2021-2022学年北京市通州区九年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2021-2022学年北京市通州区九年级（上）期中数学试卷【含解析】，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．如图所示，△ABC∽△DEF，则∠D的度数为（ ）
A．35°B．45°C．65°D．80°
2．下列各坐标表示的点中，在函数y＝x2+1的图象上的是（ ）
A．（﹣1，﹣2）B．（﹣1，4）C．（1，2）D．（1，4）
3．如图，在△ABC中，点D是AB上一点，DE∥BC交AC于点E，AD＝3，BD＝2，则AE与EC的比是（ ）
A．3：2B．3：5C．9：16D．9：4
4．将二次函数y＝﹣2x2的图象向上平移3个单位长度，得到新的二次函数的表达式为（ ）
A．y＝﹣2x2+3B．y＝﹣2x2﹣3
C．y＝﹣2（x﹣3）2D．y＝﹣2（x+3）2
5．如图，已知△ABC∽△BDC，其中AC＝4，CD＝2，则BC＝（ ）
A．2B．C．D．4
6．已知（﹣3，y1）（1，y2）是二次函数y＝2x2﹣4x图象上的两点，那么y1，y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．不能确定
7．在物理课中同学们曾学过小孔成像：在较暗的屋子里，把一支点燃的蜡烛放在一块半透明的塑料薄膜前面，在它们之间数一块钻有小孔章的纸板，由于光沿直线传播，塑料薄膜上就出现了蜡烛火焰倒立的像（如图1），这种现象就是小孔成像，在图2中，如果蜡烛火焰图1根B到孔O的距离为4cm，火焰根的像B'到孔O的距离为10cm，蜡烛火焰AB的高度为2cm，那么倒立的像A'B'的高度为（ ）
A．2cmB．4cmC．5cmD．7cm
8．如图，要在二次函数y＝x（2﹣x）的图象上找一点M（a，b），针对b的不同取值，所找点M的个数，有下列三种说法：①如果b＝﹣3，那么点M的个数为0；②如果b＝1，那么点M的个数为1；③如果b＝3，那么点M的个数为2．上述说法中正确的序号是（ ）
A．①B．②C．③D．②③
二、填空题
9．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点是（3，0），那么二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的另一个交点的坐标是 ．
10．已知：，则＝ ．
11．已知点A（1，y1）、点B（2，y2）在抛物线y＝ax2﹣2上，且y1＜y2，那么a的取值范围是 ．
12．已知两个相似三角形的面积之比是4：9，那么这两个三角形对应边的比是 ．
13．在平面直角坐标系xOy中，已知点P（1，2），点Q（3，2），如果二次函数y＝ax2的图象与线段PQ有交点，那么a的取值范围为 ．
14．二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如下表．则当﹣3＜x＜3时，y满足的范围是 ．
15．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，D是AC的中点，在边AB上确定点E的位置．使得△ADE∽△ABC，那么AE的长为 ．
16．如图，一座悬索桥的桥面OA与主悬钢索MN之间用垂直钢索连接，主悬钢索是抛物线形状，两端到桥面的距离OM与AN相等，小强骑自行车从桥的一端O沿直线匀速穿过桥面到达另一端A，当他行驶18秒时和28秒时所在地方的主悬钢索的高度相同，那么他通过整个桥面OA共需 秒．
三、解答题
17．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象经过A（1，﹣4），B（﹣1，0）两点．
（1）求a和b的值；
（2）在坐标系xOy中画出该二次函数的图象．
18．如图，在△ABC，AC⊥BC，D是BC延长线上的一点，E是AC上的一点，连接ED，∠A＝∠D．
求证：△ABC∽△DEC．
19．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝a（x﹣3）2﹣4的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，5）．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）已知点D在二次函数y＝a（x﹣3）2﹣4的图象上，且点D和点C到x轴的距离相等，求点D的坐标．
20．如图，BE是△ABC的角平分线，在BE的延长线上有一点D．满足CD＝BC．求证：＝．
21．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+5（a≠0）．
（1）二次函数图象的对称轴为 ，与y轴的交点坐标为 ．
