2022-2023学年北京市101中学石油分校八年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2022-2023学年北京市101中学石油分校八年级（上）期中数学试卷【含解析】，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．1，2，3B．2，2，4C．3，4，5D．3，4，8
2．（3分）不一定在三角形内部的线段是（ ）
A．三角形的角平分线B．三角形的中线
C．三角形的高D．以上皆不对
3．（3分）张师傅不小心将一块三角形玻璃打破成如图中的三块，他准备去店里重新配置一块与原来一模一样的，最省事的做法是（ ）
A．带Ⅰ去B．带Ⅱ去C．带Ⅲ去D．三块全带去
4．（3分）已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（ ）
A．50°B．58°C．60°D．72°
5．（3分）如图，如果△ABC≌△FED，那么下列结论错误的是（ ）
A．EC＝BDB．EF∥ABC．DF＝BDD．AC∥FD
6．（3分）在△ABC中，∠A＝55°，∠B比∠C大25°，则∠B等于（ ）
A．50°B．75°C．100°D．125°
7．（3分）下列条件，可以确定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B+∠C＝180°B．∠A+∠B＝∠C
C．∠A＝∠B＝∠CD．∠A＝∠B＝2∠C
8．（3分）如图，在△ABC中，P为BC上一点，PR⊥AB，垂足为R，PS⊥AC，垂足为S，∠CAP＝∠APQ，PR＝PS．下列结论：其中结论正确的序号是（ ）
①AS＝AR；
②QP∥AR；
③△BRP≌△CSP
A．①②B．②③C．①③D．①②③
9．（3分）如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝α，DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，则∠P的度数是（ ）
A．90°+αB．﹣90°C．D．540°
10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，将一个足够大的直角三角板的直角顶点放于点A处，该三角形板的两条直角边与CD交于点F，与CB延长线交于点E，四边形AECF的面积是（ ）
A．16B．12C．8D．4
二、填空题
11．（3分）已知△ABC的一个外角为50°，则△ABC一定是 三角形．
12．（3分）如图，在△ABC中，BD是角平分线，BE是中线，若AC＝24cm，则AE＝ cm，若∠ABC＝72°，则∠ABD＝ 度．
13．（3分）若等腰三角形两边长分别为3和5，则它的周长是 ．
14．（3分）一个正多边形每一个外角为36°，则这个多边形的内角和为 ．
15．（3分）如图，直线AB∥CD，∠1＝55°，∠2＝32°，则∠3＝ ．
16．（3分）如图所示：要测量河岸相对的两点A、B之间的距离，先从B处出发与AB成90°角方向，向前走50米到C处立一根标杆，然后方向不变继续朝前走50米到D处，在D处转90°沿DE方向再走17米，到达E处，使A、C与E在同一直线上，那么测得A、B的距离为 ．
17．（3分）在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，则∠B等于 ．
18．（3分）在△ABC中，AD是中线，已知AB＝7，AC＝4，则中线AD的取值范围是 ．
三、解答题：
19．（5分）已知：如图，∠1＝∠2，∠C＝∠D．求证：AC＝AD．
20．（5分）尺规作图：校园有两条路OA、OB，在交叉路口附近有两块宣传牌C、D，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置P离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你帮助画出灯柱的位置P．（不写画图过程，保留作图痕迹）
21．（6分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF．说明：
（1）CF＝EB；
（2）AB＝AF+2EB．
22．（6分）如图，△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点E，交AC于点D．
（1）试确定BE、ED、CD之间的数量关系；
（2）若AB+AC＝a，求△AED的周长．
23．（5分）如图，在平面直角坐标系中，将四边形ABCD称为“基本图形”，且各点的坐标分别为A（4，4），B（1，3），C（3，3），D（3，1）．
（1）画出四边形A1B1C1D1，使它与“基本图形”关于x轴成轴对称，并求出A1，B1的坐标．A1（ ， ），B1（ ， ）；
（2）画出四边形A2B2C2D2，使它与“基本图形”关于y轴成轴对称；并求出C2，D2的坐标C2（ ， ），D2（ ， ）；
（3）画出四边形A3B3C3D3，使之与前面三个图形组成的图形是轴对称图形．
