2021-2022学年北京市西城区鲁迅中学九年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2021-2022学年北京市西城区鲁迅中学九年级（上）期中数学试卷【含解析】，共31页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）下面四个图案中，是中心对称不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2分）已知⊙O的半径为6，点A在⊙O内部，则（ ）
A．OA＜6B．OA＞6C．OA＜3D．OA＞3
3．（2分）方程x2﹣3x﹣3＝0的根的情况是（ ）
A．无实根B．有两个相等的实根
C．有两个不相等的实根D．不确定
4．（2分）二次函数y＝（x﹣5）2+7的最小值是（ ）
A．﹣7B．7C．﹣5D．5
5．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，以直角顶点C为旋转中心，将△ABC旋转到△A′B′C的位置，其中A′、B′分别是A、B的对应点，且点B在斜边A′B′上，直角边CA′交AB于D，则旋转角等于（ ）
A．70°B．80°C．60°D．50°
6．（2分）在同一坐标系内，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+8x+b的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2分）已知二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）和一次函数y2＝kx+n（k≠0）的图象如图所示，下面有四个推断：
①二次函数y1有最大值；
②二次函数y1的图象关于直线x＝﹣1对称；
③当x＝﹣2时，二次函数y1的值大于0；
④过动点P（m，0）且垂直于x轴的直线与y1，y2的图象的交点分别为C，D，当点C位于点D上方时，m的取值范围是m＜﹣3或m＞﹣1．
其中正确的是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
8．（2分）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论：
（1）△AED≌△AEF；
（2）△ABE∽△ACD；
（3）BE+DC＝DE；
（4）BE2+DC2＝DE2．
其中正确的是（ ）
A．（2）（4）B．（1）（4）C．（2）（3）D．（1）（3）
二.填空题：本大题共8小题，每小题2分，共16分.
9．（2分）关于x的一元二次方程x2+x+a2﹣36＝0有一个根为5，则a＝ ．
10．（2分）将一元二次方程x2+4x+1＝0化成（x+a）2＝b的形式，其中a，b是常数，则a+b＝ ．
11．（2分）若关于x的一元二次方程mx2+2x+2＝0有两个实数根，则m的取值范围是 ．
12．（2分）函数y＝x2﹣2x﹣2的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y≥1成立的x的取值范围是 ．
13．（2分）将抛物线y＝x2+1的图象绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线解析式是 ．
14．（2分）如图，A，B，C三点在已知的圆上，在△ABC中，∠ABC＝70°，∠ACB＝30°，D是弧BAC的中点，连接DB，DC，则∠DBC的度数为 度．
15．（2分）已知：在⊙O中，弦AB将圆周分为5：1两段弧，则弦AB所对的圆周角为 °．
16．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，P是直线y＝2上的一个动点，⊙P的半径为1，直线OQ切⊙P于点Q，则线段OQ的最小值为 ．
三、解答题：本大题共12小题，第17题8分，第18--23每小题8分，第24--28每小题8分，共68分．
17．（8分）解下列方程：
（1）（x﹣3）2＝2x﹣6；
（2）x2﹣4x﹣1＝0．
18．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根为负数，求m的取值范围．
19．（5分）已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y满足下表：
（1）这个二次函数的对称轴是直线 ；
（2）m的值为 ；
（3）求出这个二次函数的解析式；
（4）当0＜x＜3时，则y的取值范围为 ．
20．（5分）如图，方格中，每个小正方形的边长都是单位1，△ABC的位置如图．
（1）画出将△ABC向右平移2个单位得到的△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2；
（3）写出C2点的坐标．
21．（5分）已知：如图，直线AC与圆O交于点B、C，直线AD过圆心O，若圆O的半径是5，且∠DAC＝30°，AD＝13，求弦BC的长．
22．（5分）阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：过圆外一点作圆的切线．
已知：如图，⊙O和点P．
求作：过点P的⊙O的切线．
小明的主要作法如下：
如图：（1）连接OP，作线段OP的垂直平分线，交OP于点A；
