2021-2022学年北京市东城区文汇中学九年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2021-2022学年北京市东城区文汇中学九年级（上）期中数学试卷【含解析】，共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）下列交通标志中，是中心对称图形的是（ ）
A．禁止驶入B．靠左侧道路行驶
C．向左和向右转弯D．环岛行驶
2．（2分）抛物线y＝（x﹣2）2﹣4的顶点坐标为（ ）
A．（4，2）B．（2，4）C．（﹣2，4）D．（2，﹣4）
3．（2分）已知点A（﹣1，m）与点B（3，n）都在反比例函数（k＞0）的图象上，那么m与n的关系是（ ）
A．m＜nB．m＞nC．m＝nD．不能确定
4．（2分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转35°得到△DEC，边ED、AC相交于点F，若∠A＝30°，则∠EFC的度数为（ ）
A．65°B．15°C．75°D．115°
5．（2分）如图，点D、E分别在△ABC的AB、AC边上，下列条件中：①∠ADE＝∠C；②＝；③＝．使△ADE与△ACB一定相似的是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
6．（2分）抛物线y＝﹣3x2经过平移得到抛物线y＝﹣3（x+1）2﹣2，平移的方法是（ ）
A．向左平移1个，再向下平移2个单位
B．向右平移1个，再向下平移2个单位
C．向左平移1个，再向上平移2个单位
D．向右平移1个，再向上平移2个单位
7．（2分）运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线可以看作是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度y（单位：m）与足球被踢出后经过的时间x（单位：s）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了3个时刻的数据，根据函数模型和所给数据，可推断出足球飞行到最高点时的时刻x是（ ）
A．4B．4.5C．5D．6
8．（2分）设m是非零实数，给出下列四个命题：
①若﹣1＜m＜0，则＜m＜m2；
②若m＞1，则＜m2＜m；
③若m＜＜m2，则m＜0；
④若m2＜m＜，则0＜m＜1．
其中命题成立的序号是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．③④
二、填空题（每题2分，共16分）
9．（2分）点A的坐标为（2，﹣3），它关于坐标原点O对称的点的坐标为 ．
10．（2分）将y＝x2﹣4x+7化为y＝a（x﹣h）2+k的形式： ．
11．（2分）反比例函数（k≠0）的图象经过点A（1，2），B（2，y1），C（3，y2），则y1 y2． （填“＜，＝，＞”）
12．（2分）中国“一带一路”倡议给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2017年年人均收入300美元，预计2019年年人均收入将达到y美元．设2017年到2019年该地区居民年人均收入平均增长率为x，那么y与x的函数关系式是 ．
13．（2分）如图，P是反比例函数图象上一点，且矩形PAOB的面积为4，则反比例函数的解析式是 ．
14．（2分）如图，直角三角形纸片ABC，AC边长为10cm，现从下往上依次裁剪宽为4cm的矩形纸条，若剪得第二张矩形纸条恰好是正方形，那么BC的长度是 cm．
15．（2分）平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（2，4），B（3，0），在第一象限内以原点O为位似中心，把△OAB缩小为原来的，则点A的对应点A'的坐标为 ．
16．（2分）小云计划户外徒步锻炼，每天有“低强度”“高强度”“休息”三种方案，下表对应了每天不同方案的徒步距离（单位：km）．若选择“高强度”要求前一天必须“休息”（第一天可选择“高强度”）．则小云5天户外徒步锻炼的最远距离为 km．
三、解答题（17-22题每题5分，23-26题每题6分，27、28题每题7分）
17．（5分）如图，在正方形网格中，将格点△ABC绕某点顺时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到格点△A1B1C1，点A与点A1，点B与点B1，点C与点C1是对应点．
（1）请通过画图找到旋转中心，将其标记为点O；
（2）直接写出旋转角α的度数．
18．（5分）已知：如图，点C在∠MON的边OM上．
求作：射线CD，使CD∥ON，且点D在∠MON的角平分线上．
作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线OM，ON于点A，B；②分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，交于点Q；③画射线OQ；④以点C为圆心，CO长为半径画弧，交射线OQ于点D；⑤画射线CD．射线CD就是所求作的射线．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
∵OD平分∠MON，
∴∠MOD＝ ．
∵OC＝CD，
∴∠MOD＝ ．
∴∠NOD＝∠CDO．
∴CD∥ON（ ）（填推理的依据）．
19．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线y＝过点A（1，1），与直线y＝4x交于B，C两点（点B的横坐标小于点C的横坐标）．
