键．
7．（3分）如图，A、F、C、D在一条直线上，△ABC≌△DEF，∠B和∠E是对应角，BC和EF是对应边，AF＝1，FD＝4．则线段FC的长为（ ）
A．1.5B．2C．2.5D．3
【分析】根据全等三角形的性质得出AC＝FD＝4，再求出FC即可．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，FD＝4，
∴AC＝FD＝4，
∵AF＝1，
∴FC＝AC﹣AF＝4﹣1＝3，
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等．
8．（3分）如图，在长方形ABCD中，连接AC，以A为圆心适当长为半径画弧，分别交AD，AC于点E，F，分别以E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧在∠DAC内交于点H，画射线AH交DC于点M．若AD＝6，DM＝3，AC＝10，则△AMC的面积为（ ）
A．9B．15C．18D．30
【分析】根据矩形的性质得到∠D＝90°，根据勾股定理得到CD＝＝＝8，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
∴CD＝＝＝8，
∵DM＝3，
∴CM＝5，
∴△AMC的面积＝CM•AD＝×6×5＝15，
故选：B．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了矩形的性质．
9．（3分）有A，B两个正方形，按图甲所示将B放在A的内部，按图乙所示将A，B并列放置构造新的正方形．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为3和16，则正方形A，B的面积之和为（ ）
A．13B．19C．11D．21
【分析】设A，B两个正方形的边长各为a、b，则由题意得（a﹣b）2＝3，（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab＝16，所以正方形A，B的面积之和为a2+b2＝（a﹣b）2+2ab，代入即可计算出结果．
【解答】解：设A，B两个正方形的边长各为a、b，
则图甲得（a﹣b）2
＝a2﹣2ab+b2
＝3，
由图乙得（a+b）2﹣（a2+b2）
＝（a2+2ab+b2）﹣（a2+b2）
＝2ab
＝16，
∴正方形A，B的面积之和为，
a2+b2
＝（a2﹣2ab+b2）+2ab
＝（a﹣b）2+2ab
＝3+16
＝19，
故选：B．
【点评】此题考查了利用数形结合进行阴影面积计算问题，关键是能将完全平方公式与几何图形相结合．
10．（3分）如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC到点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（ ）
A．0.5B．0.9C．1D．1.25
【分析】过P作BC的平行线交AC于F，通过AAS证明△PFD≌△QCD，得FD＝CD，再由△APF是等边三角形，即可得出DE＝AC．
【解答】解：过P作BC的平行线交AC于F，
∴∠Q＝∠FPD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠APF＝∠B＝60°，∠AFP＝∠ACB＝60°，
∴△APF是等边三角形，
∴AP＝PF，
∵AP＝CQ，
在△PFD中和△QCD中，
，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD＝CD，
∵PE⊥AC于E，△APF是等边三角形，
∴AE＝EF，
∴AE+DC＝EF+FD，
∴DE＝，
∵AC＝2，
∴DE＝1，
故选：C．
【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
二、填空题（本题共8个小；；每小题2分，共16分）
11．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC＝16cm，则BD＝ 8 cm．
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质即可求解．
【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，
∴BD＝DC＝BC，
∵BC＝16cm，
∴BD＝8cm．
故答案为：8．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合是解题的关键．
12．（2分）已知图中的两个三角形全等，则∠1等于 58 度．
【分析】利用三角形的内角和等于180°求出边b所对的角的度数，再根据全等三角形对应角相等解答．
【解答】解：如图，∠2＝180°﹣50°﹣72°＝58°，
∵两个三角形全等，
∴∠1＝∠2＝58°．
故答案为：58．
【点评】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，掌握对应边所对的角即为对应角是解题的关键．
13．（2分）如图，∠ACD＝120°，AB＝BC＝CD，则∠A等于 20° ．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论．
【解答】解：∵AB＝BC，
∴∠A＝∠ACB，
∵∠DBC＝∠A+∠ACB，
∴∠DBC＝2∠A，
∵BC＝CD，
∴∠D＝∠DBC＝2∠A，
∵∠ACD＝120°，
∴∠A+∠D＝∠A+2∠A＝180°﹣120°＝60°，
