2021-2022学年北京市海淀区首都师大二附中八年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2021-2022学年北京市海淀区首都师大二附中八年级（上）期中数学试卷【含解析】，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）如图各组两个图形属于全等图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）下列四个图形中，线段AD是△ABC中BC边上的高的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）以下列各组线段为边能组成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，4cmB．2cm，3cm，5cm
C．4cm，6cm，8cmD．5cm，6cm，12cm
4．（3分）如图，△ABC≌△DCB，若AC＝7，BE＝5，则DE的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．（3分）将一副直角三角尺按如图所示摆放，则图中锐角∠α的度数是（ ）
A．45°B．60°C．70°D．75°
6．（3分）如图，在△ABC和△FED中，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（ ）
A．①或②B．②或③C．①或③D．①或④
7．（3分）如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得∠ABC＝75°，∠ACB＝35°，然后在M处立了标杆，使∠CBM＝75°，∠MCB＝35°，得到△MBC≌△ABC，所以测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定△MBC≌△ABC的理由是（ ）
A．SASB．AAAC．SSSD．ASA
8．（3分）一个多边形的每个内角均为150°，则这个多边形是（ ）
A．九边形B．十边形C．十二边形D．十五边形
9．（3分）平面上六个点A，B，C，D，E，F，构成如图所示的图形，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F度数是（ ）
A．135度B．180度C．200度D．360度
10．（3分）如图所示，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，若点E、B、D到直线AC的距离分别为6，3，2，则图中实线所围成的阴影部分面积S是（ ）
A．50B．44C．38D．32
二、填空题（共24分，每题3分）
11．（3分）在△ABC中，∠A＝35°，∠B＝45°，则∠C为 ．
12．（3分）木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条（即图中AB、CD两个木条），这样做根据的数学道理是 ．
13．（3分）如图，△ABC的外角的平分线BD与CE相交于点P，若点P到AC的距离为5，则点P到AB的距离为 ．
14．（3分）如图，CD是△ABC的中线，EB是△BCD的中线，如果△ABC的面积是8cm2，则阴影部分面积是 cm2．
15．（3分）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是 ．
16．（3分）在△ABC中，AB＝12，AC＝8，点D为BC的中点，则线段AD的取值范围为 ．
17．（3分）如图，∠MAN＝100°，点B，C是射线AM．AN上的动点，∠ACB的平分线和∠MBC的平分线所在直线相交于点D，则∠BDC的大小为 ．
18．（3分）如图，在△ABC中，BD、BE分别是△ABC的高线和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于点G，交BC于点H．下列结论：①∠DBE＝∠F；②∠BEF＝（∠BAF+∠C）； ③∠FGD＝∠ABE+∠C；④∠F＝（∠BAC﹣∠C）；其中正确的是 ．
三、解答题（本题共46分，第19，20，22题，每小题5分，第21题7分，第23-26题，每小题5分）解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
19．（5分）已知：如图，OA＝OD，OB＝OC．求证：△OAB≌△ODC．
20．（5分）如图，FA⊥EC，垂足为E，∠F＝40°，∠C＝20°，求∠FBC的度数．
21．（7分）已知：如图1，AB∥CD，请用尺规作图法，在射线CD上找一点P，使射线AP平分∠BAC．
小明的作图方法如下：
①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点M，交AC于点N；
②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠CAB的内部相交于点E；
③画射线AE，交射线CD于点P，点P即为所求．
小刚说：“我有不同的作法，如图2所示，只需要以点C为圆心，CA为半径画弧，交射线CD于点P，画射线AP，也能够得到AP平分∠BAC．
请回答：
（1）请补全小明的作图过程．小明在作图的过程中，构造出一组全等三角形，它们是 ≌ ，全等的依据是 ．因为全等三角形的对应角相等，所以能够得到∠CAB的角平分线AP；
（2）对于小刚的作图方法证明如下：
∵CA＝CP
∴∠CAP＝∠CPA（等边对等角）
∵AB∥CD
∴∠BAP＝∠ （ ）
∴∠CAP＝∠BAP
∴射线AP平分∠BAC．
（3）点P到直线AC和AB的距离相等，理由是 ．