（1）求k的值；
（2）求点B，C的坐标；
（3）若直线x＝t与双曲线y＝交于点D（t，y1），与直线y＝4x交于点E（t，y2），当y1＜y2时，写出t的取值范围．
20．（5分）如图，E是平行四边形ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F，AE＝1，CD＝2．
（1）求证：△EBC∽△CDF．
（2）求S△AEF：S△CDF．
21．（5分）二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求当﹣4≤x≤0时，y的取值范围．
22．（5分）为迎接国庆节，某商店购进了一批成本为每件30元的纪念商品．经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求该商品每天的销售量y与销售单价x的函数关系式；
（2）若商店按不低于成本价，且不高于60元的单价销售，求获得利润w（元）与销售单价x（元）的函数关系式；
（3）求当获得利润w最大时，销售单价x为多少？
23．（6分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣a﹣3与x轴分别交于P（x1，0），Q（x2，0）（x1≠x2）．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）当a＝1时，求x1+x2；
（3）当|x1+x2|＞3时，求a的取值范围．
24．（6分）如图，在▱ABCD中，连接DB，F是边BC上一点，连接DF并延长，交AB的延长线于E，且∠EDB＝∠A．
（1）求证：△BDF∽△BCD；
（2）如果BD＝3，BC＝9，求的值．
25．（6分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象G经过点A（3，2），直线l：y＝kx﹣1（k≠0）与y轴交于点B，与图象G交于点C．
（1）求m的值；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，C之间的部分与线段BA，BC围成的区域（不含边界）为W．
①当直线l过点（2，0）时，直接写出区域W内的整点个数；
②若区域W内的整点不少于3个，结合函数图象，求k的取值范围．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝﹣x+3与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C．
（1）求C点坐标；
（2）求抛物线对称轴；
（3）若抛物线与线段BC有一个公共点，结合图象，求a的取值范围．
27．（7分）已知如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（α＞90°），F为BC中点，D为BC延长线上一点，以点A为中心，将线段AD逆时针旋转α得到线段AE，连接CE，DE．
（1）补全图形并比较∠BAD和∠CAE的大小；
（2）用等式表示CE，CD，BF之间的关系，并证明；
（3）过F作AC的垂线，并延长交DE于点H，求EH和DH之间的数量关系，并证明．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于线段AB和点C，若△ABC是以AB为一条直角边，且满足AC＞AB的直角三角形，则称点C为线段AB的“关联点”，已知点A的坐标为（0，1）．
（1）若B（2，1），则点D（3，1），E（2，0），F（0，﹣3），G（﹣1，﹣2）中，是AB关联点的有 ；
（2）若点B（﹣1，0），点P在直线y＝2x﹣3上，且点P为线段AB的关联点，求点P的坐标；
（3）若点B（b，0）为x轴上一动点，在直线y＝2x+2上存在两个AB的关联点，求b的取值范围．
2021-2022学年北京市东城区文汇中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，每题2分，共16分）
1．（2分）下列交通标志中，是中心对称图形的是（ ）
A．禁止驶入B．靠左侧道路行驶
C．向左和向右转弯D．环岛行驶
【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．（2分）抛物线y＝（x﹣2）2﹣4的顶点坐标为（ ）
A．（4，2）B．（2，4）C．（﹣2，4）D．（2，﹣4）
【分析】形如y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），据此可以直接求顶点坐标．
【解答】解：抛物线y＝（x﹣2）2﹣4的顶点坐标为（2，﹣4）．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质．二次函数的顶点式方程y＝a（x﹣k）2+h的顶点坐标是（k，h），对称轴方程是x＝k．
3．（2分）已知点A（﹣1，m）与点B（3，n）都在反比例函数（k＞0）的图象上，那么m与n的关系是（ ）
A．m＜nB．m＞nC．m＝nD．不能确定
【分析】根据反比例函数图象的增减性来比较m与n的大小．
【解答】解：∵k＞0，
∴反比例函数（k＞0）的图象位于第一、三象限，
∴点A（﹣1，m）位于第三象限，点B（3，n）位于第一象限，
∴m＜n．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
