2021-2022学年北京市西城区三帆中学九年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2021-2022学年北京市西城区三帆中学九年级（上）期中数学试卷【含解析】，共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）下列四个图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2分）如图，点A，B，C均在⊙O上，∠BOC＝100°，则∠BAC的度数为（ ）
A．70°B．60°C．50°D．40°
3．（2分）若方程（m﹣1）x|m|+1﹣2x＝3是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）
A．1B．﹣1C．±1D．不存在
4．（2分）方程x2﹣3x+1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等实数根B．有两个不相等实数根
C．没有实数根D．无法判断
5．（2分）将抛物线y＝2x2向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线表达式是（ ）
A．y＝2（x﹣1）2﹣3B．y＝2（x+1）2+3
C．y＝2（x﹣1）2+3D．y＝2（x+1）2﹣3 5．
6．（2分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，若∠BAC＝30°，BC＝2，则AB的长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
7．（2分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，PA＝AB，则∠AOB＝（ ）
A．100°B．110°C．120°D．130°
8．（2分）如图，已知直线y＝x﹣4与x轴、y轴分别交于A、B两点，以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上找一动点P，连接PA、PB，则△PAB面积的最大值是（ ）
A．10B．9C．6+D．9
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）二次函数y＝（x﹣1）2﹣2的最 值是 ．
10．（2分）将二次函数y＝x2﹣6x+8用配方法化成y＝（x﹣h）2+k的形式为y＝ ．
11．（2分）若x＝a是一元二次方程2x2﹣3x﹣5＝0的一个实数根，那么代数式3+2a2﹣3a＝ ．
12．（2分）如图，⊙O的半径为10，AB为弦，OC⊥AB，垂足为E，如果CE＝4，那么AB的长是 ．
13．（2分）点A（﹣3，y1），B（2，y2）在抛物线y＝x2﹣2x上，则y1 y2．（填“＞”“＜”或“＝”）
14．（2分）如图，等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE．连接BD，则∠CBD＝ ．
15．（2分）一个扇形的半径为4，圆心角为90°，则此扇形的弧长为 ．
16．（2分）京剧作为一门中国文化的传承艺术，深受外国友人青睐．如图，在平面直角坐标系xOy中，某脸谱轮廓可以近似地看成是一个半圆与抛物线的一部分组合成的封闭图形，记作图形G．点A，B，C，D分别是图形G与坐标轴的交点，已知点B的坐标为（0，﹣4），线段CD为半圆的直径，且CD＝4，点M在半圆上，点N在抛物线上，N的纵坐标为﹣2，MN与y轴平行．下列关于图形G的四个结论，其中正确的有 ．（填正确结论的序号）
①图形G关于直线y＝0对称；
②线段MN的长为2+；
③扇形OMA的面积S扇形OMA＝π；
④当﹣4＜a＜2时，直线y＝a与图形G有两个公共点．
三、解答题（本题共68分，第17题4分；第18-22题，每题5分；第23-25题，每题6分；第26-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
17．（4分）解方程：x2﹣4x﹣2＝0．
18．（5分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）补全表格，在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象；
（2）根据图象回答：当0≤x＜3时，y的取值范围是 ．
19．（5分）已知关于x的方程x2﹣2x+2k﹣1＝0有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为正整数，求此时方程的解．
20．（5分）已知：在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴，y轴的交点分别为A（1，0）和B（0，﹣5）．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）若此抛物线的对称轴交x轴于点C，求S△ABC．
21．（5分）已知：如图，点A（﹣3，1），B（﹣1，4），C（﹣1，1）是平面直角坐标系中的三个点，将△ABC向右平移3个单位长度．