24．（5分）如图，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD交BC的延长线于F，交AD于E，连接AF，试判断∠B、∠CAF的大小关系，并说明理由．
25．（7分）【问题提出】
学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．
【初步思考】
我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
【深入探究】
第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．
（1）如图①，在△ABC和△DEF，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E＝90°，根据 ，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．
第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．
（2）如图②，在△ABC和△DEF，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．
第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．
（3）在△ABC和△DEF，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）
（4）∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是锐角，若 ，则△ABC≌△DEF．
26．（7分）在平面直角坐标系中，△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，AC＝BC，顶点A、C分别在y轴、x轴上．
（1）如图1，已知点A（0，﹣2），C（1，0），点B在第四象限时，则点B的坐标为 ；
（2）如图2，点C、A分别在x轴、y轴的负半轴上，BC边交y轴于点D，AB边交x轴于点E，若AD平分∠BAC，点B坐标为（m，n）．探究线段AD、OC、OD之间的数量关系．请回答下列问题：
①点B到x轴的距离为 ，到y轴的距离为 ；
②写出点C的坐标为 ，点A的坐标为 ，点D的坐标为 ；
③直接写出线段AD、OC、OD之间的数量关系： ．
2022-2023学年北京市101中学石油分校八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（3分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．1，2，3B．2，2，4C．3，4，5D．3，4，8
【分析】根据三角形的三边满足两边之和大于第三边来进行判断．
【解答】解：A、1+2＝3，不能构成三角形，故A错误；
B、2+2＝4，不能构成三角形，故B错误；
C、3+4＞5，能构成三角形，故C正确；
D、3+4＜8，不能构成三角形，故D错误．
故选：C．
【点评】考查三角形的边时，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
2．（3分）不一定在三角形内部的线段是（ ）
A．三角形的角平分线B．三角形的中线
C．三角形的高D．以上皆不对
【分析】根据三角形的角平分线、中线、高线的定义解答即可．
【解答】解：三角形的角平分线、中线一定在三角形的内部，
直角三角形的高线有两条是三角形的直角边，
钝角三角形的高线有两条在三角形的外部，
所以，不一定在三角形内部的线段是三角形的高．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，是基础题，熟记概念是解题的关键．
3．（3分）张师傅不小心将一块三角形玻璃打破成如图中的三块，他准备去店里重新配置一块与原来一模一样的，最省事的做法是（ ）
A．带Ⅰ去B．带Ⅱ去C．带Ⅲ去D．三块全带去
【分析】根据全等三角形的判定方法结合图形判断出带Ⅱ去．
【解答】解：由图形可知，Ⅱ有完整的两角与夹边，根据“角边角”可以作出与原三角形全等的三角形，
所以，最省事的做法是带Ⅱ去．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
4．（3分）已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（ ）
A．50°B．58°C．60°D．72°
【分析】根据已知数据找出对应角，根据全等得出∠A＝∠D＝50°，∠F＝∠C＝72°，根据三角形内角和定理求出即可．
【解答】解：
∵△ABC和△DEF全等，AC＝DF＝b，DE＝AB＝a，
∴∠1＝∠B，∠A＝∠D＝50°，∠F＝∠C＝72°，
∴∠1＝180°﹣∠D﹣∠F＝58°，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质的应用，能根据全等三角形的性质得出∠A＝∠D＝50°，∠F＝∠C＝72°是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