（2）当a＝1时，如果P（n，y1），Q（n+1，y2）是该二次函数图象上的两点，且y1＞y2，求实数n的取值范围．
22．定义：如图①，如果点D在△ABC的边AB上且满足∠1＝∠2，那么称点D为△ABC的“理想点”，如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，如果点D是△ABC的“理想点”，连接CD．求CD的长．
23．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+a+1（a≠0）图象的顶点为A，与y轴交于点B．
（1）求顶点A的坐标；
（2）求点B的纵坐标（用含a的代数式表示）；
（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．当二次函数y＝ax2﹣2ax+a+1（a≠0）的图象与直线y＝a+1围成的封闭区域内（不包含边界）只有2个整点时，直接写出a的取值范围．
24．如图△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，点D、E分别在边AB、AC上，且＝．
（1）求证：△AED∽△ABC；
（2）求线段DE长的取值范围．
25．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2﹣4ax（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）已知点P（1，0），Q（3，﹣2a﹣1），如果线段PQ与二次函数y＝ax2﹣4ax（a≠0）的图象恰有一个公共点．结合函数图象，求a的取值范围．
26．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，过点A作BC的垂线AD，垂足为D，E为线段DC上一动点（不与点C，点D重合），连接AE．以点A为中心，将线段AE逆时针旋转90°得到线段AF，连接BF，与线段AD交于点G．
（1）求证：∠BAE＝∠CAF；
（2）用等式表示线段BG与FG的数量关系，并证明．
27．2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：y＝﹣x2+x+1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方3米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y＝﹣x2+bx+c运动．
（1）当运动员运动到离A处的水平距离为4米时离水平线的高度为7米，求抛物线C2的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员恰好落在小山坡的B处？
2021-2022学年北京市通州区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．如图所示，△ABC∽△DEF，则∠D的度数为（ ）
A．35°B．45°C．65°D．80°
【分析】直接利用相似三角形的对应角相等，再结合三角形内角和定理得出答案．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，
∴∠B＝∠E＝35°，∠C＝∠F＝80°，
∴∠D＝180°﹣35°﹣80°＝65°．
故选：C．
【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出对应角度数是解题关键．
2．下列各坐标表示的点中，在函数y＝x2+1的图象上的是（ ）
A．（﹣1，﹣2）B．（﹣1，4）C．（1，2）D．（1，4）
【分析】将各选项的坐标代入函数解析式y＝x2+1检验即可．
【解答】解：当x＝﹣1时，y＝x2+1＝（﹣1）2+1＝2，
∴点（﹣1，﹣2）和点（﹣1，4）不在该函数图象上；
当x＝1时，y＝x2+1＝12+1＝2，
∴点（1，2）在该函数图象上，点（1，4）不在该函数图象上；
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．二次函数图象上的点的坐标，都满足该函数的解析式．
3．如图，在△ABC中，点D是AB上一点，DE∥BC交AC于点E，AD＝3，BD＝2，则AE与EC的比是（ ）
A．3：2B．3：5C．9：16D．9：4
【分析】直接利用平行线分线段成比例定理求解．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
4．将二次函数y＝﹣2x2的图象向上平移3个单位长度，得到新的二次函数的表达式为（ ）
A．y＝﹣2x2+3B．y＝﹣2x2﹣3
C．y＝﹣2（x﹣3）2D．y＝﹣2（x+3）2
【分析】直接利用二次函数的平移规律“上加下减”，进而得出答案．
