2021-2022学年北京市昌平区九年级（上）期中数学试卷（A卷）【含解析】

这是一份2021-2022学年北京市昌平区九年级（上）期中数学试卷（A卷）【含解析】，共32页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）如果3x＝4y（y≠0），那么下列比例式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2分）抛物线y＝（x+2）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，3）B．（2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）
3．（2分）如果一个矩形的宽与长的比等于黄金数（约为0.618），就称这个矩形为黄金矩形．若矩形ABCD为黄金矩形，宽AD＝﹣1，则长AB为（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
4．（2分）将抛物线y＝x2先向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x+3）2+5B．y＝（x﹣3）2+5
C．y＝（x+5）2+3D．y＝（x﹣5）2+3
5．（2分）如图，△ABC中，∠A＝65°，AB＝6，AC＝3，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不构成相似的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2分）如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，则△BEF与△DCF的面积比为（ ）
A．B．C．D．
7．（2分）二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（ ）
A．y＝x2+2x﹣3B．y＝x2﹣2x﹣3
C．y＝﹣x2+2x﹣3D．y＝﹣x2﹣2x+3
8．（2分）已知二次函数y＝x2﹣2x+m，点A（x1，y1）、点B（x2，y2）（x1＜x2）是图象上两点，下列结论正确的是（ ）
A．若x1+x2＜2，则y1＞y2B．若x1+x2＞2，则y1＞y2
C．若x1+x2＜﹣2，则y1＜y2D．若x1+x2＞﹣2，则y1＞y2
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）请写出一个开口向下且过点（0，﹣4）的抛物线表达式为 ．
10．（2分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线l4，l5被直线l1、l2、l3所截，截得的线段分别为AB，BC，DE，EF，若AB＝4，BC＝6，DE＝3，则EF的长是 ．
11．（2分）把二次函数y＝x2﹣4x+5化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，那么h+k＝ ．
12．（2分）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC．若AD＝2，AB＝3，DE＝4，则BC的长为 ．
13．（2分）已知抛物线y＝（x﹣1）2有点A（0，y1）和B（3，y2），则y1 y2．（用“＞”，“＜”，“＝”填写）
14．（2分）如图，为了测量操场上一棵大树的高度，小英拿来一面镜子，平放在离树根部5m的地面上，然后她沿着树根和镜子所在的直线后退，当她后退1m时，正好在镜中看见树的顶端．小英估计自己的眼睛到地面的距离为1.6m，则大树的高度是 m．
15．（2分）已知一次函数y1＝kx+m（k≠0）和二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）部分自变量和对应的函数值如表：
当y2＜y1时，自变量x的取值范围是 ．
16．（2分）如图，将等边△ABC折叠，使得点C落在AB边上的点D处，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC边上．若AC＝8，AD＝2，则△AED周长为 ，的值为 ．
三、解答题（本题共12小题，第17-22题每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27、28题，每小题5分，共68分）
17．（5分）已知：二次函数y＝x2﹣1．
（1）写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（2）画出它的图象．
18．（5分）如图，AC，BD相交于的点O，且∠ABO＝∠C．
求证：△AOB∽△DOC．
19．（5分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，求此二次函数表达式．
