2021-2022学年北京人大附中八年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2021-2022学年北京人大附中八年级（上）期中数学试卷【含解析】，共30页。

A．B．
C．D．
2．（3分）如图，△ABC的边AB的垂直平分线交边BC于点D，边AC的垂直平分线交边BC于点E，若BC＝16，则△ADE的周长是（ ）
A．8B．16C．32D．不能确定
3．（3分）若关于x的多项式（x2+2x+4）（x+k）展开后不含有一次项，则实数k的值为（ ）
A．﹣1B．2C．3D．﹣2
4．（3分）如图，点D为△ABC的边BC上一点，且满足AD＝DC，作BE⊥AD于点E，若∠BAC＝70°，∠C＝40°，AB＝6，则BE的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．（3分）从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（ ）
A．a2﹣b2＝（a﹣b）2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
6．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝66°，∠C＝40°，将△ABC绕点B逆时针旋转α后得到△A′BC′，此时点A恰好在线段A′C′上，则∠ABA′的度数为（ ）
A．28°B．30°C．32°D．35°
7．（3分）小明同学统计了某学校八年级部分同学每天阅读图书的时间，并绘制了统计图，如图所示．下面有四个推断：
①小明此次一共调查了100位同学；
②每天阅读图书时间不足15分钟的同学人数多于45﹣60分钟的人数；
③每天阅读图书时间在15﹣30分钟的人数最多；
④每天阅读图书时间超过30分钟的同学人数是调查总人数的20%．
根据图中信息，上述说法中正确的是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
8．（3分）已知a，b，c分别是等腰△ABC三边的长，且满足ac＝12﹣bc，若a，b，c均为正整数，则这样的等腰△ABC存在（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
二、填空：（每空2分，共18分）
9．（2分）若式子（x﹣3）0有意义，则实数x的取值范围是 ．
10．（2分）一个等腰三角形有一个角为80°，则它的顶角度数为 ．
11．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，BD是△ABC的角平分线，则∠ABD＝ °．
12．（2分）为了贯彻和落实“双减政策”，某学校七年级在课后辅导中开设剪纸、做豆腐、硬笔书法、篮球、戏剧赏析五个课程．为了了解七年级学生对这五个课程的选择情况，小明同学随机抽取了部分学生进行调查（规定每人必须并且只能选择其中一个课程），并把调查结果绘制成如图所示的统计图，根据这个统计图可以估计七年级500名学生中选择做豆腐课程的学生约为 名．
13．（2分）如图，等边三角形ABC的三个顶点都在坐标轴上，A（﹣1，0），过点B作BD⊥AB，垂线BD交x轴于点D，则点D的坐标为 ．
14．（2分）已知a﹣2b＝2，那么a2﹣4b2﹣8b+1的值为 ．
15．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD为△ABC的角平分线，过点D作直线l∥AB，点P为直线l上的一个动点，若△BCD的面积为16，BC＝8，则AP最小值为 ．
16．（2分）若x﹣y＝5，xy＝6，则x2y﹣xy2＝ ．
17．（2分）如图，△ABC为等边三角形，点D与点C关于直线AB对称，E，F分别是边BC和AC上的点，BE＝CF，AE与BF交于点G，DG交AB于点H．下列四个结论中：①△ABE≌△CBF；②AG+BG＝DG；③HG+GE＝GF；④△AHF为等边三角形．所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：（20-22题每小题8分，23题5分，24题4分，共29分）
18．（8分）计算：
（1）（a+2）（a+3）+2a6÷a4；
（2）（3a+b）2﹣（a+b）（a﹣b）．
19．（8分）分解因式：
（1）a2b﹣16b；
（2）5x3﹣20x2y+20xy2．
20．（4分）已知a＝﹣2，b＝3时，求[3（a﹣b）2﹣5（a2+b2）+（2a+b）（a﹣4b）]÷2b的值．
21．（5分）已知：如图，点B是∠MAN边AM上的一定点（其中∠MAN＜45°），
求作：△ABC，使其满足：①点C在射线AN上，②∠ACB＝2∠A．
下面是小兵设计的尺规作图过程．
作法：
①作线段AB的垂直平分线l，直线l交射线AN于点D；
②以点B为圆心，BD长为半径作弧，交射线AN于另一点C；
③连接BC，则△ABC即为所求三角形．
