2022-2023学年北京市朝阳区陈经纶中学九年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2022-2023学年北京市朝阳区陈经纶中学九年级（上）期中数学试卷【含解析】，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列是有关北京2022年冬奥会的图片，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）将抛物线y＝5x2先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（ ）
A．y＝5（x+2）2+3B．y＝5（x﹣2）2+3
C．y＝5（x﹣2）2﹣3D．y＝5（x+2）2﹣3
3．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+1＝0时，下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝1B．（x﹣3）2＝10C．（x+3）2＝8D．（x﹣3）2＝8
4．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0的一个根是x＝1，则m的值为（ ）
A．2B．4C．﹣4D．﹣2
5．（3分）如图，△OAB绕点O逆时针旋转90°到△OCD的位置，已知∠AOB＝45°，则∠AOD的度数为（ ）
A．55°B．45°C．40°D．35°
6．（3分）随着中考结束，初三某毕业班的每一个同学都向其他同学赠送一张自己的照片留作纪念，全班共送了2256张照片，若该班有x名同学，则根据题意可列出方程为（ ）
A．x（x﹣1）＝2256B．x（x+1）＝2256
C．2x（x﹣1）＝2256D．x（x﹣1）＝2256
7．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为A（2，m），且经过点B（5，0），其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：
①ac＜0；
②a﹣b+c＞0
③4a+b＜0；
④若此抛物线经过点C（1，1），则点（5，1）一定是抛物线y＝ax2+bx+c上的一个点．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．③④D．①
8．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝30°，△ABC绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜120°）得到△AB′C′，B′C′与BC，AC分别交于点D，E．设CD+DE＝x，△AEC′的面积为y，则y与x的函数图象大致（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分。
9．（3分）点P（2，﹣1）关于原点对称的点P′的坐标是 ．
10．（3分）抛物线y＝2（x﹣3）2+4的顶点坐标是 ．
11．（3分）若关于x的方程x2﹣4x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
12．（3分）二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝mx+n的图象如图所示，则满足ax2+bx+c＞mx+n的x的取值范围是
13．（3分）若A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（1，y3）为二次函数y＝x2+4x﹣5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是 ．（用“＜”连接）
14．（3分）如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC＝105°，则∠C的度数是 ．
15．（3分）已知二次函数y1＝x2+2x﹣4的图象如图所示，将此函数图象向右平移3个单位得抛物线y2的图象，则阴影部分的面积为 ．
16．（3分）如图，点A是抛物线y＝x2﹣4x对称轴上的一点，连接OA，以A为旋转中心将AO逆时针旋转90°得到AO′，当O′恰好落在抛物线上时，点A的坐标为 ．
三、解答题：本大题共10个小题，第17-24题每题5分，第25-26题每题6分，共52分。
17．（5分）解方程：2x2﹣5x+2＝0．
18．（5分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）把这个二次函数化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）画出这个二次函数的图象，并利用图象写出当x为何值时，y＞0．
19．（5分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）．
（1）将△ABC以点O为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1；
（2）将△ABC以点C为旋转中心顺时针旋转90°可以得到△A2B2C，画出△A2B2C并直接写出A1A2的长度．
20．（5分）如图所示，点D是等边△ABC内一点，DA＝15，DB＝19，DC＝21，将△ABD绕点A逆时针旋转到△ACE的位置，当点E在BD的延长线上时．
