2021-2022学年北京二十中八年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2021-2022学年北京二十中八年级（上）期中数学试卷【含解析】，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）图书馆的标志是浓缩了图书馆文化的符号，下列图书馆标志中，不是轴对称的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）如图，在△ABC中，BC边上的高为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a4+a4＝a8B．（﹣a2）3＝a6
C．a2•a3＝a5D．（2ab2）3＝2a3b6
4．（3分）已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则它的周长是（ ）
A．12B．16C．20D．16或20
5．（3分）在课堂上，张老师布置了一道画图题：
画一个Rt△ABC，使∠B＝90°，它的两条边分别等于两条已知线段．小刘和小赵同学先画出了∠MBN＝90°之后，后续画图的主要过程分别如图所示．
那么小刘和小赵同学作图确定三角形的依据分别是（ ）
A．SAS，HLB．HL，SASC．SAS，AASD．AAS，HL
6．（3分）如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且AB＝AD＝DC，∠BAD＝40°，则∠C为（ ）
A．25°B．35°C．40°D．50°
7．（3分）如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AB交AC于点E，若DE＝7，CE＝5，则AC＝（ ）
A．11B．12C．13D．14
8．（3分）如图，已知直线l及直线l外一点P．
（1）在直线l上取一点A，连接PA；
（2）作PA的垂直平分线MN，分别交直线l，PA于点B，O；
（3）以O为圆心，OB长为半径画弧，交直线MN于另一点Q；
（4）作直线PQ．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．△OPQ≌△OABB．PQ∥AB
C．若∠APQ＝60°，则PQ＝PAD．
二、填空题（共30分，每小题3分）
9．（3分）点P（﹣2，5）关于x轴对称的点是 ．
10．（3分）计算：0.252020×42021＝ ．
11．（3分）如图，小明从A点出发，沿直线前进2米后向左转36°，再沿直线前进2米，又向左转36°…照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了 米．
12．（3分）如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B＝ ．
13．（3分）如图，AB＝AC，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是 （添加一个条件即可）．
14．（3分）某地地震过后，小娜同学用下面的方法检测教室的房梁是否处于水平：在等腰直角三角尺斜边中点O处拴一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，结果线绳经过三角尺的直角顶点，由此得出房梁是水平的即挂铅锤的线绳与房梁直），用到的数学原理是 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，BD是边AC上的高，CE平分∠ACB，交BD于点E，DE＝2，BC＝5，则△BCE的面积为 ．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，∠C＝45°，AD是△ABC的角平分线，那么∠ADB＝ 度．
17．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，交AB于E点，连结BD，则∠DBC的度数为 度．
18．（3分）（1）如图，∠MAB＝30°，AB＝2cm．点C在射线AM上，利用图1，画图说明命题“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”是假命题．你画图时，选取的BC的长约为 cm（精确到0.1cm）．
（2）∠MAB为锐角，AB＝a，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d，BC＝x，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是 ．
三、解答题：（共46分，19题5分，20、21每题6分，22、23、25每题7分，24题8分）
19．（5分）如图，点A，F，C，D在同一条直线上，点B和点E在直线AD的两侧，且AF＝DC，BC∥FE，∠A＝∠D．
求证：AB＝DE．
20．（6分）如图，已知A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（1，﹣2）．
（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'；（其中A'、B'、C'分别是A，B，C的对应点，不写画法）
（2）A'、B'、C'的坐标分别为 ；
（3）△ABC的面积是 ．
