2021-2022学年北京五十七中八年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2021-2022学年北京五十七中八年级（上）期中数学试卷【含解析】，共32页。
A．B．
C．D．
2．（3分）点M（1，2）关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（1，﹣2）D．（2，﹣1）
3．（3分）若三角形的三边长分别为3，4，x，则x的取值范围是（ ）
A．3＜x＜4B．1＜x＜7C．0＜x＜7D．2＜x＜6
4．（3分）如图，BD平分∠ABC，CD⊥BD，D为垂足，∠C＝55°，则∠ABC的度数是（ ）
A．35°B．55°C．60°D．70°
5．（3分）一个多边形的内角和比它的外角和的2倍少180°，这个多边形的边数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
6．（3分）已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（ ）
A．72°B．60°C．58°D．50°
7．（3分）如图，AB⊥BF，ED⊥BF，CD＝CB，判定△EDC≌△ABC的理由是（ ）
A．ASAB．SASC．SSSD．HL
8．（3分）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）
A．∠A＝∠1+∠2B．2∠A＝∠1+∠2
C．3∠A＝2∠1+∠2D．3∠A＝2（∠1+∠2）
9．（3分）在△ABC中，已知点D、E、F分别是BC、AD、CE的中点，且△ABC的面积是8，则△BEF的面积是（ ）
A．2B．1C．4D．3
10．（3分）如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（ ）
A．6B．7C．8D．9
二.填空题（每个题3分，共24分）
11．（3分）已知：等腰三角形的两边长分别为6和4，则此等腰三角形的周长是 ．
12．（3分）等腰三角形的一个角是80°，则它的另外两个角的度数是 ．
13．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于P点．若AB＝5cm，BC＝3cm，则△PBC的周长＝ ．
14．（3分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，BD平分∠CBA交AC于点D，DE⊥AB于E．若△ADE的周长为8cm，则AB＝ cm．
15．（3分）如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD＝ °．
16．（3分）如图，∠DEF＝36°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠A＝ ．
17．（3分）如图①，猜想：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝
我们把图①称为二环三角形，它的内角和为∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F；图②称为二环四边形，它的内角和为∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H．则二环四边形的内角和为
二环五边形的内角和为
二环n边形的内角和为
18．（3分）如图，A、B两点在直线l的同侧，在l上求作一点M，使AM+BM最小．小明的做法是：做点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，交直线l于点M，点M即为所求．请你写出小明这样作图的依据： ．
三、解答题（19-24题5分，25-26题6分，27-28题7分，共56分）
19．（5分）如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O．
（1）求证：AB＝DC；
（2）试判断△OEF的形状，并说明理由．
20．（5分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上，A（﹣3，2），B（﹣4，﹣3），C（﹣1，﹣1）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A'B'C'；
（2）写出A'、B'、C'的坐标（直接写出答案）
A' ；B' ；C' ；
（3）写出△A'B'C'的面积为 ．（直接写出答案）
（4）在y轴上求作一点P，使得点P到点A与点C的距离之和最小．
21．（5分）两个城镇A，B与两条公路l1、l2位置如图所示．
