2021-2022学年北京市海淀区中关村中学八年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2021-2022学年北京市海淀区中关村中学八年级（上）期中数学试卷【含解析】，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）下列体育运动图案中，属于轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2分）如图所示，△ABC中AC边上的高线是（ ）
A．线段HAB．线段BHC．线段BCD．线段BA
3．（2分）下列运算结果为a6的是（ ）
A．a3•a2B．a9﹣a3C．（a2）3D．a18÷a3
4．（2分）计算：3x（2x﹣5）的结果为（ ）
A．6x2﹣15xB．6x2+5C．6x2+15xD．6x2﹣5x
5．（2分）已知xm＝2，xn＝3，则xm+n的值是（ ）
A．5B．6C．8D．9
6．（2分）若三角形的两边长分别为3和5，则第三边m的值可能是（ ）
A．m＝2B．m＝4C．m＝8D．m＝9
7．（2分）如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A．∠B＝∠DB．∠2＞∠BC．∠1＝∠C+∠BD．∠C＝∠D
8．（2分）如图，△ABC≌△DEF，DF和AC，FE和CB是对应边．若∠A＝100°，∠F＝47°，则∠DEF等于（ ）
A．100°B．53°C．47°D．33°
9．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD、CE分别是△ABC的中线和角平分线．若∠CAB＝40°，则∠ACE的度数是（ ）
A．20°B．30°C．35°D．70°
10．（2分）如图，经过直线AB外一点C作这条直线的垂线，作法如下：
（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁．
（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E．
（3）分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F．
（4）作直线CF．则直线CF就是所求作的垂线．根据以上尺规作图过程，若将这些点作为三角形的顶点，其中不一定是等腰三角形的为（ ）
A．△CDFB．△CDKC．△CDED．△DEF
二、填空题（本题共30分，每小题3分）
11．（3分）计算（π﹣3）0＝ ．
12．（3分）计算：（﹣）2021×1.52022＝ ．
13．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（3，b）和点B（a，2）关于y轴对称，则ab的值是 ．
14．（3分）如图中x的值为 ．
15．（3分）如图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，得到四块形状和大小完全相同的小长方形，然后按图（2）所示拼成一个大正方形，则中间空白部分的面积是 ．（用含a，b的式子表示）
16．（3分）如图，D在BC边上，△ABC≌△ADE，∠EAC＝40°，则∠B的度数为 ．
17．（3分）学了全等三角形的判定后，小明编了这样一个题目：“已知：如图，AD＝AC，BC＝BD，∠CAB＝∠DAB，求证：△ABD≌△ABC．”
老师说他的已知条件给多了，那么可以去掉的一个已知条件是： ．
18．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于D点．若BD平分∠ABC，则∠A＝ °．
19．（3分）如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC＝6，则PD＝ ．
20．（3分）在等边△ABC中，M、N、P分别是边AB、BC、CA上的点（不与端点重合），对于任意等边△ABC，下面四个结论中：
①存在无数个△MNP是等腰三角形；
②存在无数个△MNP是等边三角形；
③存在无数个△MNP是等腰直角三角形；
④存在一个△MNP在所有△MNP中面积最小．
所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（本题共30分，第21题每小题12分，第22、23每题4分，24、25题每题5分）
21．（12分）计算：
（1）5xy2•（﹣xy2）3．
（2）（2a）3•（﹣a）4÷a2．
（3）（5x+2y）（3x﹣y）．
