2021-2022学年北京市西城区宣武外国语实验学校七年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2021-2022学年北京市西城区宣武外国语实验学校七年级（上）期中数学试卷【含解析】，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题，附加题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）﹣的倒数为（ ）
A．B．C．2D．﹣2
2．（3分）北京市2016年10月1日至7日国庆期间共接待游客11195000万人次，同比下降2.8%．将数据11195000用科学记数法表示应为（ ）
A．11195×103B．1.1195×107C．11.195×106D．1.1195×106
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．23÷32＝1B．（﹣4）×（﹣9）＝﹣36
C．﹣23÷（﹣2）＝4D．（﹣3）3+9＝0
4．（3分）下列说法中正确的是（ ）
A．是单项式B．﹣πx的系数为﹣1
C．﹣5不是单项式D．﹣5a2b的次数是3
5．（3分）若2a2mb4和﹣a6bn﹣2是同类项，则m、n的值是（ ）
A．m＝3，n＝6B．m＝3，n＝﹣6C．，n＝6D．m＝6，n＝4
6．（3分）已知|x+1|+（2﹣y）2＝0，则xy的值是（ ）
A．1B．﹣1C．﹣2D．﹣8
7．（3分）下列方程中，是一元一次方程的是（ ）
A．＝3B．x2+1＝5C．x＝0D．x+2y＝3
8．（3分）运用等式性质进行的变形，正确的是（ ）
A．如果a＝b，那么a+c＝b﹣cB．如果，那么a＝b
C．如果a＝b，那么D．如果a2＝3a，那么a＝3
9．（3分）如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“U”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这7个数的和不可能的是（ ）
A．70B．78C．77D．105
10．（3分）如图，给正五边形的顶点依次编号为1，2，3，4，5，若从某一顶点开始，沿正五边形的边顺时针方向行走，顶点编号的数字是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”．如：小宇在编号为3的顶点上时，那么他应走3个边长，即从3→4→5→1为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点；然后从1→2为第二次“移位”．若小宇从编号为2的顶点开始，第2018次“移位”后，则他所处顶点的编号为（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（每题2分，本题共16分）
11．（2分）比较大小：﹣ ﹣，﹣（﹣1.5） +|﹣|．
12．（2分）1.9583≈ （精确到百分位）．
13．（2分）在数轴上点A表示2，则与点A相距3个单位长度的点B表示 ．
14．（2分）多项式3x2y﹣7x4y2﹣xy3+27是 次 项式．
15．（2分）多项式x2﹣3kxy﹣3y2+6xy﹣8不含xy项，则k的值为 ．
16．（2分）若（m﹣1）x|m|+5＝0是关于x的一元一次方程，则m＝ ．
17．（2分）若方程2x+1＝﹣1的解也是关于x的方程1﹣2（x﹣a）＝2的解，则a的值为 ．
18．（2分）在计算“9﹣2”时，甲同学的做法如下：
甲：9﹣2
＝9+（﹣2）①
＝9+（﹣2）②
＝7③
在上面的计算过程中，开始出错的步骤是 （写出错误所在行的序号），这一步正确的步骤是： ．
三、计算题（每题4分，本题共16分）
19．（16分）计算：
（1）6+（﹣15）﹣（﹣8）﹣（+20）；
（2）（﹣2）；
（3）﹣24×；
（4）﹣12017﹣[（﹣1﹣0.25）×]．
四、解答题（20题共8分，21题共8分，22题4分，本题共20分）
20．（8分）化简：
（1）3a2﹣2a﹣4a2﹣7a；
（2）2（2x2+x﹣3）﹣（x2+2x﹣2）．
21．（8分）解方程：
（1）7x﹣8＝5x+4；
（2）．
22．（4分）先化简，再求值：a2+（5a2﹣2a）﹣3（a2﹣3a），其中a＝﹣4．
五、解答题（23题4分、24题5分、25题4分、26题5分，共18分）
23．（4分）某城管骑摩托车在一条南北的马路上巡逻，一天，他从岗亭出发，晚上停留在B处，规定向北为正，向南为负，当天行驶记录如下（单位：千米）：
+10，﹣9，+7，﹣12，+12，+1，﹣11，﹣2．
（1）B处在岗亭的什么方向？距岗亭有多远？
（2）若摩托车行驶1千米耗油0.05升，这一天共耗油多少升？