求（1）∠BDA的度数；
（2）△DEC的周长．
21．（5分）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2＝0（m≠0）．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求整数m的值．
22．（5分）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米．
（1）若苗圃园的面积为72平方米，求x的值；
（2）若平行于墙的一边长不小于8米，则该苗圃的最大面积是多少平方米？
23．（5分）在初中阶段的函数学习中我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数y＝|x2+x|性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
（1）自变量x的取值范围是全体实数，与y的几组对应值列表如下，其中m＝ ；
（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中补全函数y＝|x2+x|的图象；
（3）根据函数图象，下列关于该函数性质的说法正确的有 （填序号）：
①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴．
②该函数在自变量的取值范围内，没有最大值，但有最小值．
③当x＝﹣2时，函数取得最小值0．
④当x＜﹣2或x＞0时，y随x的增大而减小；当﹣2＜x＜0时，y随x的增大而增大．
（4）在同一坐标系中作出函数y＝x+1的图象，结合你所画的函数图象，直接写出方程|x2+x|＝x+1的解 .（保留1位小数，误差不超过0.4）．
24．（5分）在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2+px+q的图象过点（﹣1，0），（2，0）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求当﹣2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；
（3）一次函数y＝（2﹣m）x+2﹣m的图象与二次函数y＝x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范围．
25．（6分）如图，∠AOB＝90°，OC为∠AOB的平分线，点P为OC上一个动点，过点P作射线PE交OA于点E．以点P为旋转中心，将射线PE沿逆时针方向旋转90°，交OB于点F．
（1）根据题意补全图1，并证明PE＝PF；
（2）如图1，如果点E在OA边上，用等式表示线段OE，OP和OF之间的数量关系，并证明；
（3）如图2，如果点E在OA边的反向延长线上，直接写出线段OE，OP和OF之间的数量关系．
26．（6分）定义：对于平面直角坐标系xOy上的点P（a，b）和抛物线y＝x2+ax+b，我们称P（a，b）是抛物线y＝x2+ax+b的相伴点，抛物线y＝x2+ax+b是点P（a，b）的相伴抛物线．
如图，已知点A（﹣2，﹣2），B（4，﹣2），C（1，4）．
（1）点A的相伴抛物线的解析式为 ；过A，B两点的抛物线y＝x2+ax+b的相伴点坐标为 ；
（2）设点P（a，b）在直线AC上运动：
①点P（a，b）的相伴抛物线的顶点都在同一条抛物线Ω上，求抛物线Ω的解析式；
②当点P（a，b）的相伴抛物线的顶点落在△ABC内部时，请直接写出a的取值范围．
2022-2023学年北京市朝阳区陈经纶中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。
1．（3分）下列是有关北京2022年冬奥会的图片，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）逐项判断即可得．
【解答】解：A、不是中心对称图形，则此项不符题意；
B、不是中心对称图形，则此项不符题意；
C、是中心对称图形，则此项符合题意；
D、不是中心对称图形，则此项不符题意；
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形，熟记定义是解题关键．
2．（3分）将抛物线y＝5x2先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（ ）
A．y＝5（x+2）2+3B．y＝5（x﹣2）2+3
C．y＝5（x﹣2）2﹣3D．y＝5（x+2）2﹣3
【分析】先确定抛物线y＝5x2的顶点坐标为（0，0），再利用点平移的规律得到点（0，0）平移后所得对应点的坐标，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【解答】解：抛物线y＝5x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到对应点的坐标为（﹣2，3），所以新抛物线的表达式是y＝5（x+2）2+3．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
3．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+1＝0时，下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝1B．（x﹣3）2＝10C．（x+3）2＝8D．（x﹣3）2＝8
