2021-2022学年北京市海淀外国语实验学校八年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2021-2022学年北京市海淀外国语实验学校八年级（上）期中数学试卷【含解析】，共26页。

A．三角形B．平行四边形C．梯形D．五边形
2．（3分）下列图形中与已知图形全等的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）下列各组线段中，能构成三角形的是（ ）
A．1，1，3B．2，3，5C．3，4，9D．5，6，10
4．（3分）能把一个三角形分成两个面积相等的三角形的是三角形的（ ）
A．角平分线B．中线C．高线D．重心
5．（3分）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（3分）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（ ）
A．（SAS）B．（SSS）C．（ASA）D．（AAS）
7．（3分）下列条件不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．两条直角边对应相等
B．斜边和一锐角对应相等
C．斜边和一直角边对应相等
D．两个锐角对应相等
8．（3分）如图所示，P，Q分别是BC，AC上的点，作PR⊥AB于R点，作PS⊥AC于S点，若AQ＝PQ，PR＝PS，下面三个结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP≌△CSP，正确的是（ ）
A．①和③B．②和③C．①和②D．①，②和③
二、填空题（共8小题.每小题3分，共24分）
9．（3分）如图，已知AD＝AE，请你添加一个条件，使得△ADC≌△AEB，你添加的条件是 ．（不添加任何字母和辅助线）
10．（3分）已知直角三角形的一个锐角的度数为37°，则其另一个锐角的度数为 度．
11．（3分）一个多边形的内角和跟它的外角和相等，则这个多边形是 边形．
12．（3分）如图是由6个边长相等的正方形组合成的图形，∠1+∠2+∠3＝ ．
13．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为E，AB＝10，AC＝6，则BE的长为 ．
14．（3分）在△ABC中，已知AB＝6，AC＝5，AD是BC边上的中线，则AD取值范围是 ．
15．（3分）如图，△AOD≌△BOC，∠C＝50°，∠COD＝40°，AD与BC相交于点E，则∠DEC＝ °．
16．（3分）当三角形中一个内角β是另外一个内角α的时，我们称此三角形为“友好三角形”，α为友好角．如果一个“友好三角形”中有一个内角为54°，那么这个“友好三角形”的“友好角α”的度数为 ．
三、解答题（共6小题，17、18每小题4分，19、20、21、22每小题4分，共32分）
17．（4分）求出下列图形中x的值．
18．（4分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求作图．
（1）利用尺规作图在AC边上找一点D，使点D到AB、BC的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在网格中，△ABC的下方，直接画出△EBC，使△EBC与△ABC全等．
19．（6分）看对话答题：小梅说：这个多边形的内角和等于1125°．小红说：不对，你少加了一个角．
问题：
（1）他们在求几边形的内角和？
（2）少加的那个内角是多少度？
20．（6分）已知：如图，CB＝CD，分别过点B和点D作AB⊥BC，AD⊥DC，两垂线相交于点A．求证：AB＝AD．
21．（6分）如图，A，E，C三点在同一直线上，且△ABC≌△DAE．
（1）线段DE，CE，BC有怎样的数量关系？请说明理由．
（2）请你猜想△ADE满足什么条件时，DE∥BC，并证明．
22．（6分）如图，大小不同的两块三角板△ABC和△DEC直角顶点重合在点C处，AC＝BC，DC＝EC，连接AE、BD，点A恰好在线段BD上．
（1）找出图中的全等三角形，并说明理由；
（2）当AD＝AB＝4cm，则AE的长度为 cm．
（3）猜想AE与BD的位置关系，并说明理由．
四．能力展示题（共3小题，第23、24每小题6分，25题8分，共20分）
23．（6分）在△ABC中，∠A＝70°．
（1）如图1，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，则∠BOC＝ °；
（2）如图2，△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线相交于点O'，则∠BO'C＝ °；
（3）探究如图3，△ABC的内角∠ABC的平分线与其外角∠ACD的平分线相交于点O，设∠A＝n°，则∠BOC的度数是 ．（用n的代数式表示）
24．（6分）若三边均不相等的三角形三边a、b、c满足a﹣b＞b﹣c（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为7﹣5＞5﹣4，所以这个三角形为“不均衡三角形”．
（1）以下4组长度的小木棍能组成“不均衡三角形”的为 （填序号）．
①4cm，2cm，1cm；②13cm，18cm，9cm；③19cm，20cm，19cm；④9cm，8cm，6cm．