24．（5分）如图，一个长方形运动场被分隔成A，B，A，B，C共5个区，A区是边长为a m的正方形，C区是边长为c m的正方形．
（1）列式表示每个B区长方形场地的周长，并将式子化简；
（2）列式表示整个长方形运动场的周长，并将式子化简；
（3）如果a＝40，c＝10，求整个长方形运动场的面积．
25．（4分）已知关于x的方程x2﹣3x+1＝0的一个解是x＝a，求代数式3a2+2（1﹣4a）﹣a的值．
26．（5分）在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：a⊕b＝a×b+2×a．
（1）2⊕（﹣1）＝ ；
（2）求﹣3⊕（﹣4⊕）的值；
（3）若m⊕（﹣5）的值与6⊕m的值相等，求m的值；
（4）试用学习有理数的经验和方法来探究这种新运算“⊕”是否具有交换律？请写出你的探究过程．
六、附加题
27．如下图中表示，寻找其中规律，
图1正三边形中共有4个点．
图2正四边形中共有13个点．
图3正五边形中共有26个点．
图4正六边形中共有 个点．
正七边形中共有 个点．
依此类推…
图n正n+2边形中共有 个点．
28．数轴上点A表示﹣10，点B表示10，点C表示18，如图，将数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”，在“折线数轴”上，点M、N表示的数分别是m、n，我们把m、n之差的绝对值叫做点M，N之间友好距离，即MN＝|m﹣n|．那么我们称点A和点C在折线数轴上友好距离为28个长度单位．动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半；点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，当点P到达B点时，点P、Q均停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）当t＝14秒时，P、Q两点在折线数轴上的友好距离为 个单位长度．
（2）当P、Q两点在折线数轴上相遇时，求运动的时间t的值．
（3）是否存在某一时刻使得点P、O两点在折线数轴上的友好距离与Q、B两点在折线数轴上的友好距离相等？若存在，请直接写出t的取值；若不存在，请说明理由．
2021-2022学年北京市西城区宣武外国语实验学校七年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下面各题均有四个选项，其中只有一个符合题意，每小题3分，本题共30分）
1．（3分）﹣的倒数为（ ）
A．B．C．2D．﹣2
【分析】依据倒数的定义回答即可．
【解答】解：﹣的倒数为﹣2．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．
2．（3分）北京市2016年10月1日至7日国庆期间共接待游客11195000万人次，同比下降2.8%．将数据11195000用科学记数法表示应为（ ）
A．11195×103B．1.1195×107C．11.195×106D．1.1195×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：11195000用科学记数法表示应为1.1195×107，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．23÷32＝1B．（﹣4）×（﹣9）＝﹣36
C．﹣23÷（﹣2）＝4D．（﹣3）3+9＝0
【分析】根据有理数混合运算顺序和运算法则逐一计算，再进行判断即可．
【解答】解：A．23÷32＝8÷9＝，此选项计算错误，不符合题意；
B．（﹣4）×（﹣9）＝36，此选项计算错误，不符合题意；
C．﹣23÷（﹣2）＝﹣8÷（﹣2）＝4，此选项计算正确，符合题意；
D．（﹣3）3+9＝﹣27+9＝﹣18，此选项计算错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．
4．（3分）下列说法中正确的是（ ）
A．是单项式B．﹣πx的系数为﹣1
C．﹣5不是单项式D．﹣5a2b的次数是3
【分析】几个单项式的和叫多项式；单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
【解答】解：A、是多项式，故A错误；
B、π是数字不是字母，系数为﹣π，故B错误；
C、单独一个数字也是一个单项式，故C错误；
D、﹣5a2b的次数是3．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是单项式和多项式的概念，熟练掌握相关概念是解题的关键．
5．（3分）若2a2mb4和﹣a6bn﹣2是同类项，则m、n的值是（ ）
A．m＝3，n＝6B．m＝3，n＝﹣6C．，n＝6D．m＝6，n＝4