22．（4分）已知：如图，E是BC上一点，AB＝EC，AB∥CD，BC＝CD．求证：AC＝ED．
23．（4分）化简求值：当x2﹣2x﹣3＝0时，求代数式（x+1）（x﹣3）+x（x﹣4）+（x﹣2）（x+2）的值．
24．（5分）已知：如图，点C在∠MON的边OM上．
求作：射线CD，使CD∥ON，且点D在∠MON的角平分线上．
作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线OM，ON于点A，B；②分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，交于点Q；③画射线OQ；④以点C为圆心，CO长为半径画弧，交射线OQ于点D；⑤画射线CD．射线CD就是所求作的射线．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
∵OD平分∠MON，
∴∠MOD＝ ．
∵OC＝CD，
∴∠MOD＝ ．
∴∠NOD＝∠CDO．
∴CD∥ON（ ）（填推理的依据）．
25．（5分）如图，已知在等腰三角形ABC中，AB＝AC，P、Q分别是边AC，AB上的点，且AP＝PQ＝QC＝BC．求∠PCQ的度数．
四、解答题：（共3道题，满分20分，其中26题6分，27题7分，28题7分）
26．（6分）阅读材料：
我们定义：如果两个实数的差等于这两个实数的商，那么这两个实数就叫做“差商等数对”．即：如果a﹣b＝a÷b，那么α与b就叫做“差商等数对”，记为（a，b）．
例如：4﹣2＝4÷2；﹣3＝÷3；
则称数对（4，2），（，3）是“差商等数对”．
根据上述材料，解决下列问题：
（1）下列数对中，“差商等数对”是 （填序号）；
①（﹣8.1，﹣9）②（，）③（﹣，﹣1）
（2）如果（a，2）是“差商等数对”，请求出a的值；
（3）在（2）的条件下，先化简再求值：[（4a2b﹣2ab2﹣b3）÷b﹣（2a+b）（2a﹣b）]÷b．
27．（7分）数学老师布置了一道作业题：
等边三角形ABC，过点C作直线l∥AB，点D是线段BC上一点，连接AD，作AD的垂直平分线交直线l于点P，在点D运动过程中，探究线段AC，DC，PC之间的数量关系．
数学小组同学们经过思考，交流了自己的想法：
小聪：利用轴对称知识，以直线l为对称轴构造△ACP的轴对称图形△A'CP（图2）．
可推得∠CAP＝∠CDP．
小明：D在运动过程中，∠APD始终不变．
小慧：通过证明三角形全等，可得到线段AC，DC，PC之间的数量关系．
（1）用等式表示线段AC，DC，PC之间的数量关系是 ．
（2）数学小组同学们解决完老师布置的作业题，进一步思考：若点D在点B左侧（如图3），再探究线段AC，DC，PC之间的数量关系，画图并证明．
（3）同学们继续思考：若点D在直线BC上运动，请直接写出线段AC，DC，PC之间的数量关系 ．
28．（7分）给出如下定义：在平面直角坐标系xOy中，已知点P1（a，b），P2（c，b），P3（c，d），这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点P1，P2，P3的“完美间距”．例如：如图，点P1（﹣1，2），P2（1，2），P3（1，3）的“完美间距”是1．
（1）点Q1（4，1），Q2（5，1），Q3（5，5）的“完美间距”是 ；
（2）已知点O（0，0），A（4，0），B（4，y）．
①若点O，A，B的“完美间距”是2，则y的值为 ；
②点O，A，B的“完美间距”的最大值为 ；
（3）已知点C（0，4），D（﹣4，0），点P（m，n）为线段CD上一动点，当O（0，0），E（m，0），P（m，n）的“完美间距”取到最大值时，求此时点P的坐标．
2021-2022学年北京市海淀区中关村中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共20分，每小题2分）
1．（2分）下列体育运动图案中，属于轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（2分）如图所示，△ABC中AC边上的高线是（ ）
A．线段HAB．线段BHC．线段BCD．线段BA
【分析】根据三角形的高的概念判断即可．
【解答】解：△ABC中AC边上的高线是线段BH，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
3．（2分）下列运算结果为a6的是（ ）
A．a3•a2B．a9﹣a3C．（a2）3D．a18÷a3
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