21．（6分）已知：如图，线段AB和射线BM交于点B．
（1）利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹．（不要求写作法）
①在射线BM上求作一点C，使AC＝AB；
②在线段AB上求作一点D，使点D到BC，AC的距离相等；
（2）在（1）所作的图形中，若∠ABM＝72°，则图中与BC相等的线段是 ．
22．（7分）两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC．
（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；
（2）证明：DC⊥BE．
23．（7分）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，BD⊥AC于点D，过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点F．
（1）求证：∠ABD＝∠ACE；
（2）求证：EF＝AE．
24．（8分）如图，在等边△ABC内作射线AD，∠BAD＝α（0°＜α＜60°），点B关于射线AD的对称点为E．连接EC并延长交射线AD于点F．
（1）补全图形；
（2）求∠AFE的度数；
（3）用等式表示线段AF、CF、EF之间的数量关系，并证明．
25．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的线段AB及点P，给出如下定义：
若点P满足PA＝PB，则称P为线段AB的“轴点”，其中，当0°＜∠APB＜60°时，称P为线段AB的“远轴点”；当60°≤∠APB≤180°时，称P为线段AB的“近轴点”．
（1）如图1，点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），则在P1（﹣1，3），P2（0，2），P3（0，﹣1），P4（0，4）中，线段AB的“近轴点”是 ．
（2）如图2，点A的坐标为（3，0），点B在y轴正半轴上，∠OAB＝30°．
①若P为线段AB的“远轴点”，直接写出点P的横坐标t的取值范围 ；
②点C为y轴上的动点（不与点B重合且BC≠AB），若Q为线段AB的“轴点”，当线段QB与QC的和最小时，求点Q的坐标．
2021-2022学年北京二十中八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题均为四个选项，其中只有一个选项符合题意，共24分，每小题3分）
1．（3分）图书馆的标志是浓缩了图书馆文化的符号，下列图书馆标志中，不是轴对称的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念解答．
【解答】解：A、不是轴对称图形；
B、是轴对称图形；
C、是轴对称图形；
D、是轴对称图形；
故选：A．
【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）如图，在△ABC中，BC边上的高为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据三角形高的定义判断即可．
【解答】解：如图，在△ABC中，BC边上的高为线段AD，
故选：B．
【点评】本题主要考查三角形的角平分线、中线、高，解答的关键是对三角形的高的定义的掌握．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a4+a4＝a8B．（﹣a2）3＝a6
C．a2•a3＝a5D．（2ab2）3＝2a3b6
【分析】根据合并同类项运算法则进行计算判断A，根据幂的乘方运算法则进行计算判断B，根据同底数幂相乘的运算法则进行计算判断C，根据积的乘方与幂的乘方运算法则进行计算判断D．
【解答】解：A、a4+a4＝2a4，故此选项不符合题意；
B、（﹣a2）3＝﹣a6，故此选项不符合题意；
C、a2•a3＝a5，故此选项符合题意；
D、（2ab2）3＝8a3b6，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方（am）n＝amn，积的乘方（ab）n＝anbn运算法则是解题关键．
4．（3分）已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则它的周长是（ ）
A．12B．16C．20D．16或20
【分析】因为三角形的底边与腰没有明确，所以分两种情况讨论．
【解答】解：等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则第三边可能是4，也可能是8，
（1）当4是腰时，4+4＝8，不能构成三角形；
（2）当8是腰时，不难验证，可以构成三角形，周长＝8+8+4＝20．
故选：C．
【点评】本题主要考查分情况讨论的思想，利用三角形三边关系判断是否能构成三角形也是解好本题的关键．
5．（3分）在课堂上，张老师布置了一道画图题：
画一个Rt△ABC，使∠B＝90°，它的两条边分别等于两条已知线段．小刘和小赵同学先画出了∠MBN＝90°之后，后续画图的主要过程分别如图所示．
那么小刘和小赵同学作图确定三角形的依据分别是（ ）
A．SAS，HLB．HL，SASC．SAS，AASD．AAS，HL
【分析】分别根据全等三角形的判定定理进行解答即可．
【解答】解：∵小刘同学先确定的是直角三角形的两条直角边，
