2021-2022学年北京市西城外国语学校九年级(上)期中数学试卷【含解析】
展开1.(2分)如图,A、B、C是⊙O上的三点,若∠C=40°,则∠AOB的度数是( )
A.40°B.50°C.55°D.80°
2.(2分)下列图形中,既是中心对称图形,又是轴对称图形的是( )
A.B.
C.D.
3.(2分)将抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位,再向上平移3个单位,得到的抛物线是( )
A.y=﹣2(x+1)2+3B.y=﹣2(x﹣1)2﹣3
C.y=﹣2(x+1)2﹣3D.y=﹣2(x﹣1)2+3
4.(2分)如图,在△ABC中,以点C为中心,将△ABC顺时针旋转25°得到△DEC,边DE,AC相交于点F,若∠A=35°,则∠EFC的度数为( )
A.50°B.60°C.70°D.120°
5.(2分)下列关于二次函数y=3x2的说法正确的是( )
A.它的图象经过点(﹣1,﹣3)
B.它的图象的对称轴是直线x=3
C.当x=0时,y有最大值为0
D.当x<0时,y随x的增大而减小
6.(2分)已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示,则使得函数值y大于2的自变量x的取值可以是( )
A.﹣4B.﹣2C.0D.2
7.(2分)如图,点O为线段AB的中点,点B,C,D到点O的距离相等,连接AC,BD.则下面结论不一定成立的是( )
A.∠ACB=90°B.∠BDC=∠BAC
C.AC平分∠BADD.∠BCD+∠BAD=180°
8.(2分)如图,点M坐标为(0,2),点A坐标为(2,0),以点M为圆心,MA为半径作⊙M,与x轴的另一个交点为B,点C是⊙M上的一个动点,连接BC,AC,点D是AC的中点,连接OD,当线段OD取得最大值时,点D的坐标为( )
A.(0,)B.(1,)C.(2,2)D.(2,4)
二、填空题(本题共16分,每小题2分)
9.(2分)写出一个二次函数,使得它有最大值,这个二次函数的解析式可以是 .
10.(2分)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么b 0,c 0(填“>”,“=”,或“<”).
11.(2分)如图,将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE,点C和点E是对应点,若AB=1,则BD= .
12.(2分)如图,正六边形ABCDEF内接于⊙O,⊙O的半径为6,则的长为 .
13.(2分)如图,PA,PB是⊙O的切线,切点分别是点A和B,AC是⊙O的直径.若∠P=60°,PA=6,则BC的长为 .
14.(2分)点O是正五边形ABCDE的中心,分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆,组成了一幅美丽的图案(如图).这个图案绕点O至少旋转 °后能与原来的图案互相重合.
15.(2分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A,B,C的坐标分别是(0,2),(2,0),(4,0),⊙M是△ABC的外接圆,则圆心M的坐标为 ,⊙M的半径为 .
16.(2分)二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(0,y1),B(2,﹣1),C(4,y2)三点,其中y2>y1>﹣1.下面四个结论中:
①抛物线开口向下;
②当x=2时,y取最小值﹣1;
③当m>﹣1时,一元二次方程ax2+bx+c=m必有两个不相等的实数根;
④直线y=kx+c(k≠0)经过点A,C,当kx+c<ax2+bx+c时,x的取值范围是x<0或x>4.
正确的结论有 .(填序号)
三、解答题(本题共68分,第17-22题,每小题5分,第23-26题,每小题5分,第27,28题,每小题5分)
17.(5分)下面是小华设计的“作∠AOB的角平分线”的尺规作图过程,请帮助小华完成尺规作图并填空(保留作图痕迹).
18.(5分)已知关于x的二次函数y=2x2+bx+c,它的图象经过点(0,﹣3)和(2,﹣3).
(1)求这个二次函数的表达式及顶点坐标;
(2)将这个二次函数的图象沿x轴平移,使其顶点恰好落在y轴上,请直接写出平移后的函数表达式.
19.(5分)如图,AB是⊙O的一条弦,过点O作OC⊥AB于D,交⊙O于点C,点E在⊙O上,且∠AEC=30°,连接OB.
(1)求∠BOC的度数;
(2)若CD=4,求AB的长.
20.(5分)已知二次函数y=x2﹣4x+3.
(1)将二次函数化成y=a(x﹣h)2+k的形式;
(2)在平面直角坐标系中画出y=x2﹣4x+3的图象.
(3)当1<x<4时,结合函数图象,直接写出y的取值范围.
21.(5分)如图,等腰三角形ABC中,BA=BC,∠ABC=α.作CD⊥AB于点D,将线段BD绕点B逆时针旋转角α后得到线段BE,连接AE.求证:BE⊥AE.
22.(5分)如图,△ABC的顶点坐标分别为A(﹣3,3),B(0,1),C(﹣1,﹣1).
(1)请画出△ABC关于点B成中心对称的△A1BC1,并写出点A1,C1的坐标;
(2)四边形AC1A1C的面积为 .