【解答】解：A．a3•a2＝a5，故本选项不合题意；
B．a9与﹣a3不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
C．（a2）3＝a6，故本选项符合题意；
D．a18÷a3＝a15，故本选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
4．（2分）计算：3x（2x﹣5）的结果为（ ）
A．6x2﹣15xB．6x2+5C．6x2+15xD．6x2﹣5x
【分析】根据单项式乘多项式的运算法则进行解答即可得出答案．
【解答】解：3x（2x﹣5）
＝3x•2x﹣3x×5
＝6x2﹣15x．
故选：A．
【点评】此题考查了单项式乘多项式，熟练掌握单项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
5．（2分）已知xm＝2，xn＝3，则xm+n的值是（ ）
A．5B．6C．8D．9
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则化简求出答案．
【解答】解：∵xm＝2，xn＝3，
∴xm+n＝xm×xn＝2×3＝6．
故选：B．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
6．（2分）若三角形的两边长分别为3和5，则第三边m的值可能是（ ）
A．m＝2B．m＝4C．m＝8D．m＝9
【分析】已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围．
【解答】解：第三边m的取值范围是5﹣3＜m＜5+3，
即2＜m＜8．，只有m＝2适合，
故选：B．
【点评】考查了三角形三边关系，已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
7．（2分）如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A．∠B＝∠DB．∠2＞∠BC．∠1＝∠C+∠BD．∠C＝∠D
【分析】利用三角形内角和定理和三角形外角的性质逐一判断即可．
【解答】解：∵∠A＝∠C，∠AOB＝∠BOC，
∴∠B＝∠D，故A正确，不符合题意；
∵∠2是△BOC的外角，
∴∠2＞∠B，故B正确，不符合题意；
∵∠1是△BOC的外角，
∴∠1＝∠B+∠C，故C正确，不符合题意；
∵AD与BC不一定平行，
∴∠C不一定等于∠D，故D错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．
8．（2分）如图，△ABC≌△DEF，DF和AC，FE和CB是对应边．若∠A＝100°，∠F＝47°，则∠DEF等于（ ）
A．100°B．53°C．47°D．33°
【分析】根据全等三角形的对应角相等、三角形的内角和是180度来解答．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，DF和AC，FE和CB是对应边，
∴∠A＝∠FDE，
又∵∠A＝100°，
∴∠FDE＝100°；
∵∠F＝47°，∠FDE+∠F+∠DEF＝180°，
∴∠DEF＝180°﹣∠F﹣∠FDE＝180°﹣47°﹣100°＝33°；
故选：D．
【点评】本题主要考查的是全等三角形的对应角相等，以及三角形的内角和定理．根据相等关系，把已知条件转到同一个三角形中然后利用三角形的内角和来求解是解决这类问题常用的方法．
9．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD、CE分别是△ABC的中线和角平分线．若∠CAB＝40°，则∠ACE的度数是（ ）
A．20°B．30°C．35°D．70°
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠ACB＝70°，最后根据角平分线的定义计算即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠CAB＝40°，
∴∠B＝∠ACB＝＝70°，
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE＝∠ACB＝35°．
故选：C．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，角平分线以及三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
10．（2分）如图，经过直线AB外一点C作这条直线的垂线，作法如下：