22．（5分）如图，已知：AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2，求证：∠B＝∠C．
证明：∵∠1＝∠2（ ），
∴∠1+ ＝∠2+ （ ）．
即∠BAD＝ ．
在△ABD和△ACE中，
（ ），
∴△ABD≌△ACE（ ），
∴∠B＝∠C（ ）．
23．（6分）如图：在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF，证明：
（1）CF＝EB．
（2）AB＝AF+2EB．
24．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，点D是AC的中点．将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．
25．（6分）综合与探究
如图（1），AB＝9cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝7cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；
（2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为xcm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值．
26．（6分）已知线段AB，如果将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC，则称点C为线段AB关于点A的“逆转点”，点C为线段AB关于点A的逆转点的示意图如图1：
（1）如图2，在正方形ABCD中，点 为线段DA关于点D的逆转点；
（2）在平面直角坐标系xOy中，点P（x，0），点E是y轴上一点，OE＝4．点F是线段EO关于点E的逆转点，点M（纵坐标为t）是线段EP关于点E的逆转点．
①x＝﹣3时，求点M的坐标；
②当﹣1⩽t＜5，直接写出x的取值范围： ．
2021-2022学年北京市海淀区首都师大二附中八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共30分，每题3分）
1．（3分）如图各组两个图形属于全等图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据全等形是能够完全重合的两个图形进行分析判断．
【解答】解：A、两个正方形的边长不相等，不能完全重合，故本选项不符合题意．
B、两个图形能够完全重合，故本选项符合题意；
C、圆内两条相交的线段不能完全重合，故本选项不符合题意；
D、两只眼睛下面的嘴巴不能完全重合，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是全等形的识别、全等图形的基本性质，属于较容易的基础题．
2．（3分）下列四个图形中，线段AD是△ABC中BC边上的高的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据三角形高的画法知，过点A作AD⊥BC，垂足为D，其中线段AD是△ABC的高，再结合图形进行判断．
【解答】解：线段AD是△ABC的高的图是选项D．
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．
3．（3分）以下列各组线段为边能组成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，4cmB．2cm，3cm，5cm
C．4cm，6cm，8cmD．5cm，6cm，12cm
【分析】根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边进行分析即可．
【解答】解：A、1+2＜4，不能组成三角形，故此选项错误；
B、2+3＝5，不能组成三角形，故此选项错误；
C、6+4＞8，能组成三角形，故此选项正确；
D、5+6＜12，不能组成三角形，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系定理，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
4．（3分）如图，△ABC≌△DCB，若AC＝7，BE＝5，则DE的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据全等三角形的对应边相等推知BD＝AC＝7，然后根据线段的和差即可得到结论．
【解答】解：∵△ABC≌△DCB，
∴BD＝AC＝7，
∵BE＝5，
∴DE＝BD﹣BE＝2，
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，仔细观察图形，根据已知条件找准对应边是解决本题的关键．
5．（3分）将一副直角三角尺按如图所示摆放，则图中锐角∠α的度数是（ ）
A．45°B．60°C．70°D．75°
【分析】根据直角三角板∠1＝60°，∠3＝45°，∠BAC＝90°，再根据角的和差关系可得∠2的度数，再利用三角形内角和为180°计算出∠α的度数．
【解答】解：根据直角三角板∠1＝60°，∠3＝45°，∠BAC＝90°，
∵∠2+∠3＝90°，
∴∠2＝90°﹣45°＝45°，
∴∠α＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
故选：D．
【点评】此题主要考查了三角形内角和定理，以及角的计算，关键是掌握三角形内角和为180°，正确计算出∠2的度数．
6．（3分）如图，在△ABC和△FED中，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（ ）
A．①或②B．②或③C．①或③D．①或④