（1）请画出平移后的图形△A1B1C1；
（2）再将△A1B1C1绕原点O旋转180°，请画出旋转后的图形△A2B2C2，并写出点B2的坐标为 ．
22．（5分）刘师傅开了一家商店，今年2月份盈利2500元．4月份的盈利达到3600元，且从2月到4月，每个月盈利的增长率相同．
（1）求每个月盈利的增长率；
（2）按照这个增长率，请你估计这家商店5月份的盈利将达到多少元？
23．（6分）下面是小海同学设计的“过圆外一点作圆的一条切线”的尺规作图过程．
已知：如图，已知⊙O及⊙O外一点A．
求作：过A点的⊙O的一条切线．
作法：①连接AO交⊙O于点D，并延长AO交⊙O于点E；
②以点A为圆心，AO的长为半径画弧，以点O为圆心，DE的长为半径画弧，两弧交于点B；
③连接OB交⊙O于点C，作直线AC；
则直线AC是⊙O的一条切线．
请你根据小海同学的设计的尺规作图过程．
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成证明：
∵OB＝DE＝2OD＝2OC，
∴点C为OB的中点．
∵AO＝AB，
∴AC⊥OB（ ）（填推理的依据）．
又∵OC是⊙O的半径．
∴AC是⊙O的切线（ ）（填推理的依据）．
24．（6分）法国数学家韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了一元二次方程的根与系数之间的关系：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
后来人们将这个一元二次方程根与系数的关系称为“韦达定理”．这一结论同学们由求根公式也很容易得到．
请你根据“韦达定理”解决以下三个问题：
（1）已知x1，x2是方程2x2﹣7x+4＝0的两根，则x1+x2＝ ，x1•x2＝ ；
（2）设x1，x2是方程2x2﹣6x+3＝0的两个根，则x12+x22的值是 ；
A.15
B.12
C.6
D.3
（3）若x1，x2是两个不相等的实数，且满足x12﹣2x1＝5，x22﹣2x2＝5，那么x1•x2＝ ．
25．（6分）已知：如图，AB是⊙O的直径，点M为半径OA的中点，弦CD⊥AB于点M，过点D作DE⊥CA交CA的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若点F在弧BD上，且∠DCF＝45°，CF交AB于点N．
①请补全图形；
②若DE＝，求FN的长．
26．（7分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝mx2﹣2mx+m+4．
（1）若抛物线经过点（3，0）；
①求该抛物线的表达式；
②将抛物线在第一象限的部分记为图象G．如果经过点（﹣1，4）的直线y＝kx+t与图象G有公共点，请在图1中结合函数图象，求t的取值范围；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫整点．记抛物线与x轴的交点为A、B．若抛物线在点A、B之间的部分与线段AB所围成的区域内（不包含边界）恰有7个整点，请结合函数图象，直接写出m的取值范围．
27．（7分）在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，E为边AC中点，线段EA绕点E旋转得到线段EF（点F是点A的对应点），连接AF，直线EF交直线AB于点G．
（1）如图1，当△ABC为等边三角形且点G在边AB上时，若∠FAD＝20°，则∠AGE＝ ；
（2）如图2，点G在边AB上，AD与EG交于点O，OG＝OA，AG＝AD，求证：GF＝FD．
（3）如图3，若∠BAC＞60°，过点C作CM⊥直线AD于M，连接MF，当MF＝AE时，请直接写出∠FAC与∠DAC的数量关系．
28．（7分）在∠MON的两边OM，ON上分别取点H，I，作弧HI（可以是优弧，也可以是劣弧）．若弧HI上所有点都在∠MON内部或边上，称点H、I是∠MON的内嵌点，弧HI所在圆的半径为∠MON的“角半径”，记为R∠MON．
例如，图1、图2、图3中的H、I都是∠MON的内嵌点．
已知∠MON＝60°，H、I是∠MON的内嵌点时，
（1）当OH＝OI＝2时，R∠MON的最小值是 ；
（2）当OH＝2，弧HI是半圆时，求线段OI长度的取值范围；
（3）当OH≤OI，R∠MON＝3，l弧HI＝2π时，求线段OI长度的范围．
2021-2022学年北京市西城区三帆中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1．（2分）下列四个图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：选项A不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项B、C、D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：A．
【点评】本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（2分）如图，点A，B，C均在⊙O上，∠BOC＝100°，则∠BAC的度数为（ ）
A．70°B．60°C．50°D．40°