（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁．
（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E．
（3）分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F．
（4）作直线CF．则直线CF就是所求作的垂线．根据以上尺规作图过程，若将这些点作为三角形的顶点，其中不一定是等腰三角形的为（ ）
A．△CDFB．△CDKC．△CDED．△DEF
【分析】依据尺规作图，即可得到CD＝CK，CD＝CE，DF＝EF，进而得出△CDK，△CDE，△DEF都是等腰三角形．
【解答】解：由作图可得，CD，DF，CF不一定相等，故△CDF不一定是等腰三角形；
而CD＝CK，CD＝CE，DF＝EF，故△CDK，△CDE，△DEF都是等腰三角形；
故选：A．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定，如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．
二、填空题（本题共30分，每小题3分）
11．（3分）计算（π﹣3）0＝ 1 ．
【分析】根据零指数幂的性质即可得出答案．
【解答】解：（π﹣3）0＝1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了零指数幂的性质，比较简单．
12．（3分）计算：（﹣）2021×1.52022＝ ．
【分析】逆向运算积的乘方运算法则计算即可，幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
【解答】解：（﹣）2021×1.52022
＝（﹣）2021×1.52021×1.5
＝
＝
＝
＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了积的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
13．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（3，b）和点B（a，2）关于y轴对称，则ab的值是 9 ．
【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：∵点A（3，b）和点B（a，2）关于y轴对称，
∴a＝﹣3，b＝2，
∴ab＝（﹣3）2＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
14．（3分）如图中x的值为 130 ．
【分析】根据五边形的内角和是540°列出方程，解方程即可．
【解答】解：因为五边形的内角和是：（5﹣2）×180°＝540°，
所以x+x+80+90+（x﹣20）＝540，
解得x＝130，
故答案为：130．
【点评】本题考查多边形的内角和公式，根据五边形的内角和列出方程是解题关键．
15．（3分）如图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，得到四块形状和大小完全相同的小长方形，然后按图（2）所示拼成一个大正方形，则中间空白部分的面积是 （a﹣b）2 ．（用含a，b的式子表示）
【分析】由图（1）得出小长方形的长与宽分别为a，b，然后根据图（2）中大正方形的面积减去四个小长方形的面积表示出中空部分面积即可．
【解答】解：中间空白部分的面积是：
（a+b）2﹣4ab
＝a2+2ab+b2﹣4ab
＝a2﹣2ab+b2
＝（a﹣b）2，
故答案为：（a﹣b）2．
【点评】本题考查了列代数式、完全平方公式的运算，能正确列出代数式是解决问题的前提，熟练掌握完全平方公式是解决问题的关键．
16．（3分）如图，D在BC边上，△ABC≌△ADE，∠EAC＝40°，则∠B的度数为 70° ．
【分析】根据全等三角形的性质得出AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，求出∠BAD＝∠EAC＝40°，根据等腰三角形的性质得出∠B＝∠ADB，即可求出答案．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠EAC，
∵∠EAC＝40°，
∴∠BAD＝40°，
∵AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB＝（180°﹣∠BAD）＝70°，