23.(6分)如图,AB为⊙O的直径,点C在AB的延长线上,CD与⊙O相切于D,过点B作BE∥CD交⊙O于点E,连接AD,AE,∠EAD=22.5°.若BE=4,求⊙O的半径.
24.(6分)材料1:昌平南环大桥是经典的悬索桥,当今大跨度桥梁大多采用此种结构.此种桥梁各结构的名称如图1所示,其建造原理是在两边高大的桥塔之间,悬挂着主索,再以相应的间隔,从主索上设置竖直的吊索,与桥面垂直,并连接桥面,承接桥面的重量,主索的几何形态近似符合抛物线.
材料2:如图2,某一同类型悬索桥,两桥塔AD=BC=10m,间距AB为32m,桥面AB水平,主索最低点为点P,点P距离桥面为2m.
(1)请你建立适当的平面直角坐标系,求出主索抛物线的表达式;
(2)距离点P水平距离为4m和8m处的吊索共四条需要更换,求四条吊索的总长度.
25.(6分)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D为BC边的中点,以AD为直径作⊙O,分别与AB,AC交于点E,F,过点E作EG⊥BC于G.
(1)求证:EG是⊙O的切线;
(2)若AF=6,⊙O的半径为5,求BE的长.
26.(6分)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣1.
(1)当m=3时,求抛物线的顶点坐标;
(2)①求抛物线的对称轴(用含m的式子表示);
②若当1≤x≤2时,y的最小值是0,请直接写出m的值;
(3)直线y=x+b与x轴交于点A(﹣3,0),与y轴交于点B,过点B作垂直于y轴的直线l与抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣1有两个交点,在抛物线对称轴左侧的点记为P,当△OAP为钝角三角形时,求m的取值范围.
27.(7分)已知∠MON=90°,点A在边OM上,点P是边ON上一动点,∠OAP=α,将线段AP绕点A逆时针旋转60°,得到线段AB,连接OB,再将线段OB绕点O顺时针旋转60°,得到线段OC,作CH⊥ON于点H.
(1)如图1,α=60°.
①依题意补全图形;
②连接BP,求∠BPH的度数;
(2)如图2,当点P在射线ON上运动时,用等式表示线段OA与CH之间的数量关系,并证明.
28.(7分)对于平面内点P和⊙G,给出如下定义:T是⊙G上任意一点,点P绕点T旋转180°后得到点P',则称点P'为点P关于⊙G的旋转点.如图为点P及其关于⊙G的旋转点P'的示意图.
在平面直角坐标系xOy中,⊙O的半径为1,点P(0,﹣2).
(1)在点A(﹣1,0),B(0,4),C(2,2)中,是点P关于⊙O的旋转点的是 ;
(2)若在直线y=x+b上存在点P关于⊙O的旋转点,求b的取值范围;
(3)若点D在⊙O上,⊙D的半径为1,点P关于⊙D的旋转点为点P',请直接写出点P'的横坐标xP′的取值范围.
2021-2022学年北京市西城外国语学校九年级(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本题共16分,每小题2分)
1.(2分)如图,A、B、C是⊙O上的三点,若∠C=40°,则∠AOB的度数是( )
A.40°B.50°C.55°D.80°
【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论.
【解答】解:∵∠C与∠AOB是同弧所对的圆周角与圆心角,∠C=40°,
∴∠AOB=2∠C=80°.
故选:D.
【点评】本题考查的是圆周角定理,熟知在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键.
2.(2分)下列图形中,既是中心对称图形,又是轴对称图形的是( )
A.B.
C.D.
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.
【解答】解:A.既是中心对称图形,又是轴对称图形,故此选项符合题意;
B.是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项不合题意;
C.不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项不合题意;
D.是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项不合题意.
故选:A.
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念:轴对称图形:如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合,这样的图形叫做轴对称图形;中心对称图形:在同一平面内,如果把一个图形绕某一点旋转180°,旋转后的图形能和原图形完全重合,那么这个图形就叫做中心对称图形.
3.(2分)将抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位,再向上平移3个单位,得到的抛物线是( )
A.y=﹣2(x+1)2+3B.y=﹣2(x﹣1)2﹣3
C.y=﹣2(x+1)2﹣3D.y=﹣2(x﹣1)2+3
【分析】由抛物线平移不改变二次项系数a的值,根据点的平移规律“左加右减,上加下减”可知移动后的顶点坐标,再由顶点式可求移动后的函数表达式.
【解答】解:原抛物线的顶点为(0,0),向右平移1个单位,再向上平移3个单位后,那么新抛物线的顶点为:(1,3).
可设新抛物线的解析式为y=﹣2(x﹣h)2+k,代入得y=﹣2(x﹣1)2+3.
故选:D.
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换.解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标.
4.(2分)如图,在△ABC中,以点C为中心,将△ABC顺时针旋转25°得到△DEC,边DE,AC相交于点F,若∠A=35°,则∠EFC的度数为( )
A.50°B.60°C.70°D.120°
【分析】由旋转的性质可得∠A=∠D=35°,∠ACD=25°,由三角形外角的性质可求解.