∴确定依据是SAS定理；
∵小赵同学先确定的是直角三角形的一条直角边和斜边，
∴确定依据是HL定理．
故选：A．
【点评】本题考查的是作图﹣复杂作图，熟知全等三角形的判定定理是解答此题的关键．
6．（3分）如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且AB＝AD＝DC，∠BAD＝40°，则∠C为（ ）
A．25°B．35°C．40°D．50°
【分析】先根据AB＝AD，利用三角形内角和定理求出∠B和∠ADB的度数，再根据三角形外角的性质即可求出∠C的大小．
【解答】解：∵AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB，
由∠BAD＝40°得∠B＝＝70°＝∠ADB，
∵AD＝DC，
∴∠C＝∠DAC，
∴∠C＝∠ADB＝35°．
故选：B．
【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理，三角形的外角性质的理解和掌握，解答此题的关键是利用三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
7．（3分）如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AB交AC于点E，若DE＝7，CE＝5，则AC＝（ ）
A．11B．12C．13D．14
【分析】先根据角平分线的性质得出∠BAD＝∠CAD，再根据平行线的性质得出∠CAD＝∠ADE，故可得出AE＝DE＝7，再根据AC＝AE+CE即可得出结论．
【解答】解：∵△ABC中，AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵DE∥AB，DE＝7，CE＝5，
∴∠CAD＝∠ADE，
∴AE＝DE＝7，
∴AC＝AE+CE＝7+5＝12．
故选：B．
【点评】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键．
8．（3分）如图，已知直线l及直线l外一点P．
（1）在直线l上取一点A，连接PA；
（2）作PA的垂直平分线MN，分别交直线l，PA于点B，O；
（3）以O为圆心，OB长为半径画弧，交直线MN于另一点Q；
（4）作直线PQ．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．△OPQ≌△OABB．PQ∥AB
C．若∠APQ＝60°，则PQ＝PAD．
【分析】利用作法得OP＝OA，OQ＝OB，则可判断△OPQ≌△OAB（SAS），于是可对A选项进行判断；根据全等三角形的性质得到∠OPQ＝∠OAB，则根据平行线的判定可对B选项进行判断；若∠APQ＝60°，则∠PQO＝30°，利用含30度的直角三角形三边的关系得到OP＝PQ，则可对C选项进行判断；由于OQ＝OB，所以只有当OA＝OB时，AP＝BQ，则可对D选项进行判断．
【解答】解：由作法得OP＝OA，OQ＝OB．
∵∠POQ＝∠AOB，
∴△OPQ≌△OAB（SAS），所以A选项的结论正确；
∴∠OPQ＝∠OAB，
∴PQ∥AB，所以B选项的结论正确；
若∠APQ＝60°，则∠PQO＝30°，
∴OP＝PQ，
∵OP＝OA，
∴PA＝PQ，所以C选项的结论正确；
∵△OPQ≌△OAB，
∴OQ＝OB，
∴只有当OA＝OB时，AP＝BQ，所以D选项的结论错误．
故选：D．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．也考查了线段垂直平分线的性质．
二、填空题（共30分，每小题3分）
9．（3分）点P（﹣2，5）关于x轴对称的点是 （﹣2，﹣5） ．
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征（横坐标相同，纵坐标互为相反数）解决此题．
【解答】解：点P（﹣2，5）关于x轴对称的点是（﹣2，﹣5）．
故答案为：（﹣2，﹣5）．
【点评】本题主要考查关于x轴对称的点的坐标特征，熟练掌握关于x轴对称的点的坐标特征是解决本题的关键．
10．（3分）计算：0.252020×42021＝ 4 ．
【分析】积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，据此计算即可．
【解答】解：0.252020×42021
＝0.252020×42020×4
＝（0.25×4）2020×4
＝12020×4
＝1×4
＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
11．（3分）如图，小明从A点出发，沿直线前进2米后向左转36°，再沿直线前进2米，又向左转36°…照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了 20 米．
【分析】根据多边形的外角和即可确定小明走的边数，边数乘以2即可得出答案．
【解答】解：由图可知小明回到出发点时走了一个正多边形，且每个外角是36°，
由360°÷36＝10可知是正十边形，有10条相等的边，
∴小明一共走了10×2＝20米，
故答案为：20．
【点评】本题主要考查正多边形的外角和定理，关键是要牢记多边形的外角和为360°．
12．（3分）如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B＝ 120° ．
