2022-2023学年北京市昌平区双城融合学区八年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2022-2023学年北京市昌平区双城融合学区八年级（上）期中数学试卷【含解析】，共19页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）在下列实数中，无理数是（ ）
A．B．C．0D．9
2．（2分）36的平方根是（ ）
A．6B．﹣6C．4或9D．±6
3．（2分）二次根式中，字母a的取值范围是（ ）
A．a＜1B．a≤1C．a≥1D．a＞1
4．（2分）下列分式中，是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2分）下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2分）若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则x的值为（ ）
A．x＝0B．x＝1C．x＝2D．x＝3
7．（2分）如果把分式中的x，y都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大3倍B．不变C．缩小3倍D．扩大2倍
8．（2分）张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是，矩形的周长是；当矩形成为正方形时，就有，解得x＝1，这时矩形的周长最小，因此的最小值是2．模仿张华的推导，你求得式子的最小值是（ ）
A．2B．4C．6D．8
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）若分式的值是0，则x的值为 ．
10．（2分）比较大小：32 23．
11．（2分）与的最简公分母是 ．
12．（2分）在实数范围内分解因式：x3﹣5x＝ ．
13．（2分）若，请写出一个符合条件的x的值 ．
14．（2分）已知﹣＝3，则分式的值为 ．
15．（2分）若的小数部分为a，整数部分为b，则的值为 ．
16．（2分）对于正数x，规定f（x）＝．f（1）＝＝，f（2）＝＝，f（）＝＝，则：
（1）f（x）+f（）＝ ；
（2）f（2020）+f（2019）+…+f（2）+f（1）+f（）+…+f（）+f（）＝ ．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）
17．（5分）计算：．
18．（5分）计算：．
19．（5分）计算：．
20．（5分）化简：（﹣）÷．
21．（5分）计算：．
22．（5分）解方程：+1＝．
23．（6分）先化简分式，再从﹣2，﹣1，1，这4个数中选择一个合适的数作为a的值代入求值．
24．（6分）列方程解应用题
2022年北京市教育委员会印发《关于推进“互联网+基础教育”的工作方案》的通知．《方案》中指出：双师课堂是在空中课堂基础上的深化，将传统单师授课模式变革为名师团队支持下新型教学场景．某校为响应国家号召，利用暑期在各班安装能够进行双师教学的电脑．该校南楼安装的48台由甲队完成，北楼安装的30台由乙队完成．已知甲队比乙队每天多安装3台，且两队同时开工，恰好同时完成任务．甲、乙两队每天各安装能够进行双师教学多少台？
25．（6分）我们之前学习有理数时，知道两个数的乘积为1则这两个数互为倒数．在学习二次根式的过程中，小明研究发现有一些特殊的无理数之间具有互为倒数的关系．例如：由，可得与互为倒数，即或，类似地，，可得或．
根据小明发现的规律，解决下列问题：
（1）＝ ，＝ （n为正整数）；
（2）若，则a＝ ；
（3）求的值．
26．（6分）现场学习：先阅读下面的材料，然后解答问题：通过观察，发现方程：x+的解为x1＝2，x2＝；x+的解为x1＝3，x2＝；x+的解为x1＝4，x2＝；
（1）猜想关于x的方程x+的解是 ；
（2）猜想关于x的方程x+的解是 ；
（3）用上述方法求关于x的方程的解．
27．（7分）小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小石的探究过程，请补充完整：
（1）具体运算，发现规律．
特例1：，
特例2：，
特例3：，
特例4：，
特例5：＝ （填写运算结果）；
（2）观察、归纳，得出猜想．
如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为： ；
（3）证明你的猜想．
（4）应用运算规律：
①化简：＝ ；
②若（a，b均为正整数），则a﹣b的值为 ．
28．（7分）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”．
（1）下列分式中，属于“和谐分式”的是 （填序号）；
①②③④
（2）请将“和谐分式”化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，并写出化简过程；
（3）应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
2022-2023学年北京市昌平区双城融合学区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1．（2分）在下列实数中，无理数是（ ）
A．B．C．0D．9
【分析】根据无理数的定义对四个选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、是分数，所以是有理数，故本选项错误；