根据小兵设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵直线l为线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD（ ），（填推理的依据）
∴∠A＝∠ ，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A；
∵BC＝BD，
∴∠ACB＝∠BDC （ ），（填推理的依据）
∴∠ACB＝2∠A．
22．（4分）为了强身健体，更好的学习和生活，某学校初二年级600名同学积极跑步，体育陈老师为整个年级同学进行了跑步测试．为了解同学整体跑步能力，从中抽取部分同学的成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计分析，得到如下所示的频数分布表：
请根据尚未完成的表格，解答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量为 ，表中c＝ ；
（2）补全如图所示的频数分布直方图；
（3）若成绩小于或者等于70分的同学的跑步能力需加强锻炼和提高，估计该校八年级同学中需要加强锻炼和提高的有 人．
四、解答题：（25，26题每题5分，27题6分，28题7分，共23分）
23．（5分）随着某种产品的原料涨价，因而厂家决定对产品进行提价，设该产品原价为1元，现在有两种提价方案：
方案1：第一次提价x%，第二次提价y%；
方案2：第一次、二次提价均为．
其中x，y是不相等的正数，请判断在分别实施这两种方案后哪种方案最终价格更高？并用乘法公式证明．
24．（5分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，点D是线段AC的中点，以CD为斜边作等腰直角△CDE，连接AE，EB，判断△AEB的形状，并证明．
25．（6分）若整式A只含有字母x，且A的次数不超过3次，令A＝ax3+bx2+cx+d，其中a，b，c，d为整数，在平面直角坐标系中，我们定义：M（b+d，a+b+c+d）为整式A的关联点，我们规定次数超过3次的整式没有关联点．例如，若整式A＝2x2﹣5x+4，则a＝0，b＝2，c＝﹣5，d＝4，故A的关联点为（6，1）．
（1）若A＝x3+x2﹣2x+4，则A的关联点坐标为 ．
（2）若整式B是只含有字母x的整式，整式C是B与（x﹣2）（x+2）的乘积，若整式C的关联点为（6，﹣3），求整式B的表达式．
（3）若整式D＝x﹣3，整式E是只含有字母x的一次多项式，整式F是整式D与整式E的平方的乘积，若整式F的关联点为（﹣200，0），请直接写出整式E的表达式．
26．（7分）在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，点E是直线BC上的动点．
（1）如图1，当点E在CB的延长线上时，连接AE，若∠E＝48°，AE＝AD＝DC，则∠ABC的度数为 ．
（2）如图2，AC＞AB，点P在线段AD延长线上，比较AC+BP与AB+CP之间的大小关系，并证明．
（3）连接AE，若∠DAE＝90°，∠BAC＝24°，且满足AB+AC＝EC，请求出∠ACB的度数（要求：画图，写思路，求出度数）．
2021-2022学年北京人大附中八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题：（每小题3分，共30分）
1．（3分）2021年3月20日三星堆遗址的最新考古发现又一次让世界为之瞩目，下列三星堆文物图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，利用轴对称图形的定义进行解答即可．
【解答】解：选项A、B、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：C．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2．（3分）如图，△ABC的边AB的垂直平分线交边BC于点D，边AC的垂直平分线交边BC于点E，若BC＝16，则△ADE的周长是（ ）
A．8B．16C．32D．不能确定
【分析】如图，由题意可知DA＝DB，EA＝EC，推出AD+AE+DE＝BD+EC+DE，于是得到结论．
【解答】解：∵边AB的垂直平分线交BC于点D，边AC的垂直平分线交BC于点E，
∴DA＝DB，EA＝EC，
∵BC＝BD+DE+CE＝AD+DE+AE＝△ADE的周长，
∴△ADE的周长＝16，
故选：B．
【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，三角形的周长，关键在于根据题意推出DA＝DA，EA＝EC，正确的进行等量代换．
3．（3分）若关于x的多项式（x2+2x+4）（x+k）展开后不含有一次项，则实数k的值为（ ）
A．﹣1B．2C．3D．﹣2
