2022-2023学年北京市东城区东直门中学八年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2022-2023学年北京市东城区东直门中学八年级（上）期中数学试卷【含解析】，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）若分式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x＝3B．x＝0C．x≠3D．x≠0
2．（2分）下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）
A．a2•a4＝a（x+y）＝ax+ay
B．x2﹣4x+4＝x（x﹣4）+4
C．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）
D．x2﹣16+3x＝（x+4）（x﹣4）+3x
3．（2分）下列变形正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2分）如图，△ABC≌△DEC，∠ACD＝28°，则∠BCE的度数是（ ）
A．28°B．56°C．62°D．24°
5．（2分）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B之间的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上两点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使点E与A，C在同一条直线上，这时，可得△ABC≌△EDC，这时测得DE的长就是AB的长．判定△ABC≌△EDC最直接的依据是（ ）
A．HLB．SASC．ASAD．SSS
6．（2分）已知一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形的边数是（ ）
A．8B．7C．6D．5
7．（2分）下列各分式中，最简分式是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），B（a，0），C（m，n）（n＞0）．若△ABC是等腰直角三角形，且AB＝BC，当0＜a＜1时，点C的横坐标m的取值范围是（ ）
A．0＜m＜2B．2＜m＜3C．m＜3D．m＞3
二、填空题（每小题2分，共16分）
9．（2分）若分式的值为0，则x的值为 ．
10．（2分）若等腰三角形的一个角为70°，则其顶角的度数为 ．
11．（2分）已知三条线段的长分别是4，4，m，若它们能构成三角形，则整数m的最大值是 ．
12．（2分）若xy＝2，x+y＝3，则（x+1）（y+1）＝ ．
13．（2分）如图，将长方形ABCD沿对角线BD折叠，使点C恰好落在点C′的位置，若∠DBC＝20°，则∠ADC′＝ ．
14．（2分）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，点P在边AB上，CP平分∠ACB，PB＝3cm，AC＝10cm，则△APC的面积是 cm2．
15．（2分）若x2+2mx+16是一个完全平方式，那么m应为 ．
16．（2分）如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要C类卡片 张．
三、解答题（共68分）
17．（5分）计算：a3•a+（﹣a2）3÷a2．
18．（5分）计算：[（x+4y）（x﹣4y）﹣x2]÷4y．
19．（4分）计算：．
20．（5分）计算：÷•．
21．（8分）因式分解：
（1）2x3y﹣2xy3；
（2）﹣a3+2a2﹣a．
22．（5分）已知x2﹣x+1＝0，求代数式（x+1）2﹣（x+1）（2x﹣1）的值．
23．（5分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC边上一点，连接BD，EC⊥AC，且AE＝BD，AE与BC交于点F．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当AD＝CF时，求证：BD平分∠ABC．
24．（4分）如图所示，在一次军事演习中，红方侦察员发现：蓝方指挥部点P在A区内，且到铁路FG、公路CE和CD的距离相等．如果你是红方的指挥员，请你在图中准确地作出蓝方指挥部点P的位置．（保留作图痕迹，不必写作法）
25．（6分）∠B＝∠C＝90°，EB＝EC，DE平分∠ADC，求证：AE是∠DAB平分线．
26．（6分）阅读下列材料：
利用完全平方公式，可以把多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式．
例如，x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣4+3＝（x﹣2）2﹣1．
观察上式可以发现，当x﹣2取任意一对互为相反数的值时，多项式x2﹣4x+3的值是相等的．例如，当x﹣2＝±1，即x＝3或1时，x2﹣4x+3的值均为0；当x﹣2＝±2，即x＝4或0时，x2﹣4x+3的值均为3．
我们给出如下定义：
对于关于x的多项式，若当x+m取任意一对互为相反数的值时，该多项式的值相等，则称该多项式关于x＝﹣m对称，称x＝﹣m是它的对称轴．例如，x2﹣4x+3关于x＝2对称，x＝2是它的对称轴．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）将多项式x2﹣6x+5变形为（x+m）2+n的形式，并求出它的对称轴；
（2）若关于x的多项式x2+2ax﹣1关于x＝﹣5对称，求a；
（3）求代数式（x2+2x+1）（x2﹣8x+16）的对称轴．
2022-2023学年北京市东城区东直门中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题2分，共16分）
1．（2分）若分式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x＝3B．x＝0C．x≠3D．x≠0
【分析】根据分母为零分式无意义，可得答案．
【解答】解：由题意，得
x﹣3≠0，
解得x≠3，