（2）以A为圆心，OA长为半径作圆，交⊙O于点B，C；
（3）作直线PB和PC；
所以PB和PC就是所求的切线．
老师说：“小明的作法正确．”
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：∵OP是⊙A的直径，
∴∠PBO＝90°，∠PCO＝90°； （填推理的依据）
∴OB⊥PB，OC⊥PC，
又∵OB，OC是⊙O的半径，
∴PB，PC是⊙O的切线． （填推理的依据）
23．（5分）阅读下面材料：
上课时李老师提出这样一个问题：对于任意实数x，关于x的不等式x2﹣2x﹣1﹣a＞0恒成立，求a的取值范围．
小捷的思路是：原不等式等价于x2﹣2x﹣1＞a，设函数，y2＝a，画出两个函数的图象的示意图，于是原问题转化为函数y1的图象在y2的图象上方时a的取值范围．
请结合小捷的思路回答：
对于任意实数x，关于x的不等式x2﹣2x﹣1﹣a＞0恒成立，则a的取值范围是 ．
参考小捷思考问题的方法，解决问题：
关于x的方程x2﹣4x＝a在0＜x＜4范围内有两个解，求a的取值范围．
（1）设函数，y2＝a，画出y1的图象的示意图．
（2）关于x的方程x2﹣4x＝a在0＜x＜4范围内有两个解，则a的取值范围是 ．
24．（6分）某水果店出售一种进价为每千克10元的热带水果，原售价为每千克20元．
（1）连续两次降价后，每千克售价16.2元，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率．
（2）这种水果每月的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间存在着一次函数关系：y＝﹣10x+200．当销售单价为多少元时，每月可获得最大利润？
25．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线，交AB于点E，交CA的延长线于点F．
（1）求证：EF⊥AB；
（2）若∠C＝30°，EF＝，求EB的长．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线G：y＝4x2﹣8ax+4a2﹣4，A（﹣1，0），N（n，0）．
（1）当a＝1时，
①求抛物线G与x轴的交点坐标；
②若抛物线G与线段AN只有一个交点，求n的取值范围；
（2）若存在实数a，使得抛物线G与线段AN有两个交点，结合图象，直接写出n的取值范围．
27．（6分）正方形ABCD中，将边AB所在直线绕点A逆时针旋转一个角度α得到直线AM，过点C作CE⊥AM，垂足为E，连接BE．
（1）当0°＜α＜45°时，设AM交BC于点F，
①如图1，若α＝35°，则∠BCE＝ °；
②如图2，用等式表示线段AE，BE，CE之间的数量关系，并证明；
（2）当45°＜α＜90°时（如图3），请直接用等式表示线段AE，BE，CE之间的数量关系．
28．（6分）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．
例如点（1，1），（，），（，），…，都是和谐点．
（1）判断函数y＝﹣2x+1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；
（2）若二次函数y＝ax2+4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（，）．
①求a，c的值．
②当0≤x≤m时，函数的最小值为﹣3，最大值为1，直接写出m的取值范围．
2021-2022学年北京市西城区鲁迅中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题2分，共16分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2分）下面四个图案中，是中心对称不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A．是中心对称不是轴对称图形，故本选项符合题意；
B．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（2分）已知⊙O的半径为6，点A在⊙O内部，则（ ）
A．OA＜6B．OA＞6C．OA＜3D．OA＞3
【分析】根据点P在圆内⇔d＜r．进行判断．
【解答】解：∵⊙O的半径为6，点A在⊙O内部，
∴OA＜6．
故选：A．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．
3．（2分）方程x2﹣3x﹣3＝0的根的情况是（ ）
A．无实根B．有两个相等的实根
C．有两个不相等的实根D．不确定
【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：∵Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣3）＝21＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
4．（2分）二次函数y＝（x﹣5）2+7的最小值是（ ）
A．﹣7B．7C．﹣5D．5
【分析】根据二次函数的性质求解．
【解答】解：∵y＝（x﹣5）2+7
