2021-2022学年北京市东城区景山学校九年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2021-2022学年北京市东城区景山学校九年级（上）期中数学试卷【含解析】，共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）一元二次方程3x2﹣6x﹣1＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．3，6，1B．3，6，﹣1C．3，﹣6，1D．3，﹣6，﹣1
2．（3分）如图，以点P为圆心，以下列选项中的线段的长为半径作圆，所得的圆与直线l相切的是（ ）
A．PAB．PBC．PCD．PD
3．（3分）抛物线y＝（x﹣3）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（3，1）B．（3，﹣1）C．（﹣3，1）D．（﹣3，﹣1）
4．（3分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝36°，那么∠BAD等于（ ）
A．36°B．44°C．54°D．56°
5．（3分）关于频率和概率的关系，下列说法正确的是（ ）
A．频率等于概率
B．当实验次数很大时，频率稳定在概率附近
C．当实验次数很大时，概率稳定在频率附近
D．实验得到的频率与概率不可能相等
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，以A为圆心AC为半径画圆，交AB于点D，则阴影部分面积是（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）关于x的方程x2+2kx﹣1＝0的根的情况描述正确的是（ ）
A．k为任何实数，方程都没有实数根
B．k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根
C．k为任何实数，方程都有两个相等的实数根
D．根据k的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种
8．（3分）随着时代的进步，人们对PM2.5（空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切．某市一天中PM2.5的值y1（ug/m3）随时间t（h）的变化如图所示，设y2表示0时到t时PM2.5的值的极差（即0时到t时PM2.5的最大值与最小值的差），则y2与t的函数关系大致是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题：
9．（3分）请写出一个开口向上且过点（0，﹣2）的抛物线表达式为 ．
10．（3分）在一个不透明的盒子中装有2个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则n＝ ．
11．（3分）如图，△ABC中，∠B＝70°，∠BAC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转得△EDC．当点B的对应点D恰好落在AC上时，∠CAE＝ ．
12．（3分）如图，AB是⨀O的直径，弦CD⊥AB于E，若∠ABC＝30°，OE＝，则OD长为 ．
13．（3分）某城市启动“城市森林”绿化工程，林业部门要考查某种树苗在一定条件下的移植成活率．在同样条件下，对这种树苗进行大量移植，并统计成活情况，数据如下表所示：
估计树苗移植成活的概率是 （结果保留小数点后一位）．
14．（3分）如图所示，在矩形纸片上剪下一个扇形和一个圆形，使之恰好能围成一个圆锥模型．若扇形的半径为R，圆的半径为r，则R与r满足的数量关系是 ．
15．（3分）已知：如图，半圆O的直径AB＝12cm，点C，D是这个半圆的三等分点，则∠CAD的度数是 ，弦AC，AD和围成的图形（图中阴影部分）的面积S是 ．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，N是A'B'的中点，连接MN，若BC＝4，∠ABC＝60°，则线段MN的最大值为 ．
三、解答题：
17．解方程：2x2﹣2x﹣1＝0．
18．下面是小东设计的“过圆外一点作这个圆的切线”的尺规作图过程．
已知：⊙O及⊙O外一点P．
求作：直线PA和直线PB，使PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B．
作法：如图，
①作射线PO，与⊙O交于点M和点N；
②以点P为圆心，以PO为半径作⊙P；
③以点O为圆心，以⊙O的直径MN为半径作圆，与⊙P交于点E和点F，连接OE和OF，分别与⊙O交于点A和点B；
④作直线PA和直线PB．
所以直线PA和PB就是所求作的直线．
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接PE和PF，
∵OE＝MN，OA＝OM＝MN，
∴点A是OE的中点．
∵PO＝PE，
∴PA⊥OA于点A （填推理的依据）．
同理PB⊥OB于点B．
∵OA，OB为⊙O的半径，