【分析】直接利用圆周角定理求解．
【解答】解：∵∠BAC为所对的圆周角，∠BOC为所对的圆心角，
∴∠BAC＝∠BOC＝×100°＝50°．
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
3．（2分）若方程（m﹣1）x|m|+1﹣2x＝3是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）
A．1B．﹣1C．±1D．不存在
【分析】根据“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”可得：|m|+1＝2，且m﹣1≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：|m|+1＝2，且m﹣1≠0，
解得：m＝﹣1，
故选：B．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
4．（2分）方程x2﹣3x+1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等实数根B．有两个不相等实数根
C．没有实数根D．无法判断
【分析】把a＝1，b＝﹣3，c＝1代入Δ＝b2﹣4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．
【解答】解：∵a＝1，b＝﹣3，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac．当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．
5．（2分）将抛物线y＝2x2向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线表达式是（ ）
A．y＝2（x﹣1）2﹣3B．y＝2（x+1）2+3
C．y＝2（x﹣1）2+3D．y＝2（x+1）2﹣3 5．
【分析】根据题意得新抛物线的顶点（﹣2，3），根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可设新抛物线的解析式为：y＝3（x﹣h）2+k，再把（﹣2，3）点代入即可得新抛物线的解析式．
【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向左平移1个单位，再向上平移3个单位，那么新抛物线的顶点为（﹣1，3），
可得新抛物线的解析式为：y＝2（x+1）2+3，
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．
6．（2分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，若∠BAC＝30°，BC＝2，则AB的长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【分析】先根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求AB的长．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC＝2×2＝4．
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
7．（2分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，PA＝AB，则∠AOB＝（ ）
A．100°B．110°C．120°D．130°
【分析】根据切线的性质得到PA＝PB，OA⊥AP，OB⊥PB，求得∠OAP＝∠OBP＝90°，推出△APB是等边三角形，得到∠P＝60°，于是得到结论．
【解答】解：∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，
∴PA＝PB，OA⊥AP，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵PA＝AB，
∴△APB是等边三角形，
∴∠P＝60°，
∴∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠OBP﹣∠P＝120°，
故选：C．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．
8．（2分）如图，已知直线y＝x﹣4与x轴、y轴分别交于A、B两点，以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上找一动点P，连接PA、PB，则△PAB面积的最大值是（ ）
A．10B．9C．6+D．9
【分析】如图过点C作CH⊥AB于H，延长HC交⊙C于P′．点P与P′重合时，△PAB的面积最大，求出P′H、AB的值即可解决问题．
【解答】解：如图过点C作CH⊥AB于H，延长HC交⊙C于P′．
∵直线AB的解析式为y＝x﹣4，
∴直线CH的解析式为y＝﹣x+1，
由解得，
∴H（，﹣），
∴CH＝＝3，P′H＝3+1＝4，
∵A（5，0），B（0，﹣4），
