2021-2022学年北京市西城区回民学校九年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2021-2022学年北京市西城区回民学校九年级（上）期中数学试卷【含解析】，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）抛物线y＝2（x﹣3）2+2的顶点坐标是（ ）
A．（﹣3，2）B．（3，2）C．（﹣3，﹣2）D．（3，﹣2）
3．（3分）若要得到函数y＝（x+1）2+2的图象，只需将函数y＝x2的图象（ ）
A．先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
B．先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
C．先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
D．先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
4．（3分）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，半径OC⊥AB，垂足为点E，若CE＝2，则AB的长是（ ）
A．4B．6C．8D．10
5．（3分）如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B′位置，A点落在A′位置，若AC⊥A′B′，则∠BAC的度数是（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
6．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的度数是（ ）
A．40°B．80°C．50°D．45°
7．（3分）函数y＝ax+1与y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（3分）如图，点C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上的动点（点C不与点A，B重合），AB＝4．设弦AC的长为x，△ABC的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（每题3分，共24分）
9．（3分）请写出一个开口向上，且经过点（0，2）的二次函数解析式 ．
10．（3分）将二次函数y＝x2﹣4x+2写成y＝a（x﹣h）2+k的形式为 ．
11．（3分）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于原点对称点P′的坐标是 ．
12．（3分）我国政府为解决老百姓看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过两次降价，由每盒60元调至52元，若设每次平均降价的百分率为x，则由题意可列方程为 ．
13．（3分）二次函数y＝x2﹣2x+m的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为 ．
14．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD＝110°，则∠DCE＝ ．
15．（3分）点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y＝x2﹣2x﹣1的图象上，若x2＞x1＞1，则y1与y2的大小关系是y1 y2．（用“＞”、“＜”、“＝”填空）
16．（3分）下表是二次函数y＝ax2+bx+c的x，y的部分对应值：
则对于该函数的性质的判断：
①该二次函数有最大值；
②不等式y＞﹣1的解集是x＜0或x＞2；
③方程ax2+bx+c＝0的两个实数根分别位于﹣＜x＜0和2＜x＜之间；
④当x＞0时，函数值y随x的增大而增大．
其中正确的序号是 ．
三、解答题（共52分，第17题8分，18-28题每小题8分）
17．（8分）解下列一元二次方程：
（1）x2﹣4x+3＝0；
（2）2x2﹣4x﹣1＝0．
18．（4分）已知二次函数的图象顶点为A（2，﹣1），且经过点B（3，0）．求这个二次函数的解析式．
19．（4分）如图，点A的坐标为（3，2），点B的坐标为（3，0），作如下操作：
（1）以点O为旋转中心，将△ABO顺时针方向旋转90°，得到△A1B1O，在图中画出△A1B1O；
（2）请直接写出点A1的坐标 ．
20．（4分）已知关于x的方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0．
（1）求证：此方程有两个不等的实数根；
（2）若方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＞x2，若x1＝3x2，求m的值．
21．（4分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D是中点，若∠BAC＝70°，求∠C．
下面是小诺的解答过程，请帮她补充完整．
∵D是中点，
∴，
∴∠1＝∠2．
∵∠BAC＝70°，
∴∠2＝35°．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°（ ）（填推理的依据）．
∴∠B＝90°﹣∠2＝55°．
∵A、B、C、D四个点都在⊙O上，
∴∠C+∠B＝180°（ ）（填推理的依据）．