【解答】解：将二次函数y＝﹣2x2的图象向上平移3个单位长度，得到新的二次函数的表达式为：y＝﹣2x2+3．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次图象的图象与几何变换．熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
5．如图，已知△ABC∽△BDC，其中AC＝4，CD＝2，则BC＝（ ）
A．2B．C．D．4
【分析】直接利用相似三角形的性质得出BC2＝AC•CD，进而得出答案．
【解答】解：∵△ABC∽△BDC，
∴＝，
∵AC＝4，CD＝2，
∴BC2＝AC•CD＝4×2＝8，
∴BC＝2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出对应边关系是解题关键．
6．已知（﹣3，y1）（1，y2）是二次函数y＝2x2﹣4x图象上的两点，那么y1，y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．不能确定
【分析】将x＝﹣3和x＝1分别代入函数解析式求得y的值，然后比较大小．
【解答】解：当x＝﹣3时，y1＝2×（﹣3）2﹣4×（﹣3）＝30，
当x＝1时，y2＝2×12﹣4×1＝﹣2，
∴y1＞y2．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是将x的值代入函数解析式求得y的值．
7．在物理课中同学们曾学过小孔成像：在较暗的屋子里，把一支点燃的蜡烛放在一块半透明的塑料薄膜前面，在它们之间数一块钻有小孔章的纸板，由于光沿直线传播，塑料薄膜上就出现了蜡烛火焰倒立的像（如图1），这种现象就是小孔成像，在图2中，如果蜡烛火焰图1根B到孔O的距离为4cm，火焰根的像B'到孔O的距离为10cm，蜡烛火焰AB的高度为2cm，那么倒立的像A'B'的高度为（ ）
A．2cmB．4cmC．5cmD．7cm
【分析】由AB∥A′B′知△ABO∽△A′B′O，据此可得，解之即可得出答案．
【解答】解：如图，
∵AB∥A′B′，
∴△ABO∽△A′B′O，
则，即，
解得A′B′＝5（cm），
故选：C．
【点评】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．
8．如图，要在二次函数y＝x（2﹣x）的图象上找一点M（a，b），针对b的不同取值，所找点M的个数，有下列三种说法：①如果b＝﹣3，那么点M的个数为0；②如果b＝1，那么点M的个数为1；③如果b＝3，那么点M的个数为2．上述说法中正确的序号是（ ）
A．①B．②C．③D．②③
【分析】把点M的坐标代入抛物线解析式，即可得到关于a的一元二次方程，根据根的判别式即可判断．
【解答】解：∵点M（a，b）在抛物线y＝x（2﹣x）上，点M（a，b），
当b＝﹣3时，﹣3＝a（2﹣a），整理得a2﹣2a﹣3＝0，
∵Δ＝4﹣4×（﹣3）＞0，
∴有两个不相等的值，
∴点M的个数为2，①错误；
当b＝1时，1＝a（2﹣a），整理得a2﹣2a+1＝0，
∵Δ＝4﹣4×1＝0，
∴a有两个相同的值，
∴点M的个数为1，②正确；
当b＝3时，3＝a（2﹣a），整理得a2﹣2a+3＝0，
∵Δ＝4﹣4×3＜0，
∴点M的个数为0，③错误；
故正确的②，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
二、填空题
9．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点是（3，0），那么二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的另一个交点的坐标是 （﹣1，0） ．
【分析】找出点（3，0）关于x＝1的对称点的坐标即可．
【解答】解：∵抛物线与x轴的一交点坐标为（3，0），
∴点（3，0）关于x＝1的对称点的坐标为（﹣1，0）．
故答案为：（﹣1，0）．
【点评】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，利用抛物线的对称性求得点（3，0）的对称点的坐标是解题的关键．
10．已知：，则＝ ．
【分析】根据得出y＝，再把它代入中，即可求出答案．
【解答】解：∵，
∴y＝，
则＝＝；
故填：．
【点评】本题是基础题，考查了比例的基本性质，比较简单．
11．已知点A（1，y1）、点B（2，y2）在抛物线y＝ax2﹣2上，且y1＜y2，那么a的取值范围是 a＞0 ．
【分析】利用A、B坐标且y1＜y2和二次函数的性质即可判断．
【解答】解：由已知抛物线为y＝ax2﹣2，
∴对称轴为x＝0，
∵x1＜x2，
要使y1＜y2，则在x＞0时，y随x的增大而增大，
∴a＞0，
故a的取值范围是：a＞0．