4．（2分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转35°得到△DEC，边ED、AC相交于点F，若∠A＝30°，则∠EFC的度数为（ ）
A．65°B．15°C．75°D．115°
【分析】将△ABC绕点C顺时针旋转35°得到△DEC，得∠ACD＝35°，∠A＝∠D＝30°，于是得到结论．
【解答】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转35°得到△DEC，
∴∠ACD＝35°，∠A＝∠D＝30°，
∴∠EFC＝∠ACD+∠D＝35°+30°＝65°，
故选：A．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
5．（2分）如图，点D、E分别在△ABC的AB、AC边上，下列条件中：①∠ADE＝∠C；②＝；③＝．使△ADE与△ACB一定相似的是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似对①进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似对②③进行判断．
【解答】解：∵∠DAE＝∠BAC，
∴当ADE＝∠C时，△ADE∽△ACB；
当＝时，△ADE∽△ACB．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．
6．（2分）抛物线y＝﹣3x2经过平移得到抛物线y＝﹣3（x+1）2﹣2，平移的方法是（ ）
A．向左平移1个，再向下平移2个单位
B．向右平移1个，再向下平移2个单位
C．向左平移1个，再向上平移2个单位
D．向右平移1个，再向上平移2个单位
【分析】先确定两个抛物线的顶点坐标，再利用点平移的规律确定抛物线平移的情况．
【解答】解：抛物线y＝﹣3x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y＝﹣3（x+1）2﹣2的顶点坐标为（﹣1，﹣2），
而点（0，0）向左平移1个，再向下平移2个单位可得到（﹣1，﹣2），
所以抛物线y＝﹣3x2向左平移1个，再向下平移2个单位得到抛物线y＝﹣3（x+1）2﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
7．（2分）运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线可以看作是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度y（单位：m）与足球被踢出后经过的时间x（单位：s）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了3个时刻的数据，根据函数模型和所给数据，可推断出足球飞行到最高点时的时刻x是（ ）
A．4B．4.5C．5D．6
【分析】由题意得出点（3，18）、（5，20）、（7，14）在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上，再用待定系数法求出抛物线解析式，进而配成顶点式，即可得出结论．
【解答】解：由题意得，点（3，18）、（5，20）、（7，14）在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+9x＝﹣（x﹣）2+，
∴当x＝时，足球飞行达到最高点，
故选：B．
【点评】此题是二次函数的应用，主要考查了待定系数法，配方法，利用待定系数法求出抛物线的解析式是解本题的关键．
8．（2分）设m是非零实数，给出下列四个命题：
①若﹣1＜m＜0，则＜m＜m2；
②若m＞1，则＜m2＜m；
③若m＜＜m2，则m＜0；
④若m2＜m＜，则0＜m＜1．
其中命题成立的序号是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．③④
【分析】判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
【解答】解：①若﹣1＜m＜0，则＜m＜m2，当m＝﹣时，，是真命题；
②若m＞1，则＜m2＜m，当m＝2时，，原命题是假命题；
③若m＜＜m2，则m＜0，当m＝﹣时，，原命题是假命题；
④若m2＜m＜，则0＜m＜1，当m＝时，，是真命题；
故选：B．
【点评】此题考查命题于定理，关键是根据不等式的性质解答即可．
二、填空题（每题2分，共16分）
9．（2分）点A的坐标为（2，﹣3），它关于坐标原点O对称的点的坐标为 （﹣2，3） ．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接写出答案．
【解答】解：∵点A的坐标为（2，﹣3），
∴它关于坐标原点O对称的点的坐标为（﹣2，3），
故答案为：（﹣2，3）．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是熟练掌握点的变化规律．
10．（2分）将y＝x2﹣4x+7化为y＝a（x﹣h）2+k的形式： y＝（x﹣2）2+3 ．
【分析】利用配方法整理即可得解．
【解答】解：y＝x2﹣4x+7＝x2﹣4x+4﹣4+7＝（x﹣2）2+3，
故将y＝x2﹣4x+7化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为：y＝（x﹣2）2+3．
故答案为：y＝（x﹣2）2+3．