∴∠C＝180°﹣∠B＝ （填计算结果）．
22．（4分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）求出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
（2）求出这个二次函数的图象与坐标轴的交点；
（3）直接写出y＞0时x的范围．
23．（4分）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，CD＝10，EM＝25．求⊙O的半径．
24．（4分）如图，点P是等边三角形ABC内一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，若将△APB绕着点B逆时针旋转后得到△CQB．
（1）求点P与点Q之间的距离．
（2）求∠APB的度数．
25．（4分）已知，如图，在△ADC中，∠ADC＝90°，以DC为直径作半圆⊙O，交边AC于点F，点B在CD的延长线上，连接BF，交AD于点E，∠BED＝2∠C．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若BF＝FC，，求⊙O的半径．
26．（4分）已知：二次函数C1：y1＝ax2+2ax+a﹣1（a≠0）．
（1）求二次函数C1的对称轴，并写出顶点坐标；
（2）已知二次函数C1的图象经过点A（﹣3，1）．
①求a的值；
②点B在二次函数C1的图象上，点A，B关于对称轴对称，连接AB．二次函数C2：y2＝kx2+kx（k≠0）的图象，与线段AB只有一个交点，求k的取值范围．
27．（4分）在正方形ABCD中，M是BC边上一点，且点M不与B、C重合，点P在射线AM上，将线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，连接BP，DQ．
（1）依题意补全图1；
（2）①连接DP，若点P，Q，D恰好在同一条直线上，求证：DP2+DQ2＝2AB2；
②若点P，Q，C恰好在同一条直线上，则BP与AB的数量关系为： ．
28．（4分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'），给出如下定义：
若y′＝，则称点Q为点P的“可控变点“
例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的”可控变点”为点（﹣1，﹣3）．
（1）点（﹣5，﹣2）的“可控变点”坐标为 ；
（2）若点P在函数y＝﹣x2+16的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y'是7，求“可控变点”Q的横坐标：
（3）若点P在函数y＝﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y'的取值范围是﹣16≤y'≤16，求a
的值．
2021-2022学年北京市西城区回民学校九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据中心对称图形的定义判断，得到答案．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形；
B、是轴对称图形，是中心对称图形；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形；
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形的定义、轴对称图形的定义，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
2．（3分）抛物线y＝2（x﹣3）2+2的顶点坐标是（ ）
A．（﹣3，2）B．（3，2）C．（﹣3，﹣2）D．（3，﹣2）
【分析】根据y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k）可得答案．
【解答】解：抛物线y＝2（x﹣3）2+2的顶点坐标是（3，2），
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h．
3．（3分）若要得到函数y＝（x+1）2+2的图象，只需将函数y＝x2的图象（ ）
A．先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
B．先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
C．先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
D．先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
【分析】找出两抛物线的顶点坐标，由a值不变即可找出结论．
【解答】解：∵抛物线y＝（x+1）2+2的顶点坐标为（﹣1，2），抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），
∴将抛物线y＝x2先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度即可得出抛物线y＝（x+1）2+2．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，通过平移顶点找出结论是解题的关键．