【分析】将原式展开后，令一次项的系数为零即可求出k的值．
【解答】解：原式＝x3+kx2+2x2+2kx+4x+4k
＝x3+kx2+2x2+（2k+4）x+4k，
令2k+4＝0，
∴k＝﹣2，
故选：D．
【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的乘除运算，本题属于基础题型．
4．（3分）如图，点D为△ABC的边BC上一点，且满足AD＝DC，作BE⊥AD于点E，若∠BAC＝70°，∠C＝40°，AB＝6，则BE的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据等边对等角可得∠DAC＝40°，根据角的差可得∠BAE＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得BE的长．
【解答】解：∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠C＝40°，
∵∠BAC＝70°，
∴∠BAE＝70°﹣40°＝30°，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝90°，
∴BE＝AB＝×6＝3．
故选：B．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，解本题的关键是得出∠BAE＝30°．
5．（3分）从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（ ）
A．a2﹣b2＝（a﹣b）2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
【分析】分别根据正方形及平行四边形的面积公式求得甲、乙中阴影部分的面积，从而得到可以验证成立的公式．
【解答】解：由图1将小正方形一边向两方延长，得到两个梯形的高，两条高的和为a﹣b，即平行四边形的高为a﹣b，
∵两个图中的阴影部分的面积相等，即甲的面积＝a2﹣b2，乙的面积＝（a+b）（a﹣b）．
即：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
所以验证成立的公式为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：D．
【点评】本题主要考查了平方差公式，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．本题主要利用面积公式求证明a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
6．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝66°，∠C＝40°，将△ABC绕点B逆时针旋转α后得到△A′BC′，此时点A恰好在线段A′C′上，则∠ABA′的度数为（ ）
A．28°B．30°C．32°D．35°
【分析】由旋转的性质可得AB＝BA'，∠BAC＝∠BA'C＝74°，由三角形的内角和定理可求解．
【解答】解：∵∠ABC＝66°，∠C＝40°，
∴∠BAC＝74°，
∵将△ABC绕点B逆时针旋转α后得到△A′BC′，
∴AB＝BA'，∠BAC＝∠BA'C'＝74°，
∴∠BAA'＝∠BA'A＝74°，
∴∠ABA'＝32°，
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
7．（3分）小明同学统计了某学校八年级部分同学每天阅读图书的时间，并绘制了统计图，如图所示．下面有四个推断：
①小明此次一共调查了100位同学；
②每天阅读图书时间不足15分钟的同学人数多于45﹣60分钟的人数；
③每天阅读图书时间在15﹣30分钟的人数最多；
④每天阅读图书时间超过30分钟的同学人数是调查总人数的20%．
根据图中信息，上述说法中正确的是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
【分析】根据频数分布直方图中的数据，可以判断各个小题中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由直方图可得，
小明此次一共调查了10+60+20+10＝100名同学，故①正确；
每天阅读图书时间不足15分钟的同学人数和45﹣60分钟的人数一样多，故②错误；
每天阅读图书时间在15﹣30分钟的人数最多，故③正确；
每天阅读图书时间超过30分钟的同学人数是调查总人数的：（20+10）÷100×100%＝30%，故④错误；
故选：A．
【点评】本题考查频数分布直方图，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