∴AB＝5，
∵点P与P′重合时，△PAB的面积最大，
∴△PAB面积的最大值为×5×4＝10，
故选：A．
【点评】本题考查一次函数图象上点的特征、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找点P的位置确定最大值，属于中考常考题型．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）二次函数y＝（x﹣1）2﹣2的最 小 值是 ﹣2 ．
【分析】根据二次函数的性质即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：二次函数y＝（x﹣1）2﹣2的开口向上，
则当x＝1时，最小值为﹣2，
故答案为：小，﹣2．
【点评】本题考查了二次函数的最值，二次函数的性质，解题的关键是熟练运用二次函数的性质，本题属于基础题型．
10．（2分）将二次函数y＝x2﹣6x+8用配方法化成y＝（x﹣h）2+k的形式为y＝ （x﹣3）2﹣1 ．
【分析】运用配方法把一般式化为顶点式即可．
【解答】解：y＝x2﹣6x+8＝x2﹣6x+9﹣1＝（x﹣3）2﹣1，
故答案为：（x﹣3）2﹣1．
【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，正确运用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．
11．（2分）若x＝a是一元二次方程2x2﹣3x﹣5＝0的一个实数根，那么代数式3+2a2﹣3a＝ 8 ．
【分析】把x＝a代入方程2x2﹣3x﹣5＝0得到2a2﹣3a﹣5＝0，进一步得到2a2﹣3a＝5，然后整体代入即可求解．
【解答】解：∵x＝a是一元二次方程2x2﹣3x﹣5＝0的一个实数根，
∴2a2﹣3a﹣5＝0，
∴2a2﹣3a＝5，
∴3+2a2﹣3a＝3+5＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义，解题关键在于能够整体代入，也是本题容易出错的地方．
12．（2分）如图，⊙O的半径为10，AB为弦，OC⊥AB，垂足为E，如果CE＝4，那么AB的长是 16 ．
【分析】连接OA，由垂径定理可知AB＝2AE，再求出OE＝6，然后在Rt△AOE中利用勾股定理求出AE＝8，进而可求AB．
【解答】解：连接OA，
∵半径OC⊥AB，
∴AE＝BE＝AB，
∵OC＝10，CE＝4，
∴OE＝OC﹣CE＝6，
在Rt△AOE中，AE＝＝＝8，
∴AB＝2AE＝16，
故答案为：16．
【点评】本题考查的是垂径定理好勾股定理，正确作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
13．（2分）点A（﹣3，y1），B（2，y2）在抛物线y＝x2﹣2x上，则y1 ＞ y2．（填“＞”“＜”或“＝”）
【分析】分别计算x＝﹣3和x＝2对应的函数值可判断y1 与y2的大小．
【解答】解：当x＝﹣3时，y1＝x2﹣2x＝（﹣3）2﹣2×（﹣3）＝9+6＝15；
当x＝2时，y2＝x2﹣2x＝22﹣2×2＝0，
所以y1＞y2．
故选＞．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上的点的坐标满足其解析式．
14．（2分）如图，等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE．连接BD，则∠CBD＝ 15° ．
【分析】由旋转的性质可得三角形ABD是等边三角形，从而知∠ABD＝60，再由△ABC是等腰直角三角形即可得出结果．
【解答】解：∵等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，
∴AB＝AD，∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD＝60°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，
∴∠CBD＝∠ABD﹣∠ABC
＝60°﹣45°
＝15°，
故答案为：15°．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，明确旋转前后对应边相等解题的关键．
15．（2分）一个扇形的半径为4，圆心角为90°，则此扇形的弧长为 2π ．
【分析】根据弧长的计算公式直接解答即可．
【解答】解：扇形弧长为：＝2π，
故答案为：2π．
【点评】本题考查了弧长的计算，熟记弧长的计算公式即可．
16．（2分）京剧作为一门中国文化的传承艺术，深受外国友人青睐．如图，在平面直角坐标系xOy中，某脸谱轮廓可以近似地看成是一个半圆与抛物线的一部分组合成的封闭图形，记作图形G．点A，B，C，D分别是图形G与坐标轴的交点，已知点B的坐标为（0，﹣4），线段CD为半圆的直径，且CD＝4，点M在半圆上，点N在抛物线上，N的纵坐标为﹣2，MN与y轴平行．下列关于图形G的四个结论，其中正确的有 ②④ ．（填正确结论的序号）
①图形G关于直线y＝0对称；
②线段MN的长为2+；
③扇形OMA的面积S扇形OMA＝π；
④当﹣4＜a＜2时，直线y＝a与图形G有两个公共点．