4．（3分）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，半径OC⊥AB，垂足为点E，若CE＝2，则AB的长是（ ）
A．4B．6C．8D．10
【分析】由于半径OC⊥AB，利用垂径定理可知AB＝2AE，又CE＝2，OC＝5，易求OE，在Rt△AOE中利用勾股定理易求AE，进而可求AB．
【解答】解：如图，连接OA，
∵半径OC⊥AB，
∴AE＝BE＝AB，
∵OC＝5，CE＝2，
∴OE＝3，
在Rt△AOE中，AE＝＝4，
∴AB＝2AE＝8，
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理，解题的关键是利用勾股定理先求出AE．
5．（3分）如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B′位置，A点落在A′位置，若AC⊥A′B′，则∠BAC的度数是（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
【分析】根据旋转的性质可知，∠BCB′＝∠ACA′＝20°，又因为AC⊥A′B′，则∠BAC的度数可求．
【解答】解：∵△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B′位置，A点落在A′位置
∴∠BCB′＝∠ACA′＝20°
∵AC⊥A′B′，
∴∠BAC＝∠A′＝90°﹣20°＝70°．
故选：C．
【点评】本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．
6．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的度数是（ ）
A．40°B．80°C．50°D．45°
【分析】在等腰三角形OCB中，求得两个底角∠OBC、∠OCB的度数，然后根据三角形的内角和求得∠COB＝100°；最后由圆周角定理求得∠A的度数并作出选择．
【解答】解：在△OCB中，OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB；
∵∠OCB＝40°，∠COB＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB，
∴∠COB＝100°；
又∵∠A＝∠COB，
∴∠A＝50°，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
7．（3分）函数y＝ax+1与y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据a的符号，分类讨论，结合两函数图象相交于（0，1），逐一排除；
【解答】解：当a＞0时，函数y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象开口向上，函数y＝ax+1的图象应在一、二、三象限，故可排除D；
当a＜0时，函数y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象开口向下，函数y＝ax+1的图象应在一二四象限，故可排除B；
当x＝0时，两个函数的值都为1，故两函数图象应相交于（0，1），可排除A．
正确的只有C．
故选：C．
【点评】应该识记一次函数y＝kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
8．（3分）如图，点C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上的动点（点C不与点A，B重合），AB＝4．设弦AC的长为x，△ABC的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据题意列出函数表达式，函数不是二次函数，也不是一次函数，又AB为定值，当OC⊥AB时，△ABC面积最大，此时AC＝2，用排除法做出解答．
【解答】解：∵AB＝4，AC＝x，
∴BC＝＝，
∴S△ABC＝BC•AC＝x，
∵此函数不是二次函数，也不是一次函数，
∴排除A、C，
∵AB为定值，当OC⊥AB时，△ABC面积最大，
此时AC＝2，
即x＝2时，y最大，故排除D，选B．
故选：B．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意列出函数表达式是解决问题的关键．
二、填空题（每题3分，共24分）
9．（3分）请写出一个开口向上，且经过点（0，2）的二次函数解析式 y＝x2+2等 ．
【分析】直接利用二次函数开口向上则a＞0，且经过（0，2），即c＝0，进而得出答案．
【解答】解：∵二次函数开口向上，且经过点（0，2），
∴解析式可以为：y＝x2+2等．
故答案为：y＝x2+2等．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确掌握二次函数基本性质是解题关键．
10．（3分）将二次函数y＝x2﹣4x+2写成y＝a（x﹣h）2+k的形式为 y＝（x﹣2）2﹣2 ．
【分析】由于二次项系数是1，所以利用配方法可直接加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【解答】解：y＝x2﹣4x+2＝（x2﹣4x+4）﹣4+2＝（x﹣2）2﹣2，
即y＝（x﹣2）2﹣2．
故答案为：y＝（x﹣2）2﹣2．
【点评】本题考查了二次函数解析式的三种形式：
（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