【分析】根据同类项的定义直接可得到m、n的值．
【解答】解：∵2a2mb4和﹣a6bn﹣2是同类项，
∴2m＝6，解得m＝3，
n﹣2＝4，解得n＝6．
故选：A．
【点评】本题考查了同类项，关键是熟悉同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫同类项．
6．（3分）已知|x+1|+（2﹣y）2＝0，则xy的值是（ ）
A．1B．﹣1C．﹣2D．﹣8
【分析】根据非负数的性质列方程求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：由非负数的性质得，x+1＝0，2﹣y＝0，
解得x＝﹣1，y＝2，
所以，xy＝（﹣1）2＝1．
故选：A．
【点评】本题考查了非负数的性质，掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解决此题关键．
7．（3分）下列方程中，是一元一次方程的是（ ）
A．＝3B．x2+1＝5C．x＝0D．x+2y＝3
【分析】根据只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程进行分析即可．
【解答】解：A、不是一元一次方程，故此选项错误；
B、不是一元一次方程，故此选项错误；
C、是一元一次方程，故此选项正确；
D、不是一元一次方程，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的定义，关键是掌握一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．
8．（3分）运用等式性质进行的变形，正确的是（ ）
A．如果a＝b，那么a+c＝b﹣cB．如果，那么a＝b
C．如果a＝b，那么D．如果a2＝3a，那么a＝3
【分析】利用等式的性质对每个等式进行变形即可找出答案．
【解答】解：A、利用等式性质1，两边都加c，得到a+c＝b+c，所以A不成立，故A选项错误；
B、利用等式性质2，两边都乘以c，得到a＝b，所以B成立，故B选项正确；
C、成立的条件c≠0，故C选项错误；
D、成立的条件a≠0，故D选项错误；
故选：B．
【点评】主要考查了等式的基本性质．
等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；
2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．
9．（3分）如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“U”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这7个数的和不可能的是（ ）
A．70B．78C．77D．105
【分析】设“U”型框中的正中间的数为x，则其它6个数分别为x﹣15，x﹣8，x﹣1，x+1，x﹣6，x﹣13，表示出这7个数之和，然后分别列出方程解答即可．
【解答】解：设“U”型框中的正中间的数为x，则其他6个数分别为x﹣15，x﹣8，x﹣1，x+1，x﹣6，x﹣13，
这7个数之和为：x﹣15+x﹣8+x﹣1+x+1+x﹣6+x﹣13＝7x﹣42．
由题意得：
A、7x﹣42＝70，解得x＝16，能求出这7个数，不符合题意；
B、7x﹣42＝78，解得x＝，不能求出这7个数，符合题意；
C、7x﹣42＝77，解得x＝17，能求出这7个数，不符合题意；
D、7x﹣42＝105，解得x＝21，能求出这7个数，不符合题意．
故选：B．
【点评】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握“U”型框中的7个数的数字的排列规律是解决问题的关键．
10．（3分）如图，给正五边形的顶点依次编号为1，2，3，4，5，若从某一顶点开始，沿正五边形的边顺时针方向行走，顶点编号的数字是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”．如：小宇在编号为3的顶点上时，那么他应走3个边长，即从3→4→5→1为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点；然后从1→2为第二次“移位”．若小宇从编号为2的顶点开始，第2018次“移位”后，则他所处顶点的编号为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据“移位”的特点确定出前几次的移位情况，从而找出循环规律，然后解答即可．
【解答】解：第一次移位是2到4，
第二次移位是4到3，
第三次移位是3到1，
第四次移位是1到2，
可知四次移位为一个循环，
2018÷4＝504……2，
