2021-2022学年北京市东城区广渠门中学八年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2021-2022学年北京市东城区广渠门中学八年级（上）期中数学试卷【含解析】，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一次，第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举办．下列四个图分别是第24届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）在平面直角坐标系中，点P（3，﹣2）关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣2）B．（3，2）C．（﹣3，2）D．（3，3）
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．2a2+3a2＝5a4
C．（2a2）3＝8a6D．2ab2•3ab2＝6ab2
4．（3分）如图，已知AB＝DC，下列条件中，不能判定△ABC≌△DCB的是（ ）
A．AC＝DBB．∠ACB＝∠DBCC．∠ABC＝∠DCBD．∠A＝∠D＝90°
5．（3分）在下列各式中，能运用平方差公式计算的是（ ）
A．（a﹣b）（b﹣a）B．（a﹣1）（﹣a+1）
C．（2a﹣b）（a+2b）D．（﹣a﹣b）（﹣b+a）
6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为（ ）
A．30°B．40°C．70°D．80°
7．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC＝10，点D到AB的距离为4，则DB的长为（ ）
A．8B．6C．5D．4
8．（3分）如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE＝1.5，则AB的长为（ ）
A．3B．4.5C．6D．7.5
9．（3分）如图，△ABC的周长为24，BC＝9，BD、CD分别平分∠ABC，∠ACB过点D作直线平行于BC，分别交AB、AC于E、F，则△AEF的周长为（ ）
A．18B．15C．14D．9
10．（3分）如图，∠AOB＝α，点P是∠AOB内的一定点，点M、N分别在OA、OB上移动，当△PMN的周长最小时，∠MPN的值为（ ）
A．90°+αB．90°C．180°﹣αD．180°﹣2α
二、填空题（共8小题，每小题2分，共16分）
11．（2分）计算：8a2•（﹣a3）＝ ．
12．（2分）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），在图中，要测量工件内槽宽AB，只要测量A′B′的长度即可，该做法的依据是 ．
13．（2分）等腰三角形的一个外角是100°，则它的一个底角是 ．
14．（2分）计算：32020×（）2021＝ ．
15．（2分）如图，△ADB≌△ECB，且点A的对应点是点E，点D的对应点是点C，若∠CBD＝40°，BD⊥EC，则∠D的度数为 ．
16．（2分）如图，在△ABC中，若AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠BDC＝ ．
17．（2分）规定a*b＝2a×2b，如2*3＝22×23＝25＝32．若2*（x+1）＝16，则x的值为 ．
18．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，2），B（0，4），点C在坐标轴上，且△ABC是等腰三角形，请写出一个满足条件的点C的坐标 ；满足条件的点C一共有 个．
三、解答题（共9小题，19题12分，20题4分，21-25题，每小题12分，26题6分，27题7分，共54分）
19．（12分）计算：
（1）（x+2y）（x﹣2y）；
（2）（3a﹣1）2；
（3）（a﹣3）（a+4）+2a（a﹣1）．
20．（4分）已知x2﹣x+2＝0，求代数式（x﹣2）2+x（x+3）﹣（x+1）（x﹣1）的值．
21．（5分）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF．求证：∠A＝∠D．
22．（5分）下面是小芳同学设计的“过直线外一点作这条直线垂线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线l及直线l外一点P．
求作：直线l的垂线，使它经过点P．
作法：如图2．
①以P为圆心，大于P到直线l的距离为半径作弧，交直线l于A，B两点；
②连接PA和PB；
③作∠APB的平分线PQ，交直线l于点Q．
④反向延长射线PQ，直线PQ就是所求的直线．
根据小芳设计的尺规作图过程，解答下列问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图2（保留作图痕迹）．
（2）补全下面证明过程：
证明：∵PA＝ ，PQ平分∠APB．
∴PQ⊥AB（ ）（填推理依据）
即PQ⊥l．
23．（5分）如图，△ABC中，AB＝AC，延长CB至点D，延长BC至点E，使CE＝BD，连接AD，AE．
（1）求证：AD＝AE；
（2）若AB＝BC＝BD，求∠DAE的度数．
24．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣3，0），B（﹣5，3），C（﹣1，1）．
（1）在图中画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；
（2）点P是x轴上一动点，当PB+PC的值最小时，画出点P的位置，此时点P的坐标为 ．
25．（5分）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，且C、E、D三点共线．
（1）求证：△ADB≌△AEC；