11．（3分）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于原点对称点P′的坐标是 （﹣2，3） ．
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y）．
【解答】解：根据中心对称的性质，得点P（2，﹣3）关于原点的对称点P′的坐标是（﹣2，3）．
故答案为：（﹣2，3）．
【点评】关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．
12．（3分）我国政府为解决老百姓看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过两次降价，由每盒60元调至52元，若设每次平均降价的百分率为x，则由题意可列方程为 60（1﹣x）2＝52 ．
【分析】增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果设平均每次下调的百分率为x，根据“由原来每盒60元下调到每盒52元”，即可得出方程．
【解答】解：设平均每次下调的百分率为x，
第一次下调到60（1﹣x），
第二次下调到60（1﹣x）（1﹣x），
∴60（1﹣x）2＝52．
【点评】题主要考查：复利公式：“a（1+x%）n＝b”的应用，理解公式是解决本题的关键．
13．（3分）二次函数y＝x2﹣2x+m的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为 1 ．
【分析】根据Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点得到Δ＝（﹣2）2﹣4m＝0，然后解关于m的方程即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4m＝0，
解得m＝1．
故答案为1．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
14．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD＝110°，则∠DCE＝ 125° ．
【分析】先利用圆周角定理得到∠DCB＝∠BOD＝55°，然后根据平角的定义求解．
【解答】解：∵∠BOD＝110°，
∴∠DCB＝∠BOD＝55°，
∴∠DCE＝180°﹣∠DCB＝125°．
故答案为：125°．
【点评】本题考查了圆周角定理，平角的定义，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
15．（3分）点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y＝x2﹣2x﹣1的图象上，若x2＞x1＞1，则y1与y2的大小关系是y1 ＜ y2．（用“＞”、“＜”、“＝”填空）
【分析】先根据函数解析式确定出对称轴为直线x＝1，再根据二次函数的增减性，x＜1时，y随x的增大而减小解答．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，
∴二次函数图象的对称轴为直线x＝1，
∵x2＞x1＞1，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性，求出对称轴解析式是解题的关键．
16．（3分）下表是二次函数y＝ax2+bx+c的x，y的部分对应值：
则对于该函数的性质的判断：
①该二次函数有最大值；
②不等式y＞﹣1的解集是x＜0或x＞2；
③方程ax2+bx+c＝0的两个实数根分别位于﹣＜x＜0和2＜x＜之间；
④当x＞0时，函数值y随x的增大而增大．
其中正确的序号是 ②③ ．
【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝1，利用表中函数值得到x＜1时，y随x的增大而减小，则根据二次函数的性质得到抛物线开口向上，则可对①进行判断；由于x＝0，y＝﹣1；x＝2，y＝﹣1，根据二次函数的性质可对②进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点在（2，0）与（，0）之间，则根据抛物线与x轴的交点问题可对③进行判断；然后根据二次函数的性质可对④进行判断．
【解答】解：∵x＝0，y＝﹣1；x＝2，y＝﹣1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
当x＜1时，y随x的增大而减小，
∴抛物线开口向上，该二次函数有最小值；所以①错误；
∴当y＞﹣1时，对应的自变量x的范围为x＜0或x＞2，所以②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点在（﹣，0）与（0，0）之间，
∴抛物线与x轴的一个交点在（2，0）与（，0）之间，
∴方程ax2+bx+c＝0的两个实数根分别位于﹣＜x＜0和2＜x＜之间；所以③正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线开口向上，
∴当x＞1时，函数值y随x的增大而增大，所以④错误．
故答案为：②③．
【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点，把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解一元二次方程ax2+bx+c＝0．△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．也考查了二次函数的性质．