8．（3分）已知a，b，c分别是等腰△ABC三边的长，且满足ac＝12﹣bc，若a，b，c均为正整数，则这样的等腰△ABC存在（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【分析】根据不定方程的正整数解进行分类讨论即可．
【解答】解：∵ac＝12﹣bc，
∴ac+bc＝12，
∴（a+b）c＝12，
∴12＝1×12＝2×6＝3×4，a+b＞c，
∴ 或或，
当 时，三边长分别为 1，6，6或 1，1，11 （不合题意舍去）；
当 时，三边长分别为 2，3，3或 2，2，4 （不合题意舍去）；
当 时，三边长分别为 3，2，2或 3，3，1，
所以一共有4个，
故选：B．
【点评】本题考查了不定方程的正整数解和等腰三角形的三边关系，关键是根据不定方程的整数解进行分类讨论．
二、填空：（每空2分，共18分）
9．（2分）若式子（x﹣3）0有意义，则实数x的取值范围是 x≠3 ．
【分析】利用零指数幂的意义即零的零次幂没有意义解答即可．
【解答】解：∵零的零次幂没有意义，
∴x﹣3≠0．
∴x≠3．
故答案为：x≠3．
【点评】本题主要考查了零指数幂的意义，利用零的零次幂没有意义解答是解题的关键．
10．（2分）一个等腰三角形有一个角为80°，则它的顶角度数为 80°或20° ．
【分析】等腰三角形一内角为80°，没说明是顶角还是底角，所以有两种情况．
【解答】解：（1）当80°角为顶角，顶角度数即为80°；
（2）当80°为底角时，顶角＝180°﹣2×80°＝20°．
故答案为：80°或20°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，属于基础题，若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
11．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，BD是△ABC的角平分线，则∠ABD＝ 35 °．
【分析】由已知根据等腰三角形的性质易得两底角的度数，结合角平分线的性质和三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣40°）÷2＝70°，
又∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝35°，
故答案为：35．
【点评】本题考查了三角形内角和定理及等腰三角形的性质、角平分线的性质；综合运用各种知识是解答本题的关键．
12．（2分）为了贯彻和落实“双减政策”，某学校七年级在课后辅导中开设剪纸、做豆腐、硬笔书法、篮球、戏剧赏析五个课程．为了了解七年级学生对这五个课程的选择情况，小明同学随机抽取了部分学生进行调查（规定每人必须并且只能选择其中一个课程），并把调查结果绘制成如图所示的统计图，根据这个统计图可以估计七年级500名学生中选择做豆腐课程的学生约为 100 名．
【分析】用整体1减去戏剧赏析、篮球、剪纸、硬笔书法所占的百分比，求出做豆腐所占的百分比，再用该学校500名学生乘以做豆腐所占的百分比即可得出答案．
【解答】解：根据题意得：
500×（1﹣14%﹣16%﹣30%﹣20%）＝100（名），
答：这个统计图可以估计七年级500名学生中选择做豆腐课程的学生约为100名．
故答案为：100．
【点评】此题考查了用样本估计总体，依据扇形统计图求出做豆腐所占的百分比是解题的关键．
13．（2分）如图，等边三角形ABC的三个顶点都在坐标轴上，A（﹣1，0），过点B作BD⊥AB，垂线BD交x轴于点D，则点D的坐标为 （3，0） ．
【分析】根据等边三角形的性质得OC＝OA＝1，则AC＝BC＝2，∠ACB＝∠ABC＝60°，由BD⊥AB得∠CBD＝30°，根据三角形外角的性质得∠BDC＝∠CBD＝30°，则CD＝BC＝2，可得出OD＝OC+CD＝3，即可得点D的坐标．
【解答】解：∵A（﹣1，0），
∴OA＝1，
∵△ABC是等边三角形，OB⊥AC，
∴OC＝OA＝1，
∴AC＝BC＝2，∠ACB＝∠ABC＝60°，
∵BD⊥AB，
∴∠CBD＝∠ABD﹣∠ABC＝30°，
∴∠BDC＝∠ACB﹣∠DBC＝30°，
∴∠BDC＝∠CBD，
∴CD＝BC＝2，
∴OD＝OC+CD＝3，
∴点D的坐标（3，0）．
故答案为：（3，0）．
【点评】本题考查等边三角形的性质，坐标与图形的性质，求出OC，CD的长是解题的关键．
14．（2分）已知a﹣2b＝2，那么a2﹣4b2﹣8b+1的值为 5 ．
【分析】先将a2﹣4b2因式分解，利用整体代入的方法化简整理，再利用代入计算即可得出结论．
【解答】解：∵a﹣2b＝2，
∴原式＝（a+2b）（a﹣2b）﹣8b+1
＝2（a+2b）﹣8b+1
＝2a+4b﹣8b+1
＝2a﹣4b+1
＝2（a﹣2b）+1
＝2×2+1
＝4+1
＝5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了因式分解的应用，求代数式的值，利用因式分解的方法将代数式适当变形利用整体代入的思想是解题的关键．
