2022-2023学年北京市丰台区首都经济贸易附中九年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2022-2023学年北京市丰台区首都经济贸易附中九年级（上）期中数学试卷【含解析】，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列图形是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列事件中必然发生的事件是（ ）
A．一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等
B．不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式
C．200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品
D．随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数
3．抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，2）B．（1，2）C．（2，﹣1）D．（2，1）
4．把抛物线y＝向下平移2个单位，得到抛物线解析式为（ ）
A．B．
C． D．
5．用配方法解方程x2﹣4x+1＝0，变形正确的是（ ）
A．（x+2）2＝5B．（x﹣2）2＝5C．（x+2）2＝3D．（x﹣2）2＝3
6．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
7．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么这条圆弧所在的圆的圆心为图中的（ ）
A．MB．PC．QD．R
8．市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至162元，设这种药品平均每次降价的百分率为x，则可列方程（ ）
A．200（1﹣x）2＝162B．162（1﹣x）2＝200
C．200（1+x）2＝162D．162（1+x）2＝200
二、填空题
9．小强同学从﹣1，0，1，2，3，4这六个数中任选一个数，满足不等式x+1＜2的概率是 ．
10．若点P（m，5）与Q（2，n）点关于原点成中心对称，则m+n的值为 ．
11．请写出一个开口向下，且与y轴的交点坐标为（0，﹣3）的抛物线的解析式 ．
12．抛物线y＝x2﹣5x+2与y轴的交点坐标是 ．
13．若x＝2是一元二次方程x2+ax﹣6＝0的一个根，则a＝ ．
14．如图，在⊙O中，弦AB＝8，圆心O到AB的距离3，则⊙O的半径长为 ．
15．已知射线OM．以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，如图所示，则∠AOB＝ 度
16．如图1，在△ABC中，AB＞AC，D是边BC上一动点，设B，D两点之间的距离为x，A，D两点之间的距离为y，表示y与x的函数关系的图象如图2所示．则线段AC的长为 ，线段AB的长为 ．
三、解答题
17．计算：．
18．解方程：
（1）；
（2）x2﹣x＝0；
（3）x2+2x﹣1＝0；
（4）2x2﹣x﹣3＝0；
（5）x2﹣x﹣1＝0．
19．已知二次函数y＝x2+2x﹣3．
（1）画出函数图象．
（2）求抛物线的顶点坐标．
（3）求图象与x轴的交点坐标．
（4）求顶点及图象与x轴两交点围成的三角形面积．
（5）当y＞0时，求x的取值范围．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+5）x+6+2k＝0．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）若此方程恰有一个根小于﹣1，求k的取值范围．
21．如图1是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼•考工记》记载：“…故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸…”据此，我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型，请将以下推理过程补充完整．
如图2所示，在车轮上取A、B两点，设所在圆的圆心为O，半径为rcm．
作弦AB的垂线OC，D为垂足，则D是AB的中点．其推理依据是： ．
经测量：AB＝90cm，CD＝15cm，则AD＝ cm；
用含r的代数式表示OD，OD＝ cm．
在Rt△OAD中，由勾股定理可列出关于r的方程：
r2＝ ，
解得r＝75．
通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．
22．如图，点O、B坐标分别为（0，0）、（3，0），将△OAB绕O点按逆时针方向旋转90°到△OA'B'．
（1）画出平面直角坐标系和△OA'B′；
（2）直接写出点A'的坐标；
23．如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．求每条道路的宽．
24．为了解我国2022年第一季度25个地区快递业务收入的情况，收集了这25个地区第一季度快递业务收入（单位：亿元）的数据，并对数据进行了整理、描述和分析，给出如下信息．
a．排在前5位的地区第一季度快递业务收入的数据分别为：
534.9，437.0，270.3，187.7，104.0
b．其余20个地区第一季度快递业务收入的数据的频数分布表如下：
c．第一季度快递业务收入的数据在20≤x＜40这一组的是：
20.2，20.4，22.4，24.2，26.5，26.5，28.5，34.4，39.1，39.8