∴PA，PB是⊙O的切线．（ ）（填推理的依据）．
19．已知关于x的方程x2+2x+k﹣4＝0．
（1）如果方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）若k＝1，求该方程的根．
20．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（3，0）点，当x＝1时，函数的最小值为﹣4．
（1）求该二次函数的解析式并画出它的图象；
（2）直线x＝m与抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）和直线y＝x﹣3的交点分别为点C，点D，点C位于点D的上方，结合函数的图象直接写出m的取值范围．
21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC＝4，AC＝4．
（1）求点O到AC的距离；
（2）求∠ADC的度数．
22．北京世界园艺博览会（以下简称“世园会”）于2019年4月29日至10月7日在北京市延庆区举行．世园会为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的游玩路线，如表：
小美和小红都计划去世园会游玩，她们各自在这4条路线中任意选择一条，每条路线被选择的可能性相同．
（1）求小美选择路线“清新园艺之旅”的概率；
（2）用画树状图或列表的方法，求小美和小红恰好选择同一条路线的概率．
23．如图，用一条长40m的绳子围成矩形ABCD，设边AB的长为xm．
（1）边BC的长为 m，矩形ABCD的面积为 m2（均用含x的代数式表示）；
（2）矩形ABCD的面积是否可以是120m2？请给出你的结论，并用所学的方程或者函数知识说明理由．
24．在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝x与双曲线y＝的一个交点是A（2，a）．
（1）求k的值；
（2）设点P（m，n）是双曲线y＝上不同于A的一点，直线PA与x轴交于点B（b，0）．
①若m＝1，求b的值；
②若PB＝2AB，结合图象，直接写出b的值．
25．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，AC是对角线．点E在BC的延长线上，且∠CED＝∠BAC．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）BA与CD的延长线交于点F，若DE∥AC，AB＝4，AD＝2，求AF的长．
26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．
（1）①直接写出抛物线的对称轴是 ；
②用含a的代数式表示b；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，若抛物线与x轴交于P、Q两点，该抛物线在P、Q之间的部分与线段PQ所围成的区域（不包括边界）恰有七个整点，结合函数图象，求a的取值范围．
27．在△ABC中，AB＝2，CD⊥AB于点D，CD＝．
（1）如图1，当点D是线段AB的中点时，
①AC的长为 ；
②延长AC至点E，使得CE＝AC，此时CE与CB的数量关系是 ，∠BCE与∠A的数量关系是 ；
（2）如图2，当点D不是线段AB的中点时，画∠BCE（点E与点D在直线BC的异侧），使∠BCE＝2∠A，CE＝CB，连接AE．
①按要求补全图形；
②求AE的长．
28．对于平面直角坐标系xOy中的点P，给出如下定义：记点P到x轴的距离为d1，到y轴的距离为d2，若d1≤d2，则称d1为点P的“引力值”；若d1＞d2，则称d2为点P的“引力值”．特别地，若点P在坐标轴上，则点P的“引力值”为0．
例如，点P（﹣2，3）到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，因为2＜3，所以点P的“引力值”为2．
（1）①点A（﹣1，4）的“引力值”为 ；
②若点B（a，3）的“引力值”为2，则a的值为 ；
（2）若点C在直线y＝﹣2x+4上，且点C的“引力值”为2，求点C的坐标；
（3）已知点M是以（3，4）为圆心，半径为2的圆上一个动点，那么点M的“引力值”d的取值范围是 ．
2021-2022学年北京市东城区景山学校九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的）
1．（3分）一元二次方程3x2﹣6x﹣1＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．3，6，1B．3，6，﹣1C．3，﹣6，1D．3，﹣6，﹣1
【分析】找出所求的系数及常数项即可．
【解答】解：一元二次方程3x2﹣6x﹣1＝0的二次项系数，一次项系数，常数项分别是3，﹣6，﹣1．
故选：D．
【点评】考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
2．（3分）如图，以点P为圆心，以下列选项中的线段的长为半径作圆，所得的圆与直线l相切的是（ ）