5．（3分）如图，如果△ABC≌△FED，那么下列结论错误的是（ ）
A．EC＝BDB．EF∥ABC．DF＝BDD．AC∥FD
【分析】根据全等三角形的性质得出DF＝AC，∠E＝∠B，∠EDF＝∠ACB，FD＝AC，推出EF∥AB，AC∥DF，EC＝BD，即可得出答案．
【解答】解：∵△ABC≌△EFD，
∴DF＝AC，∠E＝∠B，∠EDF＝∠ACB，ED＝BC；
∴EF∥AB，AC∥DF，FD﹣CD＝BC﹣DC，
∴EC＝BD，故选项A、B、D正确，选项C错误；
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和平行线的判定的应用，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．
6．（3分）在△ABC中，∠A＝55°，∠B比∠C大25°，则∠B等于（ ）
A．50°B．75°C．100°D．125°
【分析】根据三角形内角和定理计算．
【解答】解：设∠C＝x°，则∠B＝x°+25°．
根据三角形的内角和定理得x+x+25＝180﹣55，
x＝50．
则x+25＝75．
故选：B．
【点评】能够用一个未知数表示其中的未知角，然后根据三角形的内角和定理列方程求解．
7．（3分）下列条件，可以确定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B+∠C＝180°B．∠A+∠B＝∠C
C．∠A＝∠B＝∠CD．∠A＝∠B＝2∠C
【分析】根据三角形内角和定理计算，根据直角三角形的定义判断．
【解答】解：∠A+∠B+∠C＝180°，∠A，∠B，∠C的度数不确定，A不能确定△ABC是直角三角形；
∠A+∠B＝∠C，根据三角形内角和定理得到∠C＝90°，B可以确定△ABC是直角三角形；
∠A＝∠B＝∠C，则△ABC是等边三角形，C不能确定△ABC是直角三角形；
∠A＝∠B＝2∠C，则△ABC是等腰三角形，D不能确定△ABC是直角三角形；
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．
8．（3分）如图，在△ABC中，P为BC上一点，PR⊥AB，垂足为R，PS⊥AC，垂足为S，∠CAP＝∠APQ，PR＝PS．下列结论：其中结论正确的序号是（ ）
①AS＝AR；
②QP∥AR；
③△BRP≌△CSP
A．①②B．②③C．①③D．①②③
【分析】先利用“HL”证明Rt△APR≌Rt△APS，则AR＝AS，∠PAR＝∠PAS，则可对①进行判断；由于∠CAP＝∠APQ，所以∠PAR＝∠APQ，则根据平行线的判定方法可对②进行判断；因为只有∠PRB＝∠PSC＝90°，PR＝PS，所以不能判断△BRP≌△CSP．
【解答】解：∵PR⊥AB，PS⊥AC，
∴∠PRA＝∠PSA＝90°，
∵AP＝AP，PR＝PS，
∴Rt△APR≌Rt△APS（HL），
∴AR＝AS，所以①正确；
∠PAR＝∠PAS，
∵∠CAP＝∠APQ，
∴∠PAR＝∠APQ，
∴QP∥AR，所以②正确；
在△BRP和△CSP中，因为只有∠PRB＝∠PSC＝90°，PR＝PS，所以不能判断这两和三角形全等，所以③错误．
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：灵活运用全等三角形的判定是解决此类问题的关键．
9．（3分）如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝α，DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，则∠P的度数是（ ）
A．90°+αB．﹣90°C．D．540°
【分析】根据五边形的内角和等于540°，由∠A+∠B+∠E＝α，可求∠BCD+∠CDE的度数，再根据角平分线的定义可得∠PDC与∠PCD的角度和，进一步求得∠P的度数．
【解答】解：∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E＝α，
∴∠BCD+∠CDE＝540°﹣α，
∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点P，
∴∠PDC+∠PCD＝（∠BCD+∠CDE）＝270°﹣α，
∴∠P＝180°﹣（270°﹣α）＝α﹣90°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，角平分线的定义，熟记公式是解题的关键．注意整体思想的运用．
10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，将一个足够大的直角三角板的直角顶点放于点A处，该三角形板的两条直角边与CD交于点F，与CB延长线交于点E，四边形AECF的面积是（ ）
A．16B．12C．8D．4