（1）电信部门需要C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1、l2的距离也必须相等，请在图中作出所有符合条件的点C（用尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）若电信部门要求将发射塔建在公路l2旁的D处，且到两个城镇A、B的距离和最短，请在图中作出符合条件的点D（保留作图痕迹，作图工具不限）．
22．（5分）如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BE＝CD，
（1）求证：∠BAC＝∠EAD；
（2）写出∠1、∠2、∠3之间的数量关系，并予以证明．
23．（5分）如图所示，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线，交BC的延长线于点F，连接
AF．求证：∠BAF＝∠ACF．
24．（5分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，试探究线段BE和CD的数量关系，并证明你的结论．
25．（6分）如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC，垂足为D，判断AB、CD和BD这三条线段的数量关系（用等式表示），并证明．
26．（6分）已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE，直线AE与BD交于点F，
（1）如图①，若∠ACD＝60°，则∠AFB＝ ；如图②，若∠ACD＝90°，则∠AFB＝ ；如图③，若∠ACD＝120°，则∠AFB＝ ；
（2）如图④，若∠ACD＝α，则∠AFB＝ （用含α的式子表示）；
（3）将图④中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），变成如图⑤所示的情形，若∠ACD＝α，则∠AFB与α的有何数量关系？并给予证明．
27．（7分）在△ABC和△DCE中，CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CED＝α．
（1）如图1，将AD、EB延长，延长线相交于点O：
①求证：BE＝AD；
②用含α的式子表示∠AOB的度数（直接写出结果）；
（2）如图2，当α＝45°时，连接BD、AE，作CM⊥AE于M点，延长MC与BD交于点N，求证：N是BD的中点．
28．（7分）在平面直角坐标系中，对任意的点P（x，y），定义P的绝对坐标|P|＝|x|+|y|．任取点A（x1，y1），B（x2，y2），记A'（x1，y2），B'（x2，y1），若此时|A|2+|B|2≤|A'|2+|B'|2成立，则称点A，B相关．
（1）分别判断下面各组中两点是相关点的是 ；
①A（﹣2，1），B（3，2）；②C（4，﹣3），D（2，4）．
（2）（ⅰ）对于点P（x，y），其中﹣6≤x≤6，﹣6≤y≤6，其中x，y是整数．则所有满足条件的P点有 个；
（ⅱ）求所有满足（ⅰ）条件的所有点中与点E（3，3）相关的点的个数；
（ⅲ）对于满足（ⅰ）条件的所有点中取出n个点，满足在这n个点中任意选择A，B两点，点A，B都相关，求n的最大值．
2021-2022学年北京五十七中八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（每个小题2分，共20分）
1．（3分）下列图形中不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，故此选项正确；
D、是轴对称图形，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．
2．（3分）点M（1，2）关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（1，﹣2）D．（2，﹣1）
【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案．
【解答】解：点M（1，2）关于x轴对称的点的坐标为（1，﹣2），
故选：C．
【点评】解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
3．（3分）若三角形的三边长分别为3，4，x，则x的取值范围是（ ）
A．3＜x＜4B．1＜x＜7C．0＜x＜7D．2＜x＜6
【分析】据三角形三边关系，4﹣3＜x＜4+3，即1＜x＜7，问题可求．
【解答】解：由题意，4﹣3＜x＜4+3，即1＜x＜7．
故选：B．
【点评】此题考查三角形三边关系，已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
4．（3分）如图，BD平分∠ABC，CD⊥BD，D为垂足，∠C＝55°，则∠ABC的度数是（ ）
A．35°B．55°C．60°D．70°