【解答】解:∵将△ABC顺时针旋转25°得到△DEC,
∴∠A=∠D=35°,∠ACD=25°,
∴∠EFC=∠D+∠ACD=60°,
故选:B.
【点评】本题考查了旋转的性质,三角形外角的性质,掌握旋转的性质是解题的关键.
5.(2分)下列关于二次函数y=3x2的说法正确的是( )
A.它的图象经过点(﹣1,﹣3)
B.它的图象的对称轴是直线x=3
C.当x=0时,y有最大值为0
D.当x<0时,y随x的增大而减小
【分析】根据题目中的函数解析式,可以求出当x=﹣1时,y的值,从而可以判断A;写出该函数的对称轴,即可判断B;当x=0时该函数取得最小值,即可判断C;当x<0时,y随x的增大如何变化,即可判断D.
【解答】解:∵二次函数y=3x2,
∴当x=﹣1时,y=3,故选项A不符合题意;
它的图象的对称轴是直线x=0,故选项B不符合题意;
当x=0时,y有最小值为0,故选项C不符合题意;
当x<0时,y随x的增大而减小,故选项D符合题意;
故选:D.
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值,解答本题的关键是明确题意,利用二次函数的性质解答.
6.(2分)已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示,则使得函数值y大于2的自变量x的取值可以是( )
A.﹣4B.﹣2C.0D.2
【分析】利用抛物线的对称性确定(0,2)的对称点,然后根据函数图象写出抛物线在直线y=2上方所对应的自变量的范围即可.
【解答】解:∵抛物线的对称轴为x=﹣1.5,
∴点(0,2)关于直线x=﹣1.5的对称点为(﹣3,2),
当﹣3<x<0时,y>2,
即当函数值y>2时,自变量x的取值范围是﹣3<x<0.
故选:B.
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,二次函数的图象与性质,数形结合是解题的关键.
7.(2分)如图,点O为线段AB的中点,点B,C,D到点O的距离相等,连接AC,BD.则下面结论不一定成立的是( )
A.∠ACB=90°B.∠BDC=∠BAC
C.AC平分∠BADD.∠BCD+∠BAD=180°
【分析】先利用圆的定义可判断点A、B、C、D在⊙O上,如图,然后根据圆周角定理对各选项进行判断.
【解答】解:∵点O为线段AB的中点,点B,C,D到点O的距离相等,
∴点A、B、C、D在⊙O上,如图,
∵AB为直径,
∴∠ACB=90°,所以A选项的结论正确;
∵∠BDC和∠BAC都对,
∴∠BDC=∠BAC,所以B选项的结论正确;
只有当CD=CB时,∠BAC=∠DAC,所以C选项的结论不正确;
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形,
∴∠BCD+∠BAD=180°,所以D选项的结论正确.
故选:C.
【点评】本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.
8.(2分)如图,点M坐标为(0,2),点A坐标为(2,0),以点M为圆心,MA为半径作⊙M,与x轴的另一个交点为B,点C是⊙M上的一个动点,连接BC,AC,点D是AC的中点,连接OD,当线段OD取得最大值时,点D的坐标为( )
A.(0,)B.(1,)C.(2,2)D.(2,4)
【分析】根据垂径定理得到OA=OB,然后根据三角形中位线定理得到OD∥BC,OD=BC,即当BC取得最大值时,线段OD取得最大值,根据圆周角定理得到CA⊥x轴,进而求得△OAD是等腰直角三角形,即可得到AD=OA=2,得到D的坐标为(2,2).
【解答】解:∵OM⊥AB,
∴OA=OB,
∵AD=CD,
∴OD∥BC,OD=BC,
∴当BC取得最大值时,线段OD取得最大值,如图,
∵BC为直径,
∴∠CAB=90°,
∴CA⊥x轴,
∵OB=OA=OM,
∴∠ABC=45°,
∵OD∥BC,
∴∠AOD=45°,
∴△AOD是等腰直角三角形,
∴AD=OA=2,
∴D的坐标为(2,2),
故选:C.
【点评】本题考查了点和圆的位置关系,垂径定理、圆周角定理以及三角形中位线定理,明确当BC为直径时,线段OD取得最大值是解题的关键.
二、填空题(本题共16分,每小题2分)
9.(2分)写出一个二次函数,使得它有最大值,这个二次函数的解析式可以是 y=﹣x2(答案不唯一). .
【分析】根据二次函数有最大值,即可得出a<0,据此写出一个二次函数即可.
【解答】解:∵二次函数有最大值,
∴a<0,
∴这个二次函数的解析式可以是y=﹣x2,
故答案为:y=﹣x2(答案不唯一).
【点评】本题主要考查了二次函数的性质,熟练运用性质是解此题的关键.此题是一道开放型的题目
10.(2分)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么b < 0,c < 0(填“>”,“=”,或“<”).