【点评】本题主要考查二次函数的增减性．由A、B坐标和y1＜y2是解题关键．
12．已知两个相似三角形的面积之比是4：9，那么这两个三角形对应边的比是 2：3 ．
【分析】因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以这两个三角形的相似比是2：3．
【解答】解：∵两个相似三角形的面积比为4：9，
∴它们对应的相似比是2：3．
故答案为2：3．
【点评】此题考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方．
13．在平面直角坐标系xOy中，已知点P（1，2），点Q（3，2），如果二次函数y＝ax2的图象与线段PQ有交点，那么a的取值范围为 ≤a≤2 ．
【分析】线段PQ在第一象限，当开口向下时显然无交点；当开口向上时，开口越大|a|越小，当y＝ax2经过点Q（3，2）求出a的最小值，当y＝ax2经过点P（1，2）求出a的最大值．
【解答】解：由题意可知：线段PQ在第一象限，当a＜0时开口向下，显然y＝ax2的图象与线段PQ没有交点，当开口向上时，由抛物线性质开口越大a越小”可知：
当y＝ax2经过点Q（3，2）时，a有最小值，此时2＝9a，解出a＝；
当y＝ax2经过点P（1，2）时，a有最大值，此时2＝a，解出a＝2．
故a的取值范围为：≤a≤2．
故答案为：≤a≤2．
【点评】本题考查抛物线的性质，掌握抛物线的性质是解题的关键．
14．二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如下表．则当﹣3＜x＜3时，y满足的范围是 ﹣4＜y≤4 ．
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可根据x＝﹣3及x＝3时y的值，结合二次函数图象的顶点坐标，即可找出﹣3＜x＜3时y的取值范围．
【解答】解：从表格看出，函数的对称轴为直线x＝1，顶点为（1，4），函数有最大值4，
∴抛物线开口向下，当x＝﹣3时，取最小值﹣4，
∴当﹣3＜x＜3时，﹣4＜y≤4，
故答案为，﹣4＜y≤4．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是学会看懂表格信息，灵活运用所学知识解决问题，属于基础题．
15．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，D是AC的中点，在边AB上确定点E的位置．使得△ADE∽△ABC，那么AE的长为 ．
【分析】根据相似三角形的判定定理即可得到结论．
【解答】解：∵AC＝4，D是AC的中点，
∴AD＝AC＝2，
当△ADE∽△ABC时，
则AE：AC＝AD：AB，
即AE：4＝2：5，
∴AE＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
16．如图，一座悬索桥的桥面OA与主悬钢索MN之间用垂直钢索连接，主悬钢索是抛物线形状，两端到桥面的距离OM与AN相等，小强骑自行车从桥的一端O沿直线匀速穿过桥面到达另一端A，当他行驶18秒时和28秒时所在地方的主悬钢索的高度相同，那么他通过整个桥面OA共需 46 秒．
【分析】由题意及抛物线的对称性，可求得抛物线的对称轴，从而可得小强通过整个桥面OA的一半所需要的时间，再乘以2即可得出答案．
【解答】解：∵主悬钢索是抛物线形状，两端到桥面的距离OM与AN相等，且小强骑行18秒时和28秒时所在地方的主悬钢索的高度相同，
∴MN的对称轴为直线x＝＝23，
∴他通过整个桥面OA共需23×2＝46（秒）．
故答案为：46．
【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确题意、熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．
三、解答题
17．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象经过A（1，﹣4），B（﹣1，0）两点．
（1）求a和b的值；
（2）在坐标系xOy中画出该二次函数的图象．
【分析】（1）把两点的坐标代入函数解析式，即可求出答案；
（2）把解析式配成顶点式，然后利用描点法画出二次函数图象．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象经过点（1，﹣4），（﹣1，0），
∴，
解得：，
∴a＝1，b＝﹣2；
（2）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，则抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），
∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象经过A（1，﹣4），B（﹣1，0）两点．
∴图象经过（0，3），（2，﹣3），（3，0）两点．
如图，
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能根据二次函数图象上点的坐标特征得出关系式是解此题的关键．
18．如图，在△ABC，AC⊥BC，D是BC延长线上的一点，E是AC上的一点，连接ED，∠A＝∠D．
求证：△ABC∽△DEC．
【分析】利用两角法即可判断出△ABC∽△DEC．
【解答】证明：∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝∠DCE＝90°，
又∵∠A＝∠D，
∴△ABC∽△DEC．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，属于基础题，注意相似三角形的判定可以是：两角法，两边及其夹角法，三边法．
19．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝a（x﹣3）2﹣4的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，5）．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）已知点D在二次函数y＝a（x﹣3）2﹣4的图象上，且点D和点C到x轴的距离相等，求点D的坐标．
【分析】（1）把点C坐标代入二次函数解析式求出a的值，然后即可得到二次函数解析式；令y＝0，解关于x的一元二次方程，即可得到A、B的坐标；
（2）由点D和点C到x轴的距离相等，可得点D和点C的纵坐标相等或互为相反数，代入二次函数的解析式y＝（x﹣3）2﹣4即可求解．
【解答】解：（1）把点C（0，5）代入y＝a（x﹣3）2﹣4得，
9a﹣4＝5，
解得a＝1，
所以，二次函数的解析式为y＝（x﹣3）2﹣4＝x2﹣6x+5；
令y＝0，则x2﹣6x+5＝0，
解得x1＝1，x2＝5，
∵点A在点B的左侧，
∴A（1，0），B（5，0）；
（2）∵点D和点C（0，5）到x轴的距离相等，
∴点D和点C的纵坐标相等或互为相反数，
∴点D的纵坐标为5或﹣5
当y＝（x﹣3）2﹣4＝5时，解得x1＝0（舍去），x2＝6，
∴点D的坐标为（6，5）；
当y＝（x﹣3）2﹣4＝﹣5时，原方程无解．
综上，点D的坐标为（6，5）．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数解析式，令二次函数解析式y＝0，解关于x的一元二次方程是解题的关键．
20．如图，BE是△ABC的角平分线，在BE的延长线上有一点D．满足CD＝BC．求证：＝．
【分析】由BE是△ABC的角平分线，得∠ABE＝∠CBE，由CD＝BC，得∠CBE＝∠D，则∠ABE＝∠D，而∠AEB＝∠CED，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ABE∽△CDE，得＝，则＝．
【解答】证明：∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵CD＝BC，
∴∠CBE＝∠D，
∴∠ABE＝∠D，
∵∠AEB＝∠CED，
∴△ABE∽△CDE，
∴＝，
∴＝．
【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，推导出∠ABE＝∠D并且证明△ABE∽△CDE是解题的关键．
21．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+5（a≠0）．
（1）二次函数图象的对称轴为 x＝1 ，与y轴的交点坐标为 （0，5） ．
（2）当a＝1时，如果P（n，y1），Q（n+1，y2）是该二次函数图象上的两点，且y1＞y2，求实数n的取值范围．
【分析】（1）根据对称轴公式求对称轴，当x＝0时，y＝5，即可得到与y轴的交点坐标；
（2）将x＝n或n+1分别代入二次函数解析式，解不等式即可得出n的取值范围．
【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣2ax+5，
∴对称轴为x＝﹣＝1，
∵当x＝0时，y＝5，
∴与y轴的交点坐标为（0，5）；
故答案为：x＝1，（0，5）．
（2）当a＝1时，y＝x2﹣2x+5，
∵P（n，y1），Q（n+1，y2）是该二次函数的图象上的两点，且y1＞y2，
n2﹣2n+5＞（n+1）2﹣2（n+1）+5，
化简整理得，4n+8＜0，
∴n＜，
∴实数n的取值范围是n＜．
【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特点，熟练的掌握这些性质是解题的关键．