20．（5分）如图是边长为1的正方形网格，△A1B1C1的顶点均在格点上．
（1）在该网格中画出△A2B2C2（△A2B2C2的顶点均在格点上），使△A2B2C2∽△A1B1C1；
（2）说明△A2B2C2和△A1B1C1相似的依据，并直接写出∠B2A2C2的度数．
21．（5分）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（3）当‑4＜x＜1时，直接写出y的取值范围．
22．（5分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高．
（1）求证：△ACD∽△CBD；
（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．
23．（6分）如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2m，喷出水流的运动路线是抛物线，如果水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，且到地面的距离为3.6m．
（1）建立适当平面直角坐标系，确定抛物线解析式；
（2）求水流的落地点D到水枪底部B的距离．
24．（6分）如图，在▱ABCD中，连接DB，F是边BC上一点，连接DF并延长，交AB的延长线于E，且∠EDB＝∠A．
（1）求证：△BDF∽△BCD；
（2）如果BD＝3，BC＝9，求的值．
25．（6分）下面给出六个函数解析式：
y＝x2，y＝x2+1，y＝﹣x2﹣|x|，y＝2x2﹣3|x|﹣1，y＝﹣x2+2|x|+1，y＝﹣3x2﹣|x|﹣4．
小明根据学习二次函数的经验，分析了上面这些函数解析式的特点，研究了它们的图象和性质．下面是小明的分析和研究过程，请补充完整：
（1）观察上面这些函数解析式，它们都具有共同的特点，可以表示为形如：y＝ ，其中x为自变量；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，画出了函数y＝﹣x2+2|x|+1的部分图象，用描点法将这个函数的图象补充完整；
（3）对于上面这些函数，下列四个结论：
①函数图象关于y轴对称
②有些函数既有最大值，同时也有最小值
③存在某个函数，当x＞m（m为正数）时，y随x的增大而增大，当x＜﹣m时，y随x的增大而减小
④函数图象与x轴公共点的个数只可能是0个或2个或4个
所有正确结论的序号是 ；
（4）结合函数图象，解决问题：
若关于x的方程﹣x2+2|x|+1＝﹣x+k有一个实数根为3，则该方程其它的实数根为 ．
26．（6分）已知抛物线y＝﹣x2+x．
（1）直接写出该抛物线的对称轴，以及抛物线与y轴的交点坐标；
（2）已知该抛物线经过A（3n+4，y1），B（2n﹣1，y2）两点．
①若n＜﹣5，判断y1与y2的大小关系并说明理由；
②若A，B两点在抛物线的对称轴两侧，且y1＞y2，直接写出n的取值范围．
27．（7分）在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P是线段BC上一动点（与点B、C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ＝CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M．
（1）若∠PAC＝α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）．
（2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：
如果y′＝，那么称点Q为点P的“关联点”．
例如点（5，6）的“关联点”为点（5，6），点（﹣5，6）的“关联点”为点（﹣5，﹣6）．
（1）在点E（0，0），F（2，5），G（﹣1，﹣1），H（﹣3，5）中， 的“关联点”在函数y＝2x+1的图象上；
（2）如果一次函数y＝x+3图象上点M的“关联点”是N（m，2），求点M的坐标；
（3）如果点P在函数y＝﹣x2+4（﹣2＜x≤a）的图象上，其“关联点”Q的纵坐标y′的取值范围是﹣4＜y′≤4，求实数a的取值范围．
2021-2022学年北京市昌平区九年级（上）期中数学试卷（A卷）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
1．（2分）如果3x＝4y（y≠0），那么下列比例式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据比例的性质，可得答案．
【解答】解：A、由比例的性质，得4x＝3y与3x＝4y不一致，故A不符合题意；
B、由比例的性质，得xy＝12与3x＝4y不一致，故B不符合题意；
C、由比例的性质，得4x＝3y与3x＝4y不一致，故C不符合题意；
D、由比例的性质，得3x＝4y与3x＝4y一致，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了比例的性质，利用比例的性质是解题关键．