【分析】抛物线开口方向,对称轴,与y轴交点的位置确定a、b、c的符号,从而做出判断.
【解答】解:∵抛物线开口向下,
∴a<0,
∵对称轴在y轴左侧,
∴﹣<0,
∴b<0,
∵抛物线与y轴交在负半轴,
∴c<0,
故答案为:<,<.
【点评】考查二次函数的图象和性质,通过抛物线的开口方向、对称轴、与y轴交点确定a、b、c的值,是二次函数性质的集中体现.
11.(2分)如图,将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE,点C和点E是对应点,若AB=1,则BD= .
【分析】由旋转的性质可得AB=AD=1,∠DAB=90°,由勾股定理可求BD的长.
【解答】解:∵将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE,
∴AB=AD=1,∠DAB=90°,
∴BD==
故答案为:
【点评】本题考查了旋转的性质,勾股定理,熟练掌握旋转的性质是本题的关键.
12.(2分)如图,正六边形ABCDEF内接于⊙O,⊙O的半径为6,则的长为 2π .
【分析】如图,连接OA,OB.利用弧长公式计算即可.
【解答】解:如图,连接OA,OB.
由题意OA=B=6,∠AOB=60°,
∴的长==2π.
故答案为:2π.
【点评】本题考查正多边形与圆,弧长公式等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.
13.(2分)如图,PA,PB是⊙O的切线,切点分别是点A和B,AC是⊙O的直径.若∠P=60°,PA=6,则BC的长为 2 .
【分析】连接AB,根据切线长定理得到PA=PB,根据等边三角形的性质得到AB=PA=6,∠PAB=60°,根据切线的性质得到∠PAC=90°,根据正切的定义计算即可.
【解答】解:连接AB,
∵PA,PB是⊙O的切线,
∴PA=PB,
∵∠P=60°,
∴△PAB为等边三角形,
∴AB=PA=6,∠PAB=60°,
∵PA是⊙O的切线,
∴∠PAC=90°,
∴∠CAB=30°,
∵AC是⊙O的直径,
∴∠ABC=90°,
在Rt△ABC中,BC=AB•tan∠CAB=6×=2,
故答案为:2.
【点评】本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质,掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键.
14.(2分)点O是正五边形ABCDE的中心,分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆,组成了一幅美丽的图案(如图).这个图案绕点O至少旋转 72 °后能与原来的图案互相重合.
【分析】直接利用旋转图形的性质进而得出旋转角.
【解答】解:连接OA,OE,则这个图形至少旋转∠AOE才能与原图象重合,
∠AOE==72°.
故答案为:72.
【点评】此题主要考查了旋转图形,正确掌握旋转图形的性质是解题关键.
15.(2分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A,B,C的坐标分别是(0,2),(2,0),(4,0),⊙M是△ABC的外接圆,则圆心M的坐标为 (3,3) ,⊙M的半径为 .
【分析】M点为BC和AB的垂直平分线的交点,利用点A、B、C坐标易得BC的垂直平分线为直线x=3,AB的垂直平分线为直线y=x,从而得到M点的坐标,然后计算MB得到⊙M的半径.
【解答】解:∵点A,B,C的坐标分别是(0,2),(2,0),(4,0),
∴BC的垂直平分线为直线x=3,
∵OA=OB,
∴△OAB为等腰直角三角形,
∴AB的垂直平分线为第一、三象限的角平分线,即直线y=x,
∵直线x=3与直线y=x的交点为M点,
∴M点的坐标为(3,3),
∵MB==,
∴⊙M的半径为.
故答案为(3,3),.
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心:三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,叫做三角形的外心.也考查了坐标与图形的性质.
16.(2分)二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(0,y1),B(2,﹣1),C(4,y2)三点,其中y2>y1>﹣1.下面四个结论中:
①抛物线开口向下;
②当x=2时,y取最小值﹣1;
③当m>﹣1时,一元二次方程ax2+bx+c=m必有两个不相等的实数根;
④直线y=kx+c(k≠0)经过点A,C,当kx+c<ax2+bx+c时,x的取值范围是x<0或x>4.
正确的结论有 ③④ .(填序号)
【分析】根据题意,画出函数图象,进而求解.
【解答】解:①∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(0,y1),B(2,﹣1),C(4,y2)三点,其中y2>y1>﹣1.
∴抛物线开口向上,故错误;
②由题意可知x=﹣<2时,
∴函数的最小值小于﹣1,故错误;
③由B知,函数的最小值为小于﹣1,
故m>﹣1时,直线y=m和y=ax2+bx+c有两个交点,
故一元二次方程ax2+bx+c=m必有两个不相等实根,故正确;
④观察函数图象,直线y=kx+c(k≠0)经过点A,C,
当kx+c<ax2+bx+c时,x的取值范围是x<0或x>4,故正确;
故答案为:③④.