三、解答题（共52分，第17题8分，18-28题每小题8分）
17．（8分）解下列一元二次方程：
（1）x2﹣4x+3＝0；
（2）2x2﹣4x﹣1＝0．
【分析】（1）方程利用因式分解法求出解即可；
（2）方程利用公式法求出解即可．
【解答】解：（1）x2﹣4x+3＝0，
（x﹣3）（x﹣1）＝0，
所以x﹣3＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝3，x2＝1；
（2）2x2﹣4x﹣1＝0，
这里a＝2，b＝﹣4，c＝﹣1，
∵b2﹣4ac＝16+8＝24＞0，
∴x＝＝＝，
解得：x1＝，x2＝．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及公式法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
18．（4分）已知二次函数的图象顶点为A（2，﹣1），且经过点B（3，0）．求这个二次函数的解析式．
【分析】设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1，将点B（3，0）代入解析式即可求出a的值，从而得到二次函数解析式．
【解答】解：设二次函数解析式为：y＝a（x﹣2）2﹣1，
将B（3，0）代入解析式得：0＝a（3﹣2）2﹣1，
解得：a＝1，
所以这个二次函数解析式为：y＝（x﹣2）2﹣1．
【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
19．（4分）如图，点A的坐标为（3，2），点B的坐标为（3，0），作如下操作：
（1）以点O为旋转中心，将△ABO顺时针方向旋转90°，得到△A1B1O，在图中画出△A1B1O；
（2）请直接写出点A1的坐标 （2，﹣3） ．
【分析】（1）分别作出A，B的对应点A1，B1即可．
（2）根据点A的位置写出坐标即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1O即为所求．
（2）A1（2，﹣3），
故答案为（2，﹣3）．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20．（4分）已知关于x的方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0．
（1）求证：此方程有两个不等的实数根；
（2）若方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＞x2，若x1＝3x2，求m的值．
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式Δ＝b2﹣4ac，求出此方程的判别式得：Δ＞0，即可得到答案，
（2）利用公式法求得方程的两个根，利用“方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＞x2，若x1＝3x2”，得到关于m的一元一次方程，解之即可
【解答】（1）证明：根据题意得：
Δ＝（﹣4m）2﹣4（4m2﹣9）
＝16m2﹣16m2+36
＝36＞0，
即此方程有两个不等的实数根，
（2）解：方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＞x2，若x1＝3x2，
利用公式法求得方程的两个根为：x＝2m±3，
即x1＝2m+3，x2＝2m﹣3，
2m+3＝3（2m﹣3），
解得：m＝3，
即m的值为3．
【点评】本题考查了根与系数的关系和根的判别式，解题的关键：（1）正确掌握一元二次方程根的判别式Δ＝b2﹣4ac，（2）正确找出等量关系，列出一元一次方程．
21．（4分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D是中点，若∠BAC＝70°，求∠C．
下面是小诺的解答过程，请帮她补充完整．
∵D是中点，
∴，
∴∠1＝∠2．
∵∠BAC＝70°，
∴∠2＝35°．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°（ 直径所对的圆周角是直角 ）（填推理的依据）．
∴∠B＝90°﹣∠2＝55°．
∵A、B、C、D四个点都在⊙O上，
∴∠C+∠B＝180°（ 圆内接四边形对角互补 ）（填推理的依据）．
∴∠C＝180°﹣∠B＝ 125° （填计算结果）．
【分析】根据圆周角定理，圆内接四边形的性质，求出∠B即可解决问题．
【解答】解：∵D是中点，
∴，
∴∠1＝∠2．
∵∠BAC＝70°，
∴∠2＝35°．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°（直径所对的圆周角是直角）（填推理的依据）．
∴∠B＝90°﹣∠2＝55°．
∵A、B、C、D四个点都在⊙O上，
∴∠C+∠B＝180°（圆内接四边形对角互补）（填推理的依据）．
∴∠C＝180°﹣∠B＝125° （填计算结果）．
故答案为：直径所对的圆周角是直角；圆内接四边形对角互补；125°．
【点评】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22．（4分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）求出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