故选：C．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．
2．（2分）下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）
A．a2•a4＝a（x+y）＝ax+ay
B．x2﹣4x+4＝x（x﹣4）+4
C．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）
D．x2﹣16+3x＝（x+4）（x﹣4）+3x
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．从左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．从左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D．从左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
3．（2分）下列变形正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【解答】解：A、≠，故A不符合题意．
B、＝，故B符合题意．
C、≠，故C不符合题意．
D、≠，故D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
4．（2分）如图，△ABC≌△DEC，∠ACD＝28°，则∠BCE的度数是（ ）
A．28°B．56°C．62°D．24°
【分析】根据全等三角形对应角相等可得∠ACB＝∠DCE，再根据等式的性质两边同时减去∠ACE可得结论．
【解答】证明：∵△ABC≌△DEC，
∴∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACB﹣∠ACE＝∠DCE﹣∠ACE，
即∠ACD＝∠BCE＝28°．
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等．
5．（2分）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B之间的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上两点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使点E与A，C在同一条直线上，这时，可得△ABC≌△EDC，这时测得DE的长就是AB的长．判定△ABC≌△EDC最直接的依据是（ ）
A．HLB．SASC．ASAD．SSS
【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法．
【解答】解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：BC＝CD，∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD（对顶角相等），
所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．
故选：C．
【点评】此题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做题时注意选择．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
6．（2分）已知一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形的边数是（ ）
A．8B．7C．6D．5
【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，列方程可求解．
【解答】解：设所求多边形边数为n，
则（n﹣2）•180°＝1080°，
解得n＝8．
故选：A．
【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
7．（2分）下列各分式中，最简分式是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据最简分式的定义（分式的分子和分母除1以外没有其它的公因式，叫最简分式）逐个判断即可．
【解答】解：A.＝，含有公因式2，不是最简分式，故本选项不符合题意；
B.＝＝﹣（x+y）＝﹣x﹣y，故本选项不符合题意；
C．分式的分子和分母（除1外）没有其它的公因式，是最简分式，故本选项符合题意；
D.＝＝，不是最简分式，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了最简分式的定义，能熟记最简分式的定义是解此题的关键．
8．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），B（a，0），C（m，n）（n＞0）．若△ABC是等腰直角三角形，且AB＝BC，当0＜a＜1时，点C的横坐标m的取值范围是（ ）
A．0＜m＜2B．2＜m＜3C．m＜3D．m＞3
【分析】过点C作CD⊥x轴于D，由“AAS”可证△AOB≌△BDC，可得AO＝BD＝2，BO＝CD＝n＝a，即可求解．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥x轴于D，
∵点A（0，2），
∴AO＝2，
∵△ABC是等腰直角三角形，且AB＝BC，
∴∠ABC＝90°＝∠AOB＝∠BDC，
∴∠ABO+∠CBD＝90°＝∠ABO+∠BAO，
∴∠BAO＝∠CBD，
在△AOB和△BDC中，
，
∴△AOB≌△BDC（AAS），
∴AO＝BD＝2，BO＝CD＝n＝a，
∴0＜a＜1，
∵OD＝OB+BD＝2+a＝m，
∴2＜m＜3，
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
二、填空题（每小题2分，共16分）
9．（2分）若分式的值为0，则x的值为 4 ．
【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算即可．
【解答】解：由题意得：x﹣4＝0且2x+1≠0，