A．PAB．PBC．PCD．PD
【分析】根据直线与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【解答】解：∵PB⊥l于B，
∴以点P为圆心，PB为半径的圆与直线l相切．
故选：B．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．若直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d＝r；直线l和⊙O相离⇔d＞r．
3．（3分）抛物线y＝（x﹣3）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（3，1）B．（3，﹣1）C．（﹣3，1）D．（﹣3，﹣1）
【分析】根据题目中二次函数的顶点式可以直接写出它的顶点坐标．
【解答】解：∵y＝（x﹣3）2+1，
∴此函数的顶点坐标为（3，1），
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h．
4．（3分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝36°，那么∠BAD等于（ ）
A．36°B．44°C．54°D．56°
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ADB＝90°，又由∠ACD＝36°，可求得∠ABD的度数，再根据直角三角形的性质求出答案．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵＝，
∴∠ABD＝∠ACD＝36°，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝90°﹣36°＝54°，
故选：C．
【点评】此题考查了圆周角定理的推论以及直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
5．（3分）关于频率和概率的关系，下列说法正确的是（ ）
A．频率等于概率
B．当实验次数很大时，频率稳定在概率附近
C．当实验次数很大时，概率稳定在频率附近
D．实验得到的频率与概率不可能相等
【分析】大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，而不是一种必然的结果．
【解答】解：A、频率只能估计概率；
B、正确；
C、概率是定值；
D、可以相同，如“抛硬币实验”，可得到正面向上的频率为0.5，与概率相同．
故选：B．
【点评】考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，以A为圆心AC为半径画圆，交AB于点D，则阴影部分面积是（ ）
A．B．C．D．
【分析】本题中阴影部分的面积为Rt△ABC和扇形ACD的面积差，可在Rt△ACB中，根据∠B的度数，求出BC的长，即可得出扇形ACD的面积和Rt△ABC的面积．
【解答】解：△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，
所以BC＝AC＝，∠A＝60°，
∴S阴影＝S△ABC﹣S扇形ACD
＝×1×﹣＝﹣．
故选：B．
【点评】本题主要考查了扇形的面积计算方法，通过直角三角形求出扇形的圆心角的度数和BC的长是解题的关键．
7．（3分）关于x的方程x2+2kx﹣1＝0的根的情况描述正确的是（ ）
A．k为任何实数，方程都没有实数根
B．k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根
C．k为任何实数，方程都有两个相等的实数根
D．根据k的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种
【分析】先计算判别式的值得到Δ＝4k2+4，根据非负数的性质得Δ＞0，然后根据判别式的意义进行判断．
【解答】解：Δ＝4k2﹣4×（﹣1）
＝4k2+4，
∵4k2≥0，
∴4k2+4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
8．（3分）随着时代的进步，人们对PM2.5（空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切．某市一天中PM2.5的值y1（ug/m3）随时间t（h）的变化如图所示，设y2表示0时到t时PM2.5的值的极差（即0时到t时PM2.5的最大值与最小值的差），则y2与t的函数关系大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据极差的定义，分别从t＝0、0＜t≤10、10＜t≤20及20＜t≤24时，极差y2随t的变化而变化的情况，从而得出答案．
【解答】解：当t＝0时，极差y2＝85﹣85＝0，
当0＜t≤10时，极差y2随t的增大而增大，最大值为43；
当10＜t≤20时，极差y2随t的增大保持43不变；
当20＜t≤24时，极差y2随t的增大而增大，最大值为98；
故选：B．