【点评】本题考查二次函数的三种形式，正确运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键．
11．（2分）反比例函数（k≠0）的图象经过点A（1，2），B（2，y1），C（3，y2），则y1 ＞ y2． （填“＜，＝，＞”）
【分析】求得系数k＝2，根据反比例函数的性质得出图象在第一、三象限内，在每个象限内，y随x的增大而减小，再比较即可．
【解答】解：∵反比例函数（k≠0）的图象经过点A（1，2），
∴k＝1×2＝2＞0，
∴图象在第一、三象限内，在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵2＜3，
∴y1＞y2，
故答案为＞．
【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，能熟记反比例函数的性质是解此题的关键．
12．（2分）中国“一带一路”倡议给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2017年年人均收入300美元，预计2019年年人均收入将达到y美元．设2017年到2019年该地区居民年人均收入平均增长率为x，那么y与x的函数关系式是 y＝300（x+1）2 ．
【分析】是关于增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设2017年到2019年该地区居民年人均收入平均增长率为x，那么根据题意可用x表示2019年年人均收入，然后根据已知可以得出关系式．
【解答】解：设2017年到2019年该地区居民年人均收入平均增长率为x，
那么根据题意得2019年年人均收入为：300（x+1）2，
y与x的函数关系式是为：y＝300（x+1）2．
故答案为y＝300（x+1）2．
【点评】考查了根据实际问题列二次函数关系式，对于平均增长率问题，一般形式为a（1+x）2＝b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
13．（2分）如图，P是反比例函数图象上一点，且矩形PAOB的面积为4，则反比例函数的解析式是 ．
【分析】根据反比例函数k的几何意义可得|k|＝4，再根据图象在二、四象限可确定k＝﹣4，进而得到解析式．
【解答】解：∵S矩形PAOB＝4，
∴|k|＝4，
∵图象在二、四象限，
∴k＜0，
∴k＝﹣4，
∴反比例函数解析式为y＝﹣，
故答案为：y＝﹣．
【点评】此题主要考查了反比例函数k的几何意义，关键是掌握y＝（k≠0）图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
14．（2分）如图，直角三角形纸片ABC，AC边长为10cm，现从下往上依次裁剪宽为4cm的矩形纸条，若剪得第二张矩形纸条恰好是正方形，那么BC的长度是 20 cm．
【分析】根据矩形的性质，可知：DE∥BC，进而可得出△ADE∽△ACB，根据相似三角形的性质即可求出BC的长度．
【解答】解：在图中标上字母，如图所示．
根据矩形的性质，可知：DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴＝，
∴BC＝•DE＝×4＝20cm．
故答案为：20．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及正方形的性质，根据矩形的性质结合相似三角形的判定定理找出△ADE∽△ACB是解题的关键．
15．（2分）平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（2，4），B（3，0），在第一象限内以原点O为位似中心，把△OAB缩小为原来的，则点A的对应点A'的坐标为 （1，2） ．
【分析】根据位似变换的性质解答．
【解答】解：以原点O为位似中心，把△OAB缩小为原来的，A（2，4），
∴A的对应点A'的坐标为（2×，4×），即（1，2），
故答案为：（1，2）．
【点评】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
16．（2分）小云计划户外徒步锻炼，每天有“低强度”“高强度”“休息”三种方案，下表对应了每天不同方案的徒步距离（单位：km）．若选择“高强度”要求前一天必须“休息”（第一天可选择“高强度”）．则小云5天户外徒步锻炼的最远距离为 36 km．
【分析】根据“高强度”要求前一天必须“休息”，则如果“高强度”的距离比前一天+当天的“低强度”距离短的话，则没有必要选择“高强度”，因此只有第一天和第三天适合选择“高强度”计算出此时的距离即可．
【解答】解：∵“高强度”要求前一天必须“休息”，
∴当“高强度”的徒步距离＞前一天“低强度”距离+当天“低强度”距离时选择“高强度”能使徒步距离最远，
∵15＞6+6，12＞6+5，
∴适合选择“高强度”的是第三天和第四天，
又∵第一天可选择“高强度”，
∴方案①第一天选择“高强度”，第二天“休息”，第三天选择“高强度”，第四天和第五天选择“低强度”，
此时徒步距离为：12+0+15+5+4＝36（km），
方案②第一天选择“高强度”，第二天选择“低强度”，第三天选择“休息”，第四天选择“高强度”，第五天选择“低强度”，
此时徒步距离为：12+6+0+12+4＝34（km），
综上，徒步的最远距离为36km．
【点评】本题主要考查最优路线选择，找出适合选择“高强度”的时间是解题的关键．
三、解答题（17-22题每题5分，23-26题每题6分，27、28题每题7分）