（2）已知“不均衡三角形”三边分别为2x+2，16，2x﹣6，直接写出x的整数值为 ．
25．（8分）数学课上，老师给出了如下问题：
已知：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，延长CB到点D，∠DBE＝45°，点F是边BC上一点，连接AF，作FE⊥AF，交BE于点 E．
（1）求证：∠CAF＝∠DFE；
（2）求证：AF＝EF．
经过独立思考后，老师让同学们小组交流．小辉同学说出了对于第二问的想法：“我想通过构造含有边AF和EF的全等三角形，因此我过点E作EG⊥CD于G（如图2所示），如果能证明Rt△ACF和Rt△FGE全等，问题就解决了．但是这两个三角形证不出来相等的边，好像这样作辅助线行不通．”小亮同学说：“既然这样作辅助线证不出来，再考虑有没有其他添加辅助线的方法．”请你顺着小亮同学的思路在图3中继续尝试，并完成（1）、（2）问的证明．
2021-2022学年北京市海淀外国语实验学校八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）下列图形中具有稳定性的是（ ）
A．三角形B．平行四边形C．梯形D．五边形
【分析】根据三角形具有稳定性即可得出答案．
【解答】解：A．三角形具有稳定性，故本选项符合题意；
B．平行四边形不具有稳定性，故本选项不符合题意；
C．梯形不具有稳定性，故本选项不符合题意；
D．五边形不具有稳定性，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的稳定性和平行四边形、梯形、五边形不具有稳定性．
2．（3分）下列图形中与已知图形全等的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】认真观察图形，根据全等形的定义，能够重合的图形是全等形，可得答案是B．
【解答】解：A、圆里面的正方形与已知图形不能重合，错；
B、与已知图形能完全重合，正确；
C、中间是长方形，与已知图形不重合，错；
D、中间是长方形，与已知图形不重合，错．
故选：B．
【点评】本题考查的是全等形的性质；属于较容易的基础题，做题时要认真观察图形，同时还要想到是否能够重合．
3．（3分）下列各组线段中，能构成三角形的是（ ）
A．1，1，3B．2，3，5C．3，4，9D．5，6，10
【分析】由于三角形三边满足两短边的和大于最长的边，只要不满足这个关系就不能构成三角形．根据这个关系即可确定选择项．
【解答】解：A、∵1+1＝2＜3，
∴无法构成三角形，不合题意；
B、∵2+3＝5，
∴无法构成三角形，不合题意；
C、∵3+4＝7＜9，
∴无法构成三角形，不合题意；
D、∵5+6＝11＞10，
∴可以构成三角形，符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边，只要满足两短边的和大于最长的边，就可以构成三角形．
4．（3分）能把一个三角形分成两个面积相等的三角形的是三角形的（ ）
A．角平分线B．中线C．高线D．重心
【分析】利用三角形面积公式进行判断．
【解答】解：能把一个三角形分成两个面积相等的三角形的是三角形的中线．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高．三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．也考查了三角形的高、中线和角平分线．
5．（3分）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高，再结合图形进行判断．
【解答】解：线段BE是△ABC的高的图是选项D．
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．熟记定义是解题的关键．
6．（3分）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（ ）
A．（SAS）B．（SSS）C．（ASA）D．（AAS）
【分析】我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用SSS，答案可得．
【解答】解：作图的步骤：
①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点D、C；
②任意作一点O′，作射线O′B′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′B′于点C′；
③以C′为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点D′；
④过点D′作射线O′A′．
所以∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角；
作图完毕．
在△OCD与△O′C′D′，
，
∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），
∴∠A′O′B′＝∠AOB，
显然运用的判定方法是SSS．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；由全等得到角相等是用的全等三角形的性质，熟练掌握三角形全等的性质是正确解答本题的关键．