∴∠A＝20°，
故答案为：20°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
14．（2分）若am＝10，an＝6，则am+n＝ 60 ．
【分析】同逆向运用同底数幂的乘法法则计算即可，底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
【解答】解：∵am＝10，an＝6，
∴am+n＝am•an＝10×6＝60．
故答案为：60．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
15．（2分）若x2+mx﹣12＝（x+3）（x+n），则m的值 ﹣1 ．
【分析】已知等式右边利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出m的值即可．
【解答】解：已知等式整理得：x2+mx﹣12＝（x+3）（x+n）＝x2+（n+3）x+3n，
∴m＝n+3，﹣12＝3n，
解得：m＝﹣1，n＝﹣4，
故答案为：﹣1
【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
16．（2分）如图，弹性小球从点P（0，1）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形OABC的边时反弹，反弹的反射角等于入射角（反射前后的线与边的夹角相等），当小球第1次碰到正方形的边时的点为P1（2，0），第2次碰到正方形的边时的点为P2，…，第n次碰到正方形的边时的点为Pn，则点P2021的坐标为 （4，3） ．
【分析】按照反弹规律依次画图即可．
【解答】解：如图：
根据反射角等于入射角画图，可知小球从P2反射后到P3（0，3），再反射到P4（2，4），再反射到P5（4，3），再反射到P点（0，1）之后，再循环反射，每6次一循环，2021÷6＝336…5，即点P2021的坐标是（4，3）．
故答案为：（4，3）．
【点评】本题考查了生活中的轴对称现象，点的坐标．解题的关键是能够正确找到循环数值，从而得到规律．
17．（2分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，2），B（0，4），在坐标轴上找一点P，使得△ABP是等腰三角形，则这样的点P共有 5 个．
【分析】以B为圆心，AB长为半径画圆可得与坐标轴有两个交点，再以A为圆心，AB长为半径画圆可得与坐标轴有1个交点，然后再作AB的垂直平分线可得与坐标轴有两个交点．
【解答】解：如图所示，共5个点，
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定，关键是考虑全面，作图不重不漏．
18．（2分）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，CA＝4，BD是∠ABC的平分线．若P，Q分别是BD和AB上的动点，则PA+PQ的最小值是 ．
【分析】作点Q关于直线BD的对称点Q′，作AM⊥BC于M．由PA+PQ＝PA+PQ′，推出根据垂线段最短可知，当A，P，Q′共线，且与AM重合时，PA+PQ的值最小，最小值＝线段AM的长．
【解答】解：如图，
作点Q关于直线BD的对称点Q′，作AM⊥BC于M，
∵PA+PQ＝PA+PQ′，
∴根据垂线段最短可知，当A，P，Q′共线，且与AM重合时，PA+PQ的值最小，最小值＝线段AM的长．
∵△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，AC＝4，
∴AM＝＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查轴对称最短问题，垂线段最短，勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化 的思想思考问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本题共10道题，满分54分）
19．（6分）计算：
（1）（﹣3x2y）2•xy；
（2）（x+2）（4x﹣）；
（3）（8x2y﹣4x4y3）÷（﹣2x2y）．
【分析】（1）先算积的乘方，再进行单项式乘单项式运算即可；
（2）根据多项式乘多项式的法则进行运算即可；
（3）根据多项式除以单项式的运算法则进行运算即可．
【解答】解：（1）（﹣3x2y）2•xy
＝9x4y2•xy
＝3x5y3；
（2）（x+2）（4x﹣）
＝2x2﹣x+8x﹣1
＝2x2+x﹣1；
（3）（8x2y﹣4x4y3）÷（﹣2x2y）
＝8x2y÷（﹣2x2y）﹣4x4y3÷（﹣2x2y）
＝﹣4+2x2y2．
【点评】本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
20．（5分）先化简，再求值：（3x+2）（3x﹣2）﹣5x（x﹣1）﹣（2x﹣1）2，其中x＝﹣．
【分析】首先根据整式相乘的法则和平方差公式、完全平方公式去掉括号，然后合并同类项，最后代入数据计算即可求解．
【解答】解：原式＝9x2﹣4﹣（5x2﹣5x）﹣（4x2﹣4x+1）
＝9x2﹣4﹣5x2+5x﹣4x2+4x﹣1
＝9x﹣5，
当时，
原式＝＝﹣3﹣5＝﹣8．
【点评】此题主要考查了整式的化简求值，解题的关键是利用整式的乘法法则及平方差公式、完全平方公式化简代数式．
21．（4分）已知，如图，△ABC．
（1）尺规作图：作AC边的垂直平分线DE，交BC边于点D，AC边于点E；
（2）连接AD，若AE＝4cm，△ABD的周长为15cm，则△ABC的周长为 23 cm．
