2021-2022学年北京市门头沟区斋堂中学九年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2021-2022学年北京市门头沟区斋堂中学九年级（上）期中数学试卷【含解析】，共22页。试卷主要包含了如果两个相似三角形的相似比是1等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）已知2x＝3y，则下列比例式成立的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
2．（2分）如图，在△ABC中，DE∥BC，若，DE＝4，则BC＝（ ）
A．9B．10C．11D．12
3．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则a、b、c满足（ ）
A．a＜0，b＜0，c＞0B．a＜0，b＜0，c＜0
C．a＜0，b＞0，c＞0D．a＞0，b＜0，c＞0
4．（2分）二次函数y＝﹣2x2的图象如何移动就得到y＝﹣2（x﹣1）2+3的图象（ ）
A．向左移动1个单位，向上移动3个单位
B．向右移动1个单位，向上移动3个单位
C．向左移动1个单位，向下移动3个单位
D．向右移动1个单位，向下移动3个单位
5．（2分）如果函数y＝（m﹣3）+mx+1是二次函数，那么m的值一定是（ ）
A．0B．3C．0，3D．1，2
6．（2分）如图，为了测量一池塘的宽DE，在岸边找到一点C，测得CD＝30m，在DC的延长线上找一点A，测得AC＝5m，过点A作AB∥DE交EC的延长线于B，测出AB＝6m，则池塘的宽DE为（ ）
A．25mB．30mC．36mD．40m
7．（2分）函数y＝ax+b，y＝﹣ax2在同一坐标系中的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2分）已知抛物线y＝3（x﹣1）2+k上有三点A（，y1），B（2，y2），C（﹣，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y1＜y2＜y3C．y2＜y1＜y3D．y2＞y1＞y3
二．填空（共8小题，每题2分，共16分）
9．（2分）如果两个相似三角形的相似比是1：3，那么这两个三角形面积的比是 ．
10．（2分）如果，那么＝ ．
11．（2分）在同一时刻物体的高度与它的影长成比例，在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为60米，那么高楼的实际高度是 米．
12．（2分）函数的图象是抛物线，则m＝ ．
13．（2分）抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交点为 ，与y轴交点为 ．
14．（2分）函数y＝﹣2（x+3）2+5的图象的开口向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ．
15．（2分）把抛物线y＝x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线的表达式是 ．
16．（2分）如图是二次函数y1＝ax2+bx+c和一次函数y2＝mx+n的图象，观察图象写出y2≥y1时，x的取值范围 ．
三、解答题（本题共68分，第17～21题每小题5分，第22～24题每小题5分，第25题5分，第26题6分，第27～28题每小题5分）
17．（5分）已知：如图，在△ABC中，D是AB上一点，且∠ACD＝∠ABC．求证：△ACD∽△ABC．
18．（5分）已知：如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝7，DB＝3，BC＝8，求DE的长．
19．（5分）已知AB∥CD，AD与BC相交于点P，AB＝4，CD＝7，AD＝10．求AP的长．
20．（5分）如图，▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，E，F分别是垂足．求证：＝．
21．（5分）已知二次函数y＝x2+bx+c经过（﹣4，0），（2，6），求该二次函数的解析式．
22．（6分）二次函数y＝ax2+1上部分点的横坐标与纵坐标y的对应值如下表：
（1）求a的值；
（2）直接写出表中m的值，m＝ ．
23．（6分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）用配方法将其化为y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）在所给的平面直角坐标系xOy中，画出它的图象．
24．（6分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AB＝29，AD＝4，求CD，AC．
25．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴，y轴的交点分别为（1，0）和（0，﹣3）．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）结合函数图象，直接写出当y＞﹣3时，x的取值范围．
26．（6分）如图，已知反比例函数的图象经过点M．
（1）求此反比例函数的解析式；
（2）当x＝﹣3时，求y的值；
（3）若A（1，y1）、B（3，y2）是此反比例函数图象上的两点，试比较y1和y2的大小关系（直接写出结果）．
27．（7分）在平面直角坐标系中，直线y＝x与y＝（x＞0）反比例函数的图象交于点A（2，m）．
（1）求m和k的值；
（2）点P（xP，yP）是函数y＝（x＞0）图象上的任意一点，过点P作平行于x轴的直线，交直线y＝x于点B．