B、是开方开不尽的数，是无理数，故本选项正确；
C、0是整数，是有理数，故本选项错误；
D、9是整数，是有理数，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查的是无理数的定义，初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2．（2分）36的平方根是（ ）
A．6B．﹣6C．4或9D．±6
【分析】根据平方根的定义进行解答即可．
【解答】解：36的平方根是±6．
故选：D．
【点评】此题主要考查了平方根，掌握平方根的定义是解题的关键，注意一个正数有两个平方根．
3．（2分）二次根式中，字母a的取值范围是（ ）
A．a＜1B．a≤1C．a≥1D．a＞1
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，即可求a的取值范围．
【解答】解：根据题意得：a﹣1≥0，解得a≥1．故选C．
【点评】主要考查了二次根式的意义和性质．二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
4．（2分）下列分式中，是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接利用分式的基本性质结合最简分式的定义：分子与分母不含公因式的分式叫做最简分式，进而判断即可．
【解答】解：A、＝x，不是最简分式，不符合题意；
B、＝，不是最简分式，不符合题意；
C、＝x﹣y，不是最简分式，不符合题意；
D、，是最简分式，符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了最简分式，正确掌握最简分式的定义（分子与分母不含公因式的分式叫做最简分式）是解题关键．
5．（2分）下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据分式的基本性质依次进行判断即可，注意乘除一个数或代数式时要保证不为0．
【解答】解：A、当c≠0时，才成立，所以选项A不正确；
B、，所以选项B不正确；
C、当a＝b时，才成立，所以选项C不正确；
D、∵a是分母，
∴a≠0，
∴，
所以选项D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是关键．
6．（2分）若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则x的值为（ ）
A．x＝0B．x＝1C．x＝2D．x＝3
【分析】根据同类二次根式的定义得出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：∵最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，
∴x+3＝2x，
解得：x＝3，
故选：D．
【点评】本题考查了同类二次根式和最简二次根式，能根据同类二次根式的定义得出x+3＝2x是解此题的关键，注意：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．
7．（2分）如果把分式中的x，y都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大3倍B．不变C．缩小3倍D．扩大2倍
【分析】依题意，分别用3x和3y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可．
【解答】解：分别用3x和3y去代换原分式中的x和y，
得＝＝，
可见新分式与原分式相等．
故选：B．
【点评】解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数．
规律总结：解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
8．（2分）张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是，矩形的周长是；当矩形成为正方形时，就有，解得x＝1，这时矩形的周长最小，因此的最小值是2．模仿张华的推导，你求得式子的最小值是（ ）
A．2B．4C．6D．8
【分析】仿照题干中的方法解答即可．
【解答】解：（x＞0）＝x+，
在面积是，4的长方形中设长方形的一边长为x，则另一边长为，
长方形的周长是2（x+），
∵在面积一定的长方形中，正方形的周长最短，
∴当长方形成为正方形时，就有x＝（x＞0），
解得：x＝2，
经检验，x＝2是原方程的解，
这时长方形的周长2（x+）＝8最小，
因此x+（x＞0）的最小值是4．
∴式子（x＞0）的最小值是4．
故选：B．
【点评】本题考查了分式方程的应用，理解题干中的方法并熟练应用是解题的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）若分式的值是0，则x的值为 2 ．
【分析】根据分式的值为零的条件得到x﹣2＝0且x≠0，易得x＝2．
【解答】解：∵分式的值是0，
∴x﹣2＝0且x≠0，
∴x＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零．
10．（2分）比较大小：32 ＞ 23．
【分析】分别计算32和23，再比较大小即可．