故第2018次“移位”后，则他所处顶点的编号为3，
故选：C．
【点评】此题对图形变化规律的考查，根据“移位”的定义，找出每4次移位为一个循环组进行循环是解题的关键．
二、填空题（每题2分，本题共16分）
11．（2分）比较大小：﹣ ＜ ﹣，﹣（﹣1.5） ＝ +|﹣|．
【分析】两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小；根据相反数和绝对值的性质化简，再比较大小即可．
【解答】解：∵|﹣|＝＝，|﹣|＝＝，而，
∴；
∵﹣（﹣1.5）＝1.5，+|﹣|＝，
∴﹣（﹣1.5）＝+|﹣|．
故答案为：＜；＝．
【点评】本题考查了有理数大小比较，掌握并正确运用有理数大小比较的法则是解答本题的关键．
12．（2分）1.9583≈ 1.96 （精确到百分位）．
【分析】根据近似数的精确度求解．
【解答】解：1.9583≈1.96（精确到百分位）
故答案为1.96．
【点评】本题考查了近似数和有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
13．（2分）在数轴上点A表示2，则与点A相距3个单位长度的点B表示 ﹣1或5 ．
【分析】分两种情况进行解答，即点B在点A的左边，点B在点A的右边，也就是2±3即可．
【解答】解：当点B在点A的左边时，2﹣3＝﹣1，
当点B在点A的右边，2+3＝5，
故答案为：﹣1或5．
【点评】本题考查数轴表示数的意义和方法，理解有理数的意义是解决问题的前提．
14．（2分）多项式3x2y﹣7x4y2﹣xy3+27是 六 次 四 项式．
【分析】根据多项式的项数和次数的确定方法即可求出答案．
【解答】解：多项式3x2y﹣7x4y2﹣xy3+27是六次四项式．
故答案为：六，四．
【点评】本题考查多项式，解题的关键是理解多项式的项数和次数的确定方法，本题属于基础题型．
15．（2分）多项式x2﹣3kxy﹣3y2+6xy﹣8不含xy项，则k的值为 2 ．
【分析】直接利用合并同类项法则得出同类项之间系数的关系即可得出答案．
【解答】解：∵多项式x2﹣3kxy﹣3y2+6xy﹣8不含xy项，
∴﹣3k+6＝0，
解得：k＝2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了合并同类项，正确得出关于k的等式是解题关键．
16．（2分）若（m﹣1）x|m|+5＝0是关于x的一元一次方程，则m＝ ﹣1 ．
【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是ax+b＝0（a，b是常数且a≠0）．
【解答】解：由题意，得
|m|＝1，且m﹣1≠0，
解得m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．
17．（2分）若方程2x+1＝﹣1的解也是关于x的方程1﹣2（x﹣a）＝2的解，则a的值为 ﹣ ．
【分析】求出第一个方程的解得到x的值，代入第二个方程计算即可求出a的值．
【解答】解：方程2x+1＝﹣1，
解得：x＝﹣1，
代入方程得：1+2+2a＝2，
解得：a＝﹣，
故答案为：﹣
【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
18．（2分）在计算“9﹣2”时，甲同学的做法如下：
甲：9﹣2
＝9+（﹣2）①
＝9+（﹣2）②
＝7③
在上面的计算过程中，开始出错的步骤是 ② （写出错误所在行的序号），这一步正确的步骤是： 9﹣3 ．
【分析】根据添括号和有理数加减法运算法则进行分析判断．
【解答】解：在甲同学的计算过程中的第②步里计算9﹣2时应该等于9﹣（），
故答案为：②，9﹣3．
【点评】本题考查有理数的加减运算，掌握有理数加减运算法则（同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．异号两数相加，绝对值相等时，和为零；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同零相加仍得这个数．减去一个数，等于加上这个数的相反数）是解题关键．
三、计算题（每题4分，本题共16分）
19．（16分）计算：
（1）6+（﹣15）﹣（﹣8）﹣（+20）；
（2）（﹣2）；
（3）﹣24×；
（4）﹣12017﹣[（﹣1﹣0.25）×]．
【分析】（1）先把减法转化为加法，然后根据有理数的加法法则计算即可；
（2）根据有理数的乘除法计算即可；
（3）根据乘法分配律计算即可；
（4）先算乘方和括号内的式子，然后再算括号外的减法．
【解答】解：（1）6+（﹣15）﹣（﹣8）﹣（+20）
＝6+（﹣15）+8+（﹣20）
＝﹣21；
（2）（﹣2）
＝﹣2××
＝﹣；
（3）﹣24×
＝﹣24×﹣24×+24×
＝﹣4﹣32+18