【分析】要利用SSS进行△ABC和△FED全等的判定，还需要条件AB＝FE，结合题意给出的条件即可作出判断．
【解答】解：由题意可得，要用SSS进行△ABC和△FED全等的判定，需要AB＝FE，
若添加①AE＝FB，则可得AE+BE＝FB+BE，即AB＝FE，
故①可以；
若添加AB＝FE，则可直接证明两三角形的全等，故②可以．
若添加AE＝BE，或BF＝BE，均不能得出AB＝FE，不可以利用SSS进行全等的证明，故③④不可以．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的全等，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
7．（3分）如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得∠ABC＝75°，∠ACB＝35°，然后在M处立了标杆，使∠CBM＝75°，∠MCB＝35°，得到△MBC≌△ABC，所以测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定△MBC≌△ABC的理由是（ ）
A．SASB．AAAC．SSSD．ASA
【分析】利用全等三角形的判定方法进行分析即可．
【解答】解：在△ABC和△MBC中，
∴△MBC≌△ABC（ASA），
故选：D．
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用．在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解．
8．（3分）一个多边形的每个内角均为150°，则这个多边形是（ ）
A．九边形B．十边形C．十二边形D．十五边形
【分析】先求出多边形的外角度数，然后即可求出边数．
【解答】解：∵多边形的每个内角都等于150°，
∴多边形的每个外角都等于180°﹣150°＝30°，
∴边数n＝360°÷30°＝12，
故选：C．
【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
9．（3分）平面上六个点A，B，C，D，E，F，构成如图所示的图形，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F度数是（ ）
A．135度B．180度C．200度D．360度
【分析】根据三角形外角性质及四边形内角和求解即可．
【解答】解：如图，
根据三角形的外角性质得，∠1＝∠C+∠E，∠2＝∠B+∠D，
∵∠1+∠2+∠A+∠F＝360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°，
故选：D．
【点评】此题考查了多边形的外角，熟记三角形外角性质及四边形内角和是解题的关键．
10．（3分）如图所示，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，若点E、B、D到直线AC的距离分别为6，3，2，则图中实线所围成的阴影部分面积S是（ ）
A．50B．44C．38D．32
【分析】求出∠F＝∠AMB＝∠EAB＝90°，∠FEA＝∠BAM，根据AAS证△FEA≌△MAB，推出AM＝EF＝6，AF＝BM＝3，同理CM＝DH＝2，BM＝CH＝3，求出FH＝14，根据阴影部分的面积＝S梯形EFHD﹣S△EFA﹣S△ABC﹣S△DHC和面积公式代入求出即可．
【解答】解：∵AE⊥AB，EF⊥AF，⊥AM，
∴∠F＝∠AMB＝∠EAB＝90°，
∴∠FEA+∠EAF＝90°，∠EAF+∠BAM＝90°，
∴∠FEA＝∠BAM，
在△FEA和△MAB中
∵，
∴△FEA≌△MAB（AAS），
∴AM＝EF＝6，AF＝BM＝3，
同理CM＝DH＝2，BM＝CH＝3，
∴FH＝3+6+2+3＝14，
∴梯形EFHD的面积是×（EF+DH）×FH＝×（6+2）×14＝56，
∴阴影部分的面积是S梯形EFHD﹣S△EFA﹣S△ABC﹣S△DHC
＝56﹣×6×3﹣×（6+2）×3+×3×2
＝32．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的面积，梯形的面积，全等三角形的性质和判定等知识点，关键是把不规则图形的面积转化成规则图形的面积．
二、填空题（共24分，每题3分）
11．（3分）在△ABC中，∠A＝35°，∠B＝45°，则∠C为 100° ．
【分析】根据三角形内角和定理，由∠A+∠B+∠C＝180°，得∠C＝100°．
【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣35°﹣45°＝100°．
故答案为：100°．
【点评】本题主要考查三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
12．（3分）木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条（即图中AB、CD两个木条），这样做根据的数学道理是 三角形的稳定性 ．
【分析】三角形的三边一旦确定，则形状大小完全确定，即三角形的稳定性．
【解答】解：结合图形，为防止变形钉上两条斜拉的木板条，构成了三角形，所以这样做根据的数学道理是三角形的稳定性．
故答案为：三角形的稳定性．
【点评】本题考查三角形的稳定性和四边形的不稳定性在实际生活中的应用问题．
13．（3分）如图，△ABC的外角的平分线BD与CE相交于点P，若点P到AC的距离为5，则点P到AB的距离为 5 ．
【分析】过点P作PF⊥AC于F，PG⊥BC于G，PH⊥AB于H，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PF＝PG＝PH，从而得解．