22．定义：如图①，如果点D在△ABC的边AB上且满足∠1＝∠2，那么称点D为△ABC的“理想点”，如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，如果点D是△ABC的“理想点”，连接CD．求CD的长．
【分析】由D是△ABC的“理想点”，分三种情况：当D在AB上时，CD是AB边上的高，根据面积法可求CD长度；当D在AC上时，△BDC∽△ABC，对应边成比例即可求CD长度；D不可能在BC上．
【解答】解：①D在AB上时，如图：
∵D是△ABC的“理想点”，
∴∠ACD＝∠B或∠BCD＝∠A，
当∠ACD＝∠B时，
∵∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠BCD+∠B＝90°，
∴∠CDB＝90°，即CD是AB边上的高，
当∠BCD＝∠A时，同理可证∠CDB＝90°，即CD是AB边上的高，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，
∴BC＝＝3，
∵S△ABC＝AB•CD＝AC•BC，
∴CD＝，
②∵AC＝4，BC＝3，
∴AC＞BC有∠B＞∠A，
∴“理想点”D不可能在BC边上，
③D在AC边上时，如图：
∵D是△ABC的“理想点”，
∴∠DBC＝∠A，
又∠C＝∠C，
∴△BDC∽△ABC，
∴，即，
∴CD＝，
综上所述，点D是△ABC的“理想点”，CD的长为或．
【点评】本题考查相似三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解“理想点”的定义．
23．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+a+1（a≠0）图象的顶点为A，与y轴交于点B．
（1）求顶点A的坐标；
（2）求点B的纵坐标（用含a的代数式表示）；
（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．当二次函数y＝ax2﹣2ax+a+1（a≠0）的图象与直线y＝a+1围成的封闭区域内（不包含边界）只有2个整点时，直接写出a的取值范围．
【分析】（1）化成顶点式即可求得；
（2）令x＝0，求得函数值即可求得；
（3）结合图象，根据a的符号与图象形状的关系列不等式求解．
【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣2ax+a+1＝a（x﹣1）2+1，
∴顶点A的坐标为（1，1）；
（2）令x＝0，则y＝ax2﹣2ax+a+1＝a+1，
∴点B的纵坐标a+1；
（3）当a＜0时，如图1，
当﹣2≤a+1＜﹣1时，封闭区域内（不包含边界）只有2个整点，
∴﹣3≤a＜﹣2时，封闭区域内（不包含边界）只有2个整点；
当a＞0时，如图2，
当3＜a+1≤4时，封闭区域内（不包含边界）只有2个整点，
∴2＜a≤3时，封闭区域内（不包含边界）只有2个整点；
综上，当二次函数y＝ax2﹣2ax+a+1（a≠0）的图象与直线y＝a+1围成的封闭区域内（不包含边界）只有2个整点时，a的取值范围是﹣3≤a＜﹣2或2＜a≤3．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系，通过数形结合求解．
24．如图△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，点D、E分别在边AB、AC上，且＝．
（1）求证：△AED∽△ABC；
（2）求线段DE长的取值范围．
【分析】（1）由AB＝6，AC＝4，得＝，则＝，变形为＝，而∠A是△AED和△ABC的公共角，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明△AED∽△ABC；
（2）先由＝，确定AD＞0，AE＞0，则DE＞0，再由0＜AE≤4，确定当点E与点C重合时，AE＝AC＝4，此时AE最大，DE也最大，即可根据相似三角形的对应边成比例求出此时DE的值为，即DE的最大值为，于是得到线段DE长的取值范围是0＜DE≤．
【解答】（1）证明：∵AB＝6，AC＝4，
∴＝＝，
∵＝，
∴＝，
∴＝，
∵∠A＝∠A，
∴△AED∽△ABC．
（2）点D、E分别在边AB、AC上，且＝，
∴AD＞0，AE＞0，
∴DE＞0，
∵0＜AE≤4，
∴当点E与点C重合时，AE＝AC＝4，此时AE最大，DE也最大，
∵△AED∽△ABC，
∴＝＝＝，
∴DE＝BC＝×5＝，
∴线段DE长的取值范围是0＜DE≤．
【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质、线段长度的取值范围的求解等知识与方法，根据点E的运动范围确定线段DE最大时点E的位置是解题的关键．