7．（3分）下列条件不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．两条直角边对应相等
B．斜边和一锐角对应相等
C．斜边和一直角边对应相等
D．两个锐角对应相等
【分析】根据三角形全等的判定定理判断即可．
【解答】解：A、根据SAS定理可知，两条直角边对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题意；
B、根据AAS定理可知，斜边和一锐角对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题意；
C、根据HL定理可知，斜边和一直角边对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题意；
D、两个锐角对应相等的两个三角形不一定全等，本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．
8．（3分）如图所示，P，Q分别是BC，AC上的点，作PR⊥AB于R点，作PS⊥AC于S点，若AQ＝PQ，PR＝PS，下面三个结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP≌△CSP，正确的是（ ）
A．①和③B．②和③C．①和②D．①，②和③
【分析】根据角平分线的判定，先证AP是∠BAC的平分线，再证△APR≌△APS（HL），可证得AS＝AR，QP∥AR成立．
【解答】解：连接AP，
∵PR＝PS，
∴AP是∠BAC的平分线，
∴△APR≌△APS（HL）
∴AS＝AR，①正确．
∵AQ＝PQ
∴∠BAP＝∠QAP＝∠QPA
∴QP∥AR，②正确．
BC只是过点P，并没有固定，明显△BRP≌△CSP③不成立．
故选：C．
【点评】本题主要考查三角形全等的判定方法，以及角平分线的判定和平行线的判定，难度适中．
二、填空题（共8小题.每小题3分，共24分）
9．（3分）如图，已知AD＝AE，请你添加一个条件，使得△ADC≌△AEB，你添加的条件是 AB＝AC或∠ADC＝∠AEB或∠ABE＝∠ACD ．（不添加任何字母和辅助线）
【分析】根据图形可知证明△ADC≌△AEB已经具备了一个公共角和一对相等边，因此可以利用ASA、SAS、AAS证明两三角形全等．
【解答】解：∵∠A＝∠A，AD＝AE，
∴可以添加AB＝AC，此时满足SAS；
添加条件∠ADC＝∠AEB，此时满足ASA；
添加条件∠ABE＝∠ACD，此时满足AAS，
故答案为AB＝AC或∠ADC＝∠AEB或∠ABE＝∠ACD；
【点评】本题考查了全等三角形的判定，是一道开放题，解题的关键是牢记全等三角形的判定方法．
10．（3分）已知直角三角形的一个锐角的度数为37°，则其另一个锐角的度数为 53 度．
【分析】根据直角三角形的两锐角互余列式计算即可．
【解答】解：∵直角三角形的一个锐角的度数为37°，
∴其另一个锐角的度数＝90°﹣37°＝53°，
故答案为：53．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
11．（3分）一个多边形的内角和跟它的外角和相等，则这个多边形是 4 边形．
【分析】利用多边形的内角和与外角和公式列出方程，然后解方程即可．
【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意
（n﹣2）•180°＝360°，
解得n＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了多边形的内角和公式与多边形的外角和定理，需要注意，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°．
12．（3分）如图是由6个边长相等的正方形组合成的图形，∠1+∠2+∠3＝ 135° ．
【分析】如图，根据题意得DE＝BC，EC＝AB，GF＝GC，∠DEC＝∠ABC＝∠FGC＝90°，先判断△CGF为等腰直角三角形得到∠2＝45°，再证明△ABC≌△CED得到∠1＝∠DCE，则∠1+∠3＝90°，从而求出∠1+∠2+∠3的度数．
【解答】解：如图，
根据题意得DE＝BC，EC＝AB，GF＝GC，∠DEC＝∠ABC＝∠FGC＝90°，
∴△CGF为等腰直角三角形，
∴∠2＝45°，
在△ABC和△CED中，
，
∴△ABC≌△CED（SAS），
∴∠1＝∠DCE，
∵∠DCE+∠3＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∴∠1+∠2+∠3＝90°+45°＝135°．
故答案为135°．
【点评】本题考查了全等图形：能够完全重合的两个图形叫做全等形．也考查了正方形的性质．
13．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为E，AB＝10，AC＝6，则BE的长为 4 ．
【分析】先证明△ACD和△AED全等，得出AC＝AE，即可得出BE的长度．
【解答】解：∵AD是∠CAB的平分线，
∴∠EAD＝∠CAD，
∵DE⊥AB，
∴∠DEA＝∠C＝90°，
在△ADE和△ADC中，
，
∴△ADE≌△ADC（AAS），
∴AE＝AC＝6，
∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4，