2．（2分）抛物线y＝（x+2）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，3）B．（2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）
【分析】直接根据二次函数的顶点式进行解答即可．
【解答】解：∵抛物线的解析式为y＝（x+2）2﹣3，
∴其顶点坐标为（﹣2，﹣3）．
故选：C．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．
3．（2分）如果一个矩形的宽与长的比等于黄金数（约为0.618），就称这个矩形为黄金矩形．若矩形ABCD为黄金矩形，宽AD＝﹣1，则长AB为（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
【分析】根据黄金分割点的定义，求解即可．
【解答】解：∵矩形ABCD是黄金矩形，
∴，
∴，
∴AB＝2，
故选：C．
【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．
4．（2分）将抛物线y＝x2先向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x+3）2+5B．y＝（x﹣3）2+5
C．y＝（x+5）2+3D．y＝（x﹣5）2+3
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．
【解答】解：将抛物线y＝x2先向右平移3个单位长度，得：y＝（x﹣3）2；
再向上平移5个单位长度，得：y＝（x﹣3）2+5，
故选：B．
【点评】此题主要考查的是二次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
5．（2分）如图，△ABC中，∠A＝65°，AB＝6，AC＝3，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不构成相似的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【解答】解：A、根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
C、两三角形的对应角不一定相等，故两三角形不相似，故本选项符合题意；
D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
6．（2分）如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，则△BEF与△DCF的面积比为（ ）
A．B．C．D．
【分析】先根据平行四边形的性质得AB∥CD，AB＝CD，而E是AB的中点，BE＝AB＝CD，再证明△BEF∽△DCF，然后根据相似三角形的性质可计算的值．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵E是AB的中点，
∴BE＝AB＝CD；
∵BE∥CD，
∴△BEF∽△DCF，
∴＝（）2＝．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时主要利用相似比计算相应线段的长．
7．（2分）二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（ ）
A．y＝x2+2x﹣3B．y＝x2﹣2x﹣3
C．y＝﹣x2+2x﹣3D．y＝﹣x2﹣2x+3
【分析】根据图象得出二次函数的顶点坐标是（1，﹣4），与x轴的交点坐标是（﹣1，0），设二次函数的解析式是y＝a（x﹣1）2﹣4，再求出a即可．
【解答】解：从图象可知：二次函数的顶点坐标是（1，﹣4），与x轴的交点坐标是（﹣1，0），
设二次函数的解析式是y＝a（x﹣1）2﹣4，
把（﹣1，0）代入得：0＝a（﹣1﹣1）2﹣4，
解得：a＝1，
所以y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点，能根据图形读出正确信息是解此题的关键．
8．（2分）已知二次函数y＝x2﹣2x+m，点A（x1，y1）、点B（x2，y2）（x1＜x2）是图象上两点，下列结论正确的是（ ）
A．若x1+x2＜2，则y1＞y2B．若x1+x2＞2，则y1＞y2
C．若x1+x2＜﹣2，则y1＜y2D．若x1+x2＞﹣2，则y1＞y2
【分析】由二次函数y＝x2﹣2x+m可知对称轴为x＝1，当x1+x2＜2时，点A与点B在对称轴的左边，或点A在左侧，点B在对称轴的右侧，且点A离对称轴的距离比点B离对称轴的距离小，再结合抛物线开口方向，即可判断．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x+m，
∴抛物线开口向上，对称轴为x＝1，