25．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2﹣4ax（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）已知点P（1，0），Q（3，﹣2a﹣1），如果线段PQ与二次函数y＝ax2﹣4ax（a≠0）的图象恰有一个公共点．结合函数图象，求a的取值范围．
【分析】（1）令y＝0，解一元一次方程即可即可得到A、B的坐标；
（2）根据点P（1，0），Q（3，﹣2a﹣1），如果线段PQ与二次函数y＝ax2﹣4ax（a≠0）的图象恰有一个公共点，结合函数图象，即可求a的取值范围．
【解答】解：（1）令y＝0，则ax2﹣4ax＝0，即ax（x﹣4）＝0，
解得x＝0或x＝4，
∴A（0，0），B（4，0）；
（3）二次函数y＝ax2﹣4ax（a≠0）的图象的对称轴为直线x＝﹣＝2，图象过点A（0，0），B（4，0）；
当a＜0时，
若线段PQ与二次函数y＝ax2﹣4ax（a≠0）的图象恰有一个公共点，则9a﹣12a≤﹣2a﹣1，解得a≥1（不合题意，舍去）；
当a＞0时，
若线段PQ与二次函数y＝ax2﹣4ax（a≠0）的图象恰有一个公共点，则9a﹣12a≥﹣2a﹣1，
解得0＜a≤1，
综上所述，当0＜a≤1时，线段PQ与二次函数y＝ax2﹣4ax（a≠0）的图象恰有一个公共点．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系，通过数形结合求解．
26．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，过点A作BC的垂线AD，垂足为D，E为线段DC上一动点（不与点C，点D重合），连接AE．以点A为中心，将线段AE逆时针旋转90°得到线段AF，连接BF，与线段AD交于点G．
（1）求证：∠BAE＝∠CAF；
（2）用等式表示线段BG与FG的数量关系，并证明．
【分析】（1）根据旋转的性质得到∠EAF＝90°，根据角的和差即可得到结论；
（2）通过平行线分线段成比例即可证出G为BF的中点．
【解答】（1）证明：∵将线段AE逆时针旋转90°得到线段AF，
∴∠EAF＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝∠EAF，
∴∠BAC﹣∠CAE＝∠EAF﹣∠CAE，
即∠BAE＝∠CAF；
（2）解：BG＝FG．
证明：如图，连接CF，
由（1）知，∠BAE＝∠CAF，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（SAS），
∴∠ABE＝∠ACF＝45°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠BCF＝45°+45°＝90°，
∴BC⊥CF，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴AD∥CF，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴BG＝FG．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
27．2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：y＝﹣x2+x+1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方3米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y＝﹣x2+bx+c运动．
（1）当运动员运动到离A处的水平距离为4米时离水平线的高度为7米，求抛物线C2的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员恰好落在小山坡的B处？
【分析】（1）根据题意将点（0，3）和（4，7）代入C2：y＝﹣x2+bx+c求出b、c的值即可写出C2的函数解析式；
（2）解方程组，求出x的值即可．
【解答】解：（1）由题意可知抛物线C2：y＝﹣x2+bx+c过点（0，3）和（4，7），将其代入得：
，
解得：，
∴抛物线C2的函数解析式为：y＝﹣x2+x+3；
（2）联立方程组得：，
消去y并整理得：x2﹣8x﹣48＝0，
解得x1＝﹣4，x2＝12，
∵点B在第一象限，
∴x＝12，
答：当运动员运动的水平距离为12米时，运动员恰好落在小山坡的B处．
【点评】本题考查二次函数的基本性质及其应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合是解决本题的关键．
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