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠CBD，再根据角平分线的定义解答．
【解答】解：∵CD⊥BD，∠C＝55°，
∴∠CBD＝90°﹣55°＝35°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠CBD＝2×35°＝70°．
故选：D．
【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，角平分线的定义，熟记性质是解题的关键．
5．（3分）一个多边形的内角和比它的外角和的2倍少180°，这个多边形的边数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【分析】根据多边形的内角和、外角和的求法列方程求解即可．
【解答】解：设这个多边形为n边形，由题意得，
（n﹣2）×180°＝360°×2﹣180°，
解得n＝5，
即这个多边形为五边形，
故选：A．
【点评】本题考查多边形的内角和、外角和，掌握多边形的内角和的计算公式以及外角和为360°是解决问题的关键．
6．（3分）已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（ ）
A．72°B．60°C．58°D．50°
【分析】根据全等三角形对应角相等可知∠α是b、c边的夹角，然后写出即可．
【解答】解：∵两个三角形全等，
∴∠α的度数是72°．
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形对应角相等，根据对应边的夹角准确确定出对应角是解题的关键．
7．（3分）如图，AB⊥BF，ED⊥BF，CD＝CB，判定△EDC≌△ABC的理由是（ ）
A．ASAB．SASC．SSSD．HL
【分析】本题考查的是全等三角形的判定定理，由图很容易得到三角形中∠B＝∠D，∠ACB＝∠DCE，BC＝CD，所以由ASA判定三角形全等．
【解答】解：∵AB⊥BF，ED⊥BF
∴∠B＝∠D＝90°
∵∠ACB和∠ECD为对顶角
∴∠ACB＝∠ECD
∵CD＝CB
∴△EDC≌△ABC （ASA）
故选：A．
【点评】本题考查ASA判定三角形全等的基本应用，数形结合，应用所给的条件很容易就得出答案．
8．（3分）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）
A．∠A＝∠1+∠2B．2∠A＝∠1+∠2
C．3∠A＝2∠1+∠2D．3∠A＝2（∠1+∠2）
【分析】根据四边形的内角和为360°及翻折的性质，就可求出2∠A＝∠1+∠2这一始终保持不变的性质．
【解答】解：2∠A＝∠1+∠2，
理由：∵在四边形ADA′E中，∠A+∠A′+∠ADA′+∠AEA′＝360°，
则2∠A+180°﹣∠2+180°﹣∠1＝360°，
∴可得2∠A＝∠1+∠2．
故选：B．
【点评】本题主要考查四边形的内角和及翻折的性质特点，解决本题的关键是熟记翻折的性质．
9．（3分）在△ABC中，已知点D、E、F分别是BC、AD、CE的中点，且△ABC的面积是8，则△BEF的面积是（ ）
A．2B．1C．4D．3
【分析】因为点F是CE的中点，所以△BEF的底是△BEC的底的一半，△BEF高等于△BEC的高；同理，D、E、分别是BC、AD的中点，△EBC与△ABC同底，△EBC的高是△ABC高的一半；利用三角形的等积变换可解答．
【解答】解：如图，点F是CE的中点，
∴△BEF的底是EF，△BEC的底是EC，即EF＝EC，高相等；
∴S△BEF＝S△BEC，
同理得，
S△EBC＝S△ABC，
∴S△BEF＝S△ABC，且S△ABC＝8，
∴S△BEF＝2，
即阴影部分的面积为2．
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角形面积的等积变换：若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．结合图形直观解答．
10．（3分）如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【分析】分AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形，AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解．
【解答】解：①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握网格结构的特点是解题的关键，要注意分AB是腰长与底边两种情况讨论求解．
二.填空题（每个题3分，共24分）
11．（3分）已知：等腰三角形的两边长分别为6和4，则此等腰三角形的周长是 16或14 ．
【分析】分6是腰长和底边两种情况，利用三角形的三边关系判断，然后根据三角形的周长的定义列式计算即可得解．