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得．
【解答】解：∵x2﹣6x+1＝0，
∴x2﹣6x＝﹣1，
∴x2﹣6x+9＝﹣1+9，即（x﹣3）2＝8，
故选：D．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
4．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0的一个根是x＝1，则m的值为（ ）
A．2B．4C．﹣4D．﹣2
【分析】直接把x＝1代入方程x2+3x﹣m＝0得关于m的方程，然后解关于m的方程即可．
【解答】解：把x＝1代入方程x2+3x﹣m＝0得1+3﹣m＝0，
解得m＝4，
即m的值为4．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
5．（3分）如图，△OAB绕点O逆时针旋转90°到△OCD的位置，已知∠AOB＝45°，则∠AOD的度数为（ ）
A．55°B．45°C．40°D．35°
【分析】根据旋转的性质得出全等，根据全等三角形性质求出∠DOC＝45°，代入∠AOD＝∠AOC﹣∠DOC求出即可．
【解答】解：∵△OAB绕点O逆时针旋转90°到△OCD的位置，∠AOB＝45°，
∴△OAB≌△OCD，∠COA＝90°，
∴∠DOC＝∠AOB＝45°，
∴∠AOD＝∠AOC﹣∠COD＝90°﹣45°＝45°，
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质的应用，注意：旋转后得出的图形和原图形全等．
6．（3分）随着中考结束，初三某毕业班的每一个同学都向其他同学赠送一张自己的照片留作纪念，全班共送了2256张照片，若该班有x名同学，则根据题意可列出方程为（ ）
A．x（x﹣1）＝2256B．x（x+1）＝2256
C．2x（x﹣1）＝2256D．x（x﹣1）＝2256
【分析】若该班有x名同学，那么每名学生送照片（x﹣1）张，全班应该送照片x（x﹣1），那么根据题意可列得方程．
【解答】解：若该班有x名同学，那么每名学生送照片（x﹣1）张，全班应该送照片x（x﹣1）张，
则可列方程为x（x﹣1）＝2256．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，找到等量关系是列出方程；弄清每名同学送出的照片是（x﹣1）张是解决本题的关键．
7．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为A（2，m），且经过点B（5，0），其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：
①ac＜0；
②a﹣b+c＞0
③4a+b＜0；
④若此抛物线经过点C（1，1），则点（5，1）一定是抛物线y＝ax2+bx+c上的一个点．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．③④D．①
【分析】由抛物线开口和抛物线与y轴交点判断①，由抛物线的对称性及经过点（5，0）可判断②，由抛物线对称轴为直线x＝2可得b＝﹣4a，从而判断③，点C对称点横坐标为（3，1）可判断④．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴ac＜0，①正确；
∵抛物线顶点为A（2，m），
∴抛物线对称轴为直线x＝2，
∵抛物线过点（5，0），
∴由对称性可得抛物线经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，②错误；
∵﹣＝2，
∴b＝﹣4a，
∴4a+b＝0，③错误；
若此抛物线经过点C（1，1），根据对称性，则点（3，1）一定是抛物线y＝ax2+bx+c＝0上的一个点，
∴（5，1）就不可能在抛物线上，故④错误；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
8．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝30°，△ABC绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜120°）得到△AB′C′，B′C′与BC，AC分别交于点D，E．设CD+DE＝x，△AEC′的面积为y，则y与x的函数图象大致（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】可证△ABF≌△AC′E（ASA）、△CDE≌△B′DF（ASA），则B′D+DE＝CD+ED＝x，y＝EC′×△AEC′的EC′边上的高，即可求解．
【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转α，设AB′与BC交于点F，
则∠BAB′＝∠CAC′＝α，∠B＝∠C′＝30°，AB＝AC＝AC′，
∴△ABF≌△AC′E（ASA），
∴BF＝C′E，AE＝AF，
同理△CDE≌△B′DF（ASA），
∴B′D＝CD，
∴B′D+DE＝CD+ED＝x，
AB＝AC＝2，∠B＝30°，则△ABC的高为1，等于△AEC′的高，
BC＝2＝B′C′，