【分析】由图象可知图形G关于直线x＝0对称，则①不正确；根据点N的纵坐标可以得出NE＝2，再根据已知求出抛物线解析式，求出N的横坐标，再求出OE＝ME＝，从而可判断②；G根据OE＝ME，可得∠MOE＝∠MOA＝45°，根据扇形的面积公式可以判断③；由图象可知当﹣4＜a＜2时，直线y＝a与图形G有两个公共点，则可判断④．
【解答】解：由图象可知图形G关于y轴对称，即关于直线x＝0对称，故①错误；
如图所示：MN和x轴相交于E，
∵线段CD为半圆的直径，且CD＝4，
∴点C（﹣2，0），点D（2，0），
∵点B的坐标为（0，﹣4），
∴设抛物线解析式为y＝mx2﹣4，
把点C（﹣2，0）代入解析式得：4m﹣4＝0，
解得：m＝1，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4，
∵点N在抛物线上，N的纵坐标为﹣2，
∴x2﹣4＝﹣2，
解得：x＝±，
∴点N的横坐标为﹣，
则点E（﹣，0），即OE＝，
∵OM＝OD＝OC＝2，
∴ME＝＝＝，
∴MN＝ME+NE＝+2，
故②正确；
∵OE＝ME，
∴∠MOE＝∠MOA＝45°，
∴S扇形OMA＝＝＝π，
故③错误；
由图形可知，当﹣4＜a＜2时，直线y＝a与图形G有两个公共点，
故④正确．
故答案为：②④．
【点评】本题考查了二次函数在几何图形问题中的应用、圆的定义及勾股定理等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
三、解答题（本题共68分，第17题4分；第18-22题，每题5分；第23-25题，每题6分；第26-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
17．（4分）解方程：x2﹣4x﹣2＝0．
【分析】先计算出△＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2）＝4×6，然后代入一元二次方程的求根公式进行求解．
【解答】解：∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣2，
∴△＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2）＝4×6＞0，
∴x＝＝＝2±，
∴x1＝2+，x2＝2﹣．
【点评】本题解一元二次方程﹣公式法：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）的求根公式为x＝（b2﹣4ac≥0）．
18．（5分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）补全表格，在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象；
（2）根据图象回答：当0≤x＜3时，y的取值范围是 ﹣1≤y≤3 ．
【分析】（1）根据题目中的函数解析式可以将表格中补充完整，然后描点、连线作出图象即可；
（2）根据函数图象写出y的取值范围即可．
【解答】解：（1）列表：
描点、连线画出函数图象如图：
；
（2）0≤x＜3时，y的取值范围是﹣1≤y≤3．
故答案为：﹣1≤y≤3．
【点评】本题考查了二次函数与不等式的关系，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质以及函数图象的作法是解题的关键．
19．（5分）已知关于x的方程x2﹣2x+2k﹣1＝0有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为正整数，求此时方程的解．
【分析】（1）由方程有两个实数根可得（﹣2）2﹣4×1•（2k﹣1）≥0，解不等式即可求出k的取值范围；
（2）由k为正整数和k≤1可得k＝1，从而可得原方程为x2﹣2x+1＝0，解方程即可求出方程的解．
【解答】解：（1）∵x2﹣2x+2k﹣1＝0有两个实数根，
∴Δ≥0，
∴（﹣2）2﹣4×1•（2k﹣1）≥0，
解得k≤1；
（2）由（1）知k≤1，
∵k为正整数，
∴k＝1，
∴原方程为：x2﹣2x+1＝0，
∴（x﹣1）2＝0，
∴x1＝x2＝1．
【点评】此题考查了根的判别式和一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac的关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根是解本题的关键．
20．（5分）已知：在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴，y轴的交点分别为A（1，0）和B（0，﹣5）．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）若此抛物线的对称轴交x轴于点C，求S△ABC．
【分析】（1）把（1，0）和（0，﹣5）代入y＝x2+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可得到抛物线解析式；
（2）求得对称轴，得到C的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴、y轴的交点分别为（1，0）和（0，﹣5），