【解答】解：如图，过点P作PF⊥AC于F，PG⊥BC于G，PH⊥AB于H，
∵∠ABC的外角平分线BD与∠ACB的外角平分线CE相交于点P，
∴PF＝PG＝5，PG＝PH，
∴PF＝PG＝PH＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质是解题的关键．
14．（3分）如图，CD是△ABC的中线，EB是△BCD的中线，如果△ABC的面积是8cm2，则阴影部分面积是 2 cm2．
【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形解决问题即可．
【解答】解：∵CD是△ABC的中线，
∴AD＝DB，
∴S△BCD＝S△ABC＝4（cm2），
∵BE是△BCD的中线，
∴DE＝EC，
∴S阴＝S△BDC＝2（cm2），
故答案为：2．
【点评】本题考查三角形的面积，解题的关键是理解三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形．
15．（3分）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是 6 ．
【分析】根据内角和定理180°•（n﹣2）即可求得．
【解答】解：∵多边形的内角和公式为（n﹣2）•180°，
∴（n﹣2）×180°＝720°，
解得n＝6，
∴这个多边形的边数是6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理即180°•（n﹣2），难度适中．
16．（3分）在△ABC中，AB＝12，AC＝8，点D为BC的中点，则线段AD的取值范围为 2＜AD＜10 ．
【分析】延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，利用SAS证明△ADC≌△EDB，得AC＝BE＝8，在△ABE中，利用三角形三边关系可得结果．
【解答】解：如图，延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，
∵点D为BC的中点，
∴BD＝CD，
在△ADC与△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC＝BE＝8，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
即12﹣8＜2AD＜12+8，
∴2＜AD＜10，
故答案为：2＜AD＜10．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
17．（3分）如图，∠MAN＝100°，点B，C是射线AM．AN上的动点，∠ACB的平分线和∠MBC的平分线所在直线相交于点D，则∠BDC的大小为 50° ．
【分析】根据角平分线定义得出∠ACB＝2∠DCB，∠MBC＝2∠CBE，根据三角形外角性质得出2∠D+∠ACB＝∠A+∠ACB，求出∠A＝2∠D，即可求出答案．
【解答】解：∵CD平分∠ACB，BE平分∠MBC，
∴∠ACB＝2∠DCB，∠MBC＝2∠CBE，
∵∠MBC＝2∠CBE＝∠A+∠ACB，∠CBE＝∠D+∠DCB，
∴2∠CBE＝∠D+∠DCB，
∴∠MBC＝2∠D+∠ACB，
∴2∠D+∠ACB＝∠A+∠ACB，
∴∠A＝2∠D，
∵∠A＝100°，
∴∠D＝50°．
故答案为：50°．
【点评】本题考查了三角形外角性质和角平分线定义的应用，解决问题的关键是求出∠A＝2∠D．
18．（3分）如图，在△ABC中，BD、BE分别是△ABC的高线和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于点G，交BC于点H．下列结论：①∠DBE＝∠F；②∠BEF＝（∠BAF+∠C）； ③∠FGD＝∠ABE+∠C；④∠F＝（∠BAC﹣∠C）；其中正确的是 ①②③④ ．
【分析】①根据BD⊥FD，FH⊥BE和∠FGD＝∠BGH，证明结论正确；
②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确；
③根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确；
④证明∠DBE＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，根据①的结论，证明结论正确；
【解答】解：①∵BD⊥FD，
∴∠FGD+∠F＝90°，
∵FH⊥BE，
∴∠BGH+∠DBE＝90°，
∵∠FGD＝∠BGH，
∴∠DBE＝∠F，故①正确；
②∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∠BEF＝∠CBE+∠C，
∴2∠BEF＝∠ABC+2∠C，
∠BAF＝∠ABC+∠C
∴2∠BEF＝∠BAF+∠C，即∠BEF＝（∠BAF+∠C），故②正确；
③∵∠AEB＝∠EBC+∠C，
∵∠ABE＝∠CBE，
∴∠AEB＝∠ABE+∠C，
∵BD⊥FC，FH⊥BE，
∴∠FGD＝∠FEB，
∴∠BGH＝∠ABE+∠C，故③正确，
④∠ABD＝90°﹣∠BAC，
∠DBE＝∠ABE﹣∠ABD＝∠ABE﹣90°+∠BAC＝∠CBD﹣∠DBE﹣90°+∠BAC，
∵∠CBD＝90°﹣∠C，
∴∠DBE＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，
由①得，∠DBE＝∠F，
∴∠F＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，
∴∠F＝（∠BAC﹣∠C）；故④正确；
故答案为①②③④，
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，正确运用三角形的高、中线和角平分线的概念以及三角形外角的性质是解题的关键．