y＝EC′×△AEC′的EC′边上的高＝（2）＝﹣x+，
故选：B．
【点评】本题考查的是动点图象问题，涉及到三角形全等、一次函数、解直角三角形等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分。
9．（3分）点P（2，﹣1）关于原点对称的点P′的坐标是 （﹣2，1） ．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接写出答案．
【解答】解：点P（2，﹣1）关于原点对称的点P′的坐标是（﹣2，1），
故答案为：（﹣2，1）．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
10．（3分）抛物线y＝2（x﹣3）2+4的顶点坐标是 （3，4） ．
【分析】直接根据二次函数的顶点式进行解答即可．
【解答】解：抛物线y＝2（x﹣3）2+4的顶点坐标是（3，4），
故答案为：（3，4）．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．
11．（3分）若关于x的方程x2﹣4x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 k＜5 ．
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣4）2﹣4（k﹣1）＞0，然后解一元一次不等式即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4（k﹣1）＞0，
解得k＜5．
故答案为k＜5．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
12．（3分）二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝mx+n的图象如图所示，则满足ax2+bx+c＞mx+n的x的取值范围是 ﹣3＜x＜0
【分析】根据函数图象写出二次函数图象在一次函数图象上方部分的x的取值范围即可．
【解答】解：由图可知，﹣3＜x＜0时二次函数图象在一次函数图象上方，
所以，满足ax2+bx+c＞mx+n的x的取值范围是﹣3＜x＜0．
故答案为：﹣3＜x＜0
【点评】本题考查了二次函数与不等式，此类题目，数形结合准确识图是解题的关键．
13．（3分）若A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（1，y3）为二次函数y＝x2+4x﹣5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是 y2＜y1＜y3 ．（用“＜”连接）
【分析】分别计算出自变量为﹣4，﹣3和1所对应的函数值，然后比较函数值的大小即可．
【解答】解：∵A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（1，y3）为二次函数y＝x2+4x﹣5的图象上的三点，
y1＝x2+4x﹣5＝16﹣16﹣5＝﹣5；
当x＝﹣3时，y2＝x2+4x﹣1＝9﹣12﹣5＝﹣8；
当x＝1时，y3＝x2+4x﹣1＝1+4﹣5＝0；
∴y2＜y1＜y3，
故答案为：y2＜y1＜y3．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
14．（3分）如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC＝105°，则∠C的度数是 45° ．
【分析】先根据∠AOC的度数和∠BOC的度数，可得∠AOB的度数，再根据△AOD中，AO＝DO，可得∠A的度数，进而得出△ABO中∠B的度数，可得∠C的度数．
【解答】解：∵∠AOC的度数为105°，
由旋转可得∠AOD＝∠BOC＝40°，
∴∠AOB＝105°﹣40°＝65°，
∵△AOD中，AO＝DO，
∴∠A＝（180°﹣40°）＝70°，
∴△ABO中，∠B＝180°﹣70°﹣65°＝45°，
由旋转可得，∠C＝∠B＝45°，
故答案为：45°．
【点评】本题考查旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用旋转的性质解答．
15．（3分）已知二次函数y1＝x2+2x﹣4的图象如图所示，将此函数图象向右平移3个单位得抛物线y2的图象，则阴影部分的面积为 15 ．
【分析】根据题意知阴影部分面积等于平行四边形面积，由平行四边形的面积公式可得到阴影部分的面积．
【解答】解：由题意知，y1＝x2+2x﹣4＝（x+1）2﹣5，则顶点坐标是（﹣1，﹣5）．
所以，阴影部分的面积为：3×5＝15．
故答案是：15．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，图形的面积，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
16．（3分）如图，点A是抛物线y＝x2﹣4x对称轴上的一点，连接OA，以A为旋转中心将AO逆时针旋转90°得到AO′，当O′恰好落在抛物线上时，点A的坐标为 （2，﹣1）或（2，2） ．
【分析】根据抛物线对称轴解析式设点A坐标为（2，m），作AP⊥y轴于点P，作O′Q⊥直线x＝2，证△AOP≌△AO′Q得AP＝AQ＝2、PO＝QO′＝m，则点O′坐标为（2+m，m﹣2），将点O′坐标代入抛物线解析式得到关于m的方程，解之可得m的值，即可得答案．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣4x对称轴为直线x＝﹣＝2，