解得：x＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查的是分式的值为零的条件，掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．
10．（2分）若等腰三角形的一个角为70°，则其顶角的度数为 70°或40° ．
【分析】等腰三角形一个角为70°，没说明是顶角还是底角，所以有两种情况．
【解答】解：（1）当70°角为顶角，顶角度数即为70°；
（2）当70°为底角时，顶角＝180°﹣2×70°＝40°．
故答案为：70°或40°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，属于基础题，若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
11．（2分）已知三条线段的长分别是4，4，m，若它们能构成三角形，则整数m的最大值是 7 ．
【分析】根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，进而解答即可．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得
4﹣4＜m＜4+4，即0＜m＜8．
则符合条件的整数m的值有：1，2，3，4，5，6，7，
所以整数m的最大值是7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了三角形的三边关系．三角形的三边关系：第三边大于两边之差而小于两边之和．
12．（2分）若xy＝2，x+y＝3，则（x+1）（y+1）＝ 6 ．
【分析】根据多项式乘多项式的乘法法则解决此题．
【解答】解：∵xy＝2，x+y＝3，
∴（x+1）（y+1）
＝xy+x+y+1
＝xy+（x+y）+1
＝2+3+1
＝6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式乘法法则是解决本题关键．
13．（2分）如图，将长方形ABCD沿对角线BD折叠，使点C恰好落在点C′的位置，若∠DBC＝20°，则∠ADC′＝ 50° ．
【分析】由折叠的性质可得：∠DBC′＝∠DBC＝20°，又由四边形ABCD是长方形，即可求得∠ABC′的度数，再根据三角形内角和定理可得∠ADC1．
【解答】解：根据折叠的性质可得：∠DBC′＝∠DBC＝20°，
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABC′＝∠ABC﹣∠DBC′﹣∠DBC＝90°﹣20°﹣20°＝50°，
∵∠ABE+∠AEB+∠A＝∠C′DE+∠C′ED+∠C′，∠A＝∠C′，∠AEB＝∠C′ED，
∴∠ADC′＝50°．
故答案为：50°．
【点评】此题考查了折叠的性质与矩形的性质．此题比较简单，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．
14．（2分）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，点P在边AB上，CP平分∠ACB，PB＝3cm，AC＝10cm，则△APC的面积是 15 cm2．
【分析】过P作PD⊥AC于D，根据角平分线的性质得到PD＝PB＝3cm，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：过P作PD⊥AC于D，
∵CP平分∠ACB，∠B＝90°，
∴PD＝PB＝3cm，
∵AC＝10cm，
∴△APC的面积＝AC•PD＝×3×10＝15（cm2），
故答案为：15．
【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．
15．（2分）若x2+2mx+16是一个完全平方式，那么m应为 ±4 ．
【分析】这个完全平方式的两平方项是x和4的平方，则另一项为加上或减去x和4的乘积的2倍，故2m＝±8，解得m的值即可．
【解答】解：∵x2+2mx+16是一个完全平方式，
∴2m＝±2×1×4，
解得m＝±4．
故答案为：±4．
【点评】本题考查了完全平方式的应用，解题关键是熟记完全平方公式的结构特征：两数的平方和，加上或减去它们乘积的2倍．
16．（2分）如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要C类卡片 3 张．
【分析】拼成的大长方形的面积是（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2，即需要一个边长为a的正方形，2个边长为b的正方形和3个C类卡片的面积是3ab．
【解答】解：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
则需要C类卡片3张．
故答案为：3．
【点评】本题考查了多项式乘多项式的运算，需要熟练掌握运算法则并灵活运用，利用各个面积之和等于总的面积也比较关键．
三、解答题（共68分）
17．（5分）计算：a3•a+（﹣a2）3÷a2．
【分析】根据同底数幂的乘法和除法的运算法则，幂的乘方的运算法则解答即可．
【解答】解：原式＝a4+（﹣a6）÷a2
＝a4﹣a6÷a2
＝a4﹣a4
＝0．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法和除法的运算法则，幂的乘方的运算法则，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
18．（5分）计算：[（x+4y）（x﹣4y）﹣x2]÷4y．
【分析】直接利用平方差公式计算，再合并同类项，进而利用整式的除法运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝（x2﹣16y2﹣x2）÷4y
＝﹣16y2÷4y
＝﹣4y．
【点评】此题主要考查了整式的除法运算、平方差公式，正确运用相关运算法则是解题关键．
19．（4分）计算：．
【分析】利用分式的乘法的法则进行运算即可．
【解答】解：＝．
【点评】本题主要考查分式的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