∴，解得：．
∴抛物线的表达式为：y＝x2+4x﹣5．
（2）∵y＝x2+4x﹣5＝（x+2）2﹣9，
∴对称轴为直线x＝﹣2，
∴C（﹣2，0），
∵A（1，0），B（0，﹣5），
∴AC＝3，
∴S△ABC＝＝．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
21．（5分）已知：如图，点A（﹣3，1），B（﹣1，4），C（﹣1，1）是平面直角坐标系中的三个点，将△ABC向右平移3个单位长度．
（1）请画出平移后的图形△A1B1C1；
（2）再将△A1B1C1绕原点O旋转180°，请画出旋转后的图形△A2B2C2，并写出点B2的坐标为 （﹣2，﹣4） ．
【分析】（1）根据平移的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）根据旋转的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；点B2的坐标为（﹣2，﹣4）．
故答案为：（﹣2，﹣4）．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22．（5分）刘师傅开了一家商店，今年2月份盈利2500元．4月份的盈利达到3600元，且从2月到4月，每个月盈利的增长率相同．
（1）求每个月盈利的增长率；
（2）按照这个增长率，请你估计这家商店5月份的盈利将达到多少元？
【分析】（1）设每个月盈利的增长率为x，利用4月份的盈利金额＝2月份的盈利金额×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出每个月盈利的增长率为20%；
（2）利用这家商店5月份的盈利金额＝这家商店4月份的盈利金额×（1+增长率），即可估计出这家商店5月份的盈利将达到4320元．
【解答】解：（1）设每个月盈利的增长率为x，
依题意得：2500（1+x）2＝3600，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：每个月盈利的增长率为20%．
（2）3600×（1+20%）
＝3600×1.2
＝4320（元）．
答：按照这个增长率，估计这家商店5月份的盈利将达到4320元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．（6分）下面是小海同学设计的“过圆外一点作圆的一条切线”的尺规作图过程．
已知：如图，已知⊙O及⊙O外一点A．
求作：过A点的⊙O的一条切线．
作法：①连接AO交⊙O于点D，并延长AO交⊙O于点E；
②以点A为圆心，AO的长为半径画弧，以点O为圆心，DE的长为半径画弧，两弧交于点B；
③连接OB交⊙O于点C，作直线AC；
则直线AC是⊙O的一条切线．
请你根据小海同学的设计的尺规作图过程．
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成证明：
∵OB＝DE＝2OD＝2OC，
∴点C为OB的中点．
∵AO＝AB，
∴AC⊥OB（ 等腰三角形底边上的中线垂直于底边 ）（填推理的依据）．
又∵OC是⊙O的半径．
∴AC是⊙O的切线（ 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 ）（填推理的依据）．
【分析】（1）根据作法完成画图即可；
（2）根据等腰三角形的性质和切线的判定定理即可完成证明．
【解答】解：（1）补全图形如图所示；
（2）证明：∵OB＝DE＝2OD＝2OC，
∴点C为OB的中点．
∵AO＝AB，
∴AC⊥OB（等腰三角形底边上的中线垂直于底边），
又∵OC是⊙O的半径．
∴AC是⊙O的切线（经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．
故答案为：等腰三角形底边上的中线垂直于底边，经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
24．（6分）法国数学家韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了一元二次方程的根与系数之间的关系：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
后来人们将这个一元二次方程根与系数的关系称为“韦达定理”．这一结论同学们由求根公式也很容易得到．
请你根据“韦达定理”解决以下三个问题：
（1）已知x1，x2是方程2x2﹣7x+4＝0的两根，则x1+x2＝ ，x1•x2＝ 2 ；
（2）设x1，x2是方程2x2﹣6x+3＝0的两个根，则x12+x22的值是 C ；
A.15
B.12
C.6
D.3
（3）若x1，x2是两个不相等的实数，且满足x12﹣2x1＝5，x22﹣2x2＝5，那么x1•x2＝ ﹣5 ．
【分析】（1）直接利用根与系数的关系求解；
（2）先根据根与系数的关系得到x1+x2＝3，x1•x2＝，再利用完全平方公式变形得到x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2，然后利用整体代入的方法计算；