＝﹣18；
（4）﹣12017﹣[（﹣1﹣0.25）×]
＝﹣1﹣[（﹣）×+9]
＝﹣1﹣（﹣1+9）
＝﹣1﹣8
＝﹣9．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的运算法则和运算顺序，注意乘法分配律的应用．
四、解答题（20题共8分，21题共8分，22题4分，本题共20分）
20．（8分）化简：
（1）3a2﹣2a﹣4a2﹣7a；
（2）2（2x2+x﹣3）﹣（x2+2x﹣2）．
【分析】（1）先合并同类项，再去括号；
（2）先去括号，再合并同类项．
【解答】解：（1）原式＝（3a2﹣4a2）+（﹣2a﹣7a）
＝﹣a2+（﹣9a）
＝﹣a2﹣9a；
（2）原式＝4x2+2x﹣6﹣x2﹣2x+2
＝3x2﹣4．
【点评】本题考查了合并同类项．熟练掌握合并同类项法则是解题的关键．合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
21．（8分）解方程：
（1）7x﹣8＝5x+4；
（2）．
【分析】（1）先移项、合并同类项，再求解即可；
（2）先去括号，再移项、合并同类项，即可求解．
【解答】解：（1）7x﹣8＝5x+4，
移项，得7x﹣5x＝4+8，
合并同类项，得2x＝12，
解得x＝6；
（2），
去分母得3（3x+1）﹣（2x﹣5）＝﹣6，
去括号，得9x+3﹣2x+5＝﹣6，
合并同类项，得7x＝﹣14，
解得x＝﹣2．
【点评】本题考查一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键．
22．（4分）先化简，再求值：a2+（5a2﹣2a）﹣3（a2﹣3a），其中a＝﹣4．
【分析】利用去括号的法则去掉括号后再合并同类项，将a＝﹣4代入化简后的代数式，计算即可得出结论．
【解答】解：原式＝a2+5a2﹣2a﹣3a2+9a
＝3a2+7a，
当a＝﹣4时，
原式＝3×16﹣7×4＝20．
【点评】本题主要考查了整式的加减与化简求值，利用去括号的法则去掉括号后再合并同类项是解题的关键．
五、解答题（23题4分、24题5分、25题4分、26题5分，共18分）
23．（4分）某城管骑摩托车在一条南北的马路上巡逻，一天，他从岗亭出发，晚上停留在B处，规定向北为正，向南为负，当天行驶记录如下（单位：千米）：
+10，﹣9，+7，﹣12，+12，+1，﹣11，﹣2．
（1）B处在岗亭的什么方向？距岗亭有多远？
（2）若摩托车行驶1千米耗油0.05升，这一天共耗油多少升？
【分析】（1）将行驶记录相加后，即可求出方向和距离；
（2）将行驶记录的绝对值相加得到总路程，再根据每千米耗油0.05升即可求出一天的耗油．
【解答】解：（1）∵+10﹣9+7﹣12+12+1﹣11﹣2＝﹣4（千米），
∴B处在岗亭南方，距岗亭4千米；
（2）10+9+7+12+1+1+11+2＝64（千米），
64×0.05＝3.2（升），
∴这一天共耗油3.2升．
【点评】本题考查正数与负数的意义，熟练掌握有理数的加减运算法则是解题关键．
24．（5分）如图，一个长方形运动场被分隔成A，B，A，B，C共5个区，A区是边长为a m的正方形，C区是边长为c m的正方形．
（1）列式表示每个B区长方形场地的周长，并将式子化简；
（2）列式表示整个长方形运动场的周长，并将式子化简；
（3）如果a＝40，c＝10，求整个长方形运动场的面积．
【分析】（1）利用图形得出区域B的长和宽，即可得出结论；
（2）利用图形得出整个长方形的长和宽，即可得出结论；
（3）先求出整个长方形的长和宽，利用面积公式即可得出结论．
【解答】解：（1）2[（a+c）+（a﹣c）]＝2（a+c+a﹣c）＝4a（m）
（2）2[（a+a+c）+（a+a﹣c）]＝2（a+a+c+a+a﹣c）＝8a（m）
（3）当a＝40，c＝10时，
∴长＝2a+c＝90（m），宽＝2a﹣c＝70（m），
所以面积＝90×70＝6300（m2）
【点评】此题主要考查了列代数式，代数式的值，利用图形得出长方形的长和宽是解本题关键．
25．（4分）已知关于x的方程x2﹣3x+1＝0的一个解是x＝a，求代数式3a2+2（1﹣4a）﹣a的值．
【分析】把x＝a代人x2﹣3x+1＝0后得a2﹣3a＝﹣1，然后化简后整体代人即可．
【解答】解：∵x＝a是方程x2﹣3x+1＝0的解，
∴a2﹣3a+1＝0，
∴a2﹣3a＝﹣1，
∴原式＝3a2+2﹣8a﹣a＝3（a2﹣3a）＝﹣3．
【点评】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了一元二次方程的定义．
26．（5分）在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：a⊕b＝a×b+2×a．
（1）2⊕（﹣1）＝ 2 ；