∴当x＝5时，y有最小值7．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的最值：当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝﹣，函数最小值y＝；当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝﹣，函数最大值y＝．
5．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，以直角顶点C为旋转中心，将△ABC旋转到△A′B′C的位置，其中A′、B′分别是A、B的对应点，且点B在斜边A′B′上，直角边CA′交AB于D，则旋转角等于（ ）
A．70°B．80°C．60°D．50°
【分析】先由∠ACB＝90°、∠A＝40°得∠ABC＝50°，再由旋转的性质得∠B′＝∠ABC＝50°，CB＝CB′，继而可得答案．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝40°，
∴∠ABC＝50°，
又△ABC≌△AB′C′，
∴∠B′＝∠ABC＝50°，CB＝CB′，
∴∠BCB′＝80°，
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．
6．（2分）在同一坐标系内，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+8x+b的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】令x＝0，求出两个函数图象在y轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a＞0，然后确定出一次函数图象经过第一三象限，从而得解．
【解答】解：x＝0时，两个函数的函数值y＝b，
所以，两个函数图象与y轴相交于同一点，故B、D选项错误；
由A、C选项可知，抛物线开口方向向上，
所以，a＞0，
所以，一次函数y＝ax+b经过第一三象限，
所以，A选项错误，C选项正确．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数y＝kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
7．（2分）已知二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）和一次函数y2＝kx+n（k≠0）的图象如图所示，下面有四个推断：
①二次函数y1有最大值；
②二次函数y1的图象关于直线x＝﹣1对称；
③当x＝﹣2时，二次函数y1的值大于0；
④过动点P（m，0）且垂直于x轴的直线与y1，y2的图象的交点分别为C，D，当点C位于点D上方时，m的取值范围是m＜﹣3或m＞﹣1．
其中正确的是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
【分析】根据函数的图象即可得到结论．
【解答】解：∵二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的开口向上，
∴二次函数y1有最小值，故①错误；
观察函数图象可知二次函数y1的图象关于直线x＝﹣1对称，故②正确；
当x＝﹣2时，二次函数y1的值小于0，故③错误；
当x＜﹣3或x＞﹣1时，抛物线在直线的上方，
∴m的取值范围为：m＜﹣3或m＞﹣1，故④正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及函数图象，熟练运用二次函数图象上点的坐标特征求出二次函数解析式是解题的关键．
8．（2分）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论：
（1）△AED≌△AEF；
（2）△ABE∽△ACD；
（3）BE+DC＝DE；
（4）BE2+DC2＝DE2．
其中正确的是（ ）
A．（2）（4）B．（1）（4）C．（2）（3）D．（1）（3）
【分析】由△ADC绕点A顺时针旋转90°得△AFB，可知△ADC≌△AFB，∠FAD＝90°，由∠DAE＝45°可判断∠FAE＝∠DAE，可证①△AED≌△AEF．由已知条件可证△BEF为直角三角形，则有④BE2+DC2＝DE2是正确的．
【解答】解：∵△ADC绕点A顺时针旋转90°得△AFB，
∴△ADC≌△AFB，∠FAD＝90°，
∴AD＝AF，
∵∠DAE＝45°，
∴∠FAE＝90°﹣∠DAE＝45°，
∴∠DAE＝∠FAE，
∵在△AED与△AEF中，
，
∴△AED≌△AEF（SAS），故①正确；
∵∠BAE与∠CAD的大小无法确定，
∴△ABE与△ACD是否相似无法确定，故②错误；
同理，DE与BE+DC的大小也无法确定，故③错误；
∵△AED≌△AEF，
∴ED＝FE，∠ACB＝∠ABF，
在Rt△ABC中，
∵∠ABC+∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠ABF＝90°即∠FBE＝90°，
∴BE2+BF2＝FE2，即BE2+DC2＝DE2，故④正确．
故选：B．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，涉及到全都三角形的判定与性质、图形旋转的性质等知识，难度适中．
二.填空题：本大题共8小题，每小题2分，共16分.