【分析】由四边形ABCD为正方形可以得到∠D＝∠B＝90°，AD＝AB，又∠ABE＝∠D＝90°，而∠EAF＝90°由此可以推出∠DAF+∠BAF＝90°，∠BAE+∠BAF＝90°，进一步得到∠DAF＝∠BAE，所以可以证明△AEB≌△AFD，所以S△AEB＝S△AFD，那么它们都加上四边形ABCF的面积，即可四边形AECF的面积＝正方形的面积，从而求出其面积．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠D＝∠ABC＝90°，AD＝AB，
∴∠ABE＝∠D＝90°，
∵∠EAF＝90°，
∴∠DAF+∠BAF＝90°，∠BAE+∠BAF＝90°，
∴∠DAF＝∠BAE，
在△AEB和△AFD中
∴△AEB≌△AFD（ASA），
∴S△AEB＝S△AFD，
∴它们都加上四边形ABCF的面积，
可得到四边形AECF的面积＝正方形的面积＝16．
故选：A．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，本题需注意：在旋转过程中一定会出现全等三角形，应根据所给条件找到．
二、填空题
11．（3分）已知△ABC的一个外角为50°，则△ABC一定是 钝角 三角形．
【分析】根据三角形的外角与相邻的内角互为邻补角求出内角，再根据三角形的形状定义判断即可．
【解答】解：∵△ABC的一个外角为50°，
∴与它相邻的内角为180°﹣50°＝130°，
∴△ABC一定是钝角三角形．
故答案为：钝角．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，求出与它相邻的内角是钝角是解题的关键．
12．（3分）如图，在△ABC中，BD是角平分线，BE是中线，若AC＝24cm，则AE＝ 12 cm，若∠ABC＝72°，则∠ABD＝ 36 度．
【分析】根据中线的性质以及已知条件即可得出AE的长，再根据角平分线的性质即可得出∠ABD的度数．
【解答】解：∵BE是中线，AC＝24cm，
∴AC＝AE+CE＝2AE＝24，
∴AE＝12cm，
∵BD是角平分线，∠ABC＝72°，
∴∠ABC＝2∠ABD＝72°，
∴∠ABD＝36°，
故答案为12，36．
【点评】本题主要考查了三角形的中线、角平分线的性质，难度适中．
13．（3分）若等腰三角形两边长分别为3和5，则它的周长是 11或13 ．
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：有两种情况：①腰长为3，底边长为5，三边为：3，3，5可构成三角形，周长＝3+3+5＝11；
②腰长为5，底边长为3，三边为：5，5，3可构成三角形，周长＝5+5+3＝13．
故答案为：11或13．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
14．（3分）一个正多边形每一个外角为36°，则这个多边形的内角和为 1440° ．
【分析】本题首先根据多边形外角和定理，即任意多边形外角和为360°，可求出此正多边形的边数为10．然后再根据三角形的内角和定理求出它的内角和．
【解答】解：∵此正多边形每一个外角都为36°，360°÷36°＝10，
∴此正多边形的边数为10．
则这个多边形的内角和为（10﹣2）×180°＝1440°．
【点评】本题主要考查了多边形内角和及外角和定理，任何多边形的外角和是360°．
15．（3分）如图，直线AB∥CD，∠1＝55°，∠2＝32°，则∠3＝ 87° ．
【分析】利用平行线的性质先求出∠C，再利用三角形外角与内角的关系求出∠3．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠C＝∠1＝55°，
∴∠3＝∠C+∠2
＝55°+32°
＝87°，
故答案为：87°．
【点评】本题考查平行线的性质及三角形外角与内角的关系，掌握“两直线平行，内错角相等”、“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”是解决本题的关键．
16．（3分）如图所示：要测量河岸相对的两点A、B之间的距离，先从B处出发与AB成90°角方向，向前走50米到C处立一根标杆，然后方向不变继续朝前走50米到D处，在D处转90°沿DE方向再走17米，到达E处，使A、C与E在同一直线上，那么测得A、B的距离为 17m ．
【分析】根据已知条件求证△ABC≌△EDC，利用其对应边相等的性质即可求得AB．
【解答】解：∵先从B处出发与AB成90°角方向，
∴∠ABC＝90°，
∵BC＝50m，CD＝50m，∠EDC＝90°
∴△ABC≌△EDC，
∴AB＝DE，
∵沿DE方向再走17米，到达E处，即DE＝17
∴AB＝17．
故答案为：17m
【点评】本题考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了全等三角形的判定，难度不大，属于基础题．
17．（3分）在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，则∠B等于 70°或20° ．
【分析】此题根据△ABC中∠A为锐角与钝角分为两种情况，当∠A为锐角时，∠B等于70°，当∠A为钝角时，∠B等于20°．