17．（5分）如图，在正方形网格中，将格点△ABC绕某点顺时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到格点△A1B1C1，点A与点A1，点B与点B1，点C与点C1是对应点．
（1）请通过画图找到旋转中心，将其标记为点O；
（2）直接写出旋转角α的度数．
【分析】（1）连接CC1、AA1，再分别作两线段的中垂线，两中垂线的交点即为所求；
（2）连接CO、C1O，结合网格特点可得旋转角∠COC1＝α＝90°．
【解答】解：（1）如图所示，点O即为所求；
（2）如图所示，∠COC1＝α＝90°．
【点评】本题主要考查作图﹣旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义和性质．
18．（5分）已知：如图，点C在∠MON的边OM上．
求作：射线CD，使CD∥ON，且点D在∠MON的角平分线上．
作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线OM，ON于点A，B；②分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，交于点Q；③画射线OQ；④以点C为圆心，CO长为半径画弧，交射线OQ于点D；⑤画射线CD．射线CD就是所求作的射线．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
∵OD平分∠MON，
∴∠MOD＝ ∠NOD ．
∵OC＝CD，
∴∠MOD＝ ∠CDO ．
∴∠NOD＝∠CDO．
∴CD∥ON（ 内错角相等两直线平行 ）（填推理的依据）．
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）根据等腰三角形的性质以及角平分线的定义证明∠CDO＝∠DON即可．
【解答】解：（1）如图，射线CD即为所求作．
（2）∵OD平分∠MON，
∴∠MOD＝∠NOD．
∵OC＝CD，
∴∠MOD＝∠CDO，
∴∠NOD＝∠CDO．
∴CD∥ON（内错角相等两直线平行）．
故答案为：∠NOD，∠CDO，内错角相等两直线平行．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形，属于中考常考题型．
19．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线y＝过点A（1，1），与直线y＝4x交于B，C两点（点B的横坐标小于点C的横坐标）．
（1）求k的值；
（2）求点B，C的坐标；
（3）若直线x＝t与双曲线y＝交于点D（t，y1），与直线y＝4x交于点E（t，y2），当y1＜y2时，写出t的取值范围．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）解析式联立，组成方程组，解方程组即可求得；
（3）根据图象即可求得．
【解答】解：（1）∵双曲线y＝过点A（1，1），
∴k＝1×1＝1；
（2）解得或，
∴B（﹣，﹣2），C（，2）；
（3）观察函数的图象，当y1＜y2时，t的取值范围为﹣＜t＜0或t＞．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
20．（5分）如图，E是平行四边形ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F，AE＝1，CD＝2．
（1）求证：△EBC∽△CDF．
（2）求S△AEF：S△CDF．
【分析】（1）由平行四边形的性质可知∠B＝∠D，BE∥CD．再根据平行线的性质即可得出∠E＝∠DCF，即证明△EBC～△CDF．
（2）由∠E＝∠DCF，∠AFE＝∠DFC，即可判定△AFE～△DFC，再根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，BA∥CD．
∵点E是边BA延长线上一点，
∴BE∥CD，
∴∠E＝∠DCF，
∴△EBC∽△CDF．
（2）解：∵∠E＝∠DCF，∠AFE＝∠DFC，
∴△AFE∽△DFC，
∴．
【点评】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质．掌握判定三角形相似的条件是解答本题的关键．
21．（5分）二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求当﹣4≤x≤0时，y的取值范围．
【分析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4），则可设顶点式y＝a（x+1）2﹣4，然后把点（0，﹣3）代入求出a即可；
（2）画二次函数图象，求得x＝﹣4和0时的函数值，然后根据函数的图象可知顶点在其范围内，即可求解．
【解答】解：（1）二次函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4），
设二次函数的解析式为：y＝a（x+1）2﹣4，
把点（0，﹣3）代入y＝a（x+1）2﹣4得a＝1，
∴抛物线解析式为y＝（x+1）2﹣4；
（2）如图：
当x＝﹣4时，y＝5；x＝0时，y＝﹣3，当x＝﹣1时，y＝﹣4．
∴当自变量x的取值范围是﹣4≤x≤0时，对应函数值y的取值范围是﹣4≤y≤5，
故答案为：﹣4≤y≤5．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．数形结合是解题的关键．
22．（5分）为迎接国庆节，某商店购进了一批成本为每件30元的纪念商品．经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求该商品每天的销售量y与销售单价x的函数关系式；