（2）过点A作AF⊥CD于F，依题意补全图形并证明BD+DF＝CF．
26．（6分）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
例如，把二次三项式x2﹣2x+3进行配方．
解：x2﹣2x+3＝x2﹣2x+1+2＝（x2﹣2x+1）+2＝（x﹣1）2+2．
我们定义：一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为5＝22+12.再如，M＝x2+2xy+2y2＝（x+y）2+y2（x，y是整数），所以M也是“完美数”．
解决问题：
（1）请你再写一个小于10的“完美数” ；并判断40是否为“完美数” ；
（2）若二次三项式x2﹣4x+5（x是整数）是“完美数”，可配方成（x﹣m）2+n（m，n为常数），则mn的值为 ；
探究问题：
（1）已知“完美数”x2+y2﹣2x+4y+5（x，y是整数）的值为0，则x+y的值为 ；
（2）已知S＝x2+4y2+4x﹣12y+k（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k值．
拓展结论：已知实数x，y满足﹣x2+3x+y﹣5＝0，求x+y的最小值．
27．（7分）在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，交BC于点D．点A与点E关于直线BC对称，连接BE，CE，延长AD交BE于点F．
（1）补全图形；
（2）求证：△BDF是等腰三角形；
（3）求证：AB+BD＝2AC．
2021-2022学年北京市东城区广渠门中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一次，第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举办．下列四个图分别是第24届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形定义进行分析即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：选项A，B，D都不能找到这样的一条直线，使这些图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项C能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：C．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）在平面直角坐标系中，点P（3，﹣2）关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣2）B．（3，2）C．（﹣3，2）D．（3，3）
【分析】直接利用关于y轴对称点的性质，横坐标互为相反数，纵坐标相同，进而得出答案．
【解答】解：点P（3，﹣2）关于y轴对称的点的坐标是（﹣3，﹣2）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．2a2+3a2＝5a4
C．（2a2）3＝8a6D．2ab2•3ab2＝6ab2
【分析】利用同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方、幂的乘方、以及单项式乘以单项式计算法则进行计算即可．
【解答】解：A、a2•a3＝a5，故原题计算错误；
B、2a2+3a2＝5a2，故原题计算错误；
C、（2a2）3＝8a6，故原题计算正确；
D、2ab2•3ab2＝6a2b4，故原题计算错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了单项式乘以单项式、同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方、幂的乘方，关键是掌握各计算法则．
4．（3分）如图，已知AB＝DC，下列条件中，不能判定△ABC≌△DCB的是（ ）
A．AC＝DBB．∠ACB＝∠DBCC．∠ABC＝∠DCBD．∠A＝∠D＝90°
【分析】从图中读取公共边BC＝CB的条件，结合每个选项给出的条件，只要能够判定两个三角形全等的都排除，从而找到不能判定两个三角形全等的选项B．
【解答】解：由题知，AB＝DC，BC＝CB，
当AC＝DB时，△ABC≌△DCB（SSS），故选项A能判定两个三角形全等，所以不选A；
当∠ACB＝∠DBC，不能判定，△ABC≌△DCB，故选B；
当∠ABC＝∠DCB，△ABC≌△DCB（SAS），故选项C能判定两个三角形全等，所以不选C；
当∠A＝∠D＝90°，Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），故选项D能判定两个三角形全等，所以不选D．
故选：B．
【点评】本题考查全等三角形的判定，注意一般三角形的“边边角”不能判定两个三角形全等，以及直角三角形的“HL”可以判定两个三角形全等．
5．（3分）在下列各式中，能运用平方差公式计算的是（ ）
A．（a﹣b）（b﹣a）B．（a﹣1）（﹣a+1）
C．（2a﹣b）（a+2b）D．（﹣a﹣b）（﹣b+a）
【分析】运用平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
【解答】解：A．（a﹣b）（b﹣a）中两项的符号都相反，故不能用平方差公式计算；
B．（a﹣1）（﹣a+1）中两项的符号都相反，故不能用平方差公式计算；
C．（2a﹣b）（a+2b）中不存在相同和相反的项，故不能用平方差公式计算；
D．（﹣a﹣b）（﹣b+a）符合平方差公式．
故选：D．
【点评】本题考查了平方差公式的应用，熟记公式是解题的关键．
6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为（ ）
A．30°B．40°C．70°D．80°