（2）求﹣3⊕（﹣4⊕）的值；
（3）若m⊕（﹣5）的值与6⊕m的值相等，求m的值；
（4）试用学习有理数的经验和方法来探究这种新运算“⊕”是否具有交换律？请写出你的探究过程．
【分析】（1）根据a⊕b＝a×b+2×a，可以求得所求式子的值；
（1）先计算括号内的式子，再计算括号外的式子即可；
（3）根据m⊕（﹣5）的值与6⊕m的值相等，可以得到关于m的方程，然后求解即可；
（4）根据a⊕b＝a×b+2×a，可以写出b⊕a＝b×a+2×b，然后分类讨论即可说明．
【解答】解：（1）∵a⊕b＝a×b+2×a，
∴2⊕（﹣1）
＝2×（﹣1）+2×2
＝﹣2+4
＝2，
故答案为：2；
（2）﹣3⊕（﹣4⊕）
＝﹣3⊕[（﹣4）×+2×（﹣4）]
＝﹣3⊕（﹣2﹣8）
＝﹣3⊕（﹣10）
＝（﹣3）×（﹣10）+2×（﹣3）
＝30+（﹣6）
＝24；
（3）∵m⊕（﹣5）的值与6⊕m的值相等，
∴﹣5m+2m＝6m+2×6，
解得m＝﹣；
（4）∵a⊕b＝a×b+2×a，b⊕a＝b×a+2×b，
∴当a＝b时，这种新运算“⊕”具有交换律，
当a≠b时，这种新运算“⊕”不具有交换律．
【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是会用新定义解答问题．
六、附加题
27．如下图中表示，寻找其中规律，
图1正三边形中共有4个点．
图2正四边形中共有13个点．
图3正五边形中共有26个点．
图4正六边形中共有 43 个点．
正七边形中共有 64 个点．
依此类推…
图n正n+2边形中共有 （2n2+3n﹣1） 个点．
【分析】根据图形归纳出第n个图形中点的个数，再代入可得答案．
【解答】解：图1为正三边形中共有4个点，4＝6×1﹣2；
图2为正四边形中共有13个点，13＝8×2﹣3；
图3为正五边形中共有26个点，26＝10×3﹣4；
∴图4为正六边形中点的个数为12×4﹣5＝43，
图5为正七边形中点的个数为14×5﹣6＝64，
…，
图n为正n+2边形中点的个数为2n（n+2）﹣（n+1）＝2n2+3n﹣1．
故答案为：43，64，（2n2+3n﹣1）．
【点评】本题考查图形的规律型问题，根据题目找到规律是解题关键．
28．数轴上点A表示﹣10，点B表示10，点C表示18，如图，将数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”，在“折线数轴”上，点M、N表示的数分别是m、n，我们把m、n之差的绝对值叫做点M，N之间友好距离，即MN＝|m﹣n|．那么我们称点A和点C在折线数轴上友好距离为28个长度单位．动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半；点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，当点P到达B点时，点P、Q均停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）当t＝14秒时，P、Q两点在折线数轴上的友好距离为 5 个单位长度．
（2）当P、Q两点在折线数轴上相遇时，求运动的时间t的值．
（3）是否存在某一时刻使得点P、O两点在折线数轴上的友好距离与Q、B两点在折线数轴上的友好距离相等？若存在，请直接写出t的取值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据路程等于速度乘时间，可得点P、Q运动的路程，从而可求出点P、Q与点O相距的距离，进一步求得P、Q友好距离；
（2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得当P、Q两点相遇时，运动的时间t的值；
（3）由路程、速度、时间三者关系，根据PO＝QB分类求出三种情况下的时间为2秒或6.5秒．
【解答】解：（1）当t＝14秒时，点P和点O在数轴上相距（14﹣10÷2）×1＝9个长度单位，点Q和点O在数轴上相距18﹣1×14＝4个长度单位，P、Q友好距离9﹣4＝5个单位长度．
故答案为：5；
（2）依题意可得：10+（t﹣5）+t＝28，
解得t＝11.5．
故运动的时间t的值为11.5；
（3）当点P在AO，点Q在BC上运动时，依题意得：
10﹣2t＝8﹣t，
解得：t＝2，
当点P、Q两点都在OB上运动时，
t﹣5＝t﹣8，
无解，
当P在OB上，Q在BC上运动时，
8﹣t＝t﹣5，
解得：t＝6.5；
即PO＝QB时，运动的时间为2秒或6.5秒．
∴存在，t的值为2或6.5．
【点评】本题综合考查了数轴与有理数的关系，一元一次方程在数轴上的应用，路程、速度、时间三者的关系等相关知识点，重点掌握一元一次方程的应用．
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