【点评】本题主要考查函数图象，解题的关键是掌握函数图象定义与画法．
二、填空题：
9．（3分）请写出一个开口向上且过点（0，﹣2）的抛物线表达式为 y＝x2﹣2 ．
【分析】令抛物线的对称轴为y轴，二次项系数为1，则抛物线的解析式可设为y＝x2+m，然后把已知点的坐标代入求出m即可．
【解答】解：设抛物线的解析式为y＝x2+m，
把（0，﹣2）代入得m＝﹣2，
所以满足条件的抛物线解析式为y＝x2﹣2．
故答案为y＝x2﹣2．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
10．（3分）在一个不透明的盒子中装有2个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则n＝ 1 ．
【分析】根据白球的概率公式列出关于n的方程，求出n的值即可．
【解答】解：由题意知：，解得n＝1．
【点评】用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
11．（3分）如图，△ABC中，∠B＝70°，∠BAC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转得△EDC．当点B的对应点D恰好落在AC上时，∠CAE＝ 50° ．
【分析】利用旋转的性质得出AC＝CE，以及利用三角形内角和得出∠BCA的度数，利用等腰三角形的性质得出答案．
【解答】解：∵△ABC中，∠B＝70°，则∠BAC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转得△EDC，点B的对应点D恰好落在AC上，
∴∠BCA＝180°﹣70°﹣30°＝80°，AC＝CE，
∴∠BCA＝∠DCE＝80°，
∴∠CAE＝∠AEC＝（180°﹣80°）×＝50°．
故答案为：50°．
【点评】此题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，得出∠CAE＝∠AEC是解题关键．
12．（3分）如图，AB是⨀O的直径，弦CD⊥AB于E，若∠ABC＝30°，OE＝，则OD长为 2 ．
【分析】先利用垂径定理得到＝，再根据圆周角定理得到∠AOD＝60°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系得到OD的长．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴＝，
∴∠AOD＝2∠ABC＝2×30°＝60°，
在Rt△ODE中，OD＝2OE＝2×＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．
13．（3分）某城市启动“城市森林”绿化工程，林业部门要考查某种树苗在一定条件下的移植成活率．在同样条件下，对这种树苗进行大量移植，并统计成活情况，数据如下表所示：
估计树苗移植成活的概率是 0.9 （结果保留小数点后一位）．
【分析】根据表格中的数据和概率的含义，可以估计树苗移植成活的概率．
【解答】解：由表格中的数据可以估计树苗移植成活的概率是0.9，
故答案为：0.9．
【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，写出相应概率．
14．（3分）如图所示，在矩形纸片上剪下一个扇形和一个圆形，使之恰好能围成一个圆锥模型．若扇形的半径为R，圆的半径为r，则R与r满足的数量关系是 R＝4r ．
【分析】根据弧长公式求出扇形的弧长，根据题意列式计算即可．
【解答】解：扇形的弧长为：＝，
∵圆的半径为r，
∴底面圆的周长是2πr，
由题意得：＝2πr，
整理得：R＝4r，即R与r之间的关系是R＝4r．
故答案为：R＝4r．
【点评】本题考查的是圆锥的相关计算，掌握圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长是解题的关键．
15．（3分）已知：如图，半圆O的直径AB＝12cm，点C，D是这个半圆的三等分点，则∠CAD的度数是 30° ，弦AC，AD和围成的图形（图中阴影部分）的面积S是 6π cm2 ．
【分析】由题意知，∠COD＝60°，得出∠CAD的度数为：30°，进而得出△CDO是等边三角形，故阴影部分的面积等于扇形OCD的面积．
【解答】解：连接CO、OD，CD，
∵C、D是这个半圆的三等分点，
∴CD∥AB，∠COD＝60°，
∴∠CAD的度数为：30°，
∵OC＝OD，
∴△OCD是等边三角形，CD＝OC＝AB＝6cm，
∴△OCD与△CDA是等底等高的三角形，
∴S阴影＝S扇形OCD＝π×62＝6π cm2．
故答案为：30°，6π cm2．
【点评】本题主要考查了扇形面积公式应用，关键是判断出△OCD与△CDA是等底等高的三角形，且△OCD是等边三角形，利用扇形的面积公式求解．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，N是A'B'的中点，连接MN，若BC＝4，∠ABC＝60°，则线段MN的最大值为 6 ．
【分析】连接CN．根据直角三角形斜边中线的性质求出CN＝A′B′＝4，利用三角形的三边关系即可解决问题．