（2）若商店按不低于成本价，且不高于60元的单价销售，求获得利润w（元）与销售单价x（元）的函数关系式；
（3）求当获得利润w最大时，销售单价x为多少？
【分析】（1）将点（30，100）、（45，700）代入一次函数表达式，即可求解；
（2）利用每件利润乘以件数列出函数w＝（x﹣30）（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800写出自变量范围30≤x≤60即可；
（3）将函数配方得：w＝﹣2（x﹣55）2+1250根据开口方向﹣2＜0，且30≤x≤60．，可得当x＝55时，w取得最大值，此时w＝1250即可．
【解答】解：（1）设销售量y与销售单价x之间的函数关系式为y＝kx+b，
将点（30，100）、（45，70）代入，得：
，
解得，
∴函数的关系式为：y＝﹣2x+160，
（2）每件利润为（x﹣30）元，
∴w＝（x﹣30）（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800，
且30≤x≤60，
（3）将函数配方得：w＝﹣2（x﹣55）2+1250，
∵﹣2＜0，且30≤x≤60，
∴当x＝55时，w取得最大值，此时w＝1250．
∴销售单价定为55元时，该商店每天获得的利润最大，最大利润是1250元．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式，二次函数的顶点式，最值等知识，解答时求出函数的解析式是关键．
23．（6分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣a﹣3与x轴分别交于P（x1，0），Q（x2，0）（x1≠x2）．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）当a＝1时，求x1+x2；
（3）当|x1+x2|＞3时，求a的取值范围．
【分析】（1）把解析式化成顶点式即可求得抛物线的顶点坐标；
（2）利用抛物线的对称性求得即可；
（3）根据题意得到＝﹣＝a，即可求得x1+x2＝2a，由|x1+x2|＞3得到|2a|＞3，解得a＞ 或a＜﹣．
【解答】解：（1）抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣a﹣3＝（x﹣a）2﹣a﹣3，
∴抛物线的顶点坐标为（a，﹣a﹣3）；
（2）当a＝1时，抛物线为y＝x2﹣2x﹣3，
∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴分别交于P（x1，0），Q（x2，0）（x1≠x2），
∴＝﹣＝1，
∴x1+x2＝2；
（3）∵抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣a﹣3与x轴分别交于P（x1，0），Q（x2，0）（x1≠x2），
∴＝﹣＝a，
∴x1+x2＝2a，
∵|x1+x2|＞3，
∴|2a|＞3，
解得a＞ 或a＜﹣．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，熟知二次函数的对称性是解题的关键．
24．（6分）如图，在▱ABCD中，连接DB，F是边BC上一点，连接DF并延长，交AB的延长线于E，且∠EDB＝∠A．
（1）求证：△BDF∽△BCD；
（2）如果BD＝3，BC＝9，求的值．
【分析】（1）由平行四边形的性质可得出∠A＝∠C，结合∠EDB＝∠A可得出∠EDB＝∠C，再由∠DBF＝∠CBD即可证出△BDF∽△BCD；
（2）由△BDF∽△BCD，利用相似三角形的性质可求出BF的长度，由DC∥AE可得出△DFC∽△EFB，再利用三角形的性质及AB＝DC即可求出的值．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AE，∠A＝∠C．
∵∠EDB＝∠A，
∴∠EDB＝∠C．
∵∠DBF＝∠CBD，
∴△BDF∽△BCD；
（2）解：∵△BDF∽△BCD，
∴＝，即＝，
∵BF＝5．
∵DC∥AE，
∴△DFC∽△EFB，
∴＝，即＝．
又∵AB＝DC，
∴＝．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）利用“两角对应相等，两个三角形相似”证出△BDF∽△BCD；（2）牢记相似三角形对应边的比相等．
25．（6分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象G经过点A（3，2），直线l：y＝kx﹣1（k≠0）与y轴交于点B，与图象G交于点C．
（1）求m的值；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，C之间的部分与线段BA，BC围成的区域（不含边界）为W．
①当直线l过点（2，0）时，直接写出区域W内的整点个数；
②若区域W内的整点不少于3个，结合函数图象，求k的取值范围．
【分析】（1）把A（3，2）代入y＝中可得k的值；
（2）①将（2，0）代入y＝kx﹣1可得：直线解析式为y＝x﹣1，画图可得整点的个数；
②分两种情况：直线l在OA的下方和上方，画图计算边界时k的值，可得k的取值．
【解答】解：（1）把A（3，2）代入y＝得m＝3×2＝6；
∴m的值为6；
（2）①当直线l过点（2，0）时，
∴2k﹣1＝0，
解得：k＝，
∴直线l的解析式为y＝x﹣1，