三、解答题（本题共46分，第19，20，22题，每小题5分，第21题7分，第23-26题，每小题5分）解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
19．（5分）已知：如图，OA＝OD，OB＝OC．求证：△OAB≌△ODC．
【分析】利用SAS判定△OAB≌△ODC即可．
【解答】证明：在△OAB和△ODC中
，
∴△OAB≌△ODC（SAS）．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
20．（5分）如图，FA⊥EC，垂足为E，∠F＝40°，∠C＝20°，求∠FBC的度数．
【分析】根据三角形的内角和可得∠A的度数，再利用外角的性质可得∠FBC的度数．
【解答】解：在△AEC 中，FA⊥EC，
∴∠AEC＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠C＝70°．
∴∠FBC＝∠A+∠F＝70°+40°＝110°．
【点评】本题考查三角形的内角和与外角的性质，求出∠A的度数是解题关键．
21．（7分）已知：如图1，AB∥CD，请用尺规作图法，在射线CD上找一点P，使射线AP平分∠BAC．
小明的作图方法如下：
①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点M，交AC于点N；
②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠CAB的内部相交于点E；
③画射线AE，交射线CD于点P，点P即为所求．
小刚说：“我有不同的作法，如图2所示，只需要以点C为圆心，CA为半径画弧，交射线CD于点P，画射线AP，也能够得到AP平分∠BAC．
请回答：
（1）请补全小明的作图过程．小明在作图的过程中，构造出一组全等三角形，它们是 △AME ≌ △ANE ，全等的依据是 SSS ．因为全等三角形的对应角相等，所以能够得到∠CAB的角平分线AP；
（2）对于小刚的作图方法证明如下：
∵CA＝CP
∴∠CAP＝∠CPA（等边对等角）
∵AB∥CD
∴∠BAP＝∠ CPA （ 两直线平行，内错角相等 ）
∴∠CAP＝∠BAP
∴射线AP平分∠BAC．
（3）点P到直线AC和AB的距离相等，理由是 角平分线上的点到角的两边的距离相等 ．
【分析】（1）根据作法画出对应的几何图形，利用画法得到AM＝AN，ME＝NE，加上AE公共，则可根据“SSS”判断△AME≌△ANE，从而得到∠MAE＝∠NAE；
（2）利用等腰三角形的性质和平行线的性质证明∠CAP＝∠BAP；
（3）根据角平分线的性质求解．
【解答】解：（1）如图1，AP为所作，
在作图的过程中，构造出一组全等三角形，它们是△AME≌△ANE，全等的依据是SSS．因为全等三角形的对应角相等，所以能够得到∠CAB的角平分线AP；
（2）对于小刚的作图方法证明如下：
∵CA＝CP，
∴∠CAP＝∠CPA（等边对等角），
∵AB∥CD
∴∠BAP＝∠CPA（两直线平行，内错角相等），
∴∠CAP＝∠BAP，
∴射线AP平分∠BAC．
（3）点P到直线AC和AB的距离相等，理由是角平分线上的点到角的两边的距离相等．
故答案为△AME，△ANE，SSS；CPA，两直线平行，内错角相等；角平分线上的点到角的两边的距离相等．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质和全等三角形的判定与性质．
22．（5分）如图，已知：AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2，求证：∠B＝∠C．
证明：∵∠1＝∠2（ 已知 ），
∴∠1+ CAD ＝∠2+ CAD （ 等式的性质 ）．
即∠BAD＝ ∠CAE ．
在△ABD和△ACE中，
（ 已证 ），
∴△ABD≌△ACE（ SAS ），
∴∠B＝∠C（ 全等三角形对应角相等 ）．
【分析】由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得结论．
【解答】证明：∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1+∠CAD＝∠2+∠CAD （等式的性质），
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中
（已证），
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠C（全等三角形对应角相等）
故答案为：已知，CAD，CAD，等式的性质，∠CAE，已证，AD，AESAS，全等三角形对应角相等．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
23．（6分）如图：在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF，证明：
（1）CF＝EB．
（2）AB＝AF+2EB．
【分析】（1）根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到AB的距离＝点D到AC的距离即CD＝DE．再根据Rt△CDF≌Rt△EDB，得CF＝EB；
（2）利用角平分线性质证明Rt△ADC≌Rt△ADE，AC＝AE，再将线段AB进行转化．
【解答】证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝DC，
在Rt△CDF和Rt△EDB中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL）．
