2022-2023学年北京市朝阳区三里屯一中九年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2022-2023学年北京市朝阳区三里屯一中九年级（上）期中数学试卷【含解析】，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．随着2022年北京冬奥会日渐临近，我国冰雪运动发展进入快车道，取得了长足进步．在此之前，北京冬奥组委曾面向全球征集2022年冬奥会会徽和冬残奥会会徽设计方案，共收到设计方案4506件，以下是部分参选作品，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．将一元二次方程x2﹣8x+10＝0通过配方转化为（x+a）2＝b的形式，下列结果中正确的是（ ）
A．（x﹣4）2＝6B．（x﹣8）2＝6C．（x﹣4）2＝﹣6D．（x﹣8）2＝54
3．抛物线y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（2，1）B．（1，2）C．（﹣2，1）D．（1，﹣2）
4．若将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（ ）
A．y﹣（x+2）2+3B．y＝（x﹣2）2+3C．y＝（x+2）2﹣3D．y＝（x﹣2）2﹣3
5．若关于x的一元二次方程x2+4x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣4B．m＞4C．m≤﹣4D．m＜4
6．已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，则2m2﹣4m+2＝（ ）
A．5B．8C．﹣8D．6
7．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB＝20°，则∠BOD等于（ ）
A．20°B．40°C．50°D．60°
8．函数y＝的图象如图所示，若点P1（x1，y1）是该函数图象上的任意两点，下列结论中错误的是（ ）
A．x1≠0，x2≠0B．y1＞，y2＞
C．若y1＝y2，则|x1|＝|x2|D．若y1＜y2，则x1＜x2
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．已知关于x的方程mx2+x﹣3＝0是一元二次方程，则m的取值范围是 ．
10．在平面直角坐标系中，点A（﹣3，2）原点对称的点的坐标是 ．
11．方程2x2﹣3x＝0的根为 ．
12．若抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴没有交点，请你写出一个符合条件的m值，m＝ ．
13．抛物线y＝+1的顶点坐标是 ，将其绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为 ．
14．如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D、E，量出半径OC＝5cm，弦DE＝8cm．则直尺的宽为 cm．
15．点A（﹣1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝2x2上，则y1，y2的大小关系为：y1 y2（填“＞”，“＝”或“＜”）．
16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，△ABC绕点A按顺时针方向旋转26°得到△AED，若AD∥BC，则∠BAE＝ °．
三、解答题（共68分，17、18题每题6分，19-25题每题5分，26-28题每题7分）
17．用适当的方法解方程．
（1）4（x﹣1）2＝9．
（2）x2﹣6x﹣4＝0．
18．二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
（1）直接写出表格当中的m值： ；
（2）求这个二次函数的表达式；
（3）在如图中画出这个二次函数的图象．
（4）直接写出当﹣4＜x＜0时，y的取值范围是 ．
19．在如图所示的平面直角坐标系中，顺次连接点A（﹣1，4），点B（﹣3，1）与点C（﹣2，1）构成△ABC．
（1）在图中画出△ABC关于点O成中心对称的△A1B1C1；
（2）在图中画出△ABC绕点O顺时针旋转90°的△A2B2C2．
20．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠ACD＝30°，AE＝2cm．求DB长．
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣ax+a﹣1＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的2倍，求a的值．
22．问题：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O内，请仅用无刻度的直尺，作出△ABC中AB边上的高．
小芸解决这个问题时，结合圆以及三角形高线的相关知识，设计了如下作图过程．
作法：如图，
①延长AC交⊙O于点D，延长BC交⊙O于点E；
②分别连接AE，BD并延长相交于点F；
③连接FC并延长交AB于点H．
所以线段CH即为△ABC中AB边上的高．
（1）根据小芸的作法，补全图形；
（2）完成下面的证明．
证明：∵AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，
∴∠ADB＝∠AEB＝ °．（ ）（填推理的依据）
∴AE⊥BE，BD⊥AD．
∴AE， 是△ABC的两条高线．
∵AE，BD所在直线交于点F，
∴直线FC也是△ABC的高所在直线．
∴CH是△ABC中AB边上的高．
23．为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形小花园ABCD，小花园一边靠墙，另三边用总长40m的栅栏围住，如图所示．若设矩形小花园AB边的长为xm，面积为ym2．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当x为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？
24．如图，在正方形ABCD中，点E在边AB上，将点E绕点D逆时针旋转得到点F，若点F恰好落在边BC的延长线上，连接DE，DF，EF．
（1）判断△DEF的形状，并证明；
（2）若EF＝4，则△DEF的面积为 ．
25．如图1是某条公路的一个单向隧道的横断面．经测量，两侧墙AD和与路面AB垂直，隧道内侧宽AB＝4米．为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面AB上取点E，测量点E到墙面AD的距离和到隧道顶面的距离EF．设AE＝x米，EF＝y米．通过取点、测量，工程人员得到了x与y的几组值，如下表：
（1）隧道顶面到路面AB的最大高度为 米；
（2）请你帮助工程人员建立平面直角坐标系，描出上表中各对对应值为坐标的点，在图3中画出可以表示隧道顶面的图象；
（3）今有宽为2.4米，高为3米的货车准备在隧道中间通过（如图2）．根据隧道通行标准，其车厢最高点到隧道顶面的距离应大于0.5米．结合所画图象，请判断该货车是否安全通过： （填写“是”或“否”）．
26．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：y＝ax2﹣2ax+4（a＞0）．
（1）抛物线的对称轴为x＝ ；抛物线与y轴的交点坐标为 ；
（2）若（0，p），（3，q）为抛物线上的两个点，判断p，q的大小关系p q（填写“＜”，“＞”，“＝”）；
（3）若A（m﹣1，y1），B（m，y2），C（m+2，y3）为抛物线上三点，且总有y1＞y3＞y2，结合图象，求m的取值范围．
27．如图，在等腰Rt△ABC中，将线段AC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段AD，连接CD，作∠BAD的平分线AE，交BC于E．
（1）
①根据题意，补全图形；
②请用等式写出∠BAD与∠BCD的数量关系．
（2）分别延长CD和AE交于点F．
①直接写出∠AFC的度数；
②用等式表示线段AF，CF，DF的数量关系，并证明．
28．在平面直角坐标系xOy中，对于第一象限的P，Q两点，给出如下定义：若y轴正半轴上存在点P'，x轴正半轴上存在点Q'，使PP'＝QQ'，且∠1＝∠2＝α（如图1），则称点P与点Q为α﹣关联点．
（1）在点Q1（3，1），Q2（5，2）中，与（1，3）为45°关联点的是 ；
（2）如图2，M（6，4），N（8，4），P（m，8）（m＞1）．若线段MN上存在点Q，使点P与点Q为45°﹣关联点，结合图象，求m的取值范围；
（3）已知点A（1，8）B（n，6）（n＞1）﹒若线段AB上至少存在一对30°﹣关联点，直接写出n的取值范围．
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…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
﹣3
﹣4
﹣3
m
5
…
x（米）
0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
y（米）
3.00
3.44
3.76
3.94
3.99
3.92
3.78
3.42
3.00