∵x1＜x2，
∴当x1+x2＜2时，点A与点B在对称轴的左边，或点A在左侧，点B在对称轴的右侧，且点A离对称轴的距离比点B离对称轴的距离大，
∴y1＞y2，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，灵活应用x1+x2与2的关系确定点A、点B与对称轴的关系是解决本题的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）请写出一个开口向下且过点（0，﹣4）的抛物线表达式为 y＝﹣x2﹣4（答案不唯一） ．
【分析】根据二次函数的性质，二次项系数小于0时，函数图象的开口向下，再利用过点（0，﹣4）得出即可．
【解答】解：∵开口向下且过点（0，﹣4）的抛物线解析式，
∴可以设顶点坐标为（0，﹣4），故解析式为：y＝﹣x2﹣4（答案不唯一）．
故答案为：y＝﹣x2﹣4（答案不唯一）．
【点评】本题考查了二次函数图象的性质，是开放型题目，答案不唯一．
10．（2分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线l4，l5被直线l1、l2、l3所截，截得的线段分别为AB，BC，DE，EF，若AB＝4，BC＝6，DE＝3，则EF的长是 4.5 ．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴＝，
∵AB＝4，BC＝6，DE＝3，
∴＝，
解得：EF＝4.5，
故答案为：4.5．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
11．（2分）把二次函数y＝x2﹣4x+5化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，那么h+k＝ 3 ．
【分析】利用配方法把二次函数的表达式y＝x2﹣4x+5化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，求出h、k的值各是多少，代入代数式计算即可．
【解答】解：∵y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，
∴h＝2，k＝1，
∴h+k＝2+1＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了二次函数的三种形式，要熟练掌握三种形式之间相互转化的方法．
12．（2分）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC．若AD＝2，AB＝3，DE＝4，则BC的长为 6 ．
【分析】由DE∥BC可得出∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，进而可得出△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的性质可得出＝，代入AD＝2，AB＝3，DE＝4即可求出BC的长．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，即＝，
∴BC＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形对应边的比相等是解题的关键．
13．（2分）已知抛物线y＝（x﹣1）2有点A（0，y1）和B（3，y2），则y1 ＜ y2．（用“＞”，“＜”，“＝”填写）
【分析】分别把A、B点的横坐标代入抛物线解析式求解即可．
【解答】解：x＝0时，y1＝（0﹣1）2＝1，
x＝3时，y3＝（3﹣1）2＝4，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求出相应的函数值是解题的关键．
14．（2分）如图，为了测量操场上一棵大树的高度，小英拿来一面镜子，平放在离树根部5m的地面上，然后她沿着树根和镜子所在的直线后退，当她后退1m时，正好在镜中看见树的顶端．小英估计自己的眼睛到地面的距离为1.6m，则大树的高度是 8 m．
【分析】入射角等于反射角，两个直角相等，那么图中的两个三角形相似，利用对应边成比例可求得树高．
【解答】解：∵∠ABC＝∠DBE，∠ACB＝∠DEB＝90°，
∴△ABC∽△DBE，
∴BC：BE＝AC：DE，
即1：5＝1.6：DE，
∴DE＝8（m），
故答案为：8．
【点评】本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
15．（2分）已知一次函数y1＝kx+m（k≠0）和二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）部分自变量和对应的函数值如表：
当y2＜y1时，自变量x的取值范围是 ﹣1＜x＜4 ．
【分析】利用表中数据得到直线与抛物线的交点为（﹣1，0）和（4，5），作出草图，观察图象知：当﹣1＜x＜4时，y1＞y2．