【解答】解：∵32＝9，23＝8，
∴9＞8，
即32＞23．
故答案为：＞．
【点评】本题考查了有理数的乘方以及有理数的大小比较，是基础知识要熟练掌握．
11．（2分）与的最简公分母是 6a2b3c ．
【分析】根据最简公分母的定义解决此题．
【解答】解：根据最简公分母的定义，
这两个分式的的最简公分母为6a2b3c．
故答案为：6a2b3c．
【点评】本题主要考查最简公分母的定义，熟练掌握最简公分母的定义是解决本题的关键．
12．（2分）在实数范围内分解因式：x3﹣5x＝ x（x+）（x﹣） ．
【分析】首先提取公因式，再进一步运用平方差公式．
【解答】解：原式＝x（x2﹣5）＝x（x+）（x﹣）．
故答案为x（x+）（x﹣）．
【点评】此题考查了实数范围内的因式分解．注意：5＝（）2．
13．（2分）若，请写出一个符合条件的x的值 1 ．
【分析】先根据二次根式化简，再结合分母不为0即可得出答案．
【解答】解：，
∴|x|＝x，且x≠0
∴x为大于0的一切自然数．
故答案为：1（答案不唯一）．
【点评】本题考查了二次根式和分式的定义，熟练掌握二次根式和分式的定义是解决此题的关键．
14．（2分）已知﹣＝3，则分式的值为 ．
【分析】由已知条件可知xy≠0，根据分式的基本性质，先将分式的分子、分母同时除以xy，再把﹣＝3代入即可．
【解答】解：∵﹣＝3，
∴x≠0，y≠0，
∴xy≠0．
∴＝＝＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了分式的基本性质及求分式的值的方法，把﹣＝3作为一个整体代入，可使运算简便．
15．（2分）若的小数部分为a，整数部分为b，则的值为 5 ．
【分析】确定a、b的值，代入计算即可．
【解答】解：∵3＜＜4，
又∵a是的小数部分，b是它的整数部分，
∴a＝﹣3，b＝3，
∴＝（﹣3）（+3）＝14﹣9＝5，
故答案为5．
【点评】考查实数的运算，无理数的估算，得出的整数部分和小数部分，即a、b的值，是正确计算的前提．
16．（2分）对于正数x，规定f（x）＝．f（1）＝＝，f（2）＝＝，f（）＝＝，则：
（1）f（x）+f（）＝ 1 ；
（2）f（2020）+f（2019）+…+f（2）+f（1）+f（）+…+f（）+f（）＝ 2019.5 ．
【分析】（1）利用题目给出的已知条件可知，f（x）+f（）＝+＝+＝1；
（2）利用（1）得到的规律可化简计算出结果．
【解答】解：（1）f（x）+f（）
＝+
＝+
＝1；
故答案为：1；
（2）原式＝f（2020）+f（）+f（2019）+f（）+…+f（2）+f（）+f（1）
＝1+1+1+…+1+
＝2019+
＝2019.5．
故答案为：2019.5．
【点评】本题考查了分式的加减，有理数的加减，代数式求值，解题的关键是读懂题意，熟练地掌握分式的加减运算．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）
17．（5分）计算：．
【分析】先根据乘方法则计算，再把除法化为乘法，再约分得到答案．
【解答】解：原式＝﹣••
＝﹣．
【点评】本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的乘除法法则是解题的关键．
18．（5分）计算：．
【分析】先把分母化成同分母，再根据同分母相加减，分母不变，分子相加减，即可得出答案．
【解答】解：
＝﹣
＝
＝
＝﹣1．
【点评】本题考查了分式的加减，熟练掌握分式加减的运算法则是解题的关键．
19．（5分）计算：．
【分析】根据二次根式的乘法、除法法则运算，注意结果是最简二次根式．
【解答】解：原式＝
＝
＝．
【点评】本题主要考查了二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法法则是解题关键．
20．（5分）化简：（﹣）÷．
【分析】根据分式的运算即可求出答案．
【解答】解：原式＝×x﹣×x
＝﹣
＝
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
21．（5分）计算：．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：
＝+3﹣3+（﹣2）
＝+3﹣3﹣2
＝﹣+1．
【点评】本题考查了实数的运算，准确熟练地化简各式是解题的关键．
22．（5分）解方程：+1＝．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：4x+2x+6＝7，
移项合并得：6x＝1，
解得：x＝，
经检验，x＝是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
23．（6分）先化简分式，再从﹣2，﹣1，1，这4个数中选择一个合适的数作为a的值代入求值．
【分析】先根据分式的加法和除法法则化简题目中的式子，然后在﹣2、﹣1、1、这4个数中选取使原分式有意义的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝，
根据分式有意义的条件，a≠﹣2且a≠﹣1且a≠1，且a≠0，
所以当时，
原式＝．
【点评】本题主要考查了分式有意义的条件、分式的化简求值以及最简二次根式的知识，解答本题的关键是熟练运用分式的运算法则．
24．（6分）列方程解应用题