故答案为：70°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点，能根据全等三角形的性质得出AB＝AD和求出∠BAD＝∠EAC是解此题的关键．
17．（3分）学了全等三角形的判定后，小明编了这样一个题目：“已知：如图，AD＝AC，BC＝BD，∠CAB＝∠DAB，求证：△ABD≌△ABC．”
老师说他的已知条件给多了，那么可以去掉的一个已知条件是： ∠CAB＝∠DAB或BC＝BD ．
【分析】依据其中AB为公共边，依据SSS可证明△ABD≌△ACE即可．
【解答】解：可以去掉的一个已知条件是：∠CAB＝∠DAB或BC＝BD，
理由：在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SSS）．
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
∴可去掉的条件是∠CAB＝∠DAB或BC＝BD．
故答案为：∠CAB＝∠DAB或BC＝BD．
【点评】本题主要考查的是全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
18．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于D点．若BD平分∠ABC，则∠A＝ 36 °．
【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AD＝BD，根据等边对等角可得∠A＝∠ABD，然后表示出∠ABC，再根据等腰三角形两底角相等可得∠C＝∠ABC，然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵AB的垂直平分线MN交AC于D点．
∴∠A＝∠ABD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠C＝2∠A＝∠ABC，
设∠A为x，
可得：x+x+x+2x＝180°，
解得：x＝36°，
故答案为：36
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
19．（3分）如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC＝6，则PD＝ 3 ．
【分析】过点P作PE⊥OB于E，根据角平分线的定义可得∠AOB＝2∠AOP，根据两直线平行，同位角相等可得∠PCE＝∠AOB，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得PE＝PC，最后根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PD＝PE．
【解答】解：如图，过点P作PE⊥OB于E，
∵OP平分∠AOB，
∴∠AOB＝2∠AOP＝2×15°＝30°，
∵PC∥OA，
∴∠PCE＝∠AOB＝30°，
∴PE＝PC＝×6＝3，
∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD＝PE＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，平行线的性质，熟记性质并作辅助线构造出直角三角形以及与PD相等的线段是解题的关键．
20．（3分）在等边△ABC中，M、N、P分别是边AB、BC、CA上的点（不与端点重合），对于任意等边△ABC，下面四个结论中：
①存在无数个△MNP是等腰三角形；
②存在无数个△MNP是等边三角形；
③存在无数个△MNP是等腰直角三角形；
④存在一个△MNP在所有△MNP中面积最小．
所有正确结论的序号是 ①②③ ．
【分析】利用图象法，画出图形判定即可解决问题．
【解答】解：如图1中，满足AM＝BN＝PC，可证△PMN是等边三角形，这样的三角形有无数个．
如图2中，当NM＝NP，∠MNP＝90°时，△MNP是等腰直角三角形，这样的三角形有无数个（见图3）．
故①②③正确，△PNM的面积不存在最小值（面积可以接近O，没有最小值）．
故答案为①②③．
【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本题共30分，第21题每小题12分，第22、23每题4分，24、25题每题5分）
21．（12分）计算：
（1）5xy2•（﹣xy2）3．
（2）（2a）3•（﹣a）4÷a2．
（3）（5x+2y）（3x﹣y）．
【分析】（1）原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则，以及单项式乘单项式法则计算即可得到结果；