【解答】解：∵当x＝﹣1时，y1＝y2＝0；当x＝4时，y1＝y2＝5；
∴直线与抛物线的交点为（﹣1，0）和（4，5），
画出草图如下：
当﹣1＜x＜4时，y1＞y2，
∴当y2＜y1时，自变量x的取值范围是：﹣1＜x＜4．
故答案为：﹣1＜x＜4．
【点评】本题考查了二次函数与不等式：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，作出草图运用数形结合思想求解．
16．（2分）如图，将等边△ABC折叠，使得点C落在AB边上的点D处，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC边上．若AC＝8，AD＝2，则△AED周长为 10 ，的值为 ．
【分析】由已知求得CD＝3a，根据等边三角形的性质和折叠的性质可得：BE+DE+BD＝8，DF+CF+CD＝10，再证明△BED∽△CDF，由相似三角形周长的比等于相似比，即可得出结果．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB＝AC＝8，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
∵AD＝2，
∴BD＝6，
由折叠的性质可知：CE＝DE，CF＝DF，∠EDF＝∠C＝60°，
∴AE+DE+AD＝AC+AD＝10，即△AED周长为10，
故答案为：10；
∴DF+BF+BD＝BC+BD＝14，
∵∠EDF＝∠BAC＝∠ABC＝60°，
∴∠FDB+∠EDA＝∠AED+∠EDA＝120°，
∴∠FDB＝∠AED，
∵∠B＝∠A＝60°，
∴△AED∽△BDF，
∴（AE+DE+AD）：（DF+BF+BD）＝DE：DF＝CE：CF，
∴＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了等边三角形的性质、折叠变换的性质、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握直角三角形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．
三、解答题（本题共12小题，第17-22题每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27、28题，每小题5分，共68分）
17．（5分）已知：二次函数y＝x2﹣1．
（1）写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（2）画出它的图象．
【分析】（1）根据顶点式可直接求得其顶点坐标及对称轴；
（2）可分别求得抛物线与x轴、y轴的交点坐标，利用描点法可画出函数图象．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2﹣1，
∴抛物线的开口方向向上，顶点坐标为（0，﹣1），对称轴为y轴；
（2）在y＝x2﹣1中，令y＝0可得0＝x2﹣1．
解得x＝﹣1或1，
令x＝0可得y＝﹣1，结合（1）中的顶点坐标及对称轴，可画出其图象如图所示：
．
【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，其对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．
18．（5分）如图，AC，BD相交于的点O，且∠ABO＝∠C．
求证：△AOB∽△DOC．
【分析】根据相似三角形的判定解答即可．
【解答】证明：∵AC，BD相交于的点O，
∴∠AOB＝∠DOC，
又∵∠ABO＝∠C，
∴△AOB∽△DOC．
【点评】此题考查相似三角形的判定，关键是根据有两组角对应相等的两个三角形相似解答．
19．（5分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，求此二次函数表达式．
【分析】根据图象确定经过抛物线的三个点，利用待定系数法计算即可．
【解答】解：由图象可知，抛物线经过（﹣3，0）、（1，0）、（0，3），
设抛物线的解析式为：y＝a（x+3）（x﹣1），
则3＝a（0+3）（0﹣1），
解得，a＝﹣1，
则抛物线的解析式为：y＝﹣（x+3）（x﹣1），即y＝﹣x2﹣2x+3．
【点评】本题考查的是求二次函数解析式，掌握待定系数法是解题的关键．
20．（5分）如图是边长为1的正方形网格，△A1B1C1的顶点均在格点上．
（1）在该网格中画出△A2B2C2（△A2B2C2的顶点均在格点上），使△A2B2C2∽△A1B1C1；
（2）说明△A2B2C2和△A1B1C1相似的依据，并直接写出∠B2A2C2的度数．
【分析】（1）把△A1B1C1的边长缩小一半，画出三角形即可．
（2）利用两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可．
【解答】解：（1）如图，△A2B2C2即为所求．
（2）