故答案为4．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定，关键是要牢记全等三角形的判定定理．
14．（3分）在△ABC中，已知AB＝6，AC＝5，AD是BC边上的中线，则AD取值范围是 ＜AD＜ ．
【分析】延长AD到E使DE＝AD，连接BE，如图，证明△BDE≌△CDA得到BE＝AC＝5，再利用三角形三边的关系得到AB﹣BE＜AE∠AB+BE，从而得到AD的范围．
【解答】解：延长AD到E使DE＝AD，连接BE，如图，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△BDE和△CDA中，
，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE＝AC＝5，
∵AB﹣BE＜AE∠AB+BE，
即6﹣5＜2AD＜6+5，
∴＜AD＜．
故答案为＜AD＜．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了三角形三边的关系．
15．（3分）如图，△AOD≌△BOC，∠C＝50°，∠COD＝40°，AD与BC相交于点E，则∠DEC＝ 40 °．
【分析】根据全等三角形的性质得出∠D＝∠C，根据三角形内角和定理求出∠D+∠DEC+∠DFE＝180°，∠C+∠DOC+∠OFC＝180°，根据对顶角相等得出∠DFE＝∠OFC，求出∠DEC＝∠COD，再求出答案即可．
【解答】解：设DO交BC于F，
∵△AOD≌△BOC，∠C＝50°，
∴∠D＝∠C，
∵∠D+∠DEC+∠DFE＝180°，∠C+∠DOC+∠OFC＝180°，
又∵∠DFE＝∠OFC，
∴∠DEC＝∠COD，
∵∠COD＝40°，
∴∠DEC＝40°，
故答案为：40．
【点评】本题考查了三角形内角和定理和全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
16．（3分）当三角形中一个内角β是另外一个内角α的时，我们称此三角形为“友好三角形”，α为友好角．如果一个“友好三角形”中有一个内角为54°，那么这个“友好三角形”的“友好角α”的度数为 54°或84°或108° ．
【分析】分54°角是α、β和既不是α也不是β三种情况，根据希望角的定义以及三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【解答】解：①54°角是α，则友好角度数为54°；
②54°角是β，则α＝β＝54°，
所以，友好角α＝108°；
③54°角既不是α也不是β，
则α+β+54°＝180°，
所以，α+α+54°＝180°，
解得α＝84°，
综上所述，友好角度数为54°或84°或108°．
故答案为：54°或84°或108°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，读懂题目信息，理解希望角的定义是解题的关键，难点在于分情况讨论．
三、解答题（共6小题，17、18每小题4分，19、20、21、22每小题4分，共32分）
17．（4分）求出下列图形中x的值．
【分析】（1）根据三角形的内角和定理计算可得到结论；
（2）根据三角形的内角和定理计算可得到结论；
（3）根据三角形外角的性质计算可得到结论
【解答】解：（1）x＝180°−90°−50°＝40°；
（2）∵x+x+40＝180°，
∴x＝70；
（3）∵x+70＝x+x+10，
解得x＝60．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理及三角形外角的性质，熟练掌握三角形的内角和定理及三角形外角的性质是解题的关键．
18．（4分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求作图．
（1）利用尺规作图在AC边上找一点D，使点D到AB、BC的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在网格中，△ABC的下方，直接画出△EBC，使△EBC与△ABC全等．
【分析】（1）作∠ABC的平分线即可；
（2）利用翻折变换，或构造平行四边形可得结论；
【解答】解：（1）如图点D即为所求；
（2）△EBC或△E′BC即为所求；
【点评】本题考查作图﹣应用与设计，全等三角形的判定，角平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
19．（6分）看对话答题：小梅说：这个多边形的内角和等于1125°．小红说：不对，你少加了一个角．
问题：
（1）他们在求几边形的内角和？
（2）少加的那个内角是多少度？
【分析】设少加这个内角为x度，这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式列出算式，根据多边形的一个内角的度数大于0度，且小于180度可求得n的值．
【解答】解：（1）设少加这个内角为x°，这个多边形的边数为n
则1125+x＝（n﹣2）180，
x＝（n﹣2）180﹣1125，
∵0＜x＜180，
∴0＜（n﹣2）180﹣1125＜180，
∵n为整数，
∴n＝9．
（2）x＝（9﹣2）×180﹣1125＝135，
∴少加这个内角为135度．
【点评】本题主要考查的是多边形的内角和定理的应用，根据多边形的一个内角的度数大于0度，且小于180度求得多边形的边数是解题的关键．