（2）原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则，以及单项式乘除单项式法则计算即可得到结果；
（3）原式利用多项式乘多项式法则计算即可得到结果．
【解答】解：（1）原式＝5xy2•（﹣x3y6）
＝﹣5x4y8；
（2）原式＝8a3•a4÷a2
＝8a7÷a2
＝8a5；
（3）原式＝15x2﹣5xy+6xy﹣2y2
＝15x2+xy﹣2y2．
【点评】此题考查了整式的混合运算，幂的乘方与积的乘方，多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．（4分）已知：如图，E是BC上一点，AB＝EC，AB∥CD，BC＝CD．求证：AC＝ED．
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠B＝∠ECD，然后利用“边角边”证明△ABC和△ECD全等，再根据全等三角形对应边相等即可得证．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠DCE．
在△ABC和△ECD中，
，
∴△ABC≌△ECD（SAS）．
∴AC＝ED．
【点评】本题考查了三角形全等的判定与性质，平行线的性质，比较简单，求出∠B＝∠ECD是证明三角形全等的关键．
23．（4分）化简求值：当x2﹣2x﹣3＝0时，求代数式（x+1）（x﹣3）+x（x﹣4）+（x﹣2）（x+2）的值．
【分析】先根据多项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
【解答】解：（x+1）（x﹣3）+x（x﹣4）+（x﹣2）（x+2）
＝x2﹣3x+x﹣3+x2﹣4x+x2﹣4
＝3x2﹣6x﹣7，
∵x2﹣2x﹣3＝0，
∴x2﹣2x＝3，
当x2﹣2x＝3时，原式＝3（x2﹣2x）﹣7＝3×3﹣7＝2．
【点评】本题考查了整式的化简与求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
24．（5分）已知：如图，点C在∠MON的边OM上．
求作：射线CD，使CD∥ON，且点D在∠MON的角平分线上．
作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线OM，ON于点A，B；②分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，交于点Q；③画射线OQ；④以点C为圆心，CO长为半径画弧，交射线OQ于点D；⑤画射线CD．射线CD就是所求作的射线．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
∵OD平分∠MON，
∴∠MOD＝ ∠NOD ．
∵OC＝CD，
∴∠MOD＝ ∠CDO ．
∴∠NOD＝∠CDO．
∴CD∥ON（ 内错角相等两直线平行 ）（填推理的依据）．
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）根据等腰三角形的性质以及角平分线的定义证明∠CDO＝∠DON即可．
【解答】解：（1）如图，射线CD即为所求作．
（2）∵OD平分∠MON，
∴∠MOD＝∠NOD．
∵OC＝CD，
∴∠MOD＝∠CDO，
∴∠NOD＝∠CDO．
∴CD∥ON（内错角相等两直线平行）．
故答案为：∠NOD，∠CDO，内错角相等两直线平行．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形，属于中考常考题型．
25．（5分）如图，已知在等腰三角形ABC中，AB＝AC，P、Q分别是边AC，AB上的点，且AP＝PQ＝QC＝BC．求∠PCQ的度数．
【分析】设∠A＝α，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质得到∠CPQ＝∠A+∠AQP＝2α，∠BQC＝∠A+∠ACQ＝3α，然后根据三角形的内角和定理列方程即可得到结论．
【解答】解：设∠A＝α，
∵AP＝PQ，
∴∠AQP＝∠A＝α，
∴∠CPQ＝∠A+∠AQP＝2α，
∴PQ＝CQ，
∴∠QPC＝∠PCQ＝2α，
∴∠BQC＝∠A+∠ACQ＝3α，
∵CQ＝BC，
∴∠CQB+∠B＝3α，
∵AC＝AB，
∴∠ACB＝∠B＝3α，
∵∠A+∠ACB+∠B＝180°，
∴α+3α+3α＝180°，
∴α＝，
∴∠PCQ＝2α＝．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