【解答】解：①6是腰长时，三角形的三边分别为6、6、4，能组成三角形，
周长＝6+6+4＝16，
②6是底边时，三角形的三边分别为6、4、4，能组成三角形，
周长＝6+4+4＝14，
综上所述，三角形的周长为16或14．
故答案为：16或14．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
12．（3分）等腰三角形的一个角是80°，则它的另外两个角的度数是 80°，20°或50°，50° ．
【分析】没有指明这个角是底角还是顶角，故应该分两种情况进行分析．
【解答】解：①当这个角是底角时，另外两个角是：80°，20°；
②当这个角是顶角时，另外两个角是：50°，50°．
故答案为：80°，20°或50°，50°．
【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．
13．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于P点．若AB＝5cm，BC＝3cm，则△PBC的周长＝ 8cm ．
【分析】利用线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质将△PBC的周长转化为线段（AC+BC）的长度．
【解答】解：∵AB的垂直平分线交AC于P点．
∴AP＝BP．
又∵AB＝AC，AB＝5cm，BC＝3cm，
∴△PBC的周长＝PB+PC+BC＝AP+PC+BC＝AB+BC＝5+3＝8cm．
故答案是：8cm．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
14．（3分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，BD平分∠CBA交AC于点D，DE⊥AB于E．若△ADE的周长为8cm，则AB＝ 8 cm．
【分析】根据角平分线性质求出CD＝DE，根据全等求出BC＝BE＝AC，根据△ADE的周长求出AD+DE+AE＝AB，求出即可．
【解答】解：∵BD平分∠CBA，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝DE，∠C＝∠DEB＝90°，∠CBD＝∠EBD，
在△DCB和△DEB中
∴△DCB≌△DEB（AAS），
∴BE＝BC＝AC，
∵△ADE的周长为8cm，
∴AD+DE+AE＝AD+CD+AE＝AC+AE＝BE+AE＝AB＝8cm，
故答案为：8．
【点评】本题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定的应用，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等．
15．（3分）如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD＝ 45 °．
【分析】根据当PC+PD最小时，作出D点关于MN的对称点，正好是A点，连接AC即可得出∠PCD的度数．
【解答】解：∵当PC+PD最小时，作出D点关于MN的对称点，正好是A点，
连接AC，AC为正方形对角线，根据正方形的性质得出∠PCD＝45°，
∴∠PCD＝45°．
故答案为：45°．
【点评】此题主要考查了轴对称求最短路线问题，根据已知得出D点关于MN的对称点，正好是A点是解题关键．
16．（3分）如图，∠DEF＝36°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠A＝ 18° ．
【分析】由已知线段相等开始，根据等角对等边的性质和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和解答．
【解答】解：∵AB＝BC，
∴∠A＝∠ACB，
∴∠CBD＝∠A+∠ACB＝2∠A，
同理可得，∠DCE＝∠A+∠ADC＝3∠A，
∠EDF＝∠A+∠AED＝4∠A，
∵DE＝EF，∠DEF＝36°，
∴△DEF是等腰三角形，
∴∠EDF＝（180°﹣∠DEF）＝4∠A＝72°，
∴∠A＝18°．
故答案为：18°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的外角性质，认清图形理清思路得到∠EDF＝（180°﹣∠DEF）＝4∠A是解题的关键．
17．（3分）如图①，猜想：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ 360°
我们把图①称为二环三角形，它的内角和为∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F；图②称为二环四边形，它的内角和为∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H．则二环四边形的内角和为 720°