【解答】解：连接CN．
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，BC＝4，∠B＝60°，
∴∠A＝30°，
∴AB＝A′B′＝2BC＝8，
∵NB′＝NA′，
∴CN＝A′B′＝4，
∵CM＝BM＝2，
∴MN≤CN+CM＝6，
∴MN的最大值为6，
故答案为6．
【点评】本题考查旋转的性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题：
17．解方程：2x2﹣2x﹣1＝0．
【分析】此题可以采用配方法和公式法，解题时要正确理解运用每种方法的步骤．
【解答】解法一：原式可以变形为，
，
，
∴，
∴，．
解法二：a＝2，b＝﹣2，c＝﹣1，
∴b2﹣4ac＝12，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
【点评】公式法和配方法适用于任何一元二次方程，解题时要细心．
18．下面是小东设计的“过圆外一点作这个圆的切线”的尺规作图过程．
已知：⊙O及⊙O外一点P．
求作：直线PA和直线PB，使PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B．
作法：如图，
①作射线PO，与⊙O交于点M和点N；
②以点P为圆心，以PO为半径作⊙P；
③以点O为圆心，以⊙O的直径MN为半径作圆，与⊙P交于点E和点F，连接OE和OF，分别与⊙O交于点A和点B；
④作直线PA和直线PB．
所以直线PA和PB就是所求作的直线．
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接PE和PF，
∵OE＝MN，OA＝OM＝MN，
∴点A是OE的中点．
∵PO＝PE，
∴PA⊥OA于点A （三线合一） （填推理的依据）．
同理PB⊥OB于点B．
∵OA，OB为⊙O的半径，
∴PA，PB是⊙O的切线．（ 经过半径的外端，和半径垂直的直线是圆的切线 ）（填推理的依据）．
【分析】（1）根据要求画出图形即可．
（2）利用等腰三角形的三线合一的思想解决问题即可．
【解答】解：（1）补全图形如图：
（2）证明：连接PE和PF，
∵OE＝MN，OA＝OM＝MN，
∴点A是OE的中点，
∵PO＝PE．
∴PA⊥OA于点A（三线合一），
同理PB⊥OB于点B，
∵OA，OB为⊙O的半径，
∴PA，PB是⊙O的切线．（经过半径的外端，和半径垂直的直线是圆的切线）．
故答案为：（三线合一），经过半径的外端，和半径垂直的直线是圆的切线．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，切线的判定，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
19．已知关于x的方程x2+2x+k﹣4＝0．
（1）如果方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）若k＝1，求该方程的根．
【分析】（1）根据根的判别式Δ＞0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围；
（2）将k＝1代入方程x2+2x+k﹣4＝0，解方程即可求出方程的解．
【解答】解：（1）Δ＝22﹣4×1×（k﹣4）＝20﹣4k．
∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0．
∴20﹣4k＞0，
解得k＜5；
∴k的取值范围为k＜5．
（2）当k＝1时，原方程化为x2+2x﹣3＝0，
（x﹣1）（x+3）＝0，
x﹣1＝0或x+3＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣3．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
20．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（3，0）点，当x＝1时，函数的最小值为﹣4．
（1）求该二次函数的解析式并画出它的图象；
（2）直线x＝m与抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）和直线y＝x﹣3的交点分别为点C，点D，点C位于点D的上方，结合函数的图象直接写出m的取值范围．
【分析】（1）设顶点式y＝a（x﹣1）2﹣4（a≠0），再把（3，0）代入求出a得到抛物线解析式，然后利用描点法画出二次函数图象；
（2）先画出直线y＝x﹣3，则可得到直线y＝x﹣3与抛物线的交点坐标为（0，﹣3），（3，0），然后写出抛物线在直线y＝x﹣3上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：（1）∵当x＝1时，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最小值为﹣4，
∴二次函数的图象的顶点为（1，﹣4），
∴二次函数的解析式可设为y＝a（x﹣1）2﹣4（a≠0），