∴设点A坐标为（2，m），
如图，作AP⊥y轴于点P，作O′Q⊥直线x＝2，
∴∠APO＝∠AQO′＝90°，
∴∠QAO′+∠AO′Q＝90°，
∵∠QAO′+∠OAQ＝90°，
∴∠AO′Q＝∠OAQ，
又∠OAQ＝∠AOP，
∴∠AO′Q＝∠AOP，
在△AOP和△AO′Q中，
∵，
∴△AOP≌△AO′Q（AAS），
∴AP＝AQ＝2，PO＝QO′＝m，
则点O′坐标为（2+m，m﹣2），
代入y＝x2﹣4x得：m﹣2＝（2+m）2﹣4（2+m），
解得：m＝﹣1或m＝2，
∴点A坐标为（2，﹣1）或（2，2），
故答案为：（2，﹣1）或（2，2）．
【点评】本题考查了坐标与图形的变换﹣旋转，全等三角形的判定与性质，函数图形上点的特征，根据全等三角形的判定与性质得出点O′的坐标是解题的关键．
三、解答题：本大题共10个小题，第17-24题每题5分，第25-26题每题6分，共52分。
17．（5分）解方程：2x2﹣5x+2＝0．
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：∵2x2﹣5x+2＝0，
∴（x﹣2）（2x﹣1）＝0，
则x﹣2＝0或2x﹣1＝0，
解得x1＝2，x2＝．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
18．（5分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）把这个二次函数化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）画出这个二次函数的图象，并利用图象写出当x为何值时，y＞0．
【分析】（1）利用配方法将二次函数解析式化为顶点式．
（2）根据二次函数解析式作出图象，令x2﹣2x﹣3＝0求解．
【解答】解：（1）y＝x2﹣2x﹣3＝x2﹣2x+1﹣4＝（x﹣1）2﹣4．
（2）如图，
令x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴抛物线与x轴交点坐标为（﹣1，0），（3，0），
∴x＜﹣1或x＞3时，y＞0．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与不等式的关系．
19．（5分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）．
（1）将△ABC以点O为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1；
（2）将△ABC以点C为旋转中心顺时针旋转90°可以得到△A2B2C，画出△A2B2C并直接写出A1A2的长度．
【分析】（1）按照旋转的性质找出点A、B、C的对应点即可；
（2）根据旋转的性质找出点A、B的对应点，利用勾股定理可求出A1A2的长度．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，
（2）如图所示，△A2B2C即为所求，
由勾股定理得A1A2＝．
【点评】本题主要考查了作图﹣旋转变换，坐标与图形的性质，勾股定理等知识，利用旋转的性质正确画出图形是解题的关键．
20．（5分）如图所示，点D是等边△ABC内一点，DA＝15，DB＝19，DC＝21，将△ABD绕点A逆时针旋转到△ACE的位置，当点E在BD的延长线上时．
求（1）∠BDA的度数；
（2）△DEC的周长．
【分析】（1）先根据等边三角形的性质得∠BAC＝60°，AB＝AC，再根据旋转的性质得到AD＝AE，CE＝BD＝19，∠DAE＝∠BAC＝60°，则可判断△ADE为等边三角形，得出∠ADE＝60°，即可得出答案；
（2）由DE＝AD＝15，CE＝DB＝19，即可计算△DEC的周长．
【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC，
∵△ABD绕点A逆时针旋转到△ACE的位置，点E在BD的延长线上，
∴AD＝AE，CE＝DB＝19，∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴△ADE为等边三角形，
∴∠ADE＝60°，DE＝AD＝15，
∴∠BDA＝120°；
（2）△DEC的周长＝DE+DC+CE＝15+21+19＝55．
【点评】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握旋转的性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键．
21．（5分）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2＝0（m≠0）．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求整数m的值．
【分析】（1）先求出Δ＝[﹣（m+2）]2﹣4m×2＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2，再根据根的判别式得出答案即可；
（2）把方程的左边分解因式，求出方程的解，再根据方程的解是整数和m为整数得出答案即可．
【解答】（1）证明：mx2﹣（m+2）x+2＝0（m≠0），