①当yP＝4时，求线段BP的长；
②当BP≥3时，结合函数图象，直接写出点P的纵坐标yP的取值范围．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与双曲线y＝交于点A（2，a）．
（1）求a与k的值；
（2）画出双曲线y＝的示意图；
（3）设点P（m，n）是双曲线y＝上一点（P与A不重合），直线PA与y轴交于点B（0，b），当AB＝2BP时，结合图象，直接写出b的值．
2021-2022学年北京市门头沟区斋堂中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择（共8小题，每题2分，共16分）
1．（2分）已知2x＝3y，则下列比例式成立的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
【分析】把各个选项依据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，已知的比例式可以转化为等积式2x＝3y，即可判断．
【解答】解：A、变成等积式是：xy＝6，故错误；
B、变成等积式是：3x＝2y，故错误；
C、变成等积式是：2x＝3y，故正确；
D、变成等积式是：3x＝2y，故错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查了判断两个比例式是否能够互化的方法，即转化为等积式，判断是否相同即可．
2．（2分）如图，在△ABC中，DE∥BC，若，DE＝4，则BC＝（ ）
A．9B．10C．11D．12
【分析】由DE∥BC，可求出△ADE∽△ABC，已知了它们的相似比和DE的长，可求出BC的值．
【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC
∴＝
∵DE＝4
∴BC＝12
故选：D．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质：三角形一边的平行线截三角形另两边或另两边的延长线所得三角形与原三角形相似；相似三角形对应边的比相等．
3．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则a、b、c满足（ ）
A．a＜0，b＜0，c＞0B．a＜0，b＜0，c＜0
C．a＜0，b＞0，c＞0D．a＞0，b＜0，c＞0
【分析】由于开口向下可以判断a＜0，由与y轴交于正半轴得到c＞0，又由于对称轴x＝﹣＜0，可以得到b＜0，所以可以找到结果．
【解答】解：根据二次函数图象的性质，
∵开口向下，
∴a＜0，
∵与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
又∵对称轴x＝﹣＜0，
∴b＜0，
所以A正确．
故选：A．
【点评】考查二次函数y＝ax2+bx+c系数符号的确定．
4．（2分）二次函数y＝﹣2x2的图象如何移动就得到y＝﹣2（x﹣1）2+3的图象（ ）
A．向左移动1个单位，向上移动3个单位
B．向右移动1个单位，向上移动3个单位
C．向左移动1个单位，向下移动3个单位
D．向右移动1个单位，向下移动3个单位
【分析】根据图象平移规律：左加右减，上加下减，可得答案．
【解答】解：由y＝﹣2x2的图象得到y＝﹣2（x﹣1）2+3的图象，得
向右移动1个单位，向上移动3个单位．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟记函数图象平移规律是解题关键．
5．（2分）如果函数y＝（m﹣3）+mx+1是二次函数，那么m的值一定是（ ）
A．0B．3C．0，3D．1，2
【分析】根据二次函数的定义求出m的值即可．
【解答】解：∵函数y＝（m﹣3）+mx+1是二次函数，
∴m﹣3≠0，m2﹣3m+2＝2，解得m＝0．
故选：A．
【点评】本题考查的是二次函数的定义，熟知一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数是解题的关键．
6．（2分）如图，为了测量一池塘的宽DE，在岸边找到一点C，测得CD＝30m，在DC的延长线上找一点A，测得AC＝5m，过点A作AB∥DE交EC的延长线于B，测出AB＝6m，则池塘的宽DE为（ ）
A．25mB．30mC．36mD．40m
【分析】将原题转化为相似三角形，根据相似三角形的性质解答，即可得出DE的宽．
【解答】解：∵AB∥DE
∴AB：DE＝AC：CD
∴
∴DE＝36m．
故选：C．
【点评】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出池塘的宽度，体现了方程的思想．
7．（2分）函数y＝ax+b，y＝﹣ax2在同一坐标系中的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据二次函数的图象和一次函数的图象确定a的符号，看是否一致即可判断．
【解答】解：A、由二次函数y＝﹣ax2的图象得a＜0，由一次函数y＝ax+b经过第一、三、四象限可知a＞0，所以A选项不合题意；
B、由二次函数y＝﹣ax2的图象得a＞0，由一次函数y＝ax+b经过第二、三、四象限可知a＜0，所以B选项不合题意；
C、由二次函数y＝﹣ax2的图象得a＞0，由一次函数y＝ax+b经过第一、二、四象限可知a＜0，所以C选项不合题意；
D、由二次函数y＝﹣ax2的图象得a＜0，由一次函数y＝ax+b经过第二、三、四象限可知a＜0，所以D选项符合题意．
故选：D．
【点评】主要考查了一次函数和二次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