【解答】解：根据△ABC中∠A为锐角与钝角，分为两种情况：
①当∠A为锐角时，
∵AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，
∴∠A＝40°，
∴∠B＝＝＝70°；
②当∠A为钝角时，
∵AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，
∴∠1＝40°，
∴∠BAC＝140°，
∴∠B＝∠C＝＝20°．
故答案为：70°或20°．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质及线段垂直平分线的性质；分类讨论的应用是正确解答本题的关键．
18．（3分）在△ABC中，AD是中线，已知AB＝7，AC＝4，则中线AD的取值范围是 ．
【分析】通过倍长中线，构造△ABD≌△ECD，从而得到AB＝CE＝7，利用三角形三边关系可得CE﹣AC＜AE＜CE+AC，再通过即可求解．
【解答】解：如图，延长AD至E，令DE＝AD，连接CE，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ABD和△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴AB＝CE＝7，
在△AEC中，根据三角形的三边关系可得CE﹣AC＜AE＜CE+AC，
即7﹣4＜AE＜7+4，
∴3＜AE＜11，
∵DE＝AD，
∴，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形三边关系的应用等，通过倍长中线构造全等三角形是解题的关键．
三、解答题：
19．（5分）已知：如图，∠1＝∠2，∠C＝∠D．求证：AC＝AD．
【分析】可以利用AAS判定△CAB≌△DAB，根据全等三角形的对应边相等即可得到AC＝AD．
【解答】证明：∵AB＝AB，∠1＝∠2，∠C＝∠D，
∴△CAB≌△DAB（AAS）；
∴AC＝AD．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
20．（5分）尺规作图：校园有两条路OA、OB，在交叉路口附近有两块宣传牌C、D，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置P离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你帮助画出灯柱的位置P．（不写画图过程，保留作图痕迹）
【分析】分别作线段CD的垂直平分线和∠AOB的角平分线，它们的交点即为点P．
【解答】解；如图，点P为所作．
【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，熟知角平分线的性质与线段垂直平分线的性质是解答此题的关键．
21．（6分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF．说明：
（1）CF＝EB；
（2）AB＝AF+2EB．
【分析】（1）根据直角三角形的全等的判定和性质解答即可；
（2）根据AAS证明全等三角形的判定，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝DC，
在Rt△CFD和Rt△EBD中，，
∴Rt△CFD≌Rt△EBD（HL），
∴CF＝EB；
（2）在△ACD和△AED中，，
∴△ACD≌△AED（AAS），
∴AC＝AE，
由（1）知，CF＝EB，
∴AB＝AE+EB＝AC+EB＝AF+FC+EB＝AF+2EB．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定和性质解答．
22．（6分）如图，△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点E，交AC于点D．
（1）试确定BE、ED、CD之间的数量关系；
（2）若AB+AC＝a，求△AED的周长．
【分析】（1）根据角平分线的定义和平行线的性质可得△BEF和△DCF是等腰三角形，从而可得BE＝EF，CD＝DF，然后根据线段的和差关系即可解答；
（2）利用（1）中结论，通过等量代换可得AE+AD+ED＝a，即可解答．
【解答】解：（1）DE＝BE+CD，
理由：BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠EBF＝∠CBF，∠DCF＝∠BCF，
∵DE∥BC，
∴∠EFB＝∠CBF，∠DFC＝∠BCF，
∴∠EFB＝∠EBF，∠DFC＝∠DCF，
∴BE＝EF，CD＝DF，
∴DE＝EF+DF，
∴DE＝BE+CD；
（2）∵AB+AC＝a，
∴AE+BE+AD+CD＝a，
由（1）得：ED＝BE+CD，
∴AE+AD+ED＝a，
∴△AED的周长为a．
【点评】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可得等腰三角形是解题的关键．