（3）根据已知条件，可把x1，x2可看作方程x2﹣2x﹣5＝0，然后根据根与系数的关系求解．
【解答】解：（1）x1+x2＝，x1•x2＝2；
故答案为；2；
（2）根据根与系数的关系得x1+x2＝3，x1•x2＝，
所以x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝32﹣2×＝6；
故选：C．
（3）∵x1，x2是两个不相等的实数，且满足x12﹣2x1＝5，x22﹣2x2＝5，
∴x1，x2可看作方程x2﹣2x﹣5＝0，
∴x1•x2＝﹣5．
故答案为﹣5．
【点评】本题考查了根与系数之间的关系：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
25．（6分）已知：如图，AB是⊙O的直径，点M为半径OA的中点，弦CD⊥AB于点M，过点D作DE⊥CA交CA的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若点F在弧BD上，且∠DCF＝45°，CF交AB于点N．
①请补全图形；
②若DE＝，求FN的长．
【分析】（1）先证明△OMD≌△AMC，证明∠ODM＝∠ACM，得OD∥AC，则∠ODE＝180°﹣∠90°＝90°，再根据切线的判定定理证明DE是⊙O的切线；
（2）①补全图形中的字母N即可；
②连接OC，作FG⊥AB于点G，先证明△AOC是等边三角形，得∠ACO＝∠MOC＝60°，则∠OCM＝∠ACM＝∠ACO＝30°，求出半径OC的长，再根据圆周角定理得∠DOF＝2∠DCF＝90°，OD∥AC得∠DOM＝∠CAM＝60°，可求得∠FOG＝180°﹣60°﹣90°＝30°，可求出FG和FN的长．
【解答】（1）证明：如图，在⊙O中，
∵CD⊥AB于点M，
∴DM＝CM，
∵∠OMD＝∠AMC＝90°，OM＝AM，
∴△OMD≌△AMC（SAS），
∴∠ODM＝∠ACM，
∴OD∥AC，
∵DE⊥CA，
∴∠E＝90°，
∴∠ODE＝180°﹣∠90°＝90°，
∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．
（2）①补全图形如图所示．
②如图，连接OC，作FG⊥AB于点G，则∠OGF＝90°，
∵CD垂直平分OA，
∴AC＝OC＝OA，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠ACO＝∠MOC＝60°，
∴∠OCM＝∠ACM＝∠ACO＝30°，
∴DE＝CD，
∵CM＝CD，
∴CM＝DE＝，
∵∠OMC＝90°，
∴OM＝OC，
∵OM2+CM2＝OC2，
∴（OC）2+（）2＝OC2，
解得OC＝2或OC＝﹣2（不符合题意，舍去），
∴OF＝OC＝2，
∵∠DCF＝45°，
∴∠DOF＝2∠DCF＝90°，
∵∠DOM＝∠CAM＝60°，
∴∠FOG＝180°﹣60°﹣90°＝30°，
∴FG＝OF＝1，
∵∠MNC＝∠MCN＝45°，
∴∠GNF＝∠MNC＝45°，
∴∠GFN＝∠GNF＝45°，
∴NG＝FG＝1，
∴FN＝＝．
【点评】此题考查圆的切线的判定、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线．
26．（7分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝mx2﹣2mx+m+4．
（1）若抛物线经过点（3，0）；
①求该抛物线的表达式；
②将抛物线在第一象限的部分记为图象G．如果经过点（﹣1，4）的直线y＝kx+t与图象G有公共点，请在图1中结合函数图象，求t的取值范围；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫整点．记抛物线与x轴的交点为A、B．若抛物线在点A、B之间的部分与线段AB所围成的区域内（不包含边界）恰有7个整点，请结合函数图象，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）①将（3，0）函数解析式求解．
②把（﹣1，4）代入y＝kx+t得y＝（t﹣4）x+4，然后由二次函数解析式可得抛物线顶点（1，4），经过点（0，3），（3，0），将坐标分别代入直线解析式求解．
（2）根据抛物线对称轴为直线x＝1，通过数形结合可得区域内有七个整点分别为（0，1），（1，1），（2，1），（0，2），（1，2），（2，2），（1，3），进而求解．
【解答】解：（1）①将（3，0）代入y＝mx2﹣2mx+m+4得0＝9m﹣6m+m+4，
解得m＝﹣1，
∴y＝﹣x2+2x+3．
②把（﹣1，4）代入y＝kx+t得4＝﹣k+t，
整理得k＝t﹣4，
∴y＝（t﹣4）x+4，
∵抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线顶点坐标为（1，4），
把x＝0代入y＝﹣x2+2x+3得y＝3，
∴抛物线与y轴交点为（0，3），
将（1，4）代入y＝（t﹣4）x+t得4＝2t﹣4，
解得t＝4，
将（0，3）代入y＝（t﹣4）x+t得3＝t，
将（3，0）代入y＝（t﹣4）x+t得3（t﹣4）+t＝0，