【点评】本题考查的是二次函数与不等式(组)和待定系数法求二次函数解析式,解题的关键是确定函数图象的交点,根据交点处图象之间的位置关系,确定不等式的解.
三、解答题(本题共68分,第17-22题,每小题5分,第23-26题,每小题5分,第27,28题,每小题5分)
17.(5分)下面是小华设计的“作∠AOB的角平分线”的尺规作图过程,请帮助小华完成尺规作图并填空(保留作图痕迹).
【分析】利用圆周角定理,垂径定理可得结论.
【解答】解:如图,射线OD即为所求.
∵OQ是直径,
∴∠OPQ=90°(直径所对的圆周角是直角).
∵CD⊥PQ,
∴=(垂径定理),
∴∠AOD=∠BOD.
故答案为:90°,直径所对的圆周角是直角,垂径定理.
【点评】本题考查作图﹣复杂作图,圆周角定理,垂径定理等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.
18.(5分)已知关于x的二次函数y=2x2+bx+c,它的图象经过点(0,﹣3)和(2,﹣3).
(1)求这个二次函数的表达式及顶点坐标;
(2)将这个二次函数的图象沿x轴平移,使其顶点恰好落在y轴上,请直接写出平移后的函数表达式.
【分析】(1)把(0,﹣3)和(2,﹣3)代入y=2x2+bx+c,解方程即可得到答案;
(2)根据顶点恰好落在y轴上,于是得到该函数图象的顶点坐标为(0,﹣).即可得到结论.
【解答】解:(1)∵二次函数y=2x2+bx+c,它的图象经过点(0,﹣3)和(2,﹣3).
∴﹣3=2×22+2b﹣3,
解得b=﹣4.
∴二次函数的表达式为y=2x2﹣4x﹣3.
∵y=2x2﹣4x﹣3=2(x﹣1)2﹣5,
∴二次函数顶点坐标为(1,﹣5);
(2)∵y=2(x﹣1)2﹣5,
∴二次函数顶点坐标为(1,﹣5);
∵顶点恰好落在y轴上,
∴该函数图象的顶点坐标为(0,﹣5).
∴平移后的函数表达式为y=2x2﹣5.
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换,待定系数法求二次函数的解析式,二次函数的性质,正确的求出二次函数的解析式是解题的关键.
19.(5分)如图,AB是⊙O的一条弦,过点O作OC⊥AB于D,交⊙O于点C,点E在⊙O上,且∠AEC=30°,连接OB.
(1)求∠BOC的度数;
(2)若CD=4,求AB的长.
【分析】(1)根据垂径定理得到=,根据圆周角定理即可得到答案;
(2)根据三角形的内角和定理得到∠OBD=30°,根据直角三角形的性质得到OB=OC=2OD,根据勾股定理即可得到答案.
【解答】解:(1)∵OC⊥AB,
∴=,
∵∠AEC=30°,
∴∠BOC=2∠AEC=60°;
(2)∵OC⊥AB,
∴∠BDO=90°,
∵∠BOC=60°,
∴∠OBD=30°,
∴OB=OC=2OD,
∴OD=CD=4,
∴OB=8,
∴BD===4,
∴AB=ABD=8.
【点评】本题考查了圆周角定理,垂径定理,解直角三角形,熟练掌握圆周角定理是解题的关键.
20.(5分)已知二次函数y=x2﹣4x+3.
(1)将二次函数化成y=a(x﹣h)2+k的形式;
(2)在平面直角坐标系中画出y=x2﹣4x+3的图象.
(3)当1<x<4时,结合函数图象,直接写出y的取值范围.
【分析】(1)用配方法把二次函数化为顶点式,从而可得出答案;
(2)根据题意画出图象即可;
(3)由图象可得出答案.
【解答】解:(1)y=x2﹣4x+3=x2﹣4x+4﹣1=(x﹣2)2﹣1;
(2)令y=0,则x2﹣4x+3=0,
解得:x1=1,x2=3,
∴抛物线与x轴的交点为(1,0)和(3,0),
令x=0,则y=3,
∴抛物线与y轴的交点为(0,3),
对称轴为x=2,顶点坐标为(2,﹣1),
图象如图所示:
(3)有图象可得:当1<x<4时,y的取值范围为﹣1≤y<3.
【点评】本题考查二次函数的性质,抛物线与x国的交点,配方法,熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.
21.(5分)如图,等腰三角形ABC中,BA=BC,∠ABC=α.作CD⊥AB于点D,将线段BD绕点B逆时针旋转角α后得到线段BE,连接AE.求证:BE⊥AE.
【分析】由旋转的性质可得BE=BD,∠ABE=α=∠ABC,由“SAS”可证△ABE≌△CBD,可得结论.
【解答】证明:∵将线段BD绕点B逆时针旋转角α后得到线段BE,
∴BE=BD,∠ABE=α,
∴∠ABC=∠ABE,
在△ABE和△CBD中,
,
∴△ABE≌△CBD(SAS),
∴∠CDB=∠AEB=90°,
∴AE⊥BE.