【分析】根据全等三角形的性质求出∠C的度数，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵△ABC≌△A′B′C′，
∴∠C＝∠C′＝24°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝120°，
故答案为：120°．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．
13．（3分）如图，AB＝AC，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是 ∠B＝∠C或AE＝AD （添加一个条件即可）．
【分析】要使△ABE≌△ACD，已知AB＝AC，∠A＝∠A，则可以添加AE＝AD从而利用SAS来判定其全等，或添加∠B＝∠C从而利用AAS来判定其全等．
【解答】解：添加∠B＝∠C或AE＝AD后可分别根据ASA、SAS判定△ABE≌△ACD．
故答案为：∠B＝∠C或AE＝AD．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
14．（3分）某地地震过后，小娜同学用下面的方法检测教室的房梁是否处于水平：在等腰直角三角尺斜边中点O处拴一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，结果线绳经过三角尺的直角顶点，由此得出房梁是水平的即挂铅锤的线绳与房梁直），用到的数学原理是 等腰三角形的底边上的中线、底边上的高重合 ．
【分析】根据△ABC是个等腰三角形可得AC＝BC，再根据点O是AB的中点，即可得出OC⊥AB，然后即可得出结论．
【解答】解：∵△ABC是个等腰三角形，
∴AC＝BC，
∵点O是AB的中点，
∴AO＝BO，
∴OC⊥AB．
故答案为：等腰三角形的底边上的中线、底边上的高重合．
【点评】本题主要考查了学生对等腰三角形的性质的理解和掌握，此题与实际生活联系密切，体现了从数学走向生活的指导思想，从而达到学以致用的目的．
15．（3分）如图，在△ABC中，BD是边AC上的高，CE平分∠ACB，交BD于点E，DE＝2，BC＝5，则△BCE的面积为 5 ．
【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质求得EF＝DE＝2，然后根据三角形面积公式求得即可．
【解答】解：作EF⊥BC于F，
∵CE平分∠ACB，BD⊥AC，EF⊥BC，
∴EF＝DE＝2，
∴S△BCE＝BC•EF＝×5×2＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，作出辅助线求得三角形的高是解题的关键．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，∠C＝45°，AD是△ABC的角平分线，那么∠ADB＝ 85 度．
【分析】根据角平分线的定义求出∠CAD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝80°，
∴∠CAD＝∠BAC＝×80°＝40°，
∴∠ADB＝∠CAD+∠C＝40°+45°＝85°．
故答案为：85．
【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质与概念是解题的关键．
17．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，交AB于E点，连结BD，则∠DBC的度数为 30 度．
【分析】已知∠A＝40°，AB＝AC可得∠ABC＝∠ACB，再由线段垂直平分线的性质可求出∠ABD＝∠A，易求∠DBC．
【解答】解：∵∠A＝40°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
又∵DE垂直平分AB，
∴DB＝AD
∴∠ABD＝∠A＝40°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°．
故答案为：30．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质．主要了解线段垂直平分线的性质即可求解．
18．（3分）（1）如图，∠MAB＝30°，AB＝2cm．点C在射线AM上，利用图1，画图说明命题“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”是假命题．你画图时，选取的BC的长约为 答案不唯一如：BC＝1.2cm cm（精确到0.1cm）．
（2）∠MAB为锐角，AB＝a，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d，BC＝x，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是 x＝d或x≥a． ．
【分析】（1）答案不唯一，可以取BC＝1.2cm（1cm＜BC＜2cm）；
（2）当x＝d或x≥a时，三角形是唯一确定的；
【解答】解：（1）取BC＝1.2cm，
如图在△ABC和△ABC′中满足SSA，两个三角形不全等．
故答案为：答案不唯一如：BC＝1.2cm．
（2）若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是x＝d或x≥a，