（2）求出这个二次函数的图象与坐标轴的交点；
（3）直接写出y＞0时x的范围．
【分析】（1）将题目中的函数解析式化为顶点式即可求得二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
（2）根据题目中的函数解析式可以求得这个二次函数的图象与坐标轴的交点；
（3）根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以得到y＞0时x的范围．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴该函数图象的对称轴是直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）当x＝0时，y＝﹣3，
当y＝0时，0＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+11），
得x1＝3，x2＝﹣1，
即该函数图象与坐标轴的交点为（0，﹣3），（﹣1，0），（3，0）；
（3）∵二次函数y＝x2﹣4x+3的图象开口向上，与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0），
∴y＞0时x的取值范围是x＜﹣1或x＞3．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
23．（4分）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，CD＝10，EM＝25．求⊙O的半径．
【分析】根据垂径定理得出EM⊥CD，则CM＝DM＝5，在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，进而可求得半径OC．
【解答】解：如图，连接OC，
∵M是弦CD的中点，EM过圆心O，
∴EM⊥CD．
∴CM＝MD．
∵CD＝10，
∴CM＝5．
设OC＝x，则OM＝25﹣x，
在Rt△COM中，根据勾股定理，得
52+（25﹣x）2＝x2．
解得 x＝13．
∴⊙O的半径为13．
【点评】此题主要考查了垂径定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形．
24．（4分）如图，点P是等边三角形ABC内一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，若将△APB绕着点B逆时针旋转后得到△CQB．
（1）求点P与点Q之间的距离．
（2）求∠APB的度数．
【分析】（1）△APB绕点B逆时针旋转后，得到△CQB，则△ABP≌△CBQ，QB＝PB，∠ABP＝∠CBQ，所以△BPQ为等边三角形，即可求得PQ；
（2）由△BPQ为等边三角形，得∠BQP＝60°，由△ABP≌△CBQ可得QC＝PA，在△PQC中，已知三边，用勾股定理逆定理证出直角三角形，得出∠PQC＝90°，可求∠APB的度数．
【解答】解：（1）连接PQ，由题意可知△ABP≌△CBQ
则QB＝PB＝4，∠ABP＝∠CBQ，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ABP+∠PBC＝60°，
∴∠PBQ＝∠CBQ+∠PBC＝60°，
故△BPQ为等边三角形，
所以PQ＝QB＝PB＝4；
（2）∵△ABP≌△CBQ，
∴QC＝PA＝3，∠APB＝∠BQC，
又∵PQ＝4，PC＝5，利用勾股定理的逆定理可知：
∴PQ2+QC2＝PC2，
则△PQC为直角三角形，且∠PQC＝90°，
∵△BPQ为等边三角形，
∴∠BQP＝60°，
∴∠BQC＝∠BQP+∠PQC＝150°
∴∠APB＝∠BQC＝150°
【点评】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．
25．（4分）已知，如图，在△ADC中，∠ADC＝90°，以DC为直径作半圆⊙O，交边AC于点F，点B在CD的延长线上，连接BF，交AD于点E，∠BED＝2∠C．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若BF＝FC，，求⊙O的半径．
【分析】（1）欲证BF是圆O的切线，只需证明OF⊥BF；
（2）根据角与角间的数量关系推知△AEF的等边三角形．所以易求AD＝2．则通过解直角△ADC来求直径CD的长度．
【解答】（1）证明：连接OF．
∵∠OFB＝180°﹣∠B﹣∠BOF＝180°﹣∠B﹣2∠C＝180°﹣∠B﹣∠BED＝90°，
∴OF⊥BF，
∵OF是圆的半径，
∴BF是⊙O的切线；
（2）解：∵BF＝FC，
∴∠B＝∠FCB，
∵∠BED＝2∠C，
∴∠BDE+∠B＝3∠C＝90°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴∠AFE＝60°，∠BED＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
则EF＝AE＝．
∴AD＝2．
又∵∠C＝30°，
∴CD＝6，
∴⊙O的半径是3．
【点评】本题考查了勾股定理、切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
26．（4分）已知：二次函数C1：y1＝ax2+2ax+a﹣1（a≠0）．
（1）求二次函数C1的对称轴，并写出顶点坐标；
（2）已知二次函数C1的图象经过点A（﹣3，1）．