∵二次函数的图象经过（3，0）点，
∴a（3﹣1）2﹣4＝0．
解得a＝1．
∴该二次函数的解析式为y＝（x﹣1）2﹣4；
如图，
（2）由图象可得m＜0或m＞3．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC＝4，AC＝4．
（1）求点O到AC的距离；
（2）求∠ADC的度数．
【分析】（1）作OM⊥AC于M，根据等腰直角三角形的性质得到AM＝CM＝2，根据勾股定理即可得到结论；
（2）连接OA，根据等腰直角三角形的性质得到∠MOC＝∠MCO＝45°，求得∠AOC＝90°，根据圆内接四边形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）作OM⊥AC于M，
∵AC＝4，
∴AM＝CM＝2，
∵OC＝4，
∴OM＝＝2；
（2）连接OA，
∵OM＝MC，∠OMC＝90°，
∴∠MOC＝∠MCO＝45°，
∵OA＝OC，
∴∠OAM＝45°，
∴∠AOC＝90°，
∴∠B＝45°，
∵∠D+∠B＝180°，
∴∠D＝135°．
【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
22．北京世界园艺博览会（以下简称“世园会”）于2019年4月29日至10月7日在北京市延庆区举行．世园会为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的游玩路线，如表：
小美和小红都计划去世园会游玩，她们各自在这4条路线中任意选择一条，每条路线被选择的可能性相同．
（1）求小美选择路线“清新园艺之旅”的概率；
（2）用画树状图或列表的方法，求小美和小红恰好选择同一条路线的概率．
【分析】（1）由概率公式即可得出结果；
（2）画出树状图，共有16种等可能的结果，小美和小红恰好选择同一线路游览的结果有4种，由概率公式即可得出结果．
【解答】解：（1）在这四条线路任选一条，每条被选中的可能性相同，
∴在四条线路中，小美选择路线“清新园艺之旅”的概率；
（2）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，小美和小红恰好选择同一线路游览的结果有4种，
则小美和小红恰好选择同一线路游览的概率为＝．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．如图，用一条长40m的绳子围成矩形ABCD，设边AB的长为xm．
（1）边BC的长为 （20﹣x） m，矩形ABCD的面积为 （﹣x2+20x） m2（均用含x的代数式表示）；
（2）矩形ABCD的面积是否可以是120m2？请给出你的结论，并用所学的方程或者函数知识说明理由．
【分析】（1）根据矩形的周长公式求得边BC的长度；然后由矩形的面积公式求得矩形ABCD的面积；
（2）根据矩形的面积公式得到关于x的方程，通过解方程求得答案．
【解答】解：（1）根据题意，知边BC的长为：（20﹣x）m，
矩形ABCD的面积为：（20﹣x）x＝（﹣x2+20x）m2；
故答案为：（20﹣x）；（﹣x2+20x）；
（2）若矩形ABCD的面积是120m2，则﹣x2+20x＝120．
∵Δ＝b2﹣4ac＝﹣80＜0，
∴这个方程无解．
∴矩形ABCD的面积不可以是120m2．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
24．在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝x与双曲线y＝的一个交点是A（2，a）．
（1）求k的值；
（2）设点P（m，n）是双曲线y＝上不同于A的一点，直线PA与x轴交于点B（b，0）．
①若m＝1，求b的值；
②若PB＝2AB，结合图象，直接写出b的值．
【分析】（1）由直线解析式求得A（2，1），然后代入双曲线y＝中，即可求得k的值；
（2）①根据系数k的几何意义即可求得n的值，得到P的坐标，继而求得直线PA的解析式，代入B（b，0）即可求得b的值；②分两种情况讨论求得即可．
【解答】解：（1）∵直线y＝x与双曲线y＝的一个交点是A（2，a），
∴a＝×2＝1，
∴A（2，1），
∴k＝2×1＝2；
（2）①若m＝1，则P（1，n），
∵点P（1，n）是双曲线y＝上不同于A的一点，
∴n＝k＝2，
∴P（1，2），
∵A（2，1），
则直线PA的解析式为y＝﹣x+3，
∵直线PA与x轴交于点B（b，0），
∴0＝﹣b+3，
∴b＝3；
②如图1，当P在第一象限时，
∵PB＝2AB，A（2，1），
∴P点的纵坐标是2，
代入y＝求得x＝1，
∴P（1，2），
由①可知，此时b＝3；
如图2，当P在第三象限时，
∵PB＝2AB，A（2，1），
∴P点的纵坐标是﹣2，
代入y＝求得x＝﹣1，
∴P（﹣1，﹣2），
∵A（2，1）
则直线PA的解析式为y＝x﹣1，
∴b＝1，
综上，b的值为3或1．
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