【点评】本题考查了旋转的性质,全等三角形的判定和性质,证明三角形全等是解题的关键.
22.(5分)如图,△ABC的顶点坐标分别为A(﹣3,3),B(0,1),C(﹣1,﹣1).
(1)请画出△ABC关于点B成中心对称的△A1BC1,并写出点A1,C1的坐标;
(2)四边形AC1A1C的面积为 16 .
【分析】(1)延长AB到A1使BA1=AB,延长CB到C1,使BC1=BC;
(2)利用平行四边形的面积公式.
【解答】解:(1)如图,△A1BC1为所作,点A1,C1的坐标分别为(3,﹣1),(1,3);
(2)∵AB=A1B,CB=C1B,
∴四边形AC1A1C为平行四边形,
∴四边形AC1A1C的面积=4×4=16.
故答案为16.
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换:根据旋转的性质可知,对应角都相等都等于旋转角,对应线段也相等,由此可以通过作相等的角,在角的边上截取相等的线段的方法,找到对应点,顺次连接得出旋转后的图形.
23.(6分)如图,AB为⊙O的直径,点C在AB的延长线上,CD与⊙O相切于D,过点B作BE∥CD交⊙O于点E,连接AD,AE,∠EAD=22.5°.若BE=4,求⊙O的半径.
【分析】连接OD,交BE于点F,利用切线的性质和垂径定理求得=,进而可求出∠EAB的度数,利用条件易证△ABE为等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质即可得到结论.
【解答】解:连接OD,交BE于点F,如图,
∵CD与⊙O相切于点D,
∴OD⊥CD,
∴∠ODC=90°,
∵BE∥CD,
∴∠OFB=90°,
∴OD⊥BE,
∴=,
∴∠EAD=∠DAB,
∵∠EAD=22.5°,
∴∠EAB=∠EAD+∠DAB=45°;
∵AB是直径,
∴∠AEB=90°,
∵∠EAB=45°,
∴∠ABE=∠EAB=45°,
∴△ABE是等腰直角三角形,
∵BE=4,
∴AB=BE=4,
∴⊙O的半径为2.
【点评】本题考查了切线的性质,平行线的性质圆周角定理,垂径定理,等腰直角三角形的判定和性质,正确的作出辅助线是解题的关键.
24.(6分)材料1:昌平南环大桥是经典的悬索桥,当今大跨度桥梁大多采用此种结构.此种桥梁各结构的名称如图1所示,其建造原理是在两边高大的桥塔之间,悬挂着主索,再以相应的间隔,从主索上设置竖直的吊索,与桥面垂直,并连接桥面,承接桥面的重量,主索的几何形态近似符合抛物线.
材料2:如图2,某一同类型悬索桥,两桥塔AD=BC=10m,间距AB为32m,桥面AB水平,主索最低点为点P,点P距离桥面为2m.
(1)请你建立适当的平面直角坐标系,求出主索抛物线的表达式;
(2)距离点P水平距离为4m和8m处的吊索共四条需要更换,求四条吊索的总长度.
【分析】(1)建立适当的平面直角坐标系,可以直接写出点C的坐标,然后设出主索抛物线的表达式,再根据点C和点P都在抛物线上,即可求得主索抛物线的表达式;
(2)根据求出的抛物线解析式,将x=4和8代入解析式中,即可求得四根吊索的长度,从而可以求得四根吊索总长度为多少米.
【解答】解:以DC中点为原点,DC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,
如图所示:
由图可知,点C的坐标为(16,0),
设抛物线的表达式为y=ax2+c(a≠0),
由题意可知,C点坐标为(16,0),P点坐标为(0,﹣8),
则,
解得:,
∴主索抛物线的表达式为y=x2﹣8;
(2)x=4时,y=×42﹣8=,此时吊索的长度为10﹣=(m),
由抛物线的对称性可得,x=﹣4时,此时吊索的长度也为m,
同理,x=8时,y=×82﹣8=﹣6,此时吊索的长度为10﹣6=4(m),
x=﹣8时,此时吊索的长度也为4m,
∵++4+4=13(米),
∴四根吊索的总长度为13米.
【点评】本题考查二次函数的应用,解答本题的关键是明确题意,利用二次函数的性质和数形结合的思想解答.
25.(6分)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D为BC边的中点,以AD为直径作⊙O,分别与AB,AC交于点E,F,过点E作EG⊥BC于G.
(1)求证:EG是⊙O的切线;
(2)若AF=6,⊙O的半径为5,求BE的长.
【分析】(1)先判断出EF是⊙O的直径,进而判断出OE∥BC,即可得出结论;
(2)先根据勾股定理求出AE,再判断出BE=AE,即可得出结论.