20．（5分）计算：÷•．
【分析】根据平方差公式、提公因式法把分式的分子、分母因式分解，再根据分式的乘除法法则计算即可．
【解答】解：原式＝•2（x﹣y）•
＝2．
【点评】本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的乘除法法则是解题的关键．
21．（8分）因式分解：
（1）2x3y﹣2xy3；
（2）﹣a3+2a2﹣a．
【分析】（1）先提公因式，再用公式法进行因式分解即可；
（2）先提公因式，再用公式法进行因式分解即可．
【解答】解：（1）2x3y﹣2xy3＝2xy（x2﹣y2）＝2xy（x﹣y）（x+y）；
（2）﹣a3+2a2﹣a＝﹣a（a2﹣2a+1）＝﹣a（a﹣1）2．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
22．（5分）已知x2﹣x+1＝0，求代数式（x+1）2﹣（x+1）（2x﹣1）的值．
【分析】根据多项式乘多项式进行化简，然后整体代入即可求值．
【解答】解：原式＝x2+2x+1﹣2x2+x﹣2x+1
＝﹣x2+x+2，
当x2﹣x+1＝0，即﹣x2+x＝1时，原式＝1+2＝3．
【点评】本题考查了多项式乘多项式，解决本题的关键是掌握多项式乘多项式．
23．（5分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC边上一点，连接BD，EC⊥AC，且AE＝BD，AE与BC交于点F．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当AD＝CF时，求证：BD平分∠ABC．
【分析】（1）根据HL证明Rt△CAE与Rt△ABD全等，进而解答即可；
（2）根据全等三角形的性质和角之间的关系解答即可．
【解答】证明：（1）∵EC⊥AC，∠BAC＝90°，
∴∠ACE＝∠BAC＝90°，
在Rt△CAE与Rt△ABD中，
，
∴Rt△CAE≌Rt△ABD（HL），
∴CE＝AD．
（2）由（1）得Rt△CAE≌Rt△ABD，
∴∠EAC＝∠ABD，∠E＝∠ADB．
由（1）得CE＝AD，
∵AD＝CF，
∴CE＝CF．
∴∠CFE＝∠E，
∵∠CFE＝∠AFB，
∴∠AFB＝∠E．
∵∠E＝∠ADB，
∴∠AFB＝∠ADB，
∵∠AGB＝∠EAC+∠ADB，∠AGB＝∠DBC+∠AFB，
∴∠EAC＝∠DBC．
∵∠EAC＝∠DBA，
∴∠DBA＝∠DBC，
∴BD平分∠ABC．
【点评】此题考查全等三角形问题，关键是根据HL证明三角形全等，再利用全等三角形的性质解答．
24．（4分）如图所示，在一次军事演习中，红方侦察员发现：蓝方指挥部点P在A区内，且到铁路FG、公路CE和CD的距离相等．如果你是红方的指挥员，请你在图中准确地作出蓝方指挥部点P的位置．（保留作图痕迹，不必写作法）
【分析】作∠DCB的角平分线CM，作∠CBF的角平分线BN，射线CM交射线BN于点P，点P即为所求．
【解答】解：如图，点P即为所求．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
25．（6分）∠B＝∠C＝90°，EB＝EC，DE平分∠ADC，求证：AE是∠DAB平分线．
【分析】过点E作EF⊥AD于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得EC＝EF，从而求出EF＝BE，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明．
【解答】证明：如图，过点E作EF⊥AD于F，
∵DE平分∠ADC，∠C＝90°，
∴EC＝EF，
∵EB＝EC，
∴EF＝BE，
又∵∠B＝90°，
∴EB⊥AB，
∵EF⊥AD，
∴AE是∠DAB平分线．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质和到角的两边距离相等的点在角的平分线上，熟记两个性质并作出辅助线是解题的关键．
26．（6分）阅读下列材料：
利用完全平方公式，可以把多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式．
例如，x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣4+3＝（x﹣2）2﹣1．
观察上式可以发现，当x﹣2取任意一对互为相反数的值时，多项式x2﹣4x+3的值是相等的．例如，当x﹣2＝±1，即x＝3或1时，x2﹣4x+3的值均为0；当x﹣2＝±2，即x＝4或0时，x2﹣4x+3的值均为3．
我们给出如下定义：
对于关于x的多项式，若当x+m取任意一对互为相反数的值时，该多项式的值相等，则称该多项式关于x＝﹣m对称，称x＝﹣m是它的对称轴．例如，x2﹣4x+3关于x＝2对称，x＝2是它的对称轴．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）将多项式x2﹣6x+5变形为（x+m）2+n的形式，并求出它的对称轴；
（2）若关于x的多项式x2+2ax﹣1关于x＝﹣5对称，求a；
（3）求代数式（x2+2x+1）（x2﹣8x+16）的对称轴．
【分析】（1）利用配方法进行变形计算，即可解答；
（2）利用配方法将x2+2ax﹣1变形为：（x+a）2﹣1﹣a2，然后进行计算即可解答；
（3）先把原式变形为（x+1）2（x﹣4）2，然后再利用配方法把（x+1）（x﹣4）变形为（x+m）2+n的形式，即可解答．
【解答】解：（1）x2﹣6x+5
＝x2﹣6x+9﹣9+5
＝（x﹣3）2﹣4，
∴该多项式的对称轴为：x＝3；
（2）x2+2ax﹣1
＝x2+2ax+a2﹣a2﹣1
＝（x+a）2﹣a2﹣1，
∴该多项式的对称轴为：x＝﹣a，
∵关于x的多项式x2+2ax﹣1关于x＝﹣5对称，
∴a＝5；
（3）（x2+2x+1）（x2﹣8x+16）
＝（x+1）2（x﹣4）2
＝[（x+1）（x﹣4）]2
＝（x2﹣3x﹣4）2
＝（x2﹣3x+﹣4）2
＝[（x﹣）2﹣]2
∴对称轴为：x＝．
【点评】本题考查了配方法的应用，轴对称的性质，熟练掌握配方法是解题的关键．
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