∴CF＝EB；
（2）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴CD＝DE．
在Rt△ADC与Rt△ADE中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL），
∴AC＝AE，
∴AB＝AE+BE＝AC+EB＝AF+CF+EB＝AF+2EB．
【点评】本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到点D到AB的距离＝点D到AC的距离，即CD＝DE，是解答本题的关键．
24．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，点D是AC的中点．将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．
【分析】数量关系为：BE＝EC，位置关系是：BE⊥EC；利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及等腰直角三角形的性质，即可证得：△EAB≌△EDC即可证明．
【解答】数量关系为：BE＝EC，位置关系是：BE⊥EC．
证明：∵△AED是直角三角形，∠AED＝90°，且有一个锐角是45°，
∴∠EAD＝∠EDA＝45°，
∴AE＝DE，
∵∠BAC＝90°，
∴∠EAB＝∠EAD+∠BAC＝45°+90°＝135°，
∠EDC＝∠ADC﹣∠EDA＝180°﹣45°＝135°，
∴∠EAB＝∠EDC，
∵D是AC的中点，
∴AD＝CD＝AC，
∵AC＝2AB，
∴AB＝AD＝DC，
∵在△EAB和△EDC中
，
∴△EAB≌△EDC（SAS），
∴EB＝EC，且∠AEB＝∠DEC，
∴∠BEC＝∠DEC+∠BED＝∠AEB+∠BED＝90°，
∴BE⊥EC．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与应用，证明线段相等的问题一般的解决方法是转化为证明三角形全等．
25．（6分）综合与探究
如图（1），AB＝9cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝7cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；
（2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为xcm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值．
【分析】（1）根据SAS证明△ACP和△BPQ全等，进而解答即可；
（2）根据全等三角形的性质得出方程解答即可．
【解答】解：（1）△ACP≌△BPO，PC⊥PQ．
理由：∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴∠A＝∠B＝90°，
∵AP＝BQ＝2，
∴BP＝7，
∴BP＝AC，
在△ACP和△BPQ中，
，
∴△ACP≌△BPQ（SAS），
∴∠C＝∠BPQ，
∵∠C+∠APC＝90°，
∴∠APC+∠BPQ＝90°，
∴∠CPQ＝90°，
∴PC⊥PQ；
（2）①若△ACP≌△BPQ，
则AC＝BP，AP＝BQ，
可得：7＝9﹣2t，2t＝xt，
解得：x＝2，t＝1；
②若△ACP≌△BQP，
则AC＝BQ，AP＝BP，可得：7＝xt，2t＝9﹣2t
解得：，．
综上所述，当△ACP与△BPQ全等时x的值为2或．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SAS证明△ACP和△BPQ全等解答，解决此题的是注意分类讨论．
26．（6分）已知线段AB，如果将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC，则称点C为线段AB关于点A的“逆转点”，点C为线段AB关于点A的逆转点的示意图如图1：
（1）如图2，在正方形ABCD中，点 C 为线段DA关于点D的逆转点；
（2）在平面直角坐标系xOy中，点P（x，0），点E是y轴上一点，OE＝4．点F是线段EO关于点E的逆转点，点M（纵坐标为t）是线段EP关于点E的逆转点．
①x＝﹣3时，求点M的坐标；
②当﹣1⩽t＜5，直接写出x的取值范围： ﹣5≤x＜1或3≤x＜9 ．
【分析】（1）根据逆转点的定义判断即可．
（2）①点E的位置有两种情形：分两种情形，发现画出图形求解即可．
②根据﹣1≤t＜5，结合①判断即可．
【解答】解：（1）根据“逆转点”的定义可知，点C为线段DA关于点D的逆转点．
故答案为C．
（2）①∵E是y轴上的一点，OE＝4，
∴点E的位置有两种情形：
当点E在y轴的正半轴上时，作出线段E1O关于点E1的逆转点F1以及线段E1P关于点E1的逆转点M1．
∵∠PE1M1＝∠OE1F1＝90°，
∴∠PE1O＝∠M1E1F1，
∵OE1＝F1E1＝4，E1P＝E1M1，
∴△PE1O≌△M1E1F1（SAS），
∴∠F1＝∠POE1＝90°，M1F1＝OP＝3，
∴M1（4，1）．
当点E在y轴的负半轴上的点E2时，同法可得M2（﹣4，﹣7），
综上所述，满足条件的点M的坐标为（4，1）或（﹣4，﹣7）．
②由①可知，当﹣1≤t＜5时，﹣5≤x＜1或3≤x＜9．
故答案为：﹣5≤x＜1或3≤x＜9．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，坐标图与图形的变化等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/9/28 17:48:52；用户：笑涵数学；邮箱：15699920825；学号：36906111