15．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD为△ABC的角平分线，过点D作直线l∥AB，点P为直线l上的一个动点，若△BCD的面积为16，BC＝8，则AP最小值为 4 ．
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据三角形的面积公式求出CD，根据角平分线的性质求出DE，根据垂线段最短解答即可．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，
∵△BCD的面积为16，BC＝8，∠C＝90°，
∴CD＝4，
∵BD是∠ABC的平分线，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝CD＝4，
当AP⊥直线l时，AP的值最小，
此时四边形APDE为矩形，
∴AP＝DE＝4，
∴AP最小值为4，
故答案为：4．
【点评】本题考查的是角平分线的性质、三角形的面积计算、垂线段最短，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
16．（2分）若x﹣y＝5，xy＝6，则x2y﹣xy2＝ 30 ．
【分析】将原式首先提取公因式xy，进而分解因式，将已知代入求出即可．
【解答】解：∵x﹣y＝5，xy＝6，
∴x2y﹣xy2＝xy（x﹣y）＝6×5＝30．
故答案为：30．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确分解因式是解题关键．
17．（2分）如图，△ABC为等边三角形，点D与点C关于直线AB对称，E，F分别是边BC和AC上的点，BE＝CF，AE与BF交于点G，DG交AB于点H．下列四个结论中：①△ABE≌△CBF；②AG+BG＝DG；③HG+GE＝GF；④△AHF为等边三角形．所有正确结论的序号是 ①②④ ．
【分析】①直接根据全等三角形的判定方法判断即可；
②延长GE至H′，使GH′＝GB，根据等边三角形的判定与性质可得∠ABH′＝∠DBG，再根据全等三角形的判定与性质可得结论；
③根据三角形的三边关系可得答案；
④连接HF，根据全等三角形的判定方法及性质可得AH＝CE，最后根据等边三角形的判定可得结论．
【解答】解：①在△ABE和△BCF中，
，
∵△ABE≌△BCF（SAS），故①正确；
②延长GE至H′，使GH′＝GB，
由①知△ABE≌△BCF，
∴∠BAE＝∠FBC，
∴∠BGE＝∠ABG+∠BAE＝∠ABG+∠FBC＝∠ABC＝60°，
∵GH′＝GB，
∴△BGH′是等边三角形，
∴G＝BH′＝GH′，∠GBH′＝60°，
∵点D与点C关于直线AB对称，
∴AD＝DC，BD＝BC，
∴AD＝DB＝AB，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB＝BD，∠ABD＝60°，
∵∠ABH′＝∠GBH′+∠ABG，∠DBG＝∠ABD+∠ABG，
∴∠ABH′＝∠DBG，
∵DB＝AB，BG＝BH′，
∴△DBG≌△ABH′（SAS），
∴DG＝AH′，
∵AH′＝AG+GH′，
∴DG＝AG+BG，故②正确；
③连接HE，
HE不等于GF，可以证明HG+GE＝BG，而BG不一定等于FG，故③错误；
④连接HF，
∵△DBG≌△ABH′
∴∠BDG＝∠BAG
∵∠ADB＝∠BAC＝60°，
∴∠ADB﹣∠BDG＝∠BAC﹣∠BAG，即∠ADH＝∠GAF，
∵AD＝AC，∠ACE＝∠DAH，
∴△ADH≌△CAE（AAS），
∴AH＝CE，
∵CE＝BC﹣BE＝AC﹣FC＝AF，
∴AH＝AF，
∵∠HAF＝60°
∴△AHE是等边三角形，故④正确，
故答案为：①②④．
【点评】此题考查的是全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、轴对称的性质，正确作出辅助线是解决此题关键．
三、解答题：（20-22题每小题8分，23题5分，24题4分，共29分）
18．（8分）计算：
（1）（a+2）（a+3）+2a6÷a4；
（2）（3a+b）2﹣（a+b）（a﹣b）．
【分析】（1）先计算乘除，再合并同类项即可；
（2）先用完全平方、平方差公式计算，再去括号、合并同类项即可．
【解答】解：（1）（a+2）（a+3）+2a6÷a4
＝a2+3a+2a+6+2a2
＝3a2+5a+6；
（2）（3a+b）2﹣（a+b）（a﹣b）
＝9a2+6ab+b2﹣（a2﹣b2）
＝9a2+6ab+b2﹣a2+b2
＝8a2+6ab+2b2．
【点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握多项式乘法、完全平方及平方差公式，能熟练的去括号、合并同类项．
19．（8分）分解因式：
（1）a2b﹣16b；
（2）5x3﹣20x2y+20xy2．
【分析】（1）先提公因式，再应用平方差公式；