【解答】(1)证明:如图,连接EF,
∵∠BAC=90°,
∴EF是⊙O的直径,
∴OA=OE,
∴∠BAD=∠AEO,
∵点D是Rt△ABC的斜边BC的中点,
∴AD=BD,
∴∠B=∠BAD,
∴∠AEO=∠B,
∴OE∥BC,
∵EG⊥BC,
∴OE⊥EG,
∵点E在⊙O上,
∴EG是⊙O的切线;
(2)∵⊙O的半径为5,
∴EF=2OE=10,
在Rt△AEF中,AF=6,
根据勾股定理得,AE==8,
由(1)知OE∥BC,
∵OA=OD,
∴BE=AE=8.
【点评】此题主要考查了圆的有关性质,切线的判定,直角三角形斜边的中线是斜边的一半,勾股定理,判断出EF∥BC是解本题的关键.
26.(6分)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣1.
(1)当m=3时,求抛物线的顶点坐标;
(2)①求抛物线的对称轴(用含m的式子表示);
②若当1≤x≤2时,y的最小值是0,请直接写出m的值;
(3)直线y=x+b与x轴交于点A(﹣3,0),与y轴交于点B,过点B作垂直于y轴的直线l与抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣1有两个交点,在抛物线对称轴左侧的点记为P,当△OAP为钝角三角形时,求m的取值范围.
【分析】(1)解析式化成顶点式即可求得;
(2)①由抛物线的解析式可得出答案;
②分三种情况,m≤1,1≤m≤2或m≥2.由二次函数的性质分别列方程求解即可.
(3)当△OAP为钝角三角形时,则0<m﹣2<m或m﹣2>﹣3,分别求解即可.
【解答】解:(1)当m=3时,抛物线的解析式为:y=x2﹣6x+8=(x﹣3)2﹣1,
∴顶点坐标为(3,﹣1);
(2)①∵抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣1=(x﹣m)2﹣1,
∴抛物线的对称轴为直线x=m;
②∵抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣1=(x﹣m)2﹣1,
∴抛物线顶点坐标为(m,﹣1),
∴m的取值范围应分三种情况,m≤1,1≤m≤2或m≥2.
若m≤1,x=1时函数取得最小值,
∴(1﹣m)2﹣1=0,
解得m=0或m=2(舍去),
若1≤m≤2,x=m函数取得最小值为﹣1,不合题意.
若m≥2,x=2函数取得最小值,
∴(2﹣m)2﹣1=0,
解得m=3或m=1(舍去),
综上所述,m的值为0或3.
(3)把点A(﹣3,0)代入y=x+b的表达式并解得:b=3,
则B(0,3),直线AB的表达式为:y=x+3,
如图,
在直线y=3上,当∠AOP=90°时,点P与B重合,
当y=3时,y=x2﹣2mx+m2﹣1=3,
则x=m±2,
∵点P在对称轴的左侧,
∴x=m+2>m不符合题意,舍去,
则点P(m﹣2,3),
当△OAP为钝角三角形时,
则0<m﹣2<m或m﹣2<﹣3,
解得:m>2或m<﹣1,
∴m的取值范围是:m>2或m<﹣1.
【点评】本题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数,解不等式,一元二次方程根的判别式,钝角三角形判断的方法等知识点,第三问有难度,确定∠AOP为直角时点P的位置最关键.
27.(7分)已知∠MON=90°,点A在边OM上,点P是边ON上一动点,∠OAP=α,将线段AP绕点A逆时针旋转60°,得到线段AB,连接OB,再将线段OB绕点O顺时针旋转60°,得到线段OC,作CH⊥ON于点H.
(1)如图1,α=60°.
①依题意补全图形;
②连接BP,求∠BPH的度数;
(2)如图2,当点P在射线ON上运动时,用等式表示线段OA与CH之间的数量关系,并证明.
【分析】(1)①根据要求画出图形即可.
②证明△APB是等边三角形,推出∠APB=60°,再证明∠APO=30°,可得结论.
(2)结论:OA=2CH.连接BP,BC,PC.利用全等三角形的性质证明OA=PC,再证明∠CPH=30°可得结论.
【解答】解:(1)①下图即为所求:
②∵线段AP绕点A逆时针旋转60°得到AB,
∴AB=AP,且∠PAB=60°.
∴△ABP是等边三角形,
∴∠BPA=60°,
∵∠OAP=60°,
∴∠APO=30°,
∴∠BPO=∠BPA+∠APO=90°,
∴∠BPH=90°.
(2)结论:OA=2CH.
理由:如图2中,连接BP,BC,PC.
由(2)可知,△ABP是等边三角形,
∴BA=BP,∠ABP=∠BPA=60°.
∵线段OB绕点O顺时针旋转60°得到OC,
∴OB=OC,∠BOC=60°,
∴△BOC是等边三角形,
∴BO=BC,∠OBC=60°,
∴∠ABO=60°﹣∠OBP=∠PBC,
∴△ABO≌△PBC(SAS),
∴AO=PC,∠BPC=∠BAO,
∵∠OAP=α,
∴∠BAO=∠BAP+∠OAP=60°+α,
∴∠BPC=60°+α,
∵∠BPN=180°﹣∠APO﹣∠BPA=120°﹣(90°﹣α)=30°+α,
∴∠HPC=∠BPC﹣∠BPN=30°,
∵CH⊥ON,
∴∠CHO=90°,
∴在Rt△CHP中,PC=2CH,
∴OA=2CH.