∵A1C1＝4，A1B1＝2，A2C2＝2，A2B2＝，
∴＝＝2，
∵∠B1A1C1＝∠B2A2C2＝135°，
∴△A1B1C1∽△A2B2C2．
∴∠B2A2C2的度数为135°．
【点评】本题考查作图﹣相似变换，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，属于中考常考题型．
21．（5分）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（3）当‑4＜x＜1时，直接写出y的取值范围．
【分析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4），则可设顶点式y＝a（x+1）2﹣4，然后把点（0，﹣3）代入求出a即可；
（2）利用描点法画二次函数图象；
（3）根据x＝﹣4、﹣1时的函数值即可写出y的取值范围．
【解答】解：（1）由题意可得二次函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4），
设二次函数的解析式为：y＝a（x+1）2﹣4，
把点（0，﹣3）代入y＝a（x+1）2﹣4，得a＝1，
故抛物线解析式为y＝（x+1）2﹣4，即y＝x2+2x﹣3；
（2）如图所示：
（3）∵y＝（x+1）2﹣4，
∴当x＝﹣4时，y＝（﹣4+1）2﹣4＝5，
当x＝﹣1时，y＝﹣4，
又对称轴为x＝﹣1，
∴当﹣4＜x＜1时，y的取值范围是﹣4≤y＜5．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的图象与性质．
22．（5分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高．
（1）求证：△ACD∽△CBD；
（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．
【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．
（2）利用相似三角形的性质证明CD2＝AD•DB，可得结论．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝∠CDB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠BCD+∠B＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∴△ACD∽△CBD．
（2）解：∵△ACD∽△CBD，
∴＝，
∴CD2＝AD•DB，
∵AD＝3，BD＝2，
∴CD2＝6，
∵CD＞0，
∴CD＝．
【点评】本题考查射影定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．
23．（6分）如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2m，喷出水流的运动路线是抛物线，如果水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，且到地面的距离为3.6m．
（1）建立适当平面直角坐标系，确定抛物线解析式；
（2）求水流的落地点D到水枪底部B的距离．
【分析】（1）建立以BD所在直线为x轴、AB所在直线为y轴的直角坐标系，根据顶点P（1，3.6）设其解析式为y＝a（x﹣1）2+3.6，把A（0，2）代入求得a的值，据此可得其函数解析式；
（2）求得y＝0时x的值可得答案．
【解答】解：（1）如图，以BD所在直线为x轴、AB所在直线为y轴建立直角坐标系，
由题意知，抛物线的顶点P的坐标为（1，3.6）、点A（0，2），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+3.6，
将点A（0，2）代入，得：a+3.6＝2，
解得：a＝﹣1.6，
则抛物线的解析式为y＝﹣1.6（x﹣1）2+3.6，
（2）当y＝0时，有﹣1.6（x﹣1）2+3.6＝0，
解得：x＝﹣0.5（舍）或x＝2.5，
∴BD＝2.5，
答：水流的落地点D到水枪底部B的距离为2.5m．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是结合题意建立合适的平面直角坐标系，将实际问题转化为二次函数问题求解．
24．（6分）如图，在▱ABCD中，连接DB，F是边BC上一点，连接DF并延长，交AB的延长线于E，且∠EDB＝∠A．
（1）求证：△BDF∽△BCD；
（2）如果BD＝3，BC＝9，求的值．
【分析】（1）由平行四边形的性质可得出∠A＝∠C，结合∠EDB＝∠A可得出∠EDB＝∠C，再由∠DBF＝∠CBD即可证出△BDF∽△BCD；
（2）由△BDF∽△BCD，利用相似三角形的性质可求出BF的长度，由DC∥AE可得出△DFC∽△EFB，再利用三角形的性质及AB＝DC即可求出的值．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AE，∠A＝∠C．