【分析】由△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，即可求得∠ABC的度数，又由线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，可得AE＝BE，继而求得∠ABE的度数，则可求得答案．
【解答】解：∵等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠C＝＝70°，
∵线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝40°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°．
故选：A．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
7．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC＝10，点D到AB的距离为4，则DB的长为（ ）
A．8B．6C．5D．4
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质定理得到DC＝DE＝4，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，∠ACB＝90°，DE⊥AB，
∴DC＝DE＝4，
∴BD＝BC﹣DC＝10﹣4＝6，
故选：B．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
8．（3分）如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE＝1.5，则AB的长为（ ）
A．3B．4.5C．6D．7.5
【分析】由在等边三角形ABC中，DE⊥BC，可求得∠CDE＝30°，则可求得CD的长，又由BD平分∠ABC交AC于点D，由三线合一的知识，即可求得答案．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC，
∵DE⊥BC，
∴∠CDE＝30°，
∵EC＝1.5，
∴CD＝2EC＝3，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴AD＝CD＝3，
∴AB＝AC＝AD+CD＝6．
故选：C．
【点评】此题考查了等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
9．（3分）如图，△ABC的周长为24，BC＝9，BD、CD分别平分∠ABC，∠ACB过点D作直线平行于BC，分别交AB、AC于E、F，则△AEF的周长为（ ）
A．18B．15C．14D．9
【分析】根据题意可得：AB+AC＝15，再利用角平分线的定义和平行线的性质可得△EDB和△FDC是等腰三角形，从而可得ED＝EB，FD＝FC，进而可得△AEF的周长＝AB+AC，即可解答．
【解答】解：∵△ABC的周长为24，BC＝9，
∴AB+AC＝24﹣9＝15，
∵BD、CD分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠ABD＝∠DBC，∠ACD＝∠DCB，
∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，
∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠FCD，
∴ED＝EB，FD＝FC，
∴△AEF的周长＝AE+EF+AF
＝AE+ED+DF+AF
＝AE+EB+CF+AF
＝AB+AC
＝15，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键．
10．（3分）如图，∠AOB＝α，点P是∠AOB内的一定点，点M、N分别在OA、OB上移动，当△PMN的周长最小时，∠MPN的值为（ ）
A．90°+αB．90°C．180°﹣αD．180°﹣2α
【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1、P2，交OA于M，交OB于N，△PMN的周长最小值等于P1P2的长，然后依据等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝180°﹣2α，即可得出∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝180°﹣2α．
【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1、P2，交OA于M，交OB于N，则
OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O，
根据轴对称的性质可得MP＝P1M，PN＝P2N，
∴△PMN的周长的最小值＝P1P2，
由轴对称的性质可得∠P1OP2＝2∠AOB＝2α，
∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝180°﹣2α，
∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝∠OP1P2+∠OP2P1＝180°﹣2α，
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正确正确作出辅助线，得到等腰△OP1P2中∠OP1P2+∠OP2P1的度数是关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点．
二、填空题（共8小题，每小题2分，共16分）
11．（2分）计算：8a2•（﹣a3）＝ ﹣4a5 ．
【分析】利用单项式乘单项式的法则进行计算，即可得出答案．
【解答】解：8a2•（﹣a3）＝﹣4a5，
故答案为：﹣4a5．
【点评】本题考查了单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式的法则是解决问题的关键．