二环五边形的内角和为 1080°
二环n边形的内角和为 360°×（n﹣2）
【分析】连接AE，可得∠D+∠C＝∠CAE+∠DEA，再根据四边形的内角和公式即可求解；
D、E之间添加两条边，可得∠M+∠MEF+∠MDH＝∠G+∠F+∠H，再根据六边形的内角和公式即可求解；
根据二环三角形、二环四边形和二环五边形的内角和可得二环n边形的内角和．
【解答】解：如图，
连接AE，则∠D+∠C＝∠CAE+∠DEA，
∴∠BAC+∠B+∠C+∠D+∠DEF+∠F＝∠BAE+∠B+∠F+∠FEA＝360°；
如图，D、E之间添加两条边，可得∠M+∠MEF+∠MDH＝∠G+∠F+∠H，
则∠A+∠B+∠C+∠CDH+∠F+∠G+∠H+∠AEF＝∠A+∠B+∠C+∠CDM+∠MEA+∠M＝720°；
∵二环三角形的内角和是360°＝360°×（3﹣2），
二环四边形的内角和是720°＝360°×（4﹣2），
∴二环五边形的内角和是360°×（5﹣2）＝1080°，
二环n边形的内角和是360°×（n﹣2）．
故答案为：360°；720°；1080°；360°×（n﹣2）．
【点评】本题考查了多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3）且n为整数），正确画出辅助线是解题关键．
18．（3分）如图，A、B两点在直线l的同侧，在l上求作一点M，使AM+BM最小．小明的做法是：做点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，交直线l于点M，点M即为所求．请你写出小明这样作图的依据： 两点确定一条直线、线段垂直平分线上点到线段两个端点距离相等、两点之间线段最短 ．
【分析】根据直线的性质，相等垂直平分线的性质即可得到结论．
【解答】解：两点确定一条直线、线段垂直平分线上点到线段两个端点距离相等、两点之间线段最短．
故答案为：两点确定一条直线、线段垂直平分线上点到线段两个端点距离相等、两点之间线段最短．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，熟记轴对称的性质是解题的关键．
三、解答题（19-24题5分，25-26题6分，27-28题7分，共56分）
19．（5分）如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O．
（1）求证：AB＝DC；
（2）试判断△OEF的形状，并说明理由．
【分析】（1）根据BE＝CF得到BF＝CE，又∠A＝∠D，∠B＝∠C，所以△ABF≌△DCE，根据全等三角形对应边相等即可得证；
（2）根据三角形全等得∠AFB＝∠DEC，所以是等腰三角形．
【解答】（1）证明：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，
即BF＝CE．
在△ABF与△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE（AAS），
∴AB＝DC．
（2）△OEF为等腰三角形
理由如下：∵△ABF≌△DCE，
∴∠AFB＝∠DEC，
∴OE＝OF，
∴△OEF为等腰三角形．
【点评】本题主要考查三角形全等的判定和全等三角形对应角相等的性质及等腰三角形的判定；根据BE＝CF得到BF＝CE是证明三角形全等的关键．
20．（5分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上，A（﹣3，2），B（﹣4，﹣3），C（﹣1，﹣1）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A'B'C'；
（2）写出A'、B'、C'的坐标（直接写出答案）
A' （3，2） ；B' （4，﹣3） ；C' （1，﹣1） ；
（3）写出△A'B'C'的面积为 6.5 ．（直接写出答案）
（4）在y轴上求作一点P，使得点P到点A与点C的距离之和最小．
【分析】（1）分别作出A，B，C 的对应点A′，B′，C′即可．
（2）根据点的位置写出坐标即可．
（3）利用分割法求三角形面积．
（4）连接AC′交y轴于点P，连接PC，点P即为所求．
【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求．
（2）A′（3，2），B′（4，﹣3），C′（1，﹣1）．
故答案为（3，2），（4，﹣3），（1，﹣1）．
（3）S△A′B′C′＝3×5﹣×1×5﹣2××2×3＝6.5，
故答案为6.5．
（4）如图，点P即为所求．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21．（5分）两个城镇A，B与两条公路l1、l2位置如图所示．