23．（5分）如图，在平面直角坐标系中，将四边形ABCD称为“基本图形”，且各点的坐标分别为A（4，4），B（1，3），C（3，3），D（3，1）．
（1）画出四边形A1B1C1D1，使它与“基本图形”关于x轴成轴对称，并求出A1，B1的坐标．A1（ 4 ， ﹣4 ），B1（ 1 ， ﹣3 ）；
（2）画出四边形A2B2C2D2，使它与“基本图形”关于y轴成轴对称；并求出C2，D2的坐标C2（ ﹣3 ， 3 ），D2（ ﹣3 ， 1 ）；
（3）画出四边形A3B3C3D3，使之与前面三个图形组成的图形是轴对称图形．
【分析】（1）根据关于x轴对称的点横坐标相等、纵坐标互为相反数，即可得到对应点的坐标，描点连线即可；
（2）根据关于y轴对称的点纵坐标相等、横坐标互为相反数，即可得到对应点的坐标，描点连线即可；
（3）根据轴对称图形的特点可知，四边形A1B1C1D1关于y轴的轴对称图形即为四边形A3B3C3D3．
【解答】解：（1）根据四边形A1B1C1D1与四边形ABCD关于x轴对称，可知对应点的横坐标相等、纵坐标互为相反数，
因此A1（4，﹣4），B1（1，﹣3），C1（3，﹣3），D1（3，﹣1），描点连线可得四边形A1B1C1D1；
故答案为：4，﹣4，1，﹣3；
（2）根据四边形A2B2C2D2与四边形ABCD关于y轴对称，可知对应点的纵坐标相等、横坐标互为相反数，
因此A2（﹣4，4），B2（﹣1，3），C2（﹣3，3），D2（﹣3，1），描点连线可得四边形A2B2C2D2；
故答案为：﹣3，3，﹣3，1；
（3）如图所示，作四边形A1B1C1D1关于y轴的轴对称图形，该图形即为四边形A3B3C3D3．
【点评】本题考查作轴对称图形，解题的关键是熟练掌握关于x轴，y轴成轴对称图形的对应点坐标的特点．
24．（5分）如图，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD交BC的延长线于F，交AD于E，连接AF，试判断∠B、∠CAF的大小关系，并说明理由．
【分析】根据垂直平分线的性质得FA＝FD，再根据等边对等角得∠FAD＝∠FDA，利用外角的 性质得∠FDA＝∠B+∠BAD，再利用角平分线的定义和角的和差关系，即可推出∠CAF＝∠B．
【解答】解：∠CAF＝∠B．理由如下：
∵EF垂直平分AD，
∴FA＝FD，
∴∠FAD＝∠FDA，
∵∠FDA＝∠B+∠BAD，∠FAD＝∠CAF+∠DAC，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∴∠CAF＝∠B．
【点评】本题考查角平分线的定义，垂直平分线的性质，三角形外角的定义和性质等，难度不大，解题的关键是通过等量代换得出∠B与∠CAF的联系．
25．（7分）【问题提出】
学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．
【初步思考】
我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
【深入探究】
第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．
（1）如图①，在△ABC和△DEF，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E＝90°，根据 HL ，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．
第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．
（2）如图②，在△ABC和△DEF，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．
第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．
（3）在△ABC和△DEF，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）
（4）∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是锐角，若 ∠B≥∠A或∠A＝90° ，则△ABC≌△DEF．
【分析】（1）直接利用HL定理得出Rt△ABC≌Rt△DEF；
（2）首先得出△CBG≌△FEH（AAS），则CG＝FH，进而得出Rt△ACG≌Rt△DFH，再求出△ABC≌△DEF；
（3）利用已知图形再做一个钝角三角形即可得出答案；
（4）利用（3）中方法可得出当∠B≥∠A时，则△ABC≌△DEF．
【解答】（1）解：如图①，
∵∠B＝∠E＝90°，
∴在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
故答案为：HL；
（2）证明：如图②，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H，
∵∠ABC＝∠DEF，且∠ABC、∠DEF都是钝角，
∴180°﹣∠ABC＝180°﹣∠DEF，