25．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，AC是对角线．点E在BC的延长线上，且∠CED＝∠BAC．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）BA与CD的延长线交于点F，若DE∥AC，AB＝4，AD＝2，求AF的长．
【分析】（1）先根据圆周角定理证明BD是⊙O的直径，得∠BCD＝90°，再由三角形外角的性质和圆周角定理可得∠BDE＝90°，可得DE是⊙O的切线；
（2）先根据平行线的性质得：∠BHC＝∠BDE＝90°．由垂径定理得AH＝CH，＝，由垂直平分线的性质得BC＝AB＝4，CD＝AD＝2．证明△FAD∽△FCB，列比例式得CF＝2AF，设 AF＝x，则DF＝CF﹣CD＝2x﹣2，根据勾股定理列方程可解答．
【解答】解：（1）相切．
理由是：连接BD，如图1．
∵四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，
∴BD是⊙O的直径，即点O在BD上．
∴∠BCD＝90°．
∴∠CED+∠CDE＝90°．
∵∠CED＝∠BAC．
又∵∠BAC＝∠BDC，
∴∠BDC+∠CDE＝90°，即∠BDE＝90°．
∴DE⊥OD于点D．
∴DE是⊙O的切线．
（2）如图2，BD与AC交于点H，
∵DE∥AC，
∴∠BHC＝∠BDE＝90°．
∴BD⊥AC．
∴AH＝CH．
∴BC＝AB＝4，CD＝AD＝2．
∵∠FAD＝∠FCB＝90°，∠F＝∠F，
∴△FAD∽△FCB．
∴．
∴CF＝2AF．
设 AF＝x，则DF＝CF﹣CD＝2x﹣2．
在Rt△ADF中，DF2＝AD2+AF2，
∴（2x﹣2）2＝22+x2．
解得：x1＝，x2＝0（舍）．
∴AF＝．
【点评】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理，求出BC＝4是解本题的关键．
26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．
（1）①直接写出抛物线的对称轴是 直线x＝1 ；
②用含a的代数式表示b；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，若抛物线与x轴交于P、Q两点，该抛物线在P、Q之间的部分与线段PQ所围成的区域（不包括边界）恰有七个整点，结合函数图象，求a的取值范围．
【分析】（1）①根据A、B两点坐标可得对称轴；
②根据对称轴为直线x＝1，即＝﹣＝1，即可得出a、b之间的关系；
（2）分分情况进行解答，即a＞3或a＜0，开口向上或开口向下，结合图象得出：当开口向上时，x＝1时，y＝a+b+c＝﹣a+3＜﹣7，当开口向下时，x＝﹣1时，y＝a﹣b+c≤1，再根据抛物线与x轴有两个不同交点，进而求出a的取值范围即可．
【解答】解：（1）①∵抛物线y＝ax2+bx+3与y轴交于点A，
∴点A（0，3），
∵将点A向右平移2个单位长度，得到点B，
∴点B（2，3），
∴过点A、点B的抛物线的对称轴为直线x＝1，
故答案为：直线x＝1；
②由于对称轴是直线x＝﹣＝1，
∴2a+b＝0；
（2）由于抛物线与x轴有两个不同交点，因此b2﹣4ac＞0，
而c＝3，2a+b＝0，
∴4a2﹣12a＞0，
即a2﹣3a＞0，
∴a＞3或a＜0，
①当a＞0时，如图1，开口向上的抛物线，该抛物线在P、Q之间的部分与线段PQ所围成的区域（不包括边界）恰有七个整点，这七个整数点为（1，﹣1）（1，﹣2）（1，﹣3）（1，﹣4）（1，﹣5）（1，﹣6）（1，﹣7）
当x＝1时，y＝a+b+c＝﹣a+3，
∵顶点坐标为（1，﹣a+3），
∴﹣8≤a＜﹣7，
∴10＜a≤11，
②当a＜0时，如图2，该抛物线在P、Q之间的部分与线段PQ所围成的区域（不包括边界）恰有七个整点为（0，1）（0，2）（1，1）（1，2）（1，3）（2，1）（2，2），
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝3a+3，
∵恰好有7个整数点，
∴，
解得﹣1≤a≤﹣，
综上所述a的取值范围为10＜a≤11，﹣1≤a≤﹣．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象与系数a、b、c的关系是正确解答的关键．
27．在△ABC中，AB＝2，CD⊥AB于点D，CD＝．
（1）如图1，当点D是线段AB的中点时，
①AC的长为 ；
②延长AC至点E，使得CE＝AC，此时CE与CB的数量关系是 CE＝CB ，∠BCE与∠A的数量关系是 ∠BCE＝2∠A ；
（2）如图2，当点D不是线段AB的中点时，画∠BCE（点E与点D在直线BC的异侧），使∠BCE＝2∠A，CE＝CB，连接AE．
①按要求补全图形；
②求AE的长．
【分析】（1）①利用勾股定理求解即可．
②利用线段的垂直平分线的性质以及三角形的外角的性质解决问题即可．
（2）①根据要求作出图形即可．
②如图2中，在AC的上方作△ACT，使得CT＝CA，∠ACT＝∠BCE，过点C作CH⊥AT于H．证明△ACE≌△TCB（SAS），推出AE＝BT，可得结论．
【解答】解：（1）①如图1中，
∵AD＝DB＝AB＝，CD⊥AB，