Δ＝[﹣（m+2）]2﹣4m×2＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2，
∵m≠0，
∴Δ≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：mx2﹣（m+2）x+2＝0（m≠0），
（mx﹣2）（x﹣1）＝0，
解得：x1＝，x2＝1，
∵方程的两个实数根都是整数，m为整数，
∴m＝1或﹣1或2或﹣2．
【点评】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能熟记根的判别式是解此题的关键，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0），当b2﹣4ac＞0时，方程有两边不相等的实数根，当b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根，当b2﹣4ac＜0时，方程无实数根．
22．（5分）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米．
（1）若苗圃园的面积为72平方米，求x的值；
（2）若平行于墙的一边长不小于8米，则该苗圃的最大面积是多少平方米？
【分析】（1）根据题意得方程求解即可；
（2）设苗圃园的面积为y，根据题意得到二次函数解析式y＝x（30﹣2x）＝﹣2x2+30x，根据二次函数的性质以及x的取值范围求解即可．
【解答】解：（1）根据题意得：（30﹣2x）x＝72，
解得：x＝3或x＝12，
∵30﹣2x≤18，
∴x≥6，
∴x＝12；
（2）∵8≤30﹣2x≤18，
∴6≤x≤11，
设苗圃园的面积为y平方米，
∴y＝x（30﹣2x）＝﹣2x2+30x＝﹣2（x﹣）2+，
∵a＝﹣2＜0，6≤x≤11
∴当x＝时，y有最大值，最大值为112.5，
答：该苗圃的最大面积是112.5平方米．
【点评】本题考查了二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的实际应用问题．解题的关键是根据题意列出函数解析式，然后根据二次函数的性质求解即可．
23．（5分）在初中阶段的函数学习中我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数y＝|x2+x|性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
（1）自变量x的取值范围是全体实数，与y的几组对应值列表如下，其中m＝ 1.5 ；
（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中补全函数y＝|x2+x|的图象；
（3）根据函数图象，下列关于该函数性质的说法正确的有 ①②③ （填序号）：
①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴．
②该函数在自变量的取值范围内，没有最大值，但有最小值．
③当x＝﹣2时，函数取得最小值0．
④当x＜﹣2或x＞0时，y随x的增大而减小；当﹣2＜x＜0时，y随x的增大而增大．
（4）在同一坐标系中作出函数y＝x+1的图象，结合你所画的函数图象，直接写出方程|x2+x|＝x+1的解 x1≈﹣0.5，x2≈1.5 .（保留1位小数，误差不超过0.4）．
【分析】（1）分别代入x求出m即可；
（2）描点、连线画出函数图象；
（3）根据图象即可求得；
（4）根据图象即可求得．
【解答】解：（1）当x＝1时，y＝|+1|＝1.5，
∴m＝1.5．
故答案为：1.5．
（2）如图所示：
（3）根据函数图象，下列关于该函数性质的说法正确的②③．
故答案为：②③．
（4）
根据函数图象，方程|x2+x|＝x+1的解为x1≈﹣0.5，x2≈1.5．
故答案为：x1≈﹣0.5，x2≈1.5．
【点评】本题主要考查一次函数的图象和性质，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键．
24．（5分）在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2+px+q的图象过点（﹣1，0），（2，0）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求当﹣2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；
（3）一次函数y＝（2﹣m）x+2﹣m的图象与二次函数y＝x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范围．
【分析】（1）由二次函数的图象经过（﹣1，0）和（2，0）两点，组成方程组再解即可求得二次函数的表达式；
（2）求得抛物线的对称轴，根据图象即可得出当x＝﹣2，函数有最大值4；当x＝时函数有最小值﹣，进而求得它们的差；
（3）由题意得x2﹣x﹣2＝（2﹣m）x+2﹣m，整理得x2+（m﹣3）x+m﹣4＝0，解方程求得x1＝﹣1，x2＝4﹣m，根据题意得到4﹣m＞3，解得m＜1．
【解答】解：（1）由二次函数y＝x2+px+q的图象经过（﹣1，0）和（2，0）两点，
∴，解得，
∴此二次函数的表达式为y＝x2﹣x﹣2；
（2）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝＝，