画出图形，如图所示，
区域W内的整点有（3，1）一个；
②如图，直线l在AB的下方，
直线l：y＝kx﹣1过（2，0）时，0＝2k﹣1，
解得k＝，
当直线l在OA的上方，
直线l经过（1，2）时，2＝k﹣1，
解得k＝3，
观察图象可知：当或k＞3，区域W内的整点不少于3个．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，本题理解整点的定义是关键，并利用数形结合的思想．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝﹣x+3与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C．
（1）求C点坐标；
（2）求抛物线对称轴；
（3）若抛物线与线段BC有一个公共点，结合图象，求a的取值范围．
【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征可求点B的坐标，根据平移的性质可求点C的坐标；
（2）根据坐标轴上点的坐标特征可求点A的坐标，进一步求得抛物线的对称轴；
（3）结合图形，分三种情况：①a＞0；②a＜0，③抛物线的顶点在线段BC上；进行讨论即可求解．
【解答】解：（1）与y轴交点：令x＝0代入直线y＝﹣x+3得y＝3，
∴B（0，3），
∵点B向右平移5个单位长度，得到点C，
∴C（5，3）
（2）与x轴交点：令y＝0代入直线y＝﹣x+3得x＝3，
∴A（3，0），
将点A（3，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣3a中得0＝9a+3b﹣3a，即b＝﹣2a，
∴抛物线的对称轴直线；
（3）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过点A（3，0）且对称轴x＝1，
由抛物线的对称性可知抛物线也一定过A的对称点（﹣1，0），
①a＞0时，如图1，
将x＝0代入抛物线得y＝﹣3a，
∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，
∴﹣3a＜3，
∴a＞﹣1，
将x＝5代入抛物线得y＝12a，
∴12a≥3，
解得a≥
∴a≥；
②a＜0时，如图2，
将x＝0代入抛物线得y＝﹣3a，
∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，
∴﹣3a＞3，
解得a＜﹣1；
③当抛物线的顶点在线段BC上时，则顶点为（1，3），如图3，
将点（1，3）代入抛物线得3＝a﹣2a﹣3a，
解得a＝﹣．
综上所述，a≥或a＜﹣1或a＝﹣．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质以及解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程，待定系数法求抛物线解析式．本题属于中档题，难度不大，但涉及知识点较多，需要对二次函数足够了解才能快捷的解决问题．
27．（7分）已知如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（α＞90°），F为BC中点，D为BC延长线上一点，以点A为中心，将线段AD逆时针旋转α得到线段AE，连接CE，DE．
（1）补全图形并比较∠BAD和∠CAE的大小；
（2）用等式表示CE，CD，BF之间的关系，并证明；
（3）过F作AC的垂线，并延长交DE于点H，求EH和DH之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）根据题意补全图形即可，再根据旋转的性质可知∠BAC＝∠DAE，即∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即得出∠BAD＝∠CAE；
（2）由旋转可知AD＝AE，即可利用“SAS”证明△BAD≌△CAE，得出BD＝CE．再由点F为BC中点，即可得出CE﹣CD＝2BF．
（3）连接AF，作AN⊥DE，由等腰三角形“三线合一”可知∠AFD＝90°，．即得出∠AFD+∠AND＝180°，说明A、F、D、N四点共圆．再根据圆周角定理可知∠AFN＝∠ADN．再次利用等腰三角形“三线合一”的性质可知EN＝DN，．即得出∠AFN+∠FAC＝90°．再由∠AFH+∠FAC＝90°，即可说明 点H与点N重合，即得出结论EH＝DH．
【解答】解：（1）如图，即为补全的图形，
根据题意可知∠BAC＝∠DAE＝α，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE．
（2）由旋转可知AD＝AE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE．
∵BD＝BC+CD，
∴CE＝BC+CD．
∵点F为BC中点，
∴BC＝2BF，
∴CE＝2BF+CD，即CE﹣CD＝2BF．
（3）如图，连接AF，作AN⊥DE，
∵AB＝AC，F为BC中点，
∴∠AFD＝90°，．
根据作图可知∠AND＝90°，
∴∠AFD+∠AND＝180°，
∴A、F、D、N四点共圆，
∴∠AFN＝∠ADN．
∵AD＝AE，AN⊥DE，
∴EN＝DN，．
∴．
∵∠AFH+∠FAC＝90°，且点H在线段DE上，
∴点H与点N重合，
∴EH＝DH．