9．（2分）关于x的一元二次方程x2+x+a2﹣36＝0有一个根为5，则a＝ ± ．
【分析】把x＝5代入已知方程后，列出关于a的新方程，通过解新方程求得a的值即可．
【解答】解：根据题意，得52+5+a2﹣36＝0．
解得a＝±．
故答案为：±．
【点评】本题考查了一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了解一元一次方程．
10．（2分）将一元二次方程x2+4x+1＝0化成（x+a）2＝b的形式，其中a，b是常数，则a+b＝ 5 ．
【分析】方程配方得到结果，确定出a与b的值，即可求出a+b的值．
【解答】解：方程x2+4x+1＝0，
移项得：x2+4x＝﹣1，
配方得：x2+4x+4＝3，即（x+2）2＝3，
∴a＝2，b＝3，
则a+b＝5，
故答案为：5
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
11．（2分）若关于x的一元二次方程mx2+2x+2＝0有两个实数根，则m的取值范围是 m≤且m≠0 ．
【分析】根据判别式的意义得到m≠0，b2﹣4ac＝22﹣4×2m≥0，然后解不等式即可；
【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+2x+2＝0有两个实数根，
∴m≠0
Δ＝22﹣4×2m≥0且m≠0，
解得：m≤且m≠0，
故答案为：m≤且m≠0．
【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
12．（2分）函数y＝x2﹣2x﹣2的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y≥1成立的x的取值范围是 x≤﹣1或x≥3 ．
【分析】令函数的值等于1，求出x的值，然后从函数图象即可观察出当y≥1成立的x的取值范围．
【解答】解：当y＝1时，x2﹣2x﹣2＝1，
解得（x+1）（x﹣3）＝0，
x1＝﹣1，x2＝3．
由图可知，x≤﹣1或x≥3时y≥1．
故答案为x≤﹣1或x≥3．
【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）及二次函数的图象，体现了数形结合在解题时的重要作用．
13．（2分）将抛物线y＝x2+1的图象绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线解析式是 y＝﹣x2﹣1 ．
【分析】根据关于原点对称的两点的横坐标纵坐标都互为相反数求则可．
【解答】解：根据题意，﹣y＝（﹣x）2+1，得到y＝﹣x2﹣1．故旋转后的抛物线解析式是y＝﹣x2﹣1．
【点评】考查根据二次函数的图象的变换求抛物线的解析式．
14．（2分）如图，A，B，C三点在已知的圆上，在△ABC中，∠ABC＝70°，∠ACB＝30°，D是弧BAC的中点，连接DB，DC，则∠DBC的度数为 50 度．
【分析】利用三角形内角和定理求出∠BAC，再利用等腰三角形的性质求解即可．
【解答】解：∵∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣70°﹣30°＝80°，
∴∠BDC＝∠BAC＝80°，
∵＝，
∴∠DBC＝∠DCB＝（180°﹣∠BDC）＝50°，
故答案为：50．
【点评】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握圆周角定理，属于中考常考题型．
15．（2分）已知：在⊙O中，弦AB将圆周分为5：1两段弧，则弦AB所对的圆周角为 30或150 °．
【分析】求出∠AOB＝60°，再利用圆周角定理，圆内接四边形的性质解决问题即可．
【解答】解：如图，∵弦AB将圆周分为5：1两段弧，
∴∠AOB＝60°，
在优弧AB上取一点C，连接AC，BC，在劣弧AB上取一点D，连接AD，BD，
∵∠ACB＝∠AOB，∠ACB+∠ADB＝180°，
∴∠ACB＝30°，∠ADB＝150°，
故答案为：30或150．
【点评】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是掌握圆周角定理，属于中考常考题型．
16．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，P是直线y＝2上的一个动点，⊙P的半径为1，直线OQ切⊙P于点Q，则线段OQ的最小值为 ．
【分析】连接PQ、OP，如图，根据切线的性质得PQ⊥OQ，再利用勾股定理得到OQ＝，利用垂线段最短，当OP最小时，OQ最小，然后求出OP的最小值，从而得到OQ的最小值．
【解答】解：连接PQ、OP，如图，
∵直线OQ切⊙P于点Q，