（2）先提公因式，再应用完全平方公式．
【解答】解：（1）原式＝b（a2﹣16）＝b（a+4）（a﹣4）；
（2）原式＝5x（x2﹣4xy+4y2）＝5x（x﹣2y）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
20．（4分）已知a＝﹣2，b＝3时，求[3（a﹣b）2﹣5（a2+b2）+（2a+b）（a﹣4b）]÷2b的值．
【分析】直接利用乘法公式、多项式乘多项式运算法则化简，进而合并同类项，把已知数据代入得出答案．
【解答】解：原式＝[3（a2﹣2ab+b2）﹣5a2﹣5b2+2a2﹣8ab+ab﹣4b2]÷2b
＝（3a2﹣6ab+3b2﹣5a2﹣5b2+2a2﹣8ab+ab﹣4b2）÷2b
＝（﹣6b2﹣13ab）÷2b
＝﹣3b﹣a，
当a＝﹣2，b＝3时，
原式＝﹣3×3﹣×（﹣2）
＝﹣9+13
＝4．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算—化简求值，正确运用乘法公式是解题关键．
21．（5分）已知：如图，点B是∠MAN边AM上的一定点（其中∠MAN＜45°），
求作：△ABC，使其满足：①点C在射线AN上，②∠ACB＝2∠A．
下面是小兵设计的尺规作图过程．
作法：
①作线段AB的垂直平分线l，直线l交射线AN于点D；
②以点B为圆心，BD长为半径作弧，交射线AN于另一点C；
③连接BC，则△ABC即为所求三角形．
根据小兵设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵直线l为线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD（ 线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等 ），（填推理的依据）
∴∠A＝∠ ABD ，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A；
∵BC＝BD，
∴∠ACB＝∠BDC （ 等边对等角 ），（填推理的依据）
∴∠ACB＝2∠A．
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）利用线段的垂直平分线的性质，以及等腰三角形的性质解决问题即可．
【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求．
（2）∵直线l为线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等），
∴∠A＝∠ABD，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A，
∵BC＝BD，
∴∠ACB＝∠BDC （等边对等角），
∴∠ACB＝2∠A．
故答案为：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，∠ABD，等边对等角．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
22．（4分）为了强身健体，更好的学习和生活，某学校初二年级600名同学积极跑步，体育陈老师为整个年级同学进行了跑步测试．为了解同学整体跑步能力，从中抽取部分同学的成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计分析，得到如下所示的频数分布表：
请根据尚未完成的表格，解答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量为 200 ，表中c＝ 11% ；
（2）补全如图所示的频数分布直方图；
（3）若成绩小于或者等于70分的同学的跑步能力需加强锻炼和提高，估计该校八年级同学中需要加强锻炼和提高的有 144 人．
【分析】（1）根据各个组的频数、频率，由频率＝可求出样本容量，进而求出c的值；
（2）求出a的值即可补全频数分布直方图；
（3）求出样本中，“需要加强锻炼和提高”的学生所占的百分比，估计总体中“需要加强锻炼和提高”学生所占的百分比，进而求出需要加强锻炼和提高的人数．
【解答】解：（1）18÷9%＝200（人），c＝22÷200＝11%，
故答案为：200，11%；
（2）200﹣18﹣30﹣50﹣22＝80（人），
补全频数分布直方图如下：
（3）600×＝144（人），
故答案为：144．
【点评】本题考查频数分布表、频数分布直方图以及样本、总体、个体、样本容量，掌握频率＝是正确解答的关键．
四、解答题：（25，26题每题5分，27题6分，28题7分，共23分）
23．（5分）随着某种产品的原料涨价，因而厂家决定对产品进行提价，设该产品原价为1元，现在有两种提价方案：
方案1：第一次提价x%，第二次提价y%；
方案2：第一次、二次提价均为．
其中x，y是不相等的正数，请判断在分别实施这两种方案后哪种方案最终价格更高？并用乘法公式证明．