故答案为x＝d或x≥a．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题：（共46分，19题5分，20、21每题6分，22、23、25每题7分，24题8分）
19．（5分）如图，点A，F，C，D在同一条直线上，点B和点E在直线AD的两侧，且AF＝DC，BC∥FE，∠A＝∠D．
求证：AB＝DE．
【分析】根据已知条件得出△ABC≌△DEF，即可得出AB＝DE．
【解答】证明：∵BC∥FE，
∴∠BCA＝∠DFE．
∵AF＝DC，
∴AF+FC＝DC+CF．
∴AC＝DF．
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
∴AB＝DE．
【点评】本题考查了平行线的性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是根据平行线的性质和全等三角形的判定解答．
20．（6分）如图，已知A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（1，﹣2）．
（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'；（其中A'、B'、C'分别是A，B，C的对应点，不写画法）
（2）A'、B'、C'的坐标分别为 （2，3），（3，1），（1，﹣2）． ；
（3）△ABC的面积是 3.5 ．
【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可．
（2）根据A′，B′，C′的位置写出坐标即可．
（3）利用分割法把三角形面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积即可．
【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求；
（2）A'、B'、C'的坐标分别为（2，3），（3，1），（1，﹣2）．
故答案为：（2，3），（3，1），（1，﹣2）．
（3）S△ABC＝4×5﹣×1×2﹣×3×4﹣×3×5＝3.5，
故答案为：3.5．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换，学会用分割法求三角形面积．
21．（6分）已知：如图，线段AB和射线BM交于点B．
（1）利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹．（不要求写作法）
①在射线BM上求作一点C，使AC＝AB；
②在线段AB上求作一点D，使点D到BC，AC的距离相等；
（2）在（1）所作的图形中，若∠ABM＝72°，则图中与BC相等的线段是 DC，AD ．
【分析】（1）①以A为圆心AB长为半径画弧，进而得出C点位置；
②利用角平分线的作法得出即可；
（2）利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出即可．
【解答】解：（1）①如图所示：AC＝AB；
②D点即为所求；
（2）∵∠ABM＝72°，AB＝AC，
∴∠ACB＝72°，
∵∠ACD＝∠DCB，
∴∠A＝∠ACD＝∠BCD＝36°，
∴图中与BC相等的线段是：DC，AD．
故答案为：DC，AD．
【点评】此题主要考查了复杂作图，正确利用角平分线的性质以及等腰三角形的性质是解题关键．
22．（7分）两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC．
（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；
（2）证明：DC⊥BE．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，可以得出△ABE≌△ACD；
（2）由△ABE≌△ACD可以得出∠B＝∠ACD﹣45°，进而得出∠DCB＝90°，就可以得出结论．
【解答】（1）△ABE≌△ACD．
证明：∵△ABC与△AED均为等腰直角三角形，
∴AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝90°．
∴∠BAC+∠CAE＝∠EAD+∠CAE．
即∠BAE＝∠CAD，
在△ABE与△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD；
（2）证明∵△ABE≌△ACD，
∴∠ACD＝∠ABE＝45°，
又∵∠ACB＝45°，
∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°，
∴DC⊥BE．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，垂直的判定的运用，解答时证明三角形全等是关键．
23．（7分）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，BD⊥AC于点D，过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点F．
（1）求证：∠ABD＝∠ACE；
（2）求证：EF＝AE．
【分析】（1）依据同角的余角相等，即可得出结论；
（2）证明△BEF≌△CEA，依据全等三角形的对应边相等，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，