∴PQ⊥OQ，
在Rt△OPQ中，OQ＝＝，
当OP最小时，OQ最小，
当OP⊥直线y＝2时，OP有最小值2，
∴OQ的最小值为＝．
故答案为．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理．
三、解答题：本大题共12小题，第17题8分，第18--23每小题8分，第24--28每小题8分，共68分．
17．（8分）解下列方程：
（1）（x﹣3）2＝2x﹣6；
（2）x2﹣4x﹣1＝0．
【分析】（1）先移项，再提取公因式，再利用因式分解法求解可得；
（2）利用配方法得到（x﹣2）2＝3，然后利用直接开平方法解方程．
【解答】解：（1）（x﹣3）2＝2x﹣6，
（x﹣3）2﹣2（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x﹣3﹣2）＝0，
x﹣3＝0或x﹣5＝0，
∴x1＝3，x2＝5；
（2）x2﹣4x＝1，
x2﹣4x+4＝5，
（x﹣2）2＝5，
x﹣2＝±，
所以x1＝2+，x2＝2﹣．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
18．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根为负数，求m的取值范围．
【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案．
（2）根据因式分解法求出两根，然后列出不等式即可求出答案．
【解答】解：（1）由题意可知：Δ＝（﹣m）2﹣4（m﹣1）＝（m﹣2）2
∵（m﹣2）2≥0，
∴方程总有两个实数根．
（2）由题意可知：x＝m﹣1或x＝1
∵方程有一个根为负数，
∴m﹣1＜0．
∴m＜1．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
19．（5分）已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y满足下表：
（1）这个二次函数的对称轴是直线 x＝2 ；
（2）m的值为 3 ；
（3）求出这个二次函数的解析式；
（4）当0＜x＜3时，则y的取值范围为 ﹣1≤y＜3 ．
【分析】（1）根据表中x、y的对应值可知，当x＝1与x＝3时y的值相等，所以此两点关于抛物线的对称轴对称，由中点坐标公式即可得出对称轴的直线方程；
（2）根据抛物线的对称性求得即可；
（3）利用待定系数法求得即可．
【解答】解：（1）∵由表中x、y的对应值可知，当x＝1与x＝3时y的值相等，
∴对称轴是直线x＝＝2，
故答案为直线x＝2；
（2）∵点（0，3）关于直线x＝2的对称点为（4，3），
∴m＝3，
故答案为3；
（3）∵二次函数的图象经过点（1，0），（3，0），
∴设二次函数的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），
∵图象经过点（0，3），
∴a＝1，
∴这个二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+3；
（4）由表格数据可知，当0＜x＜3时，则y的取值范围为﹣1≤y＜3，
故答案为：﹣1≤y＜3．
【点评】此题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，掌握待定系数法求函数解析式的方法与步骤是解决问题的关键．
20．（5分）如图，方格中，每个小正方形的边长都是单位1，△ABC的位置如图．
（1）画出将△ABC向右平移2个单位得到的△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2；
（3）写出C2点的坐标．
【分析】（1）平移平移变换的性质分别作出A，B，C 的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可；
（3）根据C2的位置写出坐标即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）C2点的坐标（2，3）．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握平移变换，旋转变换的性质，属于中考常考题型．
21．（5分）已知：如图，直线AC与圆O交于点B、C，直线AD过圆心O，若圆O的半径是5，且∠DAC＝30°，AD＝13，求弦BC的长．
【分析】已知AD的长及⊙O的半径，即可求出OA的长；过O作BC的垂线，设垂足为M，在Rt△OAM中，由OA的长和∠A的度数，可求出OM的值；进而可在Rt△OCM中，用勾股定理求出CM的长．根据垂径定理知BC＝2CM，由此可求出BC的长．