20．（6分）已知：如图，CB＝CD，分别过点B和点D作AB⊥BC，AD⊥DC，两垂线相交于点A．求证：AB＝AD．
【分析】连接AC，由HL可证Rt△ABC≌Rt△ADC，可得AB＝AD．
【解答】证明：连接AC，
∵AB⊥BC，AD⊥CD
∴∠B＝∠D＝90°，
在Rt△ABC和Rt△ADC中
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）
∴AB＝AD
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明Rt△ABC≌Rt△ADC是本题的关键．
21．（6分）如图，A，E，C三点在同一直线上，且△ABC≌△DAE．
（1）线段DE，CE，BC有怎样的数量关系？请说明理由．
（2）请你猜想△ADE满足什么条件时，DE∥BC，并证明．
【分析】（1）根据全等三角形的性质得出AE＝BC，DE＝AC，再求出答案即可；
（2）当∠AED＝90°时，DE∥BC，根据全等三角形的性质得出∠AED＝∠C，求出∠DEC＝∠C，再根据平行线的判定得出即可．即可．
【解答】（1）解：DE＝CE+BC．
理由：∵△ABC≌△DAE，
∴AE＝BC，DE＝AC．
∵A，E，C三点在同一直线上，
∴AC＝AE+CE，
∴DE＝CE+BC；
（2）当△ADE满足∠AED＝90°时，DE∥BC，
证明：∵△ABC≌△DAE，∠AED＝90°，
∴∠C＝∠AED＝90°，∠DEC＝180°﹣∠AED＝90°，
∴∠C＝∠DEC．
∴DE∥BC，
即当△ADE满足∠AED＝90°时，DE∥BC．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和平行线的判定，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
22．（6分）如图，大小不同的两块三角板△ABC和△DEC直角顶点重合在点C处，AC＝BC，DC＝EC，连接AE、BD，点A恰好在线段BD上．
（1）找出图中的全等三角形，并说明理由；
（2）当AD＝AB＝4cm，则AE的长度为 8 cm．
（3）猜想AE与BD的位置关系，并说明理由．
【分析】（1）根据SAS证明△CBD≌△CAE即可；
（2）根据全等三角形的性质解答即可；
（3）根据全等三角形的性质和垂直的定义解答即可．
【解答】解：（1）△CBD≌△CAE，理由如下：
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，
即∠BCD＝∠ACE，
在△CBD与△CAE中，
，
∴△CBD≌△CAE（SAS）；
（2）∵△CBD≌△CAE，
∴BD＝AE＝AD+AB＝4+4＝8（cm），
故答案为：8；
（3）AE⊥BD，理由如下：
AE与CD相交于点O，在△AOD与△COE中，
∵△CBD≌△CAE，
∴∠ADO＝∠CEO，
∵∠AOD＝∠COE，
∴∠OAD＝∠OCE＝90°，
∴AE⊥BD．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SAS得出△CBD与△CAE全等解答．
四．能力展示题（共3小题，第23、24每小题6分，25题8分，共20分）
23．（6分）在△ABC中，∠A＝70°．
（1）如图1，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，则∠BOC＝ 125 °；
（2）如图2，△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线相交于点O'，则∠BO'C＝ 55° °；
（3）探究如图3，△ABC的内角∠ABC的平分线与其外角∠ACD的平分线相交于点O，设∠A＝n°，则∠BOC的度数是 ．（用n的代数式表示）
【分析】（1）根据三角形内角和定理，由∠A＝70°，得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°．根据角平分线的定义，由BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，得∠OBC＝，∠OCB＝，那么∠OBC+∠OCB＝＝＝55°，从而推断出∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝125°．
（2）根据三角形外角的性质，得∠DBC＝∠A+∠ACB，∠BCE＝∠A+∠ABC，故∠DBC+∠BCE＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝250°．根据角平分线的定义，由BO′平分∠DBC，CO′平分∠BCE，得∠O′BC＝，∠O′CB＝，故∠O′BC+∠O′CB＝＝＝125°，那么∠BO′C＝180°﹣（∠O′BC+∠O′CB）＝55°．
（3）根据角平分线的定义，由BO平分∠ABC，CO平分∠ACE，得∠ABC＝2∠OBC，∠ACE＝2∠OCE．根据三角形外角的性质，得∠A＝∠ACE﹣∠ABC，故∠A＝2∠OCE﹣2∠OBC＝2（∠OCE﹣∠OBC）＝2∠BOC，那么∠BOC＝＝．
【解答】解：（1）∵∠A＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°．