即∠CBG＝∠FEH，
在△CBG和△FEH中，
，
∴△CBG≌△FEH（AAS），
∴CG＝FH，
在Rt△ACG和Rt△DFH中，
，
∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL），
∴∠A＝∠D，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS）；
（3）解：如图③中，在△ABC和△DEF，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，
△DEF和△ABC不全等；
（4）解：由图③可知，∠A＝∠CDA＝∠B+∠BCD，
∴∠A＞∠B，
∴当∠B≥∠A时，△ABC就唯一确定了，
则△ABC≌△DEF．
另外∠A＝90°时，两三角形全等．
故答案为：∠B≥∠A或∠A＝90°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，应用与设计作图，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，阅读量较大，审题要认真仔细．
26．（7分）在平面直角坐标系中，△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，AC＝BC，顶点A、C分别在y轴、x轴上．
（1）如图1，已知点A（0，﹣2），C（1，0），点B在第四象限时，则点B的坐标为 （3，﹣1） ；
（2）如图2，点C、A分别在x轴、y轴的负半轴上，BC边交y轴于点D，AB边交x轴于点E，若AD平分∠BAC，点B坐标为（m，n）．探究线段AD、OC、OD之间的数量关系．请回答下列问题：
①点B到x轴的距离为 n ，到y轴的距离为 m ；
②写出点C的坐标为 （﹣n，0） ，点A的坐标为 （0，﹣m﹣n） ，点D的坐标为 （0，m﹣n） ；
③直接写出线段AD、OC、OD之间的数量关系： AD＝2OC+2OD ．
【分析】（1）过B点作x轴垂线，垂足为D，由题意可证得△OCA≌△DBC（AAS），故CD＝OA＝2，BD＝OC＝1，OD＝OC+CD＝3，即可知B点坐标为（3，﹣1）；
（2）过B点作x轴垂线，垂足为F，连接DE，
①因为B点在第一象限，故B点横坐标为B点到y轴的距离，B点纵坐标为B点到x轴的距离．
②由题意可证得△OCA≌△FBC（AAS），故可求△ACE为等腰三角形，则可证得△ODE≌△FEB（AAS），便可知OC＝n，OA＝OF+OC＝m+n，DO＝OF﹣OE＝m﹣n即点C的坐标为（﹣n，0），点A的坐标为（0，﹣m﹣n），点D的坐标为（0，m﹣n）．
③由②可得结论：AD＝2OC+2OD．
【解答】解：（1）过B点作x轴垂线，垂足为D，
由题意知：AO＝2，OC＝1，AC＝BC，∠COA＝∠BDC＝90°，
∵∠OCA+∠OAC＝90°，∠OCA+∠DCB＝90°，
∴∠OAC＝∠BCD，
在△OCA和△DBC中，
，
∴△OCA≌△DBC（AAS），
∴CD＝OA＝2，BD＝OC＝1，
∴OD＝OC+CD＝3，
故B点坐标为（3，﹣1）；
故答案为：（3，﹣1）；
（2）如图2，过B点作x轴垂线，垂足为F，连接DE，
①∵点B坐标为（m，n），且点B在第一象限，
∴m＞0，n＞0，
故点B到x轴的距离为n，到y轴的距离为m；
故答案为：n，m；
②由题意知：BC＝AC，∠COA＝∠BFC＝90°，
∵∠BCF+∠OCA＝90°，∠OCA+∠OAC＝90°，
∴∠OAC＝∠BCF，
在△OCA和△FBC中，
，
∴△OCA≌△FBC（AAS），
∴BF＝CO，OA＝CF，
由①知：BF＝n，OF＝m，
故OC＝n，OA＝OF+OC＝m+n，
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAC＝∠OAE，
∴∠ACO＝∠AEO，
∴AC＝AE，
∴△ACE为等腰三角形，AD为角平分线，中线，高线三线合一，
故△DCE也为等腰三角形，
∴CO＝OE＝BF，∠DCO+∠OCA＝∠DEO+∠OEA＝∠DEB＝90°，
∵∠ODE+∠OED＝90°，∠OED+∠BEF＝90°，
∴∠ODE＝∠BEF，
在△ODE和△FEB中，
，
∴△ODE≌△FEB（AAS），
∴EF＝DO＝OF﹣OE＝m﹣n，
则点C的坐标为（﹣n，0），点A的坐标为（0，﹣m﹣n），点D的坐标为（0，m﹣n）；
故答案为：（﹣n，0），（0，﹣m﹣n），（0，m﹣n）；
③由②可知：AD＝OD+AO＝m﹣n+m+n＝2m，OC＝n，OD＝m﹣n，
∴AD＝2OC+2OD．
故答案为：AD＝2OC+2OD．
【点评】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定及性质，坐标轴中点坐标的性质，点到坐标轴的距离：点P的坐标为（x，y），那么点P到x轴的距离为这点纵坐标的绝对值，即|y|．点P到y轴的距离为这点横坐标的绝对值，即|x|．
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