（1）电信部门需要C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1、l2的距离也必须相等，请在图中作出所有符合条件的点C（用尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）若电信部门要求将发射塔建在公路l2旁的D处，且到两个城镇A、B的距离和最短，请在图中作出符合条件的点D（保留作图痕迹，作图工具不限）．
【分析】（1）作l1与l2的夹角的平分线和线段AB的垂直平分线，它们的交点即为C点；
（2）作B点关于l2的对称点B′，连接AB′交l2于点D，利用两点之间线段最短可判断D点满足条件．
【解答】解：（1）如图1，点C、点C′为所作；
（2）如图2，点D为所作．
【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中；关键是弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．也考查了最短路径问题．
22．（5分）如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BE＝CD，
（1）求证：∠BAC＝∠EAD；
（2）写出∠1、∠2、∠3之间的数量关系，并予以证明．
【分析】（1）根据SSS证△BAE≌△CAD，推出∠BAE＝∠1即可；
（2）根据全等三角形性质推出∠1＝∠BAE，∠2＝∠ABE，代入∠3＝∠BAE+∠ABE求出即可．
【解答】证明：（1）∵在△BAE和△CAD中
∴△BAE≌△CAD（ SSS ），
∴∠BAE＝∠1，
∴∠BAE+∠EAC＝∠1+∠EAC，
∴∠BAC＝∠EAD．
（2）∠3＝∠1+∠2，
证明：∵△BAE≌△CAD，
∴∠1＝∠BAE，∠2＝∠ABE，
∵∠3＝∠BAE+∠ABE，
∴∠3＝∠1+∠2．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定和三角形外角性质的应用，注意：全等三角形的对应角相等．
23．（5分）如图所示，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线，交BC的延长线于点F，连接
AF．求证：∠BAF＝∠ACF．
【分析】根据线段的垂直平分线得出AF＝DF，推出∠FAD＝∠ADF，根据角平分线得出∠DAB＝∠CAD，推出∠CAF＝∠B，根据∠FAB＝∠BAC+∠FAC和∠ADF＝∠B+∠BAC推出即可．
【解答】证明：∵EF是AD的垂直平分线，
∴AF＝DF，
∴∠FAD＝∠ADF，
∵∠FAD＝∠FAC+∠CAD，∠ADF＝∠B+∠DAB，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAB＝∠CAD，
∴∠CAF＝∠B，
∴∠BAC+∠FAC＝∠B+∠BAC，
即∠BAF＝∠ACF．
【点评】本题考查了线段垂直平分线，角平分线，三角形的外角选择，等腰三角形的性质和判定等知识点的应用，综合运用性质进行推理是解此题的关键，题目综合性比较强，难度适中．
24．（5分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，试探究线段BE和CD的数量关系，并证明你的结论．
【分析】CD＝2BE，理由为：延长BE交CA延长线于F，由CD为角平分线得到一对角相等，再由一对直角相等，CE为公共边，利用ASA得到三角形CEF与三角形CEB全等，利用全等三角形对应边相等得到FE＝BE，利用等角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，利用ASA得到三角形ABF与三角形ACD全等，利用全等三角形的性质得到CD＝BF，等量代换即可得证．
【解答】解：CD＝2BE，理由为：
延长BE交CA延长线于F，
∵CD平分∠ACB，
∴∠FCE＝∠BCE，
在△CEF和△CEB中，
，
∴△CEF≌△CEB（ASA），
∴FE＝BE，
∵∠DAC＝∠CEF＝90°，
∴∠ACD+∠F＝∠ABF+∠F＝90°，
∴∠ACD＝∠ABF，
在△ACD和△ABF中，
，
∴△ACD≌△ABF（ASA），
∴CD＝BF，
∴CD＝2BE．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
25．（6分）如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC，垂足为D，判断AB、CD和BD这三条线段的数量关系（用等式表示），并证明．
【分析】在CDC截取DH＝DB，连接AH，根据线段垂直平分线的性质得到AB＝AH，即可证得∠AHB＝∠B，根据三角形的外角的性质证得∠HAC＝∠C，即可证得AH＝CH，从而证得AB+BD＝CH+DH＝CD．
【解答】解：AB+BD＝CD，
证明：在CD上截取DH＝DB，连接AH，
∵AD⊥BC，
∴AB＝AH，
∴∠AHB＝∠B，
∵∠B＝2∠C，
∴∠AHB＝∠C，
∵∠AHB＝∠C+∠HAC，