∵∠EDB＝∠A，
∴∠EDB＝∠C．
∵∠DBF＝∠CBD，
∴△BDF∽△BCD；
（2）解：∵△BDF∽△BCD，
∴＝，即＝，
∵BF＝5．
∵DC∥AE，
∴△DFC∽△EFB，
∴＝，即＝．
又∵AB＝DC，
∴＝．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）利用“两角对应相等，两个三角形相似”证出△BDF∽△BCD；（2）牢记相似三角形对应边的比相等．
25．（6分）下面给出六个函数解析式：
y＝x2，y＝x2+1，y＝﹣x2﹣|x|，y＝2x2﹣3|x|﹣1，y＝﹣x2+2|x|+1，y＝﹣3x2﹣|x|﹣4．
小明根据学习二次函数的经验，分析了上面这些函数解析式的特点，研究了它们的图象和性质．下面是小明的分析和研究过程，请补充完整：
（1）观察上面这些函数解析式，它们都具有共同的特点，可以表示为形如：y＝ ax2+b|x|+c（a，b，c是常数，a≠0） ，其中x为自变量；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，画出了函数y＝﹣x2+2|x|+1的部分图象，用描点法将这个函数的图象补充完整；
（3）对于上面这些函数，下列四个结论：
①函数图象关于y轴对称
②有些函数既有最大值，同时也有最小值
③存在某个函数，当x＞m（m为正数）时，y随x的增大而增大，当x＜﹣m时，y随x的增大而减小
④函数图象与x轴公共点的个数只可能是0个或2个或4个
所有正确结论的序号是 ①③ ；
（4）结合函数图象，解决问题：
若关于x的方程﹣x2+2|x|+1＝﹣x+k有一个实数根为3，则该方程其它的实数根为 ﹣1，0 ．
【分析】（1）观察这些函数解析式，它们都具有共同的特点，即可以表示；
（2）用描点法将这个函数的图象补充完整即可；
（3）观察图象即可得结论；
①函数图象关于y轴对称；
②有些函数既有最大值，或有最小值；
③存在某个函数，当x＞m（m为正数）时，y随x的增大而增大，当x＜﹣m时，y随x的增大而减小；
④函数图象与x轴公共点的个数只可能是0个或2个；
（4）观察函数图象即可得结论．
【解答】解：（1）①观察上面这些函数解析式，它们都具有共同的特点，
可以表示为形如：y＝ax2+b|x|+c，（a，b，c是常数，a≠0）
故答案为：y＝ax2+b|x|+c，（a，b，c是常数，a≠0）．
（2）图象如图1所示．
（3）观察图象可知：
①函数图象关于y轴对称，正确；
②有些函数既有最大值，同时也有最小值，不正确；
③存在某个函数，y＝x2，当x＞m（m为正数）时，y随x的增大而增大，当x＜﹣m时，y随x的增大而减小，正确；
④函数图象与x轴公共点的个数只可能是0个或2个或4个，错误．
故答案为①③．
（4）
观察图2可知，关于x的方程﹣x2+2|x|+1＝﹣x+k有一个实数根为3，
则该方程其它的实数根为﹣1，0．
故答案为﹣1，0．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的最值，解决本题的关键是准确画出函数图象并根据图象回答问题．
26．（6分）已知抛物线y＝﹣x2+x．
（1）直接写出该抛物线的对称轴，以及抛物线与y轴的交点坐标；
（2）已知该抛物线经过A（3n+4，y1），B（2n﹣1，y2）两点．
①若n＜﹣5，判断y1与y2的大小关系并说明理由；
②若A，B两点在抛物线的对称轴两侧，且y1＞y2，直接写出n的取值范围．
【分析】（1）由对称轴公式即可求得抛物线的对称轴，令x＝0，求得函数值，即可求得抛物线与y轴的交点坐标；
（2）①由n＜﹣5，可得点A，点B在对称轴直线x＝1的左侧，由二次函数的性质可求解；
（3）分两种情况讨论，列出不等式组可求解．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+x，
∴对称轴为直线x＝﹣＝1，
令x＝0，则y＝0，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，0），
（2）xA﹣xB＝（3n+4）﹣（2n﹣1）＝n+5，xA﹣1＝（3n+4）﹣1＝3n+3＝3（n+1），xB﹣1＝（2n﹣1）﹣1＝2n﹣2＝2（n﹣1）．
①当n＜﹣5时，xA﹣1＜0，xB﹣1＜0，xA﹣xB＜0．
∴A，B两点都在抛物线的对称轴x＝1的左侧，且xA＜xB，
∵抛物线y＝﹣x2+x开口向下，
∴在抛物线的对称轴x＝1的左侧，y随x的增大而增大．
∴y1＜y2；
②若点A在对称轴直线x＝1的左侧，点B在对称轴直线x＝1的右侧时，
由题意可得，
∴不等式组无解，
若点B在对称轴直线x＝1的左侧，点A在对称轴直线x＝1的右侧时，
由题意可得：，
∴﹣1＜n＜﹣，