d．排在前5位的地区、其余20个地区、全部25个地区第一季度快递业务收入的数据的平均数、中位数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中m的值为 ；
（2）在下面的3个数中，与表中n的值最接近的是 （填写序号）．
①75
②80
③85
（3）根据（2）中的数据，预计这25个地区2022年全年快递业务收入约为 亿元．
25．在正方形ABCD中，M是BC边上一点，且点M不与B、C重合，点P在射线AM上，将线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，连接BP，DQ．
（1）依题意补全图1；
（2）①连接DP，若点P，Q，D恰好在同一条直线上，求证：DP2+DQ2＝2AB2；
②若点P，Q，C恰好在同一条直线上，则BP与AB的数量关系为： ．
2022-2023学年北京市丰台区首都经济贸易附中九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题
1．下列图形是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．下列事件中必然发生的事件是（ ）
A．一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等
B．不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式
C．200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品
D．随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数
【分析】直接利用随机事件、必然事件、不可能事件分别分析得出答案．
【解答】解：A、一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等，是不可能事件，故此选项错误；
B、不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式，是随机事件，故此选项错误；
C、200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品，是必然事件，故此选项正确；
D、随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数，是随机事件，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件，正确把握相关定义是解题关键．
3．抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，2）B．（1，2）C．（2，﹣1）D．（2，1）
【分析】直接根据二次函数的顶点式可得出结论．
【解答】解：∵抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2+2，
∴其顶点坐标为（1，2）．
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．
4．把抛物线y＝向下平移2个单位，得到抛物线解析式为（ ）
A．B．
C． D．
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线y＝x2向下平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是 y＝x2﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
5．用配方法解方程x2﹣4x+1＝0，变形正确的是（ ）
A．（x+2）2＝5B．（x﹣2）2＝5C．（x+2）2＝3D．（x﹣2）2＝3
【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．
【解答】解：x2﹣4x+1＝0，
x2﹣4x＝﹣1，
x2﹣4x+4＝﹣1+4，
（x﹣2）2＝3，
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键．
6．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【分析】根据旋转的性质可得出AB＝AD、∠BAD＝100°，再根据等腰三角形的性质可求出∠B的度数，此题得解．
【解答】解：根据旋转的性质，可得：AB＝AD，∠BAD＝100°，
∴∠B＝∠ADB＝×（180°﹣100°）＝40°．
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，根据旋转的性质结合等腰三角形的性质求出∠B的度数是解题的关键．
7．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么这条圆弧所在的圆的圆心为图中的（ ）
A．MB．PC．QD．R
【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，分别作AB，BC的垂直平分线即可得到答案．
【解答】解：作AB的垂直平分线，作BC的垂直平分线，如图，
它们都经过Q所以点Q为这条圆弧所在圆的圆心．
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．这也常用来确定圆心的方法．
8．市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至162元，设这种药品平均每次降价的百分率为x，则可列方程（ ）