【分析】根据各方案中的提价百分率，分别表示出提价后的单价，得到：
方案1：（1+x%）（1+y%）；
方案2：（1+）2，用方案二的单价减去方案一的单价，利用完全平方公式及多项式乘以多项式的法则化简，去括号合并后再利用完全平方公式变形，根据x≠y判定出其差为正数，可得出（1+）2＞（1+x%）（1+y%），进而确定出方案二的提价多．
【解答】解：方案1：（1+x%）（1+y%）；
方案2：（1+）2，
（1+）2﹣（1+x%）（1+y%）
＝1+x%+y%+（）2﹣（1+x%+y%+x%y%）
＝（1+x%+y%+（）2﹣x%+y%+x%y%）
＝（）2﹣x%y%
＝，
∵x≠y，
∴＞0，
∴（1+）2＞（1+x%）（1+y%），
∴方案二提价更多．
【点评】此题考查了列代数式、整式混合运算的应用，利用的方法为作差法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
24．（5分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，点D是线段AC的中点，以CD为斜边作等腰直角△CDE，连接AE，EB，判断△AEB的形状，并证明．
【分析】根据等腰直角三角形的性质得到ED＝EC，∠EDC＝∠ECD＝45°，进而得出∠ECB＝135°＝∠EDA，根据线段中点的定义得出AD＝BC，利用SAS证明△ADE≌△BCE，根据全等三角形的性质得出EA＝EB，∠AED＝∠BEC，进而根据角的和差得出∠AEB＝90°，即可判定△AEB是等腰直角三角形．
【解答】解：△AEB是等腰直角三角形，理由如下：
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴ED＝EC，∠EDC＝∠ECD＝45°，
∵∠ACB＝90°，∠EDA+∠EDC＝180°，
∴∠ECB＝∠ECD+∠ACB＝45°+90°＝135°，∠EDA＝180°﹣45°＝135°，
∴∠ECB＝∠EDA，
∵点D是线段AC的中点，
∴AC＝2AD，
∵AC＝2BC，
∴AD＝BC，
在△ADE和△BCE中，
，
∴△ADE≌△BCE（SAS），
∴EA＝EB，∠AED＝∠BEC，
∵∠DEC＝∠DEB+∠BEC＝90°，
∴∠AED+∠DEB＝90°，
即∠AEB＝90°，
又EA＝EB，
∴△AEB是等腰直角三角形．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用SAS证明△ADE≌△BCE是解题的关键．
25．（6分）若整式A只含有字母x，且A的次数不超过3次，令A＝ax3+bx2+cx+d，其中a，b，c，d为整数，在平面直角坐标系中，我们定义：M（b+d，a+b+c+d）为整式A的关联点，我们规定次数超过3次的整式没有关联点．例如，若整式A＝2x2﹣5x+4，则a＝0，b＝2，c＝﹣5，d＝4，故A的关联点为（6，1）．
（1）若A＝x3+x2﹣2x+4，则A的关联点坐标为 （5，4） ．
（2）若整式B是只含有字母x的整式，整式C是B与（x﹣2）（x+2）的乘积，若整式C的关联点为（6，﹣3），求整式B的表达式．
（3）若整式D＝x﹣3，整式E是只含有字母x的一次多项式，整式F是整式D与整式E的平方的乘积，若整式F的关联点为（﹣200，0），请直接写出整式E的表达式．
【分析】（1）根据整式A得出a＝1，b＝1，c＝﹣2，d＝4，根据关联点的定义得出b+d＝5，a+b+c+d＝4，即可得出A的关联点坐标；
（2）根据题意得出B中x的次数为1次，设B＝nx+m，计算出C＝nx3+mx2﹣4nx﹣4m，进而表达出a，b，c，d的值，再根据C的关联点为（6，﹣3），列出关于b+d，a+b+c+d的等式，解出m、n的值即可；
（3）设E＝nx+m，根据题意求出F＝n2x3+（2mm﹣3n2）x2+（m2﹣6mn）x﹣3m2，进而表达出a，b，c，d的值，再根据F的关联点为（﹣200，0），列出关于b+d，a+b+c+d的等式，解出m、n的值即可．
【解答】解：（1）∵A＝x3+x2﹣2x+4，
∴a＝1，b＝1，c＝﹣2，d＝4，
∴b+d＝5，a+b+c+d＝4，
A的关联点坐标为：（5，4），
故笞案为：（5，4）；
（2）∵整式B是只含有字母x的整式，整式C是B与（x﹣2）（x+2）的乘积，
（x﹣2）（x+2）＝x2﹣4是二次多项式，且C的次数不能超过3次，
∴B中x的次数为1次，
∴设B＝nx+m，
∴C＝（nx+m）（x2﹣4）＝nx3+mx2﹣4nx﹣4m，
∴a＝n，b＝m，c＝﹣4n，d＝﹣4m，
∵整式C的关联点为（6，﹣3），
∴m﹣4m＝6，n+m﹣4n﹣4m＝﹣3，
解得：m＝﹣2，n＝3，
∴B＝3x﹣2；
（3）根据题意：设E＝nx+m，
∴F＝（nx+m）2（x﹣3）
＝（n2x2+2mnx+m2）（x﹣3）
＝n2x3+（ 2mn﹣3n2）x2+（m2﹣6mn）x﹣3m2，