①求a的值；
②点B在二次函数C1的图象上，点A，B关于对称轴对称，连接AB．二次函数C2：y2＝kx2+kx（k≠0）的图象，与线段AB只有一个交点，求k的取值范围．
【分析】（1）化成顶点式即可求得；
（2）①把点A（﹣3，1）代入二次函数C1：y1＝ax2+2ax+a﹣1即可求得a的值；
②根据对称的性质得出B的坐标，然后分两种情况讨论即可求得．
【解答】解：（1）由题意可知，二次函数C1：y1＝ax2+2ax+a﹣1（a≠0），
整理得，y1＝a（x+1）2﹣1（a≠0），
∴对称轴：x＝﹣1，顶点坐标（﹣1，﹣1）；
（2）①∵二次函数C1的图象经过点A（﹣3，1），
∴a（﹣3+1）2﹣1＝1，
解得：a＝；
②∵A（﹣3，1），对称轴为直线x＝﹣1，
∴B（1，1），
当k＞0时，
二次函数C2：y2＝kx2+kx（k≠0）的图象经过A（﹣3，1）时，1＝9k﹣3k，解得k＝，
二次函数C2：y2＝kx2+kx（k≠0）的图象经过B（1，1）时，1＝k+k，解得k＝，
∴，
当k＜0时，
∵二次函数C2：y2＝kx2+kx＝k（x+ ）2﹣k，
∴﹣k＝1，
∴k＝﹣4，
综上所述，
二次函数C2：y2＝kx2+kx（k≠0）的图象，与线段AB只有一个交点，k的取值范围是或k＝﹣4．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的最值问题，轴对称的性质等，分类讨论是解题的关键．
27．（4分）在正方形ABCD中，M是BC边上一点，且点M不与B、C重合，点P在射线AM上，将线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，连接BP，DQ．
（1）依题意补全图1；
（2）①连接DP，若点P，Q，D恰好在同一条直线上，求证：DP2+DQ2＝2AB2；
②若点P，Q，C恰好在同一条直线上，则BP与AB的数量关系为： BP＝AB ．
【分析】（1）根据要求画出图形即可；
（2）①连接BD，如图2，只要证明△ADQ≌△ABP，∠DPB＝90°即可解决问题；
②结论：BP＝AB，如图3中，连接AC，延长CD到N，使得DN＝CD，连接AN，QN．由△ADQ≌△ABP，△ANQ≌△ACP，推出DQ＝PB，∠AQN＝∠APC＝45°，由∠AQP＝45°，推出∠NQC＝90°，由CD＝DN，可得DQ＝CD＝DN＝AB；
【解答】（1）解：补全图形如图1：
（2）①证明：连接BD，如图2，
∵线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，
∴AQ＝AP，∠QAP＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠1＝∠2．
∴△ADQ≌△ABP，
∴DQ＝BP，∠Q＝∠3，
∵在Rt△QAP中，∠Q+∠QPA＝90°，
∴∠BPD＝∠3+∠QPA＝90°，
∵在Rt△BPD中，DP2+BP2＝BD2，
又∵DQ＝BP，BD2＝2AB2，
∴DP2+DQ2＝2AB2．
②解：结论：BP＝AB．
理由：如图3中，连接AC，延长CD到N，使得DN＝CD，连接AN，QN．
∵△ADQ≌△ABP，△ANQ≌△ACP，
∴DQ＝PB，∠AQN＝∠APC＝45°，
∵∠AQP＝45°，
∴∠NQC＝90°，
∵CD＝DN，
∴DQ＝CD＝DN＝AB，
∴PB＝AB．
【点评】本题考查正方形的性质，旋转变换、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
28．（4分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'），给出如下定义：
若y′＝，则称点Q为点P的“可控变点“
例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的”可控变点”为点（﹣1，﹣3）．
（1）点（﹣5，﹣2）的“可控变点”坐标为 （﹣5，2） ；
（2）若点P在函数y＝﹣x2+16的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y'是7，求“可控变点”Q的横坐标：
（3）若点P在函数y＝﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y'的取值范围是﹣16≤y'≤16，求a
的值．
【分析】（1）根据可控变点的定义，可得答案
（2）根据可控变点的定义，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案
（3）根据可控变点的定义，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案
【解答】解（1）∵﹣5＜0
∴y'＝﹣y＝2
即点（﹣5，﹣2）的“可控变点”坐标为（﹣5，2）
（2）由题意得y＝﹣x2+16的图象上的点P的“可控变点”必在函数
y′＝的图象上，
∵“可控变点”Q的纵坐标y′的是7
∴当﹣x2+16＝7时，解得x＝3，
当x2﹣16＝7时，解得x＝﹣
故答案为：3或﹣
（3）由题意得∵﹣16≤y′≤16，
∴﹣16＝﹣x2+16
∴x＝4，
观察图象可知，实数a＝4．
【点评】本题是新定义题型，根据可控变点的定义，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案
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