【点评】本题属于几何变换综合题,考查了等边三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,直角三角形30度角的性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,属于中考压轴题.
28.(7分)对于平面内点P和⊙G,给出如下定义:T是⊙G上任意一点,点P绕点T旋转180°后得到点P',则称点P'为点P关于⊙G的旋转点.如图为点P及其关于⊙G的旋转点P'的示意图.
在平面直角坐标系xOy中,⊙O的半径为1,点P(0,﹣2).
(1)在点A(﹣1,0),B(0,4),C(2,2)中,是点P关于⊙O的旋转点的是 B、C ;
(2)若在直线y=x+b上存在点P关于⊙O的旋转点,求b的取值范围;
(3)若点D在⊙O上,⊙D的半径为1,点P关于⊙D的旋转点为点P',请直接写出点P'的横坐标xP′的取值范围.
【分析】(1)连接AP、BP、CP,分别取AP、BP、CP的中点为D、E、F,求出D、E、F的坐标和到圆心的距离,从而根据旋转点定义即可得到答案;
(2)设直线y=x+b上点M是P关于⊙O的旋转点,连接PM,作PM中点N,设M(x,x+b),根据ON=1列方程,由在直线y=x+b上存在点P关于⊙O的旋转点,则方程有实数解,由△≥0可得答案;
(3)当D运动到(﹣1,0)时,xP'有最小值,连接PP',作PP'中点H,设P'(m,n),根据旋转点定义,HD=1可列方程,而关于n的方程n2﹣4n+m2+4m+4=0有实数解,即可得此时m的范围,当D运动到(1,0)时,xP'有最大值,同理可得m范围,从而可得答案.
【解答】解:(1)连接AP、BP、CP,分别取AP、BP、CP的中点为D、E、F,如图:
∵P(0,﹣2),A(﹣1,0),B(0,4),C(2,2),
∴D(,﹣1)、E(0,1)、F(1,0),
∴OD=,OE=1,OF=1,
∴D不在⊙O上,而E、F在⊙O上,
∵D、E、F分别是AP、BP、CP的中点,
∴点P绕点D旋转180°后得到点A,点P绕点E旋转180°后得到点B,点P绕点F旋转180°后得到点C,
根据旋转点的定义,P关于⊙O的旋转点为B、C;
故答案为:B、C.
(2)设直线y=x+b上点M是P关于⊙O的旋转点,连接PM,作PM中点N,如图:
设M(x,x+b),则N(,),
根据旋转点定义,N在⊙O上,即ON=1,
∴=1,
∴+=1,方程变形为:2x2+2(b﹣2)x+b2﹣4b=0,
∵在直线y=x+b上存在点P关于⊙O的旋转点,
∴2x2+2(b﹣2)x+b2﹣4b=0总有实数解,
∴△≥0,即4(b﹣2)2﹣8(b2﹣4b)≥0,
解得2﹣2≤b≤2+2;
(3)当D运动到(﹣1,0)时,xP'有最小值,连接PP',作PP'中点H,如图:
设P'(m,n),则H(,),
根据旋转点定义,HD=1,
∴=1,
∴+m+1+﹣n+1=1,变形为n2﹣4n+m2+4m+4=0,
∵P'是P关于⊙D的旋转点,
∴关于n的方程n2﹣4n+m2+4m+4=0有实数解,
∴△≥0,即(﹣4)2﹣4(m2+4m+4)≥0,
解得﹣4≤m≤0,即﹣4≤xP'≤0,
当D运动到(1,0)时,xP'有最大值,如图:
同理可得0≤xP'≤4,
综上所述,点P关于⊙D的旋转点为点P',则点P'的横坐标xP'的取值范围是﹣4≤xP'≤4.
【点评】本题考查了圆与一次函数图象的知识,解题的关键是用判别式列不等式.
声明:试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布日期:2024/7/22 19:15:59;用户:菁优校本题库;邮箱:2471@xyh.cm;学号:56380052步骤
作法
推断
第一步
在OB上任取一点C,以点C为圆心,OC为半径作半圆,分别交射线OA,OB于点P,点Q,连接PQ.
∠OPQ= °,理由是
.
第二步
过点C作PQ的垂线,交于点D.
=,理由是
.
第三步
作射线OD.
射线OD平分∠AOB.
射线OD为所求作.
步骤
作法
推断
第一步
在OB上任取一点C,以点C为圆心,OC为半径作半圆,分别交射线OA,OB于点P,点Q,连接PQ.
∠OPQ= 90 °,理由是
直径所对的圆周角是直角 .
第二步
过点C作PQ的垂线,交于点D.
=,理由是
垂径定理 .
第三步
作射线OD.
射线OD平分∠AOB.
射线OD为所求作.
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