2022年北京市教育委员会印发《关于推进“互联网+基础教育”的工作方案》的通知．《方案》中指出：双师课堂是在空中课堂基础上的深化，将传统单师授课模式变革为名师团队支持下新型教学场景．某校为响应国家号召，利用暑期在各班安装能够进行双师教学的电脑．该校南楼安装的48台由甲队完成，北楼安装的30台由乙队完成．已知甲队比乙队每天多安装3台，且两队同时开工，恰好同时完成任务．甲、乙两队每天各安装能够进行双师教学多少台？
【分析】设乙队每天安装x台，则甲队每天安装（x+3）台，根据两队同时开工，恰好同时完成任务，即所用的时间相等，即可列方程求解．
【解答】解：设乙队每天安装x台，则甲队每天安装（x+3）台．
由题意得：＝，
解得：x＝5．
经检验：x＝5是原方程的根，
则x+3＝8．
答：甲队每天安装能够进行双师教学的电脑8台，乙队每天安装能够进行双师教学的电脑5台．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
25．（6分）我们之前学习有理数时，知道两个数的乘积为1则这两个数互为倒数．在学习二次根式的过程中，小明研究发现有一些特殊的无理数之间具有互为倒数的关系．例如：由，可得与互为倒数，即或，类似地，，可得或．
根据小明发现的规律，解决下列问题：
（1）＝ ﹣ ，＝ ﹣ （n为正整数）；
（2）若，则a＝ ± ；
（3）求的值．
【分析】（1）仿照阅读材料分母有理化即可；
（2）解关于m的方程并检验，可得答案；
（3）先分母有理化，再相加即可．
【解答】解：（1）＝＝，
＝＝﹣，
故答案为：﹣，﹣；
（2）∵，
∴（2+a）（2﹣a）＝1，
∴12﹣a2＝1，
∴a＝±，
经检验，a＝±都满足题意，
故答案为：±；
（3）原式＝﹣1+﹣+﹣++﹣
＝﹣1
＝10﹣1
＝9．
【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是读懂题意，能把二次根式分母有理化．
26．（6分）现场学习：先阅读下面的材料，然后解答问题：通过观察，发现方程：x+的解为x1＝2，x2＝；x+的解为x1＝3，x2＝；x+的解为x1＝4，x2＝；
（1）猜想关于x的方程x+的解是 x1＝5，x2＝ ；
（2）猜想关于x的方程x+的解是 x1＝a，x2＝ ；
（3）用上述方法求关于x的方程的解．
【分析】（1）通过给定的例题即可确定；
（2）通过给定的例题即可确定；
（3）先将原方程变形，通过前面的方法可得x+1＝a+1或x+1＝，进一步求解即可．
【解答】解：（1）关于x的方程x+的解为x1＝5，x2＝，
故答案为：x1＝5，x2＝；
（2）关于x的方程x+的解是x1＝a，x2＝，
故答案为：x1＝a，x2＝；
（3）关于x的方程化为＝，
∴x+1＝a+1或x+1＝，
∴x1＝a，x2＝．
【点评】本题考查了解分式方程，看懂给定的例题中方程的解是解题的关键．
27．（7分）小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小石的探究过程，请补充完整：
（1）具体运算，发现规律．
特例1：，
特例2：，
特例3：，
特例4：，
特例5：＝ 5 （填写运算结果）；
（2）观察、归纳，得出猜想．
如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为： ＝ ；
（3）证明你的猜想．
（4）应用运算规律：
①化简：＝ 9 ；
②若（a，b均为正整数），则a﹣b的值为 ﹣57 ．
【分析】（1）根据规律可以直接写结果；
（2）根据规律，归纳可得其运算规律；
（3）证明等式的左边等于右边即可；
（4）①根据运算规律，可以直接写出的值，再进行计算；
②根据运算规律，求出a、b的值，再进行计算即可得其值．
【解答】解：（1）根据规律可得，
＝5．
故答案为：5；
（2）运算规律为：＝．
故答案为：＝．
（3）＝，证明如下：
∵左边＝＝＝＝＝右边，
∴＝；
（4）①
＝9×
＝9
＝9
＝9．
故答案为：9；
②∵，
∴a＝8，b＝65，
∴a﹣b＝8﹣65＝﹣57．
故答案为：﹣57．
【点评】本题考查了数的变化规律，通过观察、归纳、得出猜想、证明结论、运用规律是解本题的关键，综合性较强，难度适中．
28．（7分）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”．
（1）下列分式中，属于“和谐分式”的是 ②③ （填序号）；
①②③④
（2）请将“和谐分式”化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，并写出化简过程；
（3）应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
【分析】（1）根据和谐分式的定义，进行计算即可解答；
（2）利用完全平方公式，进行计算即可解答；
（3）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）①＝+＝1+；
②＝﹣＝1﹣；
③＝＝﹣＝1﹣；
④＝+＝+；
∴上列分式中，属于“和谐分式”的是②③，
故答案为：②③；
（2）
＝
＝
＝﹣
＝x+3﹣；
（3）
＝••
＝••
＝
＝
＝﹣
＝1﹣，
当x+6＝±1或x+6＝±3时，该式的值为整数，
此时x＝﹣5，﹣7，﹣3或﹣9，
∵分式有意义时，x≠±3，x≠﹣6，x≠﹣1，x≠0，
∴x＝﹣5，﹣7或﹣9时，该式的值为整数．
【点评】本题考查了分式的化简求值，分式的定义，准确熟练地进行计算是解题的关键．
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