∴∠HAC＝2∠C，
∴AH＝CH，
∴AB＝CH，
∴AB+BD＝CH+DH＝CD．
【点评】本题考查的是等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
26．（6分）已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE，直线AE与BD交于点F，
（1）如图①，若∠ACD＝60°，则∠AFB＝ 120° ；如图②，若∠ACD＝90°，则∠AFB＝ 90° ；如图③，若∠ACD＝120°，则∠AFB＝ 60° ；
（2）如图④，若∠ACD＝α，则∠AFB＝ 180°﹣α （用含α的式子表示）；
（3）将图④中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），变成如图⑤所示的情形，若∠ACD＝α，则∠AFB与α的有何数量关系？并给予证明．
【分析】（1）如图1，首先证明△BCD≌△ECA，得出∠EAC＝∠BDC，再根据∠AFB是△ADF的外角求出其度数．
如图2，首先证明△ACE≌△DCB，得出∠AEC＝∠DBC，又有∠FDE＝∠CDB，进而得出∠AFB＝90°．
如图3，首先证明△ACE≌△DCB，得出∠EAC＝∠BDC，又有∠BDC+∠FBA＝180°﹣∠DCB得到∠FAB+∠FBA＝120°，进而求出∠AFB＝60°．
（2）由∠ACD＝∠BCE得到∠ACE＝∠DCB，再由三角形的内角和定理得∠CAE＝∠CDB，从而得出∠DFA＝∠ACD，得到结论∠AFB＝180°﹣α．
（3）由∠ACD＝∠BCE得到∠ACE＝∠DCB，通过证明△ACE≌△DCB得∠CBD＝∠CEA，由三角形内角和定理得到结论∠AFB＝180°﹣α．
【解答】解：（1）如图1，CA＝CD，∠ACD＝60°，
所以△ACD是等边三角形．
∵CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，
所以△ECB是等边三角形．
∵AC＝DC，∠ACE＝∠ACD+∠DCE，∠BCD＝∠BCE+∠DCE，
又∵∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACE＝∠BCD．
∵AC＝DC，CE＝BC，
∴△ACE≌△DCB．
∴∠EAC＝∠BDC．
∠AFB是△ADF的外角．
∴∠AFB＝∠ADF+∠FAD＝∠ADC+∠CDB+∠FAD＝∠ADC+∠EAC+∠FAD＝∠ADC+∠DAC＝120°．
如图2，∵AC＝CD，∠ACE＝∠DCB＝90°，EC＝CB，
∴△ACE≌△DCB．
∴∠AEC＝∠DBC，
又∵∠FDE＝∠CDB，∠DCB＝90°，
∴∠EFD＝90°．
∴∠AFB＝90°．
如图3，∵∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACD﹣∠DCE＝∠BCE﹣∠DCE．
∴∠ACE＝∠DCB．
又∵CA＝CD，CE＝CB，
∴△ACE≌△DCB（SAS）．
∴∠EAC＝∠BDC．
∵∠BDC+∠FBA＝180°﹣∠DCB＝180°﹣（180﹣∠ACD）＝120°，
∴∠FAB+∠FBA＝120°．
∴∠AFB＝60°．
故填120°，90°，60°．
（2）∵∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE．
∴∠ACE＝∠DCB．
∴∠CAE＝∠CDB．
∴∠DFA＝∠ACD．
∴∠AFB＝180°﹣∠DFA＝180°﹣∠ACD＝180°﹣α．
（3）∠AFB＝180°﹣α；
证明：∵∠ACD＝∠BCE＝α，则∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，
即∠ACE＝∠DCB．
在△ACE和△DCB中，
则△ACE≌△DCB（SAS）．
则∠CBD＝∠CEA，由三角形内角和知∠EFB＝∠ECB＝α．
∠AFB＝180°﹣∠EFB＝180°﹣α．
【点评】本题考查了全等三角形的判定及其性质、三角形内角和定理等知识．
27．（7分）在△ABC和△DCE中，CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CED＝α．
（1）如图1，将AD、EB延长，延长线相交于点O：
①求证：BE＝AD；
②用含α的式子表示∠AOB的度数（直接写出结果）；
（2）如图2，当α＝45°时，连接BD、AE，作CM⊥AE于M点，延长MC与BD交于点N，求证：N是BD的中点．
【分析】（1）①根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到∠ACB＝∠DCE，根据全等三角形的性质即可得到结论；
②根据全等三角形的性质得到∠CAD＝∠CBE＝α+∠BAO，根据三角形的内角和即可得到结论；