∴∠A+∠ABD＝∠A+∠ACE＝90°，
∴∠ABD＝∠ACE；
（2）证明：∵∠ABC＝45°，CE⊥AB，
∴∠BCE＝∠CBE，∠AEC＝∠FEB＝90°，
∴CE＝BE，
在△BEF和△CEA中，
，
∴△BEF≌△CEA（ASA），
∴EF＝AE．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，证明△BEF≌△CEA是解决问题的关键．
24．（8分）如图，在等边△ABC内作射线AD，∠BAD＝α（0°＜α＜60°），点B关于射线AD的对称点为E．连接EC并延长交射线AD于点F．
（1）补全图形；
（2）求∠AFE的度数；
（3）用等式表示线段AF、CF、EF之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）补全图形如图1所示；
（2）如图2，连接AE，BE，根据对称性可得：AE＝AB，∠EAF＝∠BAD＝α，由等腰三角形性质可得：∠CAE＝2α﹣60°，由AC＝AE，可得∠ACE＝∠AEC＝（180°﹣∠CAE）＝120°﹣α，再根据三角形外角性质即可得出答案；
（3）如图3，在AF上截取FG＝FC，连接CG、AE、BF、BE，根据对称性可得：BF＝EF，再由等边三角形性质可证得：△CAG≌△CBF（SAS），即可证得：AF＝EF+CF．
【解答】解：（1）补全图形如图1所示：
（2）如图2，连接AE，BE，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC，
∵点B关于射线AD的对称点为E，
∴AE＝AB，∠EAF＝∠BAD＝α，
∴∠CAE＝∠BAE﹣∠BAC＝2α﹣60°，
∴AC＝AE，
∴∠ACE＝∠AEC＝（180°﹣∠CAE）＝120°﹣α，
∵∠CAF＝∠BAC﹣∠BAD＝60°﹣α，
∴∠AFE＝∠ACE﹣∠CAF＝120°﹣α﹣（60°﹣α）＝60°；
（3）AF＝EF+CF．
证明：如图3，在AF上截取FG＝FC，连接CG、AE、BF、BE，
∵点B关于射线AD的对称点为E，
∴BF＝EF，
由（2）知：∠AFE＝60°，
∵FG＝FC，
∴△CFG是等边三角形，
∴∠FCG＝60°，CF＝CG＝FG，
∴∠ACG+∠BCG＝60°，∠BCF+∠BCG＝60°，
∴∠ACG＝∠BCF，
在△CAG和△CBF中，
，
∴△CAG≌△CBF（SAS），
∴AG＝BF，
∴AG＝EF，
∵AF＝AG+FG，
∴AF＝EF+CF．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
25．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的线段AB及点P，给出如下定义：
若点P满足PA＝PB，则称P为线段AB的“轴点”，其中，当0°＜∠APB＜60°时，称P为线段AB的“远轴点”；当60°≤∠APB≤180°时，称P为线段AB的“近轴点”．
（1）如图1，点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），则在P1（﹣1，3），P2（0，2），P3（0，﹣1），P4（0，4）中，线段AB的“近轴点”是 P2，P3 ．
（2）如图2，点A的坐标为（3，0），点B在y轴正半轴上，∠OAB＝30°．
①若P为线段AB的“远轴点”，直接写出点P的横坐标t的取值范围 t＞3或t＜0 ；
②点C为y轴上的动点（不与点B重合且BC≠AB），若Q为线段AB的“轴点”，当线段QB与QC的和最小时，求点Q的坐标．
【分析】（1）如图1中作等边△ABC，△ABC′．根据点C，C′的坐标即可判断；
（2）①如图2﹣1中，以AB为边作等边△ABK，△ABK′，根据K，K′的坐标即可判断；
②如图2﹣2中，由题意点Q在线段AB的垂直平分线上．连接QA，QB，作QC⊥OB于C．根据垂线段最短可知：当A，Q，C共线且AC⊥OB时，QB+QC的值最小，最小值为线段OA的长，设此时QB＝QA＝m，利用勾股定理构建方程求出m，即可解决问题．
【解答】解：（1）如图作等边△ABC，△ABC′．
由题意C（0，2），C′（0，﹣2），当点P在线段CC′上时，点P是“近轴点”，
所以P2（0，2），P3（0，﹣1）是“近轴点”，
故答案为P2，P3．
（2）①如图2﹣1中，
以AB为边作等边△ABK，△ABK′，
由题意可知K（3，2），k′（0，﹣），
若P为线段AB的“远轴点”，
∴点P的横坐标t的取值范围为t＞3或t＜0．
故答案为t＞3或t＜0．
②如图2﹣2中，由题意点Q在线段AB的垂直平分线上．连接QA，QB，作QC⊥OB于C．
∵点Q在AB的垂直平分线上，
∴QB＝QA，
∴QB+QC＝QA+QC，
根据垂线段最短可知：当A，Q，C共线且AC⊥OB时，QB+QC的值最小，最小值为线段OA的长，
设此时QB＝QA＝m，则有m2＝（）2+（3﹣m）2，
解得m＝2，
∴OQ＝1，
∴此时点Q坐标为（1，0）．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，一次函数的应用等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考压轴题．
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