∴a＝n2，b＝2mn﹣3n2，c＝m2﹣6mn，d＝﹣3m2，
∵整式F的关联点为（﹣200，0），
∴2mn﹣3n2﹣3m2＝﹣200，n2+2mn﹣3n2+m2﹣6mn﹣3m2＝0，
n2+2mn+m2＝0，（m+n）2＝0，
∴m＝﹣n，
把m＝﹣n代入2mn﹣3n2﹣3m2＝﹣200得：﹣2n2﹣3n2﹣3n2＝﹣200，
解得：n2＝25，
∴n＝±5，m＝±5，
∴E＝5x﹣5或E＝﹣5x+5．
【点评】本题考查了整式的乘法，解题的关键是掌握（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
26．（7分）在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，点E是直线BC上的动点．
（1）如图1，当点E在CB的延长线上时，连接AE，若∠E＝48°，AE＝AD＝DC，则∠ABC的度数为 108° ．
（2）如图2，AC＞AB，点P在线段AD延长线上，比较AC+BP与AB+CP之间的大小关系，并证明．
（3）连接AE，若∠DAE＝90°，∠BAC＝24°，且满足AB+AC＝EC，请求出∠ACB的度数（要求：画图，写思路，求出度数）．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质和三角形内角和可求出∠ABC的度数；
（2）在AC上截取AH＝AB，利用SAS证明△PAB≌△PAH，得PH＝PB，在△CHP中，再利用三边关系即可得出结论；
（3）对点E的位置进行分类，当点E在CB的延长线上时，延长CA到K，使AK＝AB，连接EK，BK，设∠BKE＝α，则∠AKE＝α+12°，利用SAS证明△AKE≌△ABE，得∠AKE＝∠ABE＝∠BAC+∠C，即可得出α的值，从而解决问题．
【解答】解：（1）∵AE＝AD，
∴∠ADE＝∠E＝48°，
∵AD＝DC，
∴∠C＝∠DAC＝＝24°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠DAC＝48°，
∴∠ABC＝180°﹣∠C﹣∠BAC＝180°﹣24°﹣48°＝108°，
故答案为：108°；
（2）AC+BP＞AB+CP，理由如下：
如图，在AC上截取AH＝AB，
∵AD平分∠BAC，
∴∠PAB＝∠PAH，
又∵PA＝PA，
∴△PAB≌△PAH（SAS），
∴PH＝PB，
在△CHP中，CH+HP＞CP，
∴AH+CH+HP＞CP+AH，
∴AC+HP＞AH+CP，
∴AC+BP＞AB+CP；
（3）延长CA到K，使AK＝AB，连接EK，BK，
∵∠BAC＝24°，
∴∠AKB＝＝12°，
设∠BKE＝α，则∠AKE＝α+12°，
∵CE＝AC+AB＝AC+AK＝CK，
∴∠CEK＝∠AKE＝α+12°，
∴∠C＝180°﹣∠CEK﹣∠AKE＝180°﹣2（α+12°）
＝156°﹣2α，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAB＝＝12°，
∵∠DAE＝90°，
∴∠BAE＝78°，
∴∠KAE＝180°﹣∠BAE﹣∠BAC＝180°﹣78°﹣24°＝78°，
∴∠BAE＝∠KAE，
∵AK＝AB，AE＝AE，
∴△AKE≌△ABE（SAS），
∴∠AKE＝∠ABE＝∠BAC+∠C，
∴α+12°＝24°+156°﹣2α，
∴α＝56°，
∴∠ACB＝156°﹣2α＝156°﹣2×56°＝44°．
当点E在BC延长线上时，延长BA到F，使AF＝AC，连接EF，
则∠FAE＝∠CAE＝78°，
∵AE＝AE，
∴△FAE≌△CAE（SAS），
∴CE＝EF，∠CEA＝∠FEA，
设∠AEC＝α，
∴∠B＝2α，
∴2α+12°+α＝90°，
∴α＝26°
∴∠ACB＝104°，
综上：∠ACB＝44°或104°．
【点评】本题是三角形的综合题，主要考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造三角形全等是解题的关键，有一定的难度．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/9/28 17:46:52；用户：笑涵数学；邮箱：15699920825；学号：36906111分数段
50.5﹣60.5
60.5﹣70.5
70.5﹣80.5
80.5﹣90.5
90.5﹣100.5
频数
18
30
50
a
22
所占百分比
9%
15%
25%
b%
c
分数段
50.5﹣60.5
60.5﹣70.5
70.5﹣80.5
80.5﹣90.5
90.5﹣100.5
频数
18
30
50
a
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所占百分比
9%
15%
25%
b%
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