综上所述：﹣1＜n＜﹣．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，根的判别式，待定系数法求解析式，一元一次不等式组的应用，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
27．（7分）在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P是线段BC上一动点（与点B、C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ＝CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M．
（1）若∠PAC＝α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）．
（2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出∠BAC＝∠B＝45°，∠PAB＝45°﹣α，由直角三角形的性质即可得出结论；
（2）连接AQ，作ME⊥QB，由AAS证明△APC≌△QME，得出PC＝ME，△MEB是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：（1）∠AMQ＝45°+α；理由如下：
∵∠PAC＝α，△ACB是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝∠B＝45°，∠PAB＝45°﹣α，
∵QH⊥AP，
∴∠AHM＝90°，
∴∠AMQ＝180°﹣∠AHM﹣∠PAB＝45°+α；
（2）PQ＝MB；理由如下：
连接AQ，作ME⊥QB，如图所示：
∵AC⊥QP，CQ＝CP，
∴∠QAC＝∠PAC＝α，
∴∠QAM＝45°+α＝∠AMQ，
∴AP＝AQ＝QM，
在△APC和△QME中，
，
∴△APC≌△QME（AAS），
∴PC＝ME，
∵△MEB是等腰直角三角形，
∴PQ＝MB，
∴PQ＝MB．
方法二：也可以延长AC到D，使得CD＝CQ．
则易证△ADP≌△QBM．
∴BM＝PD＝CD＝QC＝PQ，
即PQ＝MB．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：
如果y′＝，那么称点Q为点P的“关联点”．
例如点（5，6）的“关联点”为点（5，6），点（﹣5，6）的“关联点”为点（﹣5，﹣6）．
（1）在点E（0，0），F（2，5），G（﹣1，﹣1），H（﹣3，5）中， F、H 的“关联点”在函数y＝2x+1的图象上；
（2）如果一次函数y＝x+3图象上点M的“关联点”是N（m，2），求点M的坐标；
（3）如果点P在函数y＝﹣x2+4（﹣2＜x≤a）的图象上，其“关联点”Q的纵坐标y′的取值范围是﹣4＜y′≤4，求实数a的取值范围．
【分析】（1）点E（0，0）的“关联点”是（0，0），点F（2，5）的“关联点”是（2，5），点G（﹣1，﹣1）的“关联点”是（﹣1，1），点H（﹣3，5）的“关联点”是（﹣3，﹣5），将点的坐标代入函数y＝2x+1，看是否在函数图象上，即可求解；
（2）当m≥0时，点M（m，2），则2＝m+3；当m＜0时，点M（m，﹣2），则﹣2＝m+3，解方程即可求解；
（3）如图为“关联点”函数图象：从函数图象看，“关联点”Q的纵坐标y'的取值范围是﹣4＜y'≤4，而﹣2＜x≤a，函数图象只需要找到最大值（直线y＝4）与最小值（直线y＝﹣4）直线x＝a从大于等于0开始运动，直到与y＝﹣4有交点结束．都符合要求﹣4＜y'≤4，只要求出关键点即可求解．
【解答】解：（1）点E（0，0）的“关联点”是（0，0），
点F（2，5）的“关联点”是（2，5），
点G（﹣1，﹣1）的“关联点”是（﹣1，1），
点H（﹣3，5）的“关联点”是（﹣3，﹣5），
将点的坐标代入函数y＝2x+1，
得（2，5）和（﹣3，﹣5）在此函数图象上，
故答案为：F、H；
（2）当m≥0时，点M（m，2），
则2＝m+3，解得：m＝﹣1（舍去）；
当m＜0时，点M（m，﹣2），
﹣2＝m+3，解得：m＝﹣5，
∴点M（﹣5，﹣2）；
（3）如图为“关联点”函数图象：
从函数图象看，“关联点”Q的纵坐标y'的取值范围是﹣4＜y'≤4，
而﹣2＜x≤a，
函数图象只需要找到最大值（直线y＝4）与最小值（直线y＝﹣4）直线x＝a从大于等于0开始运动，直到与y＝﹣4有交点结束．都符合要求﹣4＜y'≤4，
即﹣4＝﹣a2+4，解得：a＝±2（舍去负值），
观察图象可知满足条件的a的取值范围为2≤a＜2．
【点评】本题考查二次函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，属于创新题目，中考常考题型．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/22 19:17:07；用户：菁优校本题库；邮箱：2471@xyh.cm；学号：56380052x
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