∴CA＝CB，∠ADC＝90°，
∵CD＝，
∴AC＝＝＝．
故答案为：．
②连接BE．∵CA＝CE，CA＝CB，
∴CE＝CB，
∵CA＝CB，
∴∠A＝∠CBA，
∴∠ECB＝∠A+∠CBA＝2∠A，
故答案为：CE＝CB，∠BCE＝2∠A．
（2）①图形如图2所示：
②如图2中，在AC的上方作△ACT，使得CT＝CA，∠ACT＝∠BCE，过点C作CH⊥AT于H．
∵CA＝CT，CH⊥AT，
∴AH＝HT，∠ACH＝∠TCH，
∵∠BCE＝2∠CAB，∠ECB＝∠ACT，
∴∠ACH＝∠CAB，
∴CH∥AB，
∴∠CHA＝∠HAB＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCH是矩形，
∴CD＝AH＝HT＝，
∴AT＝2AH＝2，
∵∠ACT＝∠ECB，
∴∠ACE＝∠TCB，
∵CA＝CT，CE＝CB，
∴△ACE≌△TCB（SAS），
∴AE＝BT，
∵BT＝＝＝2，
∴AE＝BT＝2．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常常考题型．
28．对于平面直角坐标系xOy中的点P，给出如下定义：记点P到x轴的距离为d1，到y轴的距离为d2，若d1≤d2，则称d1为点P的“引力值”；若d1＞d2，则称d2为点P的“引力值”．特别地，若点P在坐标轴上，则点P的“引力值”为0．
例如，点P（﹣2，3）到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，因为2＜3，所以点P的“引力值”为2．
（1）①点A（﹣1，4）的“引力值”为 1 ；
②若点B（a，3）的“引力值”为2，则a的值为 ±2 ；
（2）若点C在直线y＝﹣2x+4上，且点C的“引力值”为2，求点C的坐标；
（3）已知点M是以（3，4）为圆心，半径为2的圆上一个动点，那么点M的“引力值”d的取值范围是 1≤d≤． ．
【分析】（1）①直接根据“引力值”的定义，其最小距离为“引力值”；
②点B（a，3）到x轴的距离为3，且其“引力值”为2，所以a＝±2；
（2）根据点C的“引力值”为2，可得x＝±2或y＝±2，代入可得结果；
（3）M在点C处时，其“引力值”最小为1，在第一象限角平分线上时，其“引力值”最大，根据勾股定理求出d的值．
【解答】解：（1）①∵点A（﹣1，4）到x轴的距离为4，到y轴的距离为1，
∵1＜4，
∴点A的“引力值”为1．
②∵点B（a，3）的“引力值”为2，
∴a＝±2；
（2）设点C的坐标（x，y），
∵点C的“引力值”为2，
∴x＝±2或y＝±2，
当x＝2时，y＝﹣2×2+4＝0，此时点C的“引力值”为0，不符合题意，舍去，
当x＝﹣2时，y＝﹣2×（﹣2）+4＝8，此时点C的坐标为（﹣2，8），
当y＝2时，﹣2x+4＝2，x＝1，此时点C的“引力值”为1，不符合题意，舍去，
当y＝﹣2时，﹣2x+4＝﹣2，x＝3，此时点C的坐标为（3，﹣2），
综上所述，点C的坐标为（﹣2，8）或（3，﹣2）；
（3）如图，过A分别作x、y轴的垂线，分别交⊙A于B和C，交y轴于D，
∵A（3，4），AC＝AB＝2
∴C（1，4），B（3，2）
∴点M的“引力值”d最小为1，
设M（x，y），过M作MN⊥AC于N，
当x＝y时，点M的“引力值”d最大，
∴MN＝x﹣4，AN＝x﹣3，AM＝2，
由勾股定理得：AM2＝MN2+AN2，
22＝（x﹣4）2+（x﹣3）2，
2x2﹣14x+21＝0，
x＝＝，
∴M（，）或（，），
∴点M的“引力值”d的取值范围是：1≤d≤．
故答案为：1≤d≤．
【点评】本题考查一次函数综合题、“引力值”的定义、圆的有关知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/22 19:16:23；用户：菁优校本题库；邮箱：2471@xyh.cm；学号：56380052移植总数
10
270
400
750
1500
3500
7000
9000
14000
成活数量
8
235
369
662
1335
3203
6335
8073
12628
成活频率
0.800
0.870
0.923
0.883
0.890
0.915
0.905
0.897
0.902
A
B
C
D
漫步世园会
爱家乡•爱园艺
清新园艺之旅
车览之旅
移植总数
10
270
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750
1500
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成活数量
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成活频率
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0.923
0.883
0.890
0.915
0.905
0.897
0.902
A
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爱家乡•爱园艺
清新园艺之旅
车览之旅