∴在﹣2≤x≤1范围内，当x＝﹣2，函数有最大值为：y＝4+2﹣2＝4；当x＝时函数有最小值：y＝﹣﹣2＝﹣，
∴y的最大值与最小值的差为：4﹣（﹣）＝；
（3）y＝（2﹣m）x+2﹣m与二次函数y＝x2﹣x﹣2图象交点的横坐标为a和b，
∴x2﹣x﹣2＝（2﹣m）x+2﹣m，整理得x2+（m﹣3）x+m﹣4＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝4﹣m，
∵a＜3＜b，
∴a＝﹣1，b＝4﹣m＞3，
故解得m＜1，即m的取值范围是m＜1．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，数形结合是解题的关键．
25．（6分）如图，∠AOB＝90°，OC为∠AOB的平分线，点P为OC上一个动点，过点P作射线PE交OA于点E．以点P为旋转中心，将射线PE沿逆时针方向旋转90°，交OB于点F．
（1）根据题意补全图1，并证明PE＝PF；
（2）如图1，如果点E在OA边上，用等式表示线段OE，OP和OF之间的数量关系，并证明；
（3）如图2，如果点E在OA边的反向延长线上，直接写出线段OE，OP和OF之间的数量关系．
【分析】（1）根据题意画出图形，证明△EPO≌△FPQ（ASA）即可．
（2）结论：线段OE，OP和OF之间的数量关系是OF+OE＝OP．利用等腰直角三角形以及全等三角形的性质即可解决问题．
（3）结论；线段OE，OP和OF之间的数量关系是OF﹣OE＝OP．证明方法类似．
【解答】解：（1）补全图形（如图1）；
理由：如图1中，作PQ⊥PO交OB于Q
∴∠OPQ＝∠EPF＝90°
∴∠EPO＝∠FPQ，
又∵OC平分∠AOB，∠AOB＝90°，
∴∠EOP＝∠POB＝45°，
又∵∠POQ+∠OQP＝90°，
∴∠PQO＝45°，
∴∠POE＝∠PQF＝∠POQ，
∴PO＝PQ．
∴△EPO≌△FPQ（ASA），
∴PE＝PF，
（2）结论：线段OE，OP和OF之间的数量关系是OF+OE＝OP．
理由：如图1中，∵△EPO≌△FPQ，
∴OE＝FQ．
又∵OQ＝OF+FQ＝OF+OE，
又∵OQ＝OP，
∴OF+OE＝OP．
（3）结论：线段OE，OP和OF之间的数量关系是OF﹣OE＝OP．
理由：如图1中，作PQ⊥PO交OB于Q
∴∠OPQ＝∠EPF＝90°
∴∠EPO＝∠FPQ，
又∵OC平分∠AOB，∠AOB＝90°，
∴∠AOP＝∠POB＝45°，
又∵∠POQ+∠OQP＝90°，
∴∠PQO＝45°，
∴∠POA＝∠PQO＝∠POQ＝45°，
∴PO＝PQ，∠POE＝∠PQF＝135°，
∴△EPO≌△FPQ（ASA），
∴PE＝PF，OE＝FQ．
又∵OQ＝OF﹣FQ＝OF﹣OE，
又∵OQ＝OP，
∴OF﹣OE＝OP．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
26．（6分）定义：对于平面直角坐标系xOy上的点P（a，b）和抛物线y＝x2+ax+b，我们称P（a，b）是抛物线y＝x2+ax+b的相伴点，抛物线y＝x2+ax+b是点P（a，b）的相伴抛物线．
如图，已知点A（﹣2，﹣2），B（4，﹣2），C（1，4）．
（1）点A的相伴抛物线的解析式为 y＝x2﹣2x﹣2 ；过A，B两点的抛物线y＝x2+ax+b的相伴点坐标为 （﹣2，﹣10） ；
（2）设点P（a，b）在直线AC上运动：
①点P（a，b）的相伴抛物线的顶点都在同一条抛物线Ω上，求抛物线Ω的解析式；
②当点P（a，b）的相伴抛物线的顶点落在△ABC内部时，请直接写出a的取值范围．
【分析】（1）a＝b＝﹣2，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣2，故答案为：y＝x2﹣2x﹣2；将点A、B坐标代入y＝x2+ax+b并解得：a＝﹣2，b＝﹣10；
（2）①直线AC的表达式为：y＝2x+2，设点P（m，2m+2），则抛物线的表达式为：y＝x2+mx+2m+2，顶点为：（﹣m，﹣m2+2m+2），即可求解；
②如图所示，Ω抛物线落在△ABC内部为EF段，即可求解．
【解答】解：（1）a＝b＝﹣2，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣2，
故答案为：y＝x2﹣2x﹣2；
将点A、B坐标代入y＝x2+ax+b并解得：a＝﹣2，b＝﹣10，
故答案为：（﹣2，﹣10）；
（2）①由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝2x+2，
设点P（m，2m+2），则抛物线的表达式为：y＝x2+mx+2m+2，
顶点为：（﹣m，﹣m2+2m+2），
令x＝﹣m，则m＝﹣2x，
则y＝﹣m2+2m+2＝﹣x2﹣4x+2，
即抛物线Ω的解析式为：y＝﹣x2﹣4x+2；
②如图所示，Ω抛物线落在△ABC内部为EF段，
抛物线与直线AC的交点为点E（0，2）；
当y＝﹣2时，即y＝﹣x2﹣4x+2＝﹣2，解得：x＝﹣2，
故点F（﹣2，﹣2）；
故0＜x＜﹣2+2，由①知：a＝m＝﹣2x，
故：4﹣4＜a＜0．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、解不等式等，这种新定义类题目，通常按照题设的顺序逐次求解．
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