（2）如图2，作BP⊥MN交MN的延长线于P，作DQ⊥MN于Q，根据全等三角形的性质得到MC＝BP，同理，CM＝DQ，等量代换得到DQ＝BP，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）①∵CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CED＝α，
∴∠ACB＝180°﹣2α，∠DCE＝180°﹣2α，
∴∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE＝AD；
②∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE＝α+∠BAO，
∵∠ABE＝∠BOA+∠BAO，
∴∠CBE+α＝∠BOA+∠BAO，
∴∠BAO+α+α＝∠BOA+∠BAO，
∴∠BOA＝2α；
（2）如图2，作BP⊥MN交MN的延长线于P，作DQ⊥MN于Q，
∵∠BCP+∠BCA＝∠CAM+∠AMC，
∵∠BCA＝∠AMC，
∴∠BCP＝∠CAM，
在△CBP与△ACM中，，
∴△CBP≌△ACM（AAS），
∴MC＝BP，
同理，CM＝DQ，
∴DQ＝BP，
在△BPN与△DQN中，，
∴△BPN≌△DQN（AAS），
∴BN＝ND，
∴N是BD的中点．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
28．（7分）在平面直角坐标系中，对任意的点P（x，y），定义P的绝对坐标|P|＝|x|+|y|．任取点A（x1，y1），B（x2，y2），记A'（x1，y2），B'（x2，y1），若此时|A|2+|B|2≤|A'|2+|B'|2成立，则称点A，B相关．
（1）分别判断下面各组中两点是相关点的是 ② ；
①A（﹣2，1），B（3，2）；②C（4，﹣3），D（2，4）．
（2）（ⅰ）对于点P（x，y），其中﹣6≤x≤6，﹣6≤y≤6，其中x，y是整数．则所有满足条件的P点有 169 个；
（ⅱ）求所有满足（ⅰ）条件的所有点中与点E（3，3）相关的点的个数；
（ⅲ）对于满足（ⅰ）条件的所有点中取出n个点，满足在这n个点中任意选择A，B两点，点A，B都相关，求n的最大值．
【分析】（1）根据已知条件，分别将坐标代入进行计算，判断是否符合条件|A|2+|B|2≤|A'|2+|B'|2，即可得出结论；
（2）（i）因为﹣6≤x≤6且为整数，所以符合条件的x有13个，同理符合条件的y也有13个，所以满足条件的P点有169个，
（ii）根据点A、B相关的定义得到|x1y1|+|x2y2|≤|x1y2|+|x2y1|，把E（3，3）代入，讨论象限以及坐标轴上的点与E点的相关点的个数，
（iii）由（ii）中的|x1y1|+|x2y2|≤|x1y2|+|x2y1|，变换得|x1||y1﹣y2|≤|x2|+|y1﹣y2|，从而得知点A、B相关时的条件，从而求得n的最大值．
【解答】解：（1）①∵A（﹣2，1），B（3，2），
∴A'（﹣2，2），B'（3，1），
（2+1）2+（3+2）2＝34，（2+2）2+（3+1）2＝32，34＞32，
所以此项不符合题意；
②∵C（4，﹣3），D（2，4），
∴C'（4，4），D'（4，﹣3），
（4+3）2+（2+4）2＝85，（4+4）2+（2+3）2＝89，85＜89，
所以此项符合题意，
故答案为：②；
（2）（i）因为﹣6≤x≤6且为整数，
所以符合条件的x有13个，同理符合条件的y也有13个，
所以满足条件的P点有13×13＝169个，
故答案为：169；
（ii）要满足A、B相关，则有
（|x1|+|x2|）2+（|y1|+|y2|）2≤（|x1|+|y2|）2+（|x2|+|y1|）2，整理可得：
|x1y1|+|x2y2|≤|x1y2|+|x2y1|，
把E（3，3）代入得9+|x2y2|≤3（|x2|+|y2|），
带有绝对值，所以四个象限是对称的，
首先考虑第一象限以及x、y轴正向，符合条件的有（0，3），（0，4），（0，5），（0，6），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6）共16个，
x2、y2也是对称的，所以第一象限以及x、y轴正向有16×2﹣1＝31个点满足条件，
所以满足条件的点有4×4+（12×2﹣1）×4＝108（个）；
（iii）对（ii）中|x1y1|+|x2y2|≤|x1y2|+|x2y1|稍作变换，
|x1y1|﹣|x1y2|≤|x2y1|﹣|x2y2|，|x1||y1﹣y2|≤|x2||y1﹣y2|，
因为x1，x2任取，
所以|x1|≥|x2|，即|x1|＝|x2|，
故需满足横坐标绝对值相等或纵坐标的绝对值相等，
所以n的最大值为6×4+1＝25．
【点评】本题主要考查绝对值的概念和平面直角坐标系的应用．
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