【点评】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，四点共圆，圆周角定理等知识，较难．利用数形结合的思想是解答本题的关键．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于线段AB和点C，若△ABC是以AB为一条直角边，且满足AC＞AB的直角三角形，则称点C为线段AB的“关联点”，已知点A的坐标为（0，1）．
（1）若B（2，1），则点D（3，1），E（2，0），F（0，﹣3），G（﹣1，﹣2）中，是AB关联点的有 点E，点F ；
（2）若点B（﹣1，0），点P在直线y＝2x﹣3上，且点P为线段AB的关联点，求点P的坐标；
（3）若点B（b，0）为x轴上一动点，在直线y＝2x+2上存在两个AB的关联点，求b的取值范围．
【分析】（1）根据以点B为直角顶点，点B与点E横坐标相同，点E在过点B与AB垂直的直线上，△ABE为直角三角形，且AE大于AB；以点A为直角顶点，点A与点F横坐标相同，△AFB为直角三角形，BF大于AB即可；
（2）根据点A（0，1）点B（﹣1，0），OA＝OB，∠AOB＝90°，得出△AOB为等腰直角三角形，可得∠ABO＝∠BAO＝45°，以点A为直角顶点，过点A，与AB垂直的直线交x轴于S，利用待定系数法求出AS解析式为y＝﹣x+1，联立方程组，以点B为直角顶点，过点B，与AB垂直的直线交y轴于R，∠OBR＝90°﹣∠ABO＝45°，可得△OBR为等腰直角三角形，OR＝OB＝1，点R（0，﹣1），利用平移的性质可求BR解析式为y＝﹣x﹣1，联立方程组，解方程组即可；
（3）过点A与AB垂直的直线交直线y＝2x+2于U，把△AOB绕点A顺时针旋转90°，得△AO′U，AO′＝AO＝1，O′U＝OB＝b，根据点U（﹣1，b﹣1）在直线y＝2x+2上，得出方程b﹣1＝2×（﹣1）+2，求出b的值，当过点A的直线与直线y＝2x+2平行时没有“关联点”，OB＝OW＝b＝2，得出在1＜b＜2时，直线y＝2x+2上存在两个AB的“关联点”，当b＞2时，根据旋转性质将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△AO′U，得出AO′＝AO＝1，O′U＝OB＝b，根据点U（1，1+b）在直线y＝2x+2上，列方程1+b＝2×1+2，得出b＝3即可．
【解答】解：（1）点D与AB纵坐标相同，在直线AB上，不能构成直角三角形，
以点B为直角顶点，点B与点E横坐标相同，点E在过点B与AB垂直的直线上，
∴△ABE为直角三角形，且AE大于AB；
以点A为直角顶点，点A与点F横坐标相同，△AFB为直角三角形，AF＝4＞AB＝2，
∴点E与点F是AB关联点，
点G不在A、B两点垂直的直线上，故不能构成直角三角形，
故答案为点E，点F；
（2）∵点A（0，1）点B（﹣1，0），OA＝OB，∠AOB＝90°，
∴△AOB为等腰直角三角形，AB＝
∴∠ABO＝∠BAO＝45°，
以点A为直角顶点，过点A，与AB垂直的直线交x轴于S，
∴∠OAS＝90°﹣∠BAO＝45°，
∴△AOS为等腰直角三角形，
∴OS＝OA＝1，点S（1，0），
设AS解析式为y＝kx+b代入坐标得：，
解得，
AS解析式为y＝﹣x+1，
∴，
解得，
点P（），
AP＝，AP＞AB
以点B为直角顶点，过点B，与AB垂直的直线交y轴于R，
∴∠OBR＝90°﹣∠ABO＝45°，
∴△OBR为等腰直角三角形，
∴OR＝OB＝1，点R（0，﹣1），
过点R与AS平行的直线为AS直线向下平移2个单位，
则BR解析式为y＝﹣x﹣1，
∴，
解得，
点P1（），
AP1＝＞，
∴点P为线段AB的关联点，点P的坐标为（）或（）；
（3）过点A与AB垂直的直线交直线y＝2x+2于U，
把△AOB绕点A顺时针旋转90°，得△AO′U，
∴AO′＝AO＝1，O′U＝OB＝b，
点U（﹣1，b﹣1）在直线y＝2x+2上，
∴b﹣1＝2×（﹣1）+2
∴b＝1，
∴当b＞1时存在两个“关联点”，
当b＜1时，UA＜AB，不满足定义，没有两个“关联点”
当过点A的直线与直线y＝2x+2平行时没有“关联点”y＝2x+2与x轴交点X（﹣1，0），与y轴交点W（0，2）
∵OA＝OX＝1，∠XOW＝∠AOB＝90°，AB⊥XW，
∴△OXW顺时针旋转90°，得到△OAB，
∴OB＝OW＝2，
∴在1＜b＜2时，直线y＝2x+2上存在两个AB的“关联点”，
当b＞2时，将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△AO′U，
∴AO′＝AO＝1，O′U＝OB＝b，
点U（1，1+b）在直线y＝2x+2上，
∴1+b＝2×1+2
∴解得b＝3
∴当2＜b＜3时，直线y＝2x+2上存在两个AB的“关联点”，
当b＞3时，UA＜AB，不满足定义，没有两个“关联点”
综合得，b的取值范围1＜b＜2或2＜b＜3．
【点评】本题考查新定义线段的意义，直角三角形性质，仔细阅读新定义，由两个条件，（1）组成直角三角形，（2）AC＞AB，等腰直角三角形，勾股定理两点距离公式，待定系数法求直线解析式，图形旋转，两函数交点联立方程组，掌握新定义线段的意义，直角三角形性质，仔细阅读新定义，由两个条件，（1）组成直角三角形，（2）AC＞AB，等腰直角三角形，勾股定理两点距离公式，待定系数法求直线解析式，图形旋转，两函数交点联立方程组，是解题关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/21 21:49:29；用户：菁优校本题库；邮箱：2471@xyh.cm；学号：56380052日期
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