12．（2分）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），在图中，要测量工件内槽宽AB，只要测量A′B′的长度即可，该做法的依据是 根据SAS证明△AOB≌△A′OB′ ．
【分析】根据测量两点之间的距离，只要符合全等三角形全等的条件之一SAS，只需要测量易测量的边A′B′上，进而得出答案．
【解答】解：连接AB，A′B′，如图，
∵点O分别是AA′、BB′的中点，
∴OA＝OA′，OB＝OB′，
在△AOB和△A′OB′中，
，
∴△AOB≌△A′OB′（SAS）．
∴A′B′＝AB．
答：需要测量A′B′的长度，即为工件内槽宽AB．
其依据是根据SAS证明△AOB≌△A′OB′；
故答案为：根据SAS证明△AOB≌△A′OB′．
【点评】本题考查全等三角形的应用，根据已知条件可用边角边定理判断出全等．
13．（2分）等腰三角形的一个外角是100°，则它的一个底角是 80°或50° ．
【分析】根据等腰三角形的一个外角等于100°，进行讨论可能是底角的外角是100°，也有可能顶角的外角是100°，从而求出答案．
【解答】解：①当100°外角是底角的外角时，底角为：180°﹣100°＝80°，
②当100°外角是顶角的外角时，顶角为：180°﹣100°＝80°，
则底角为：（180°﹣80°）×＝50°，
∴底角为80°或50°．
故答案为：80°或50°．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，此题应注意进行分类讨论，特别注意不要忽略一种情况．
14．（2分）计算：32020×（）2021＝ 1 ．
【分析】利用幂的乘方与积的乘方的法则进行计算，即可得出答案．
【解答】解：32020×（）2021
＝32020×（）2020×
＝[3×（）]2020×
＝12020×
＝1×
＝，
故答案为：1．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握幂的乘方与积的乘方的法则是解决问题的关键．
15．（2分）如图，△ADB≌△ECB，且点A的对应点是点E，点D的对应点是点C，若∠CBD＝40°，BD⊥EC，则∠D的度数为 50° ．
【分析】设BD与CE相交于点F，根据垂直定义可得∠BFC＝90°，再利用直角三角形的直角三角形的两个锐角互余可得∠C＝50°，然后利用全等三角形的性质即可解答．
【解答】解：设BD与CE相交于点F，
∵BD⊥EC，
∴∠BFC＝90°，
∵∠CBD＝40°，
∴∠C＝90°﹣∠CBD＝50°，
∵△ADB≌△ECB，
∴∠C＝∠D＝50°，
故答案为：50°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
16．（2分）如图，在△ABC中，若AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠BDC＝ 72° ．
【分析】设∠A＝x°，由已知条件开始，通过线段相等，得到角相等，再由三角形内角和求出各个角的大小．
【解答】解：设∠A＝x°．
∵BD＝AD，
∴∠A＝∠ABD＝x°，
∠BDC＝∠A+∠ABD＝2x°，
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD＝2x°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠BCD＝2x°，
在△ABC中x+2x+2x＝180，
解得：x＝36，
∴∠BDC＝∠C＝72°，
故答案为：72°．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质；熟练掌握等于三角形的性质，以及三角形内角和定理，得到各角之间的关系式解答本题的关键．
17．（2分）规定a*b＝2a×2b，如2*3＝22×23＝25＝32．若2*（x+1）＝16，则x的值为 1 ．
【分析】根据新定义法则和同底数幂的乘法法则得出关于x的一元一次方程，解方程即可得出答案．
【解答】解：∵a*b＝2a×2b，2*（x+1）＝16，
∴22×2x+1＝24，
∴2x+3＝24，
∴x+3＝4，
∴x＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，解一元一次方程，根据新定义法则得出一元一次方程是解决问题的关键．
18．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，2），B（0，4），点C在坐标轴上，且△ABC是等腰三角形，请写出一个满足条件的点C的坐标 （0，2）（答案不唯一） ；满足条件的点C一共有 5 个．
【分析】根据题意，画出图形，由等腰三角形的判定找出满足条件的C点，即可得出答案．
【解答】解：如图：
∵点A（2，2），B（0，4），
∴一个满足条件的点C的坐标（0，2）（答案不唯一），
如图，
若点A为两腰的交点，此时满足条件的点C有1个C1，与原点O重合，
若点B为两腰的交点，此时满足条件的点C有2个，分别为C2、C3；
若AB为底边，此时满足条件的点C有2个，分别为C、C4；
综上，满足此条件的点C共有5个，
故答案为：（0，2）（答案不唯一），5．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形性质，做题时需注意两点，一是注意点C必须位于坐标轴上，二是注意不能漏解，应分AB为底边和腰两种情况分别解答，难度适中．
三、解答题（共9小题，19题12分，20题4分，21-25题，每小题12分，26题6分，27题7分，共54分）
19．（12分）计算：
（1）（x+2y）（x﹣2y）；
（2）（3a﹣1）2；
（3）（a﹣3）（a+4）+2a（a﹣1）．
【分析】（1）利用平方差公式，进行分解即可解答；
（2）利用完全平方公式，进行分解即可解答；
（3）先去括号，再合并同类项，即可解答．