【分析】（1）分别以A、C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧交于两点，过两点画直线，交BC边于点D，交AC边于点E；
（2）由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到线段相等，结合△ABD的周长，进行线段的等量代换可得答案．
【解答】解：（1）如图所示，DE即为所求；
（2）∵DE垂直平分AC，
∴AD＝CD．
又∵△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝15（cm），
∴△ABC的周长＝AB+BD+CD+AC＝15+2×4＝23（cm）．
故答案为：23．
【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的作法和性质，解题时注意：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
22．（7分）已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣6，0）、C（﹣1，0）．
（1）将△ABC沿y轴翻折，画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并直接写出点A1的坐标 （2，3） ．
（2）若以D、B、C为顶点的三角形与△ABC全等，请画出所有符合条件的△DBC（点D与点A重合除外）．
（3）在y轴上找一点P，使点P到点A，点C的距离和最短，请画出点P．
【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用轴对称，翻折变换作出全等三角形即可；
（3）连接AC1交y轴于点P，连接PC，点P即为所求．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，点A1的坐标（2.3）．
故答案为：（2，3）；
（2）如图，点D1，D2，D3即为所求；
（3）如图，点P即为所求；
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，轴对称最短问题，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
23．（5分）如图，C是AB的中点，CD∥BE，CD＝BE，连接AD，CE．求证：AD＝CE．
【分析】根据平行线的性质和中点的定义以及全等三角形的判定和性质解答即可．
【解答】证明：∵C是AB的中点，
∴AC＝CB，
∵CD∥BE，
∴∠ACD＝∠B．
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（SAS），
∴AD＝CE．
【点评】该题主要考查了全等三角形的判定、平行线的性质及其应用等几何知识点问题；应牢固掌握全等三角形的判定．
24．（5分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F．
（1）若CD＝3，则求CE的长；
（2）求证：BF⊥AE．
【分析】（1）先证明△BDC≌△AEC得出：CD＝CE．
（2）由全等三角形的性质得到：∠CBD＝∠CAE，从而得出∠BFE＝90°，即BF⊥AE．
【解答】（1）解：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD＝90°．
在Rt△BDC与Rt△AEC中，
，
∴Rt△BDC≌Rt△AEC（HL）．
∴CD＝CE＝3；
（2）证明：由（1）知，Rt△BDC≌Rt△AEC，
∴∠CBD＝∠CAE．
又∴∠CAE+∠E＝90°．
∴∠EBF+∠E＝90°．
∴∠BFE＝90°，
即BF⊥AE．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
25．（5分）如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，且AE＝．请你猜想∠1和∠2有什么数量关系？并证明你的猜想．
解：猜想： ∠1与∠2互补 ．
证明： 作CF⊥AD延长线于F（如图），
∵∠3＝∠4，CE⊥AM，
∴CF＝CE，∠CFA＝∠CEA＝90°，
Rt△ACF≌Rt△ACE，
∴AF＝AE．
∵AE＝（AD+AB）＝（AF﹣DF+AE+EB）＝AE+（BE﹣DF），
∴BE﹣DF＝0，
∴BE＝DF，
∴△DFC≌△BEC（SAS），
∴∠5＝∠2，
∵∠1+∠5＝180°，
∴∠1+∠2＝180°，即∠1与∠2互补．
【分析】通过作辅助线，由三角形全等得到AF＝AE或AF＝AD，由已知条件从而证得．
【解答】解：猜想∠1与∠2互补．
理由如下：作CF⊥AD延长线于F（如图），
∵∠3＝∠4，CE⊥AM，
∴CF＝CE，∠CFA＝∠CEA＝90°，
Rt△ACF≌Rt△ACE，
∴AF＝AE．
∵AE＝（AD+AB）＝（AF﹣DF+AE+EB）＝AE+（BE﹣DF），
∴BE﹣DF＝0，
∴BE＝DF，
∴△DFC≌△BEC（SAS），
∴∠5＝∠2，
∵∠1+∠5＝180°，
∴∠1+∠2＝180°．
故答案是：∠1与∠2互补；
作CF⊥AD延长线于F（如图），
∵∠3＝∠4，CE⊥AM，
∴CF＝CE，∠CFA＝∠CEA＝90°，
Rt△ACF≌Rt△ACE，
∴AF＝AE．
∵AE＝（AD+AB）＝（AF﹣DF+AE+EB）＝AE+（BE﹣DF），
∴BE﹣DF＝0，
∴BE＝DF，
∴△DFC≌△BEC（SAS），