8．（2分）已知抛物线y＝3（x﹣1）2+k上有三点A（，y1），B（2，y2），C（﹣，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y1＜y2＜y3C．y2＜y1＜y3D．y2＞y1＞y3
【分析】先求得抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的增减性和对称性综合判断即可．
【解答】解：∵y＝3（x﹣1）2+k，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝1，
∵抛物线y＝3（x﹣1）2+k上有三点A（，y1），B（2，y2），C（﹣，y3），
∴点C（﹣，y3）关于直线x＝1的对称点（2，y3）在抛物线y＝3（x﹣1）2+k上，
∵1＜＜2＜2+，
∴y3＞y2＞y1，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上的点的坐标，熟练作为二次函数的性质是解题的关键．
二．填空（共8小题，每题2分，共16分）
9．（2分）如果两个相似三角形的相似比是1：3，那么这两个三角形面积的比是 1：9 ．
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出即可．
【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是1：3，
又∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴这两个三角形面积的比是1：9．
故答案为：1：9．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方．
10．（2分）如果，那么＝ ．
【分析】由题干可得a＝b，再代入中即可求出答案．
【解答】解：∵，
∴a＝b，
∴＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的基本性质，正确利用比例的性质进行变形是关键．
11．（2分）在同一时刻物体的高度与它的影长成比例，在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为60米，那么高楼的实际高度是 36 米．
【分析】设此高楼的高度为h米，再根据同一时刻物高与影长成正比列出关于h的比例式，求出h的值即可．
【解答】解：设此高楼的高度为h米，
∵在同一时刻，有人测得一高为1.8米得竹竿的影长为3米，某高楼的影长为60米，
∴＝，解得h＝36．
故答案为：36．
【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．
12．（2分）函数的图象是抛物线，则m＝ ﹣1 ．
【分析】根据二次函数的定义列式求解即可．
【解答】解：根据二次函数的定义，m2+1＝2且m﹣1≠0，
解得m＝±1且m≠1，
所以，m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查二次函数的定义，要注意二次项的系数不等于0．
13．（2分）抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交点为 （﹣3，0）、（1，0） ，与y轴交点为 （0，3） ．
【分析】当x＝0时，可以求得y的值，即可求得抛物线与y轴交点；
当y＝0时，可以求得x的值，即可求得抛物线与x轴交点．
【解答】解：∵当x＝0时，y＝3，
∴与y轴交点为（0，3）；
∵当y＝0时，﹣x2﹣2x+3＝0，
解得：x＝﹣3或1，
∴抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交点为（﹣3，0）、（1，0）；
故答案为（﹣3，0）、（1，0），（0，3）．
【点评】本题考查了抛物线与x轴交点的求解，考查了抛物线与y轴交点的求解，本题中解一元二次方程﹣x2﹣2x+3＝0是解题的关键．
14．（2分）函数y＝﹣2（x+3）2+5的图象的开口向 下 ，顶点坐标是 （﹣3，5） ，对称轴是 x＝﹣3 ．
【分析】根据二次函数的顶点式，利用二次函数的性质即可解答本题．
【解答】解：∵二次函数的解析式为：y＝﹣2（x+3）2+5，其中a＝﹣2＜0，
∴其图象开口向下，对称轴为直线x＝﹣3，顶点坐标为（﹣3，5），
故答案为：下；（﹣3，5）；x＝﹣3．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．
15．（2分）把抛物线y＝x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线的表达式是 y＝（x+3）2﹣2 ．
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝x2向左平移3个单位所得的抛物线的表达式是y＝（x+3）2；
由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝（x+3）2向下平移2个单位所得的抛物线的表达式是y＝（x+3）2﹣2．
故答案为：y＝（x+3）2﹣2．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
16．（2分）如图是二次函数y1＝ax2+bx+c和一次函数y2＝mx+n的图象，观察图象写出y2≥y1时，x的取值范围 ﹣2≤x≤1 ．
【分析】观察图象可知，y1与y2的两交点横坐标为﹣2，1；当y2≥y1时，就是两图象交点之间的部分，可求此时x的取值范围．
【解答】解：∵y1与y2的两交点横坐标为﹣2，1，
当y2≥y1时，y2的图象应在y1的图象上面，