【解答】解：（1）（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2；
（2）（3a﹣1）2＝9a2﹣6a+1；
（3）（a﹣3）（a+4）+2a（a﹣1）
＝a2+a﹣12+2a2﹣2a
＝3a2﹣a﹣12．
【点评】本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20．（4分）已知x2﹣x+2＝0，求代数式（x﹣2）2+x（x+3）﹣（x+1）（x﹣1）的值．
【分析】先去括号，再合并同类项，然后把x2﹣x＝﹣2代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：（x﹣2）2+x（x+3）﹣（x+1）（x﹣1）
＝x2﹣4x+4+x2+3x﹣（x2﹣1）
＝x2﹣4x+4+x2+3x﹣x2+1
＝x2﹣x+5，
∵x2﹣x+2＝0，
∴x2﹣x＝﹣2，
∴当x2﹣x＝﹣2时，原式＝﹣2+5＝3．
【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
21．（5分）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF．求证：∠A＝∠D．
【分析】证明△ABC≌△DEF（SAS），可得∠A＝∠D．
【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠A＝∠D．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．
22．（5分）下面是小芳同学设计的“过直线外一点作这条直线垂线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线l及直线l外一点P．
求作：直线l的垂线，使它经过点P．
作法：如图2．
①以P为圆心，大于P到直线l的距离为半径作弧，交直线l于A，B两点；
②连接PA和PB；
③作∠APB的平分线PQ，交直线l于点Q．
④反向延长射线PQ，直线PQ就是所求的直线．
根据小芳设计的尺规作图过程，解答下列问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图2（保留作图痕迹）．
（2）补全下面证明过程：
证明：∵PA＝ PB ，PQ平分∠APB．
∴PQ⊥AB（ 等腰三角形顶角的平分线与底边上的高线重合 ）（填推理依据）
即PQ⊥l．
【分析】（1）根据作图过程即可补全图2；
（2）根据等腰三角形的性质即可补全证明过程．
【解答】（1）解：如图即为补全的图2；
（2）证明：∵PA＝PB，PQ平分∠APB．
∴PQ⊥AB（等腰三角形顶角的平分线与底边上的高线重合），
即PQ⊥l．
故答案为：PB，等腰三角形顶角的平分线与底边上的高线重合．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，垂线段最短，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
23．（5分）如图，△ABC中，AB＝AC，延长CB至点D，延长BC至点E，使CE＝BD，连接AD，AE．
（1）求证：AD＝AE；
（2）若AB＝BC＝BD，求∠DAE的度数．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠ACB，根据三角形的外角性质得出∠ABD＝∠ACE，根据SAS推出△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质得出即可；
（2）根据AB＝AC，AB＝BC，可得AB＝AC＝BC，可得△ABC是等边三角形，再根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质可得∠D，∠E，再根据三角形内角和定理即可求解．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ABD＝∠ACB+∠BAC，∠ACE＝∠ABC+∠BAC，
∴∠ABD＝∠ACE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE；
（2）解：∵AB＝AC，AB＝BC，
∴AB＝AC＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵AB＝BD，
∴∠DAB＝∠D，
∵∠ABC＝∠DAB+∠D，
∴∠D＝30°，
同理可得∠E＝30°，
∴∠DAE＝180°﹣30°﹣30°＝120°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角性质，全等三角形的判定和性质的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
24．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣3，0），B（﹣5，3），C（﹣1，1）．
（1）在图中画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；
（2）点P是x轴上一动点，当PB+PC的值最小时，画出点P的位置，此时点P的坐标为 （0，） ．
【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可；
（2）设P（0，m），利用面积法构建方程求解．
【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求；
（2）如图，点P即为所求，设P（0，m）．
∵S△BCC′＝×2×2＝×2×（m﹣1）+×（1+5）×2﹣×1×（m﹣1）﹣×5×（3﹣m），
解得，m＝，
∴P（0，）．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