四、解答题：（共3道题，满分20分，其中26题6分，27题7分，28题7分）
26．（6分）阅读材料：
我们定义：如果两个实数的差等于这两个实数的商，那么这两个实数就叫做“差商等数对”．即：如果a﹣b＝a÷b，那么α与b就叫做“差商等数对”，记为（a，b）．
例如：4﹣2＝4÷2；﹣3＝÷3；
则称数对（4，2），（，3）是“差商等数对”．
根据上述材料，解决下列问题：
（1）下列数对中，“差商等数对”是 ①③ （填序号）；
①（﹣8.1，﹣9）②（，）③（﹣，﹣1）
（2）如果（a，2）是“差商等数对”，请求出a的值；
（3）在（2）的条件下，先化简再求值：[（4a2b﹣2ab2﹣b3）÷b﹣（2a+b）（2a﹣b）]÷b．
【分析】（1）根据“差商等数对”的概念逐一计算即可判断；
（2）根据“差商等数对”的定义列出关于a的方程a﹣2＝，解之即可；
（3）先根据整式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算即可．
【解答】解：（1）﹣8.1﹣（﹣9）＝﹣8.1+9＝0.9，＝0.9，即（﹣8.1，﹣9）是“差商等数对”，
﹣＝0，＝1，即（，）不是“差商等数对”，
﹣﹣（﹣1）＝﹣+1＝，＝，即（﹣，﹣1）是“差商等数对”，
故答案为：①③；
（2）∵（a，2）是“差商等数对”，
∴a﹣2＝，
解得：a＝4；
（3）[（4a2b﹣2ab2﹣b3）÷b﹣（2a+b）（2a﹣b）]÷b
＝（4a2﹣2ab﹣b2﹣4a2+b2）÷b
＝（﹣2ab）b
＝﹣3a，
当a＝4时，
原式＝﹣3×4＝﹣12．
【点评】本题考查了整式的化简与求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
27．（7分）数学老师布置了一道作业题：
等边三角形ABC，过点C作直线l∥AB，点D是线段BC上一点，连接AD，作AD的垂直平分线交直线l于点P，在点D运动过程中，探究线段AC，DC，PC之间的数量关系．
数学小组同学们经过思考，交流了自己的想法：
小聪：利用轴对称知识，以直线l为对称轴构造△ACP的轴对称图形△A'CP（图2）．
可推得∠CAP＝∠CDP．
小明：D在运动过程中，∠APD始终不变．
小慧：通过证明三角形全等，可得到线段AC，DC，PC之间的数量关系．
（1）用等式表示线段AC，DC，PC之间的数量关系是 CA＝CD+CP ．
（2）数学小组同学们解决完老师布置的作业题，进一步思考：若点D在点B左侧（如图3），再探究线段AC，DC，PC之间的数量关系，画图并证明．
（3）同学们继续思考：若点D在直线BC上运动，请直接写出线段AC，DC，PC之间的数量关系 当点D在线段BC上时，结论：CA＝CD+CP．当点D在CB的延长线时，结论：CD＝CP+CA．当点D在BC的延长线上时，结论：CP＝CA+CD ．
【分析】（1）如图2中，结论：CA＝CD+CP．以直线l为对称轴构造△ACP的轴对称图形△A'CP，在CA上取一点M，使得CM＝CD，连接DM，设DP交AC于点J．证明△ADM≌△PDC（SAS），可得结论；
（2）如图3中，结论：CD＝CP+CA．证明方法类似（1）；
（3）分三种情形，当点D在线段BC上时，结论：CA＝CD+CP．当点D在CB的延长线时，结论：CD＝CP+CA．当点D在BC的延长线上时，结论：CP＝CA+CD．证明方法类似．
【解答】解：（1）如图2中，结论：CA＝CD+CP．
理由：以直线l为对称轴构造△ACP的轴对称图形△A'CP，在CA上取一点M，使得CM＝CD，连接DM，设DP交AC于点J．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝∠CAB＝60°，
∵CP∥AB，
∴∠ACP＝∠CAB＝60°，
∵∠PCA′＝∠PCA＝60°，
∴∠ACB+∠ACP+∠PCA′＝180°，
∴B，C，A′共线，
∵点P在线段AD的垂直平分线上，
∴PA＝PD，
∵PA＝PA′，
∴PD＝PA′，
∴∠PDA′＝∠A′，
∵∠A′＝∠CAP，
∴∠PDC＝∠PAC，
∵∠AJP＝∠DJC，
∴∠APJ＝∠DCJ＝60°，
∴△ADP是等边三角形，
∴DA＝DP，
∵CD＝CM，∠DCM＝60°，
∴△DCM是等边三角形，
∴DM＝DC，
∵∠ADB＝∠MDC＝60°，
∴∠ADM＝∠PDC，
∴△ADM≌△PDC（SAS），
∴AM＝PC，
∴CA＝CM+AM＝CD+CP．
故答案为：CA＝CD+CP．
（2）如图3中，结论：CD＝CP+CA．
理由：以直线l为对称轴构造△ACP的轴对称图形△A'CP，在CB上取一点N，使得CN＝CP，连接PN，设DC交AP于点J．