即两图象交点之间的部分，
∴此时x的取值范围是﹣2≤x≤1．
故答案为：﹣2≤x≤1．
【点评】此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．
三、解答题（本题共68分，第17～21题每小题5分，第22～24题每小题5分，第25题5分，第26题6分，第27～28题每小题5分）
17．（5分）已知：如图，在△ABC中，D是AB上一点，且∠ACD＝∠ABC．求证：△ACD∽△ABC．
【分析】由∠ACD＝∠B结合公共角∠A＝∠A，即可证出△ACD∽△ABC．
【解答】证明：∵∠ACD＝∠ABC，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC．
【点评】本题考查相似三角形的判定，（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
18．（5分）已知：如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝7，DB＝3，BC＝8，求DE的长．
【分析】先证明△ADE∽△ABC，则根据相似三角形的性质得到＝，然后利用比例的性质可求出DE的长．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
即＝，
∴DE＝5.6．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．
19．（5分）已知AB∥CD，AD与BC相交于点P，AB＝4，CD＝7，AD＝10．求AP的长．
【分析】先证明△ABP∽△DCP，则根据相似三角形的性质得到＝，然后利用比例的性质得到AP＝AD．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴△ABP∽△DCP，
∴＝，
即＝，
∴＝，
∴AP＝AD＝．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．
20．（5分）如图，▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，E，F分别是垂足．求证：＝．
【分析】由平行四边形的性质可得∠B＝∠D，AD＝BC，通过证明△ABE∽△ADF，可得，即可得结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，AD＝BC，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
∴△ABE∽△ADF，
∴，
又∵AD＝BC，
∴．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，证明△ABE∽△ADF是本题的关键．
21．（5分）已知二次函数y＝x2+bx+c经过（﹣4，0），（2，6），求该二次函数的解析式．
【分析】把A点和B点坐标代入y＝x2+bx+c中得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可．
【解答】解：根据题意得，
解得，
所以二次函数解析式为y＝x2+3x﹣4．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
22．（6分）二次函数y＝ax2+1上部分点的横坐标与纵坐标y的对应值如下表：
（1）求a的值；
（2）直接写出表中m的值，m＝ 10 ．
【分析】（1）通过待定系数法求解．
（2）将（3，m）代入解析式求解．
【解答】解：（1）将（﹣1，2）代入y＝ax2+1得2＝a+1，
解得a＝1．
（2）由（1）得y＝x2+1，
将（3，m）代入y＝x2+1得m＝9+1＝10．
故答案为：10．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
23．（6分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）用配方法将其化为y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）在所给的平面直角坐标系xOy中，画出它的图象．
【分析】（1）用配方法配方成顶点式即可；
（2）写出顶点坐标，计算其与x轴的交点和与y轴的交点，列表、描点，画出图象．
【解答】解：（1）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4；
（2）顶点（1，﹣4），
当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，
（x+1）（x﹣3）＝0，
x1＝﹣1，x2＝3，
∴与x轴交点为（﹣1，0）、（3，0），
【点评】本题考查了配方法确定二次函数的顶点式及画出二次函数的图象，知道用五点法画二次函数图象的方法：①五点是指：顶点、与x轴的两个交点、与y轴交点及其对称点（也可取任意两个对称点），②计算出五点的坐标，③再列表、描点，连线即可．
24．（6分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AB＝29，AD＝4，求CD，AC．
【分析】根据同角的余角相等得到∠ACD＝∠B，证明△ACD∽△CBD，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可求出CD，再利用勾股定理求出AC即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∵∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴△ACD∽△CBD，