25．（5分）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，且C、E、D三点共线．
（1）求证：△ADB≌△AEC；
（2）过点A作AF⊥CD于F，依题意补全图形并证明BD+DF＝CF．
【分析】（1）由“SAS”即可证明△AEC≌△ADB；
（2）由△AEC≌△ADB，可得BD＝CE，由等腰三角形的性质可得DF＝FE，可得结论．
【解答】证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ADB和△AEC中，
，
∴△ADB≌△AEC（SAS）；
（2）如图，
∵△ADB≌△AEC，
∴BD＝CE，
∵AD＝AE，AF⊥CD，
∴DF＝FE，
∴BD+DF＝CE+EF＝CF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．
26．（6分）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
例如，把二次三项式x2﹣2x+3进行配方．
解：x2﹣2x+3＝x2﹣2x+1+2＝（x2﹣2x+1）+2＝（x﹣1）2+2．
我们定义：一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为5＝22+12.再如，M＝x2+2xy+2y2＝（x+y）2+y2（x，y是整数），所以M也是“完美数”．
解决问题：
（1）请你再写一个小于10的“完美数” 4 ；并判断40是否为“完美数” 是 ；
（2）若二次三项式x2﹣4x+5（x是整数）是“完美数”，可配方成（x﹣m）2+n（m，n为常数），则mn的值为 2 ；
探究问题：
（1）已知“完美数”x2+y2﹣2x+4y+5（x，y是整数）的值为0，则x+y的值为 ﹣1 ；
（2）已知S＝x2+4y2+4x﹣12y+k（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k值．
拓展结论：已知实数x，y满足﹣x2+3x+y﹣5＝0，求x+y的最小值．
【分析】解决问题：
（1）根据“完美数”的定义判断即可；
（2）利用配方法进行转化，然后求得对应系数的值；
探究问题：
（1）配方后根据非负数的性质可得x和y的值，进行计算即可；
（2）利用完全平方公式把原式变形，根据“完美数”的定义证明结论；
拓展结论：根据题中结论求解
【解答】解：解决问题：（1）4是“完美数”，理由：因为＝22+02；
40是“完美数”，理由：因为40＝62+22；
（2）∵x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+12，
∴m＝2，n＝1，
∴mn＝2，
故答案为：2；
探究问题：（1）∵x2+y2﹣2x+4y+5＝（x﹣1）2+（y+2）2＝0，
∴x＝1，y＝﹣2，
∴x+y＝﹣1；
（2）S＝x2+4y2+4x﹣12y+k＝（x+2）2+（2y﹣3）2+k﹣13，
由题意得：k﹣13＝0，
∴k＝13；
拓展结论：∵﹣x2+3x+y﹣5＝0，
∴x+y
＝x2﹣2x+5
＝（x﹣1）2+4≥4；
∴当x＝1时，x+y最小，最小值为4．
【点评】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．
27．（7分）在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，交BC于点D．点A与点E关于直线BC对称，连接BE，CE，延长AD交BE于点F．
（1）补全图形；
（2）求证：△BDF是等腰三角形；
（3）求证：AB+BD＝2AC．
【分析】（1）根据题意画出图形即可；
（2）由AC＝BC，∠ACB＝90°，AD是∠CAB的平分线，可得∠CAD＝∠BAD＝22.5°，即得∠ADC＝∠BDF＝90°﹣22.5°＝67.5°，根据点A与点E关于直线BC对称，可得∠AFB＝90°﹣∠BAD＝67.5°，故∠BDF＝∠AFB，从而△BDF是等腰三角形；
（3）过D作DK⊥AB于K，证明△ACD≌△AKD（AAS），得AC＝AK，CD＝DK，又AC＝BC，∠ACB＝90°，可得△KBD是等腰直角三角形，BK＝DK，即知BK＝CD，而AB＝AK+BK，有AB＝AC+CD，故AB+BD＝AC+CD+BD＝AC+BC＝AC+AC＝2AC．
【解答】（1）解：补全图形如下：
（2）证明：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∵AD是∠CAB的平分线，
∴∠CAD＝∠BAD＝22.5°，
∴∠ADC＝∠BDF＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∵点A与点E关于直线BC对称，
∴∠EBC＝∠CBA＝45°，
∴∠ABF＝90°，
∴∠AFB＝90°﹣∠BAD＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠BDF＝∠AFB，
∴BF＝BD；
∴△BDF是等腰三角形；
（3）证明：过D作DK⊥AB于K，如图：
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠KAD，
∵DK⊥AB，
∴∠AKD＝90°＝∠ACD，
在△ACD和△AKD中，
，
∴△ACD≌△AKD（AAS），
∴AC＝AK，CD＝DK，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠KBD＝45°，
∴△KBD是等腰直角三角形，
∴BK＝DK，
∴BK＝CD，
∵AB＝AK+BK，
∴AB＝AC+CD，
∴AB+BD＝AC+CD+BD＝AC+BC＝AC+AC＝2AC．
【点评】本题考查等腰直角三角形的性质及应用，涉及全等三角形的判定与性质，角平分线等知识，解题的关键是掌握对称的性质，能熟练应用全等三角形的判定与性质定理．
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