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC＝，∠OCB＝．
∴∠OBC+∠OCB＝＝＝55°．
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝125°．
故答案为：125°．
（2）∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠BCE＝∠A+∠ABC，
∴∠DBC+∠BCE＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝180°+70°＝250°．
∵BO′平分∠DBC，CO′平分∠BCE，
∴∠O′BC＝，∠O′CB＝．
∴∠O′BC+∠O′CB＝＝＝125°．
∠BO′C＝180°﹣（∠O′BC+∠O′CB）＝180°﹣125°＝55°．
故答案为：55°．
（3）∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACE，
∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACE＝2∠OCE．
∵∠A＝∠ACE﹣∠ABC，
∴∠A＝2∠OCE﹣2∠OBC＝2（∠OCE﹣∠OBC）＝2∠BOC．
∴∠BOC＝＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形外角的性质是解决本题的关键．
24．（6分）若三边均不相等的三角形三边a、b、c满足a﹣b＞b﹣c（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为7﹣5＞5﹣4，所以这个三角形为“不均衡三角形”．
（1）以下4组长度的小木棍能组成“不均衡三角形”的为 ② （填序号）．
①4cm，2cm，1cm；②13cm，18cm，9cm；③19cm，20cm，19cm；④9cm，8cm，6cm．
（2）已知“不均衡三角形”三边分别为2x+2，16，2x﹣6，直接写出x的整数值为 10或12或13或14 ．
【分析】（1）根据“不均衡三角形”的定义即可求解；
（2）分三种情况对16进行讨论即可求解．
【解答】解：（1）①∵1+2＜4，
∴4cm，2cm，1cm不能组成“不均衡三角形”；
②∵18﹣13＞13﹣9，
∴13cm，18cm，9cm能组成“不均衡三角形”；
③∵19＝19，
∴19cm，20cm，19cm不能组成“不均衡三角形”；
④∵9﹣8＜8﹣6，
∴9cm，8cm，6cm不能组成“不均衡三角形”．
故答案为：②；
（2）①16﹣（2x+2）＞2x+2﹣（2x﹣6），
解得x＜3，
∵2x﹣6＞0，
解得x＞3，
故不合题意舍去；
②2x+2＞16＞2x﹣6，
解得7＜x＜11，
2x+2﹣16＞16﹣（2x﹣6），
解得x＞9，
∴9＜x＜11，
∵x为整数，
∴x＝10，
经检验，当x＝10时，22，16，14可构成三角形；
③2x﹣6＞16，
解得x＞11，
2x+2﹣（2x﹣6）＞2x﹣6﹣16，
解得x＜15，
∴11＜x＜15，
∵x为整数，
∴x＝12或13或14，都可以构成三角形．
综上所述，x的整数值为10或12或13或14．
故答案为：10或12或13或14．
【点评】本题考查了三角形三边关系，熟练掌握“不均衡三角形”的定义、以及分类讨论思想的应用是解题的关键．
25．（8分）数学课上，老师给出了如下问题：
已知：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，延长CB到点D，∠DBE＝45°，点F是边BC上一点，连接AF，作FE⊥AF，交BE于点 E．
（1）求证：∠CAF＝∠DFE；
（2）求证：AF＝EF．
经过独立思考后，老师让同学们小组交流．小辉同学说出了对于第二问的想法：“我想通过构造含有边AF和EF的全等三角形，因此我过点E作EG⊥CD于G（如图2所示），如果能证明Rt△ACF和Rt△FGE全等，问题就解决了．但是这两个三角形证不出来相等的边，好像这样作辅助线行不通．”小亮同学说：“既然这样作辅助线证不出来，再考虑有没有其他添加辅助线的方法．”请你顺着小亮同学的思路在图3中继续尝试，并完成（1）、（2）问的证明．
【分析】（1）依据“同角的余角相等”，即可得到∠CAF＝∠DFE；
（2）在AC 上截取AG＝BF，连接FG，依据ASA即可判定△AGF≌△FBE，进而得出AF＝EF．
【解答】证明：（1）∵∠C＝90°，
∴∠CAF+∠AFC＝90°．
∵FE⊥AF，
∴∠DFE+∠AFC＝90°．
∴∠CAF＝∠DFE．
（2）如图3，在AC 上截取AG＝BF，连接FG，
∵AC＝BC，
∴AC﹣AG＝BC﹣BF，即 CG＝CF．
∵∠C＝90°，
∴∠CGF＝∠CFG＝45°．
∴∠AGF＝180°﹣∠CGF＝135°．
∵∠DBE＝45°，
∴∠FBE＝180°﹣∠DBE＝135°．
∴∠AGF＝∠FBE．
由（1）可得：∠CAF＝∠DFE．
∴△AGF≌△FBE（ASA）．
∴AF＝EF．
【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，解本题的关键是作辅助线构造含有边AF和EF的全等三角形．
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