A．200（1﹣x）2＝162B．162（1﹣x）2＝200
C．200（1+x）2＝162D．162（1+x）2＝200
【分析】利用经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣平均每次降价的百分率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得200（1﹣x）2＝162，
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
二、填空题
9．小强同学从﹣1，0，1，2，3，4这六个数中任选一个数，满足不等式x+1＜2的概率是 ．
【分析】找到满足不等式x+1＜2的结果数，再根据概率公式计算可得．
【解答】解：在﹣1，0，1，2，3，4这六个数中，满足不等式x+1＜2的有﹣1、0这两个，
所以满足不等式x+1＜2的概率是＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查概率公式，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
10．若点P（m，5）与Q（2，n）点关于原点成中心对称，则m+n的值为 ﹣7 ．
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y），进而得出答案．
【解答】解：∵点P（m，5）与Q（2，n）点关于原点成中心对称，
∴m＝﹣2，n＝﹣5，
则m+n的值为：﹣2﹣5＝﹣7．
故答案为：﹣7．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．
11．请写出一个开口向下，且与y轴的交点坐标为（0，﹣3）的抛物线的解析式 y＝﹣x2﹣3（答案不唯一） ．
【分析】设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），根据二次函数图象的开口方向及与y轴的交点坐标，可得出a＜0，c＝﹣3，取a＝﹣1，b＝0即可得出结论（答案不唯一）．
【解答】解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0）．
∵二次函数的图象开口向下，与y轴的交点坐标为（0，﹣3），
∴a＜0，c＝﹣3，
∴二次函数的解析式可以为y＝﹣x2﹣3．
故答案为：y＝﹣x2﹣3（答案不唯一）．
【点评】本题考查了二次函数的性质，牢记二次函数a＜0时开口向下，c为图象与y轴交点的纵坐标解题的关键．
12．抛物线y＝x2﹣5x+2与y轴的交点坐标是 （0，2） ．
【分析】由于y轴上的点的横坐标为0，所以把x＝0代入解析式中即可求解．
【解答】解：当x＝0时，y＝x2﹣5x+2＝0+0+2＝2，
∴抛物线y＝x2﹣5x+2与y轴交点坐标为（0，2）．
故答案为：（0，2）．
【点评】此题主要考查了二次函数图象上的点的坐标特点，此题主要利用了y轴上横坐标为0解决问题．
13．若x＝2是一元二次方程x2+ax﹣6＝0的一个根，则a＝ 1 ．
【分析】把x＝2代入方程x2+ax﹣6＝0得4+2a﹣6＝0，然后解关于a的方程即可．
【解答】解：把x＝2代入方程，可得：
4+2a﹣6＝0，
解得：a＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
14．如图，在⊙O中，弦AB＝8，圆心O到AB的距离3，则⊙O的半径长为 5 ．
【分析】根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OA即可．
【解答】解：∵弦AB＝8，圆心O到AB的距离OC＝3，
∴AC＝BC＝4，∠OCA＝90°，
由勾股定理得：AO＝＝＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理，能根据垂径定理求出AC的长是解此题的关键．
15．已知射线OM．以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，如图所示，则∠AOB＝ 60 度
【分析】首先连接AB，由题意易证得△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质，可求得∠AOB的度数．
【解答】解：连接AB，
根据题意得：OB＝OA＝AB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°．
故答案为：60．
【点评】此题考查了等边三角形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是能根据题意得到OB＝OA＝AB．
16．如图1，在△ABC中，AB＞AC，D是边BC上一动点，设B，D两点之间的距离为x，A，D两点之间的距离为y，表示y与x的函数关系的图象如图2所示．则线段AC的长为 ，线段AB的长为 2 ．
【分析】从图象看，当x＝1时，y＝，即BD＝1时，AD＝，当x＝7时，y＝，即BD＝7时，C、D重合，此时y＝AD＝AC＝，则CD＝6，即当BD＝1时，△ADC为以点A为顶点腰长为的等腰三角形，进而求解．
【解答】解：从图象看，当x＝1时，y＝，即BD＝1时，AD＝，
当x＝7时，y＝，即BD＝7时，C、D重合，此时y＝AD＝AC＝，则CD＝6，
即当BD＝1时，△ADC为以点A为顶点腰长为的等腰三角形，如下图：
过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△ACH中，AC＝，CH＝DH＝CD＝3，则AH＝＝＝2，
在Rt△ABH中，AB＝＝＝2，
故答案为：，2．
【点评】本题考查的是动点问题的函数图象，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