∴＝，
∴CD2＝4×25，
∴CD＝10，
∴AC＝＝＝2．
【点评】本题考查射影定理，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
25．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴，y轴的交点分别为（1，0）和（0，﹣3）．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）结合函数图象，直接写出当y＞﹣3时，x的取值范围．
【分析】（1）把（1，0）和（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可得到抛物线解析式；
（2）利用抛物线的对称性得到点（0，﹣3）关于直线x＝﹣1的对称点的坐标为（﹣2，﹣3），然后利用函数图象写出函数值大于﹣3对应的自变量的范围即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴、y轴的交点分别为（1，0）和（0，﹣3），
∴，解得：．
∴抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3．
（2）当y＞﹣3时，x的取值范围是x＜﹣2或x＞0．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解．也考查了二次函数的性质．
26．（6分）如图，已知反比例函数的图象经过点M．
（1）求此反比例函数的解析式；
（2）当x＝﹣3时，求y的值；
（3）若A（1，y1）、B（3，y2）是此反比例函数图象上的两点，试比较y1和y2的大小关系（直接写出结果）．
【分析】（1）把M（﹣2，1）代入，即可得到结论；
（2）把x＝﹣3代入y＝﹣即可得到结论；
（3）根据反比例函数的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵反比例函数的图象经过点M（﹣2，1），
∴1＝，
∴k＝﹣2，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣；
（2）把x＝﹣3代入y＝﹣得y＝，
故y的值为；
（3）∵A（1，y1）、B（3，y2）是此反比例函数图象上的两点，1＜3，
∴y1＜y2．
【点评】本题考查的是待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键．
27．（7分）在平面直角坐标系中，直线y＝x与y＝（x＞0）反比例函数的图象交于点A（2，m）．
（1）求m和k的值；
（2）点P（xP，yP）是函数y＝（x＞0）图象上的任意一点，过点P作平行于x轴的直线，交直线y＝x于点B．
①当yP＝4时，求线段BP的长；
②当BP≥3时，结合函数图象，直接写出点P的纵坐标yP的取值范围．
【分析】（1）先把A（2，m）代入y＝x求出得m＝2，然后把A点坐标代入y＝得k的值；
（2）①利用正比例函数和反比例函数解析式确定P、B的坐标，从而求出PB的长；
②由于当x＝1时PB＝3，然后结合函数图象得到当BP≥3时，点P的纵坐标yP的取值范围．
【解答】解：（1）把A（2，m）代入y＝x得m＝2，则A（2，2），
把A（2，2）代入y＝得k＝2×2＝4；
（2）①当yP＝4时，解方程＝4得x＝1，则P（1，4），
而B（4，4），
∴BP＝4﹣1＝3；
②当x＝1时，P（4，1），B（1，1），此时PB＝3，
所以当BP≥3时，yP≥4或0＜yP≤1．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与双曲线y＝交于点A（2，a）．
（1）求a与k的值；
（2）画出双曲线y＝的示意图；
（3）设点P（m，n）是双曲线y＝上一点（P与A不重合），直线PA与y轴交于点B（0，b），当AB＝2BP时，结合图象，直接写出b的值．
【分析】（1）先把A（2，a）代入y＝x得a＝2，从而得到A点坐标，然后把A点坐标代入y＝可求出k的值；
（2）如图，利用描点法画函数图象；
（3）当P点在第三象限，如图，作AC⊥y轴于C，PD⊥y轴于D，AC＝2，利用平行线分线段成比例求出PD＝1，BC＝2BD，则确定P（﹣1，﹣4），接着求出CD，从而得到BC的长，然后求出OB得到b的值；当P′点在第一象限，如图，作AC⊥y轴于C，P′D′⊥y轴于D′，利用平行线分线段成比例求出P′D′＝1，B′C＝2B′D′，则可确定P′（1，4），再求出C′D′，从而得到B′C′＝4，然后计算出OB′得到b的值．
【解答】解：（1）把A（2，a）代入y＝x得a＝2，
则A（2，2），
把A（2，2）代入y＝得k＝2×2＝4；
（2）如图，
（3）当P点在第三象限，如图，作AC⊥y轴于C，PD⊥y轴于D，AC＝2，
∵AC∥PD，
∴＝＝＝2，
∴PD＝1，BC＝2BD，
当x＝﹣1时，y＝＝﹣4，则P（﹣1，﹣4），
∴CD＝2﹣（﹣4）＝6，
∴BC＝CD＝4，
∴OB＝2，
∴B点坐标为（0，﹣2），即b的值为﹣2；
当P′点在第一象限，如图，作AC⊥y轴于C，P′D′⊥y轴于D′，
∵AC∥P′D′，′
∴＝＝＝，
∴P′D′＝1，B′C＝2B′D′，
当x＝1时，y＝＝4，则P′（1，4），
∴C′D′＝4﹣2＝2，
∴B′C′＝2，
∴OB′＝2+2+2＝6，
∴B′点坐标为（0，6），即b的值为6，
综上所述，b的值为﹣2或6．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了相似三角形的判定与性质．
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