【解答】解：作OM⊥BC于点M．
∵AD＝13，OD＝5，
∴AO＝8
∵∠DAC＝30°，
∴OM＝4．
在Rt△OCM中，OM＝4，OC＝5，
∴MC＝3
∴BC＝2MC＝6．
【点评】此题考查的是直角三角形的性质、勾股定理及垂径定理的综合应用．
22．（5分）阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：过圆外一点作圆的切线．
已知：如图，⊙O和点P．
求作：过点P的⊙O的切线．
小明的主要作法如下：
如图：（1）连接OP，作线段OP的垂直平分线，交OP于点A；
（2）以A为圆心，OA长为半径作圆，交⊙O于点B，C；
（3）作直线PB和PC；
所以PB和PC就是所求的切线．
老师说：“小明的作法正确．”
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：∵OP是⊙A的直径，
∴∠PBO＝90°，∠PCO＝90°； 直径所对的圆周角是直角 （填推理的依据）
∴OB⊥PB，OC⊥PC，
又∵OB，OC是⊙O的半径，
∴PB，PC是⊙O的切线． 经过半径的外端，且垂直于半径的直线是圆的切线 （填推理的依据）
【分析】（1）根据题意补全图形即可；
（2）根据圆周角定理得到∠PBO＝90°，∠PCO＝90°，根据垂直的定义得到OB⊥PB，OC⊥PC，根据切线的判定定理即可得到结论．
【解答】（1）解：补全图形如图所示；
（2）证明：∵OP是⊙A的直径，
∴∠PBO＝90°，∠PCO＝90°（直径所对的圆周角是直角）（填推理的依据），
∴OB⊥PB，OC⊥PC，
又∵OB，OC是⊙O的半径，
∴PB，PC是⊙O的切线（经过半径的外端，且垂直于半径的直线是圆的切线）（填推理的依据）．
故答案为：直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，且垂直于半径的直线是圆的切线．
【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，正确的作出图形是解题的关键．
23．（5分）阅读下面材料：
上课时李老师提出这样一个问题：对于任意实数x，关于x的不等式x2﹣2x﹣1﹣a＞0恒成立，求a的取值范围．
小捷的思路是：原不等式等价于x2﹣2x﹣1＞a，设函数，y2＝a，画出两个函数的图象的示意图，于是原问题转化为函数y1的图象在y2的图象上方时a的取值范围．
请结合小捷的思路回答：
对于任意实数x，关于x的不等式x2﹣2x﹣1﹣a＞0恒成立，则a的取值范围是 a＜﹣2 ．
参考小捷思考问题的方法，解决问题：
关于x的方程x2﹣4x＝a在0＜x＜4范围内有两个解，求a的取值范围．
（1）设函数，y2＝a，画出y1的图象的示意图．
（2）关于x的方程x2﹣4x＝a在0＜x＜4范围内有两个解，则a的取值范围是 ﹣4≤a＜0 ．
【分析】请结合小捷的思路回答：直接根据函数的顶点坐标可得出a的取值范围；
解决问题：（1）根据函数解析式画出函数图象；
（2）把关于x的方程x2﹣4x＝a在0＜x＜4范围内有两个解，可转化为函数，y2＝a在0＜x＜4范围内有两个交点，结合图形即可得出结论．
【解答】解：请结合小捷的思路回答：
由函数图象可知，a＜﹣2时，关于x的不等式x2﹣2x﹣1﹣a＞0恒成立，
故答案为：a＜﹣2；
解决问题：（1）y1＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，
对称轴为x＝2，顶点坐标为（2，4），
当y＝0时，x2﹣4x＝0，
解得：x1＝0，x2＝4，
∴图象过（0，0）和（4，0），
如图所示：
（2）关于x的方程x2﹣4x＝a在0＜x＜4范围内有两个解，
可转化为函数，y2＝a在0＜x＜4范围内有两个交点，
∴结合图象可知，a的取值范围是﹣4≤a＜0．
故答案为：﹣4≤a＜0．
【点评】本题考查的是二次函数与不等式（组），根据题意画出函数图象，利用数形结合求解是解答此题的关键．
24．（6分）某水果店出售一种进价为每千克10元的热带水果，原售价为每千克20元．
（1）连续两次降价后，每千克售价16.2元，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率．
（2）这种水果每月的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间存在着一次函数关系：y＝﹣10x+200．当销售单价为多少元时，每月可获得最大利润？
【分析】（1）设每次下降的百分率为a，根据连续两次降价后，每千克售价16.2元列出方程，解方程即可；
（2）根据题意可得利润＝（定价﹣进价）×销售量，从而列出关系式，然后根据函数的性质求最值即可．