同法可证，B，C，A′共线，
∵PA＝PD＝PA′，
∴∠A′＝∠PDJ＝∠CAJ，
∵∠AJC＝∠DJP，
∴∠APD＝∠ACJ＝60°，
∵CN＝CP，∠PCN＝60°，
∴△PCN是等边三角形，
∴PC＝PN，
∴∠APD＝∠CPN＝60°，
∴∠DPN＝∠APC，
∴△DPN≌△APC（SAS），
∴DN＝AC，
∴CD＝CN+DN＝CP+CA；
（3）当点D在线段BC上时，结论：CA＝CD+CP（证明见（1））．
当点D在CB的延长线时，结论：CD＝CP+CA．（证明见（2））．
如图4中，当点D在BC的延长线上时，结论：CP＝CA+CD．
理由：以直线l为对称轴构造△ACP的轴对称图形△A'CP，在CP上取一点K，使得CK＝CD．
同法可证，△ADC≌△PDK（SAS），
∴AC＝PK，
∴PC＝CK+PK＝CD+CA．
故答案为：当点D在线段BC上时，结论：CA＝CD+CP．
当点D在CB的延长线时，结论：CD＝CP+CA．
当点D在BC的延长线上时，结论：CP＝CA+CD．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
28．（7分）给出如下定义：在平面直角坐标系xOy中，已知点P1（a，b），P2（c，b），P3（c，d），这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点P1，P2，P3的“完美间距”．例如：如图，点P1（﹣1，2），P2（1，2），P3（1，3）的“完美间距”是1．
（1）点Q1（4，1），Q2（5，1），Q3（5，5）的“完美间距”是 1 ；
（2）已知点O（0，0），A（4，0），B（4，y）．
①若点O，A，B的“完美间距”是2，则y的值为 ±2 ；
②点O，A，B的“完美间距”的最大值为 4 ；
（3）已知点C（0，4），D（﹣4，0），点P（m，n）为线段CD上一动点，当O（0，0），E（m，0），P（m，n）的“完美间距”取到最大值时，求此时点P的坐标．
【分析】（1）分别计算出Q1Q2，Q2Q3，Q1Q3的长度，比较得出最小值即可；
（2）①分别计算出OA，AB的长度，由于斜边大于直角边，故OB＞OA，OB＞AB，所以“最佳间距”为OA或者AB的长度，由于“最佳间距”为1，而OA＝4，故OB＝2，即可求解y的值；
②由①可得，“最佳间距”为OA或AB的长度，当OA≤AB时，“最佳间距”为OA＝4，当OA＞AB时，“最佳间距”为AB＜4，比较两个“最大间距”，即可解决；
（3）同（2），当点O（0，0），E（m，0），P（m，n）的“最佳间距”为OE或者PE的长度，先求出直线CD的解析式，用m表示出线段OE和线段PE的长度，分两类讨论，当OE≥PE和OE＜PE时，求出各自条件下的“最佳间距”，比较m的范围，确定“最佳间距”的最大值，进一步求解出P点坐标．
【解答】解：（1）如图，在给出图形中标出点Q1，Q2，Q3，
∵Q1（4，1），Q2（5，1），Q3（5，5），
∴Q1Q2＝1，Q2Q3＝4，
在Rt△Q1Q2Q3中，Q1Q3＝，
∵1＜4＜，
“最佳距离”为1，
故答案为：1
（2）①如图，
∵O（0，0），A（4，0），B（4，y），
∴OA＝4，AB＝|y|，
在直角△ABO中，OB＞OA，OB＞AB，
又∵点O，A，B的“最佳间距”是2，
且4＞2，
∴|y|＝2，
∴y＝±2，
故答案为：±2；
②由①可得，OB＞OA，OB＞AB，
∴“最佳间距”的值为OA或者是AB的长，
∵OA＝4，AB＝|y|，
当AB≥OA时，“最佳间距”为4，
当AB＜OA时，“最佳间距”为|y|＜4，
∴点O，A，B的“最佳间距”的最大值为4，
故答案为：4；
（3）设直线CD为y＝kx+4，代入点D得，如图，
﹣4k+4＝0，
∴k＝1，
∴直线CD的解析式为：y＝x+4，
∵E（m，0），P（m，n），且P是线段CD上的一个动点，
∴PE∥y轴，
∴OE＝﹣m，PE＝n＝m+4，
①当﹣m≥m+4时，即OE≥PE时，m≤﹣2，“最佳间距”为m+4，此时m+4≤2，
②当﹣m＜m+4时，即OE＜PE时，﹣2＜m＜0，“最佳间距“为﹣m，此时﹣m＜2，
∴点O（0，0），E（m，0），P（m，n）的“最佳间距”取到最大值时，m＝﹣2，
∴m＝﹣2，
∴n＝m+4＝2，
∴P（﹣2，2）．
【点评】本题是一次函数背景下的新定义题目，提炼出新定义的规则，根据规则，分类讨论是解决问题的关键，（2）中OA与AB的长度大小不确定时，需要分类讨论，是解决此题的突破口．
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