∴∠5＝∠2，
∵∠1+∠5＝180°，
∴∠1+∠2＝180°，即∠1与∠2互补．
【点评】本题利用角平分线性质，作辅助线得到三角形全等，并利用已知条件来求得．
26．（5分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，延长AB至点E，使∠AEC＝∠DAB．判断CE与AD的数量关系，并证明你的结论．
【分析】延长AD至点N使DN＝AD，AN交CE于点M，连接CN，根据等腰三角形的性质得到MA＝ME，根据全等三角形的性质得到∠N＝∠DAB．根据平行线的性质得到∠3＝∠AEC．求得MC＝MN，于是得到结论．
【解答】解：CE＝2AD；
理由：延长AD至点N使DN＝AD，AN交CE于点M，连接CN，
∵∠DAB＝∠AEC，
∴MA＝ME，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠DAB，BD＝CD，∠1＝∠2＝90°．
∴△ABD≌△NCD（SAS），
∴∠N＝∠DAB．
∴CN∥AE．
∴∠3＝∠AEC．
∴∠3＝∠N．
∴MC＝MN，
∴CE＝MC+ME
＝MN+MA
＝AN
＝2AD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
27．（5分）当我们利用2种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式．例如，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
（1）由图2，可得等式： （a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc ．
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：
已知 a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；
（3）利用图3中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）；
（4）小明用2 张边长为a 的正方形，3 张边长为b的正方形，5 张边长分别为a、b 的长方形纸片重新拼出一个长方形，那么该长方形较长的一条边长为 2a+3b ．
【分析】（1）根据图2，利用直接求与间接法分别表示出正方形面积，即可确定出所求等式；
（2）根据（1）中结果，求出所求式子的值即可；
（3）根据已知等式，做出相应图形，如图所示；
（4）根据题意列出关系式，即可确定出长方形较长的边．
【解答】解：（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（2）∵a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，
∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）＝121﹣76＝45；
（3）如图所示：
（4）根据题意得：2a2+5ab+3b2＝（2a+3b）（a+b），
则较长的一边为2a+3b．
故答案为：（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（4）2a+3b
【点评】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的线段MN及点Q，给出如下定义：
若点Q满足QM＝QN，则称点Q为线段MN的“中垂点”；当QM＝QN＝MN时，称点Q为线段MN的“完美中垂点”．
（1）如图1，A（4，0），下列各点中，线段OA的中垂点是 Q2 ．
Q1（0，4），Q2，（2，﹣4），Q3（1，）
（2）如图2，点A为x轴上一点，若Q（2，2）为线段OA的“完美中垂点”，写出线段OQ的两个“完美中垂点”是 A（4，0） 和 Q′（﹣2，2） ，两者的距离是 4 ．
（3）如图3，若点A为x轴正半轴上一点，点Q为线段OA的“完美中垂点”，点P（0，m）在y轴上，在线段PA上方画出线段AP的“完美中垂点”M，直接写出MQ＝ |m| （用含m的式子表示）．并求出∠MQA（写出简单思路即可）．
【分析】（1）由“中垂点”定义可求解．
（2）如图，当△AOQ，△OQQ′是等边三角形时，点A和点Q是线段OQ的“完美中垂点”，
（3）如图3中，以PA为边，向上作等边三角形PAM，连接QM．利用全等三角形的性质求解即可．
【解答】解：（1）∵若点Q满足QM＝QN，则称点Q为线段MN的“中垂点”；
∴Q在MN的垂直平分线上，
∵线段OA的对称点在OA的垂直平分线上，且A（4，0），O（0，0），
∴线段OA的中垂点横坐标为2，
∴Q2（2，﹣4）符合题意，
故答案为Q2．
（2）如图，当△AOQ，△OQQ′是等边三角形时，点A和点Q是线段OQ的“完美中垂点”，
∴A（4，0），Q′（﹣2，2），
AQ′＝＝4，
故答案为：A（4，0），Q′（﹣2，2），4．
（3）如图3中，以PA为边，向上作等边三角形PAM，连接QM．
∵点Q为线段OA的“完美中垂点”，
∴△AOQ是等边三角形，
∴∠OAQ＝∠PAM＝60°，
∴∠OAP＝∠QAM，
在△OAP和△QAM中，
∴△OAP≌△QAM（SAS），
∴OP＝QM＝|m|，∠AOP＝∠AQM＝90°，
故答案为：|m|，90°．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
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