【解答】解（1）设每次下降的百分率为a，
由题意得：20（1﹣a）2＝16.2，
解得：a1＝0.1＝10%，a2＝1.9（舍去），
∴每次下降的百分率为10%；
（2）设每月可获得的利润为w元，由题意得：
w＝（x﹣10）（﹣10x+200）
＝﹣10x2+300x﹣2000
＝﹣10（x﹣15）2+250，
∵﹣10＜0，
∴当x＝15时，w有最大值，最大值为250，
∴当销售单价为15元时，每月可获得最大利润250元．
【点评】此题考查二次函数以及一元二次方程的应用，关键是根据等量关系列出方程和函数解析式．
25．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线，交AB于点E，交CA的延长线于点F．
（1）求证：EF⊥AB；
（2）若∠C＝30°，EF＝，求EB的长．
【分析】（1）连接AD、OD，根据直径所对的圆周角是直角求出∠ADC＝90°，根据等腰三角形的性质证明D是BC的中点，得到OD是△ABC的中位线，根据切线的性质证明结论；
（2）根据三角形的内角和得到∠AOD＝60°，∠F＝30°，根据直角三角形的性质得到OA＝OD＝OF，求得AE＝根据平行线等分线段定理得到OD＝2AE＝2，AB＝2OD＝4，由线段的和差即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接AD、OD，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
又∵AB＝AC，
∴CD＝DB，又CO＝AO，
∴OD∥AB，
∵FD是⊙O的切线，
∴OD⊥EF，
∴FE⊥AB；
（2）∵∠C＝30°，
∴∠AOD＝60°，
∴∠F＝30°，
∴OA＝OD＝OF，
∵∠AEF＝90°，EF＝，
∴AE＝，
∵OD∥AB，OA＝OC＝AF，
∴OD＝2AE＝2，AB＝2OD＝4，
∴EB＝3．
【点评】本题考查的是切线的性质和平行线分线段成比例定理，掌握圆的切线垂直于过切点的半径和等腰三角形的三线合一是解题的关键．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线G：y＝4x2﹣8ax+4a2﹣4，A（﹣1，0），N（n，0）．
（1）当a＝1时，
①求抛物线G与x轴的交点坐标；
②若抛物线G与线段AN只有一个交点，求n的取值范围；
（2）若存在实数a，使得抛物线G与线段AN有两个交点，结合图象，直接写出n的取值范围．
【分析】（1）①把a＝1代入二次函数表达式得：y＝4x2﹣8x，令y＝0，即可求解；
②抛物线G与线段AN只有一个交点，则x＝﹣1时，y≥0（已经成立），x＝n时，y＜0，且n＞﹣1，即可求解；
（2）由②知，抛物线G与线段AN有两个交点，则x＝﹣1时，y≥0，x＝n时，y≥0，即可求解．
【解答】解：（1）①把a＝1代入二次函数表达式得：y＝4x2﹣8x，
令y＝0，即4x2﹣8x＝0，解得：x＝0或2，
即抛物线G与x轴的交点坐标为：（2，0）、（0，0）；
②抛物线G与线段AN只有一个交点，
则x＝﹣1时，y≥0（已经成立），x＝n时，y≤0，且n＞﹣1，
4n2﹣8n≤0，解得：0≤n＜2，
故：0≤n＜2；
（2）由②知，抛物线G与线段AN有两个交点，
则x＝﹣1时，y≥0，x＝n时，y≥0，
即：，解得：，
即：n的取值范围为：n≤﹣3或n≥1．
【点评】本题考查的是二次函数的综合运用，其核心是利用二次函数解不等式，本题难度较大．
27．（6分）正方形ABCD中，将边AB所在直线绕点A逆时针旋转一个角度α得到直线AM，过点C作CE⊥AM，垂足为E，连接BE．
（1）当0°＜α＜45°时，设AM交BC于点F，
①如图1，若α＝35°，则∠BCE＝ 35 °；
②如图2，用等式表示线段AE，BE，CE之间的数量关系，并证明；
（2）当45°＜α＜90°时（如图3），请直接用等式表示线段AE，BE，CE之间的数量关系．
【分析】（1）①利用正方形的性质得出∠ABC＝90°，进而求出∠AFB＝90°﹣∠BAF＝55°，再利用对顶角相等得出∠CFE＝∠AFB＝55°，即可得出结论；
②先利用等式的性质得出∠ABG＝∠CBE，再同①的方法得出∠α＝∠BCE，进而判断出△ABG≌△CBE（ASA），得出AG＝CE，BG＝BE，即可得出结论；
（2）先判断出∠ABG＝∠CBE，进而用同①的方法判断出∠DAH＝∠DCE，即可得出∠BAG＝∠BCE，判断出△ABG≌△CBE（ASA），得出AG＝CE，BG＝BE，即可得出结论．
【解答】（1）①∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，
∵∠BAF＝35°，
∴∠AFB＝90°﹣∠BAF＝55°，