三、解答题
17．计算：．
【分析】首先计算乘方、开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：
＝9+﹣l﹣1﹣3
＝7﹣2
【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．正确化简各数是解题关键．
18．解方程：
（1）；
（2）x2﹣x＝0；
（3）x2+2x﹣1＝0；
（4）2x2﹣x﹣3＝0；
（5）x2﹣x﹣1＝0．
【分析】（1）根据直接开方法即可求出答案．
（2）根据提取公因式法即可求出答案．
（3）根据配方法即可求出答案．
（4）根据十字相乘法即可求出答案；
（5）根据配方法即可求出答案．
【解答】解：（1）﹣2＝0，
x2＝4，
x＝±2，
x1＝2，x2＝﹣2．
（2）x2﹣x＝0，
x（x﹣1）＝0，
x＝0或x﹣1＝0，
x1＝0，x2＝1．
（3）x2+2x﹣1＝0，
x2+2x+1＝2，
（x+1）2＝2，
x+1＝±，
x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．
（4）2x2﹣x﹣3＝0，
（x+1）（2x﹣3）＝0，
x+1＝0或2x﹣3＝0，
x1＝﹣1，x2＝．
（5）x2﹣x﹣1＝0，
x2﹣x＝1，
x2﹣x+＝1+，
（x﹣）2＝，
x﹣＝±，
x1＝+，x2＝﹣．
【点评】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用配方法、直接开方法、因式分解法，本题属于基础题型．
19．已知二次函数y＝x2+2x﹣3．
（1）画出函数图象．
（2）求抛物线的顶点坐标．
（3）求图象与x轴的交点坐标．
（4）求顶点及图象与x轴两交点围成的三角形面积．
（5）当y＞0时，求x的取值范围．
【分析】（1）根据二次函数解析式作出图象．
（2）将二次函数化为顶点式求解．
（3）将y＝0代入解析式求解．
（4）设抛物线与x轴交点为A，B，抛物线顶点为C，由S△ABC＝•（﹣yC）求解．
（5）根据图象求解．
【解答】解：（1）如图，
（2）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣4）．
（3）将y＝0代入y＝x2+2x﹣3得x2+2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝1，
∴抛物线与x轴交点坐标为（﹣3，0），（1，0）．
（4）如图，设抛物线与x轴交点为A，B，抛物线顶点为C，
∴S△ABC＝•（﹣yC）＝＝8．
（5）由图象可得x＜﹣3或x＞1时，y＞0．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+5）x+6+2k＝0．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）若此方程恰有一个根小于﹣1，求k的取值范围．
【分析】（1）计算根的判别式得到Δ＝（k+1）2≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论；
（2）解方程得到x1＝2，x2＝k+3，则k+3＜﹣1，然后解不等式即可．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（k+5）2﹣4（6+2k）
＝k2+2k+1
＝（k+1）2≥0，
∴此方程总有两个实数根；
（2）∵x＝，
∴x1＝2，x2＝k+3，
∵此方程恰有一个根小于﹣1，
∴k+3＜﹣1，
解得k＜﹣4，
即k的取值范围为k＜﹣4．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
21．如图1是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼•考工记》记载：“…故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸…”据此，我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型，请将以下推理过程补充完整．
如图2所示，在车轮上取A、B两点，设所在圆的圆心为O，半径为rcm．
作弦AB的垂线OC，D为垂足，则D是AB的中点．其推理依据是： 垂直弦的直径平分弦 ．
经测量：AB＝90cm，CD＝15cm，则AD＝ 45 cm；
用含r的代数式表示OD，OD＝ （r﹣15） cm．
在Rt△OAD中，由勾股定理可列出关于r的方程：
r2＝ 452+（r﹣15）2 ，
解得r＝75．
通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．
【分析】根据垂径定理，利用勾股定理构建方程求解即可．
【解答】解：如图2所示，在车轮上取A、B两点，设所在圆的圆心为O，半径为rcm．
作弦AB的垂线OC，D为垂足，则D是AB的中点．其推理依据是：垂直弦的直径平分弦．
经测量：AB＝90cm，CD＝15cm，则AD＝45cm；
用含r的代数式表示OD，OD＝（r﹣15）cm．
在Rt△OAD中，由勾股定理可列出关于r的方程：
r2＝452+（r﹣15）2，
解得r＝75．
通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．
故答案为：垂直弦的直径平分弦，45，（r﹣15），452+（r﹣15）2．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
22．如图，点O、B坐标分别为（0，0）、（3，0），将△OAB绕O点按逆时针方向旋转90°到△OA'B'．