解得t＝3，
∴3＜t≤4满足题意．
（2）∵y＝mx2﹣2mx+m+4＝m（x﹣1）2+4，
∴抛物线顶点坐标为（1，4），
m＞0时，抛物线开口向上，与x轴无交点，不符合题意．
m＜0时，抛物线开口向下，
如图，
当区域内包含整点（0，1），（1，1），（2，1），（0，2），（1，2），（2，2），（1，3）时满足题意，
抛物线与y轴交点（0，m+4）在直线y＝2与y＝3之间，
抛物线与直线x＝﹣1交点（﹣1，4m+4）在直线y＝1下方，
即，
解得﹣2＜m≤﹣1．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，通过数形结合求解．
27．（7分）在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，E为边AC中点，线段EA绕点E旋转得到线段EF（点F是点A的对应点），连接AF，直线EF交直线AB于点G．
（1）如图1，当△ABC为等边三角形且点G在边AB上时，若∠FAD＝20°，则∠AGE＝ 40° ；
（2）如图2，点G在边AB上，AD与EG交于点O，OG＝OA，AG＝AD，求证：GF＝FD．
（3）如图3，若∠BAC＞60°，过点C作CM⊥直线AD于M，连接MF，当MF＝AE时，请直接写出∠FAC与∠DAC的数量关系．
【分析】（1）利用等边三角形的性质分别求出∠GAF，∠AFE，可得结论；
（2）证明△GAF≌△DAF（SAS），可得结论；
（3）如图3中，结论：∠FAC﹣∠DAC＝30°．证明A，F，M，C四点共圆，△EFM是等边三角形，利用圆周角定理．即可解决问题．
【解答】（1）解：如图1中，
∵△ABC是等边三角形，AD是角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∵∠FAD＝20°，
∴∠EAF＝∠FAD+∠CAD＝50°，∠FAG∠BAD﹣∠DAF＝10°，
∵EA＝EF，
∴∠EAF＝∠EFA＝50°，
∵∠AFE＝∠AGF+∠GAF，
∴∠AGF＝50°﹣10°＝40°．
（2）证明：如图2中，
∵AD平分∠BAC，OA＝OG，
∴∠OAG＝∠OAE＝∠OGA，
设∠OAG＝∠OAE＝∠OGA＝x，∠GAF＝y，则∠FAD＝x﹣y，∠EAF＝x+x﹣y＝2x﹣y，
∵EA＝EF，
∴∠EAF＝∠EFA，
∵∠EFA＝∠AGF+∠GAF＝x+y，
∴x+y＝2x﹣y，
∴x＝2y，
∴∠FAD＝x﹣y＝y，
∴∠FAD＝∠FAG，
∵AG＝AD，AF＝AF，
∴△GAF≌△DAF（SAS），
∴FG＝FD．
（3）解：如图3中，结论：∠FAC﹣∠DAC＝30°．
理由：连接EM．
∵CM⊥AM，
∴∠AMC＝90°，
∵AE＝EC，
∴EM＝EC＝EA＝EF，
∴A，F，M，C四点共圆，
∵FE＝FM，EF＝EM，
∴EF＝EM＝FM，
∴△EFM是等边三角形，
∴∠MEF＝60°，
∵∠FAM＝∠FEM＝30°，
∴∠FAC﹣∠DAC＝30°．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．
28．（7分）在∠MON的两边OM，ON上分别取点H，I，作弧HI（可以是优弧，也可以是劣弧）．若弧HI上所有点都在∠MON内部或边上，称点H、I是∠MON的内嵌点，弧HI所在圆的半径为∠MON的“角半径”，记为R∠MON．
例如，图1、图2、图3中的H、I都是∠MON的内嵌点．
已知∠MON＝60°，H、I是∠MON的内嵌点时，
（1）当OH＝OI＝2时，R∠MON的最小值是 2 ；
（2）当OH＝2，弧HI是半圆时，求线段OI长度的取值范围；
（3）当OH≤OI，R∠MON＝3，l弧HI＝2π时，求线段OI长度的范围．
【分析】（1）先计算HI＝2，当HI为半径时，R∠MON最小＝2；
（2）求得当HI⊥ON时和HI⊥OM时，OI的值，从而确定范围；
（3）先求出所对的圆心角，再求出圆心角所对的弦长，当OI＝OH时，求得OI最小值，当HI⊥OM时，求得最大值，从而求得范围．
【解答】解：（1）∵OH＝OI，∠MON＝60°，
∴△HOI是等边三角形，
∴HI＝OH＝2，
当HI是圆的直径时，R∠MON最小＝1，
故答案是1；
解：（2）如图1，
作HI⊥ON于I，
∴OI＝OH•cs∠MON＝2•cs60°＝1，
如图2，
作HI′⊥OM交ON于I′，
OI′＝＝＝＝4，
∴1≤OI≤4；
（3）如图3，
圆心记作A，作AB⊥HI于B，
由＝l得，
＝2π，
∴n＝120°，
∴∠HAB＝∠HAI＝60°，
∴HI＝2HB＝2•AH•sin60°＝3，
当OH＝OI时，
∵∠MON＝60°，
∴△HOI是等边三角形，
∴OI＝HI＝3，
当HI⊥OM时，OI最大，
OI＝＝＝6，
∴3≤OI≤6．
【点评】本题考查了圆的有关性质，圆的有关计算等知识，解决问题的关键是正确理解题意，转化为有关圆的计算．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/21 21:52:11；用户：菁优校本题库；邮箱：2471@xyh.cm；学号：56380052x
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