∴∠CFE＝∠AFB＝55°，
∵CE⊥AM，
∴∠CEF＝90°，
∴∠ECF＝90°﹣∠CFE＝35°，
即：∠BCE＝35°，
故答案为：35；
②AE＝CE+BE．
证明：如图2，过点B作BG⊥BE，交AM于点G，
∴∠GBE＝∠GBC+∠CBE＝90°．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠ABG+∠GBC＝90°，
∴∠ABG＝∠CBE．
∵∠ABC＝90°，
∴∠α+∠AFB＝90°，
∵∠CFE＝∠AFB，
∴∠α+∠CFE＝90°，
∵∠CEF＝90°，
∴∠BCE+∠CFE＝90°，
∴∠α＝∠BCE．
在△ABG和△CBE中，
∠ABG＝∠CBE，AB＝BC，∠α＝∠BCE，
∴△ABG≌△CBE（ASA），
∴AG＝CE，BG＝BE．
∵在Rt△BEG中，BG＝BE，
∴GE＝BE，
∴AE＝AG+GE＝CE+BE．
（2）AE+CE＝BE．
理由：如图3，过点B作BG⊥BE，交AM于点G，
∴∠GBE＝∠GBA+∠ABE＝90°．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC，∠D＝∠ABC＝∠ABE+∠EBC＝90°，
∴∠ABG＝∠CBE．
∵∠D＝90°，
∴∠DAH+∠AHD＝90°，
∵∠AHD＝∠CHE，
∴∠DAH+∠CHE＝90°，
∵∠CEA＝90°，
∴∠DCE+∠CHE＝90°，
∴∠DAH＝∠DCE．
延长DA交BG于N，
∵∠NAG＝∠DAH，∴∠NAG＝∠DCE，
∴∠NAG+90°＝∠DCE+90°，
∴∠BAG＝∠BCE
在△ABG和△CBE中，
∠ABG＝∠CBE，AB＝BC，∠BAG＝∠BCE，
∴△ABG≌△CBE（ASA），
∴AG＝CE，BG＝BE．
∵在Rt△BEG中，BG＝BE，
∴GE＝BE，
∴AE＝GE﹣AG＝BE﹣CE．
即：AE+CE＝BE．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，直角三角形的两锐角互余，对顶角相等，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，构造全等三角形是解本题的关键．
28．（6分）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．
例如点（1，1），（，），（，），…，都是和谐点．
（1）判断函数y＝﹣2x+1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；
（2）若二次函数y＝ax2+4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（，）．
①求a，c的值．
②当0≤x≤m时，函数的最小值为﹣3，最大值为1，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）根据和谐点的横坐标与纵坐标相同，可得方程，根据解方程，可得答案；
（2）根据和谐点的概念令ax2+4x+c＝x，即ax2+3x+c＝0，由题意，△＝32﹣4ac＝0，即4ac＝9，方程的根为，从而求得a＝﹣1，；
（3）函数y＝ax2+4x+c﹣＝﹣x2+4x﹣3，根据函数解析式求得顶点坐标与纵坐标的交点坐标，根据y的取值，即可确定x的取值范围．
【解答】解：（1）令﹣2x+1＝x，解得，
∴函数y＝﹣2x+1的图象上有一个和谐点（，）；
（2）①令ax2+4x+c＝x，即ax2+3x+c＝0，
由题意，Δ＝32﹣4ac＝0，即4ac＝9，
又方程的根为，
解得a＝﹣1，；
②函数，即y＝﹣x2+4x﹣3，该函数图象顶点为（2，1），与y轴交点为（0，﹣3），由对称性可知该函数图象也经过点（4，﹣3），
如图1，由于函数图象在对称轴直线x＝2左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，且当0≤x≤m时，函数y＝﹣x2+4x﹣3的最小值为﹣3，最大值为1，
∴2≤m≤4．
【点评】本题是二次函数的新定义综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质以及根的判别式等知识，准确理解和谐点的含义以及熟练应用二次函数的性质数形结合是解题关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/21 21:50:41；用户：菁优校本题库；邮箱：2471@xyh.cm；学号：56380052x
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