（1）画出平面直角坐标系和△OA'B′；
（2）直接写出点A'的坐标；
【分析】（1）根据已知条件即可建立平面直角坐标系，然后分别作出A，B，的对应点A′，B′即可；
（2）根据点A′的位置写出坐标即可．
【解答】解：（1）如图，平面直角坐标系和△OA'B'即为所求．
（2）A′（﹣2，4）．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23．如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．求每条道路的宽．
【分析】将六小块草坪合在一起可得出一个长方形，设道路的宽为xm，则草坪的长为（32﹣2x）m，宽为（20﹣x）m，根据矩形的面积公式即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设道路的宽为xm，则草坪的长为（32﹣2x）m，宽为（20﹣x）m，
根据题意得：（32﹣2x）（20﹣x）＝570
整理得：x2﹣36x+35＝0，
解得：x1＝1，x2＝35（不合题意，舍去）．
答：每条道路的宽为1米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24．为了解我国2022年第一季度25个地区快递业务收入的情况，收集了这25个地区第一季度快递业务收入（单位：亿元）的数据，并对数据进行了整理、描述和分析，给出如下信息．
a．排在前5位的地区第一季度快递业务收入的数据分别为：
534.9，437.0，270.3，187.7，104.0
b．其余20个地区第一季度快递业务收入的数据的频数分布表如下：
c．第一季度快递业务收入的数据在20≤x＜40这一组的是：
20.2，20.4，22.4，24.2，26.5，26.5，28.5，34.4，39.1，39.8
d．排在前5位的地区、其余20个地区、全部25个地区第一季度快递业务收入的数据的平均数、中位数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中m的值为 25.35 ；
（2）在下面的3个数中，与表中n的值最接近的是 ③ （填写序号）．
①75
②80
③85
（3）根据（2）中的数据，预计这25个地区2022年全年快递业务收入约为 340 亿元．
【分析】（1）根据中位数的定义进行计算即可；
（2）由平均数的计算法则进行计算即可；
（3）利用（2）中的结果进行计算即可．
【解答】解：（1）将这20个地区的第一季度快递业务收入从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为＝25.35，即中位数m＝25.35，
故答案为：25.35；
（2）n＝（534.9+437.0+270.3+187.7+104.0+29.9×20）＝85.24≈85，
故答案为：③；
（3）85×4＝340（亿元），
故答案为：340．
【点评】本题考查频数分布表，平均数、中位数、众数以及样本估计总体，掌握平均数、中位数、众数的定义及计算方法是正确解答的前提．
25．在正方形ABCD中，M是BC边上一点，且点M不与B、C重合，点P在射线AM上，将线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，连接BP，DQ．
（1）依题意补全图1；
（2）①连接DP，若点P，Q，D恰好在同一条直线上，求证：DP2+DQ2＝2AB2；
②若点P，Q，C恰好在同一条直线上，则BP与AB的数量关系为： BP＝AB ．
【分析】（1）根据要求画出图形即可；
（2）①连接BD，如图2，只要证明△ADQ≌△ABP，∠DPB＝90°即可解决问题；
②结论：BP＝AB，如图3中，连接AC，延长CD到N，使得DN＝CD，连接AN，QN．由△ADQ≌△ABP，△ANQ≌△ACP，推出DQ＝PB，∠AQN＝∠APC＝45°，由∠AQP＝45°，推出∠NQC＝90°，由CD＝DN，可得DQ＝CD＝DN＝AB；
【解答】（1）解：补全图形如图1：
（2）①证明：连接BD，如图2，
∵线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，
∴AQ＝AP，∠QAP＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠1＝∠2．
∴△ADQ≌△ABP，
∴DQ＝BP，∠Q＝∠3，
∵在Rt△QAP中，∠Q+∠QPA＝90°，
∴∠BPD＝∠3+∠QPA＝90°，
∵在Rt△BPD中，DP2+BP2＝BD2，
又∵DQ＝BP，BD2＝2AB2，
∴DP2+DQ2＝2AB2．
②解：结论：BP＝AB．
理由：如图3中，连接AC，延长CD到N，使得DN＝CD，连接AN，QN．
∵△ADQ≌△ABP，△ANQ≌△ACP，
∴DQ＝PB，∠AQN＝∠APC＝45°，
∵∠AQP＝45°，
∴∠NQC＝90°，
∵CD＝DN，
∴DQ＝CD＝DN＝AB，
∴PB＝AB．
【点评】本题考查正方形的性质，旋转变换、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
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0≤x＜20
20≤x＜40
40≤x＜60
60≤x≤80
频数
6
10
1
3
前5位的地区
其余20个地区
全部25个地区
平均数
p
29.9
n
中位数
270.3
m
28.5
快递业务收入x
0≤x＜20
20≤x＜40
40≤x＜60
60≤x≤80
频数
6
10
1
3
前5位的地区
其余20个地区
全部25个地区
平均数
p
29.9
n
中位数
270.3
m
28.5