2022-2023学年北京市海淀区育英中学八年级（上）期中数学试卷（五四学制）【含解析】

这是一份2022-2023学年北京市海淀区育英中学八年级（上）期中数学试卷（五四学制）【含解析】，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列式子中，为最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）在下列条件中，能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A．两组对边分别平行
B．一组对边平行且另一组对边相等
C．两组邻边相等
D．对角线互相垂直
3．（3分）下列计算中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）若以下列长度的三条线段为边，可以组成直角三角形的是（ ）
A．1，1，2B．2，3，4C．3，4，6D．6，8，10
5．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，若∠A+∠C＝140°，则∠D的度数为（ ）
A．100°B．110°C．120°D．140°
6．（3分）如图所示，Rt△BCD中，∠BDC＝90°，CD长度为单位1，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到AC和BC的中点M、N，测量得MN＝16米，则A、B两点间的距离为（ ）
A．30米B．32米C．36米D．48米
8．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．BO＝DOB．∠BAD＝∠BCDC．CD＝ABD．AC＝BD
9．（3分）如图，Rt△ABC中，AB＝18，BC＝12，∠B＝90°，将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（ ）
A．8B．6C．4D．10
10．（3分）如图，在直角△ABC中，AB＝BC，点D是边AC上一动点，以BD为直角边作等腰直角△DBE，DE交BC于点F，连接CE．过点B作BQ⊥DE于点P，交CD于点Q．下面结论中正确的有（ ）个．
①△ABD≌△CBE；
②∠CDE＝∠ABD；
③AD2+CQ2＝DQ2；
④当AD：DC＝1：2时，S△BEC+S△DCE＝S△DBE；
⑤当CD＝BC时，BD：EF＝+1．
A．5B．4C．3D．2
二、填空题（本题共8小题，共16分）
11．（2分）代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12．（2分）写出一个在2和3之间的无理数 ．
13．（2分）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，两条对角线的和为18，AD的长为5，则△OBC的周长为 ．
14．（2分）计算：（3+2）（3﹣2）＝ ．
15．（2分）“赵爽弦图”是2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽，它与数学中著名的勾股定理有着密切关系．在学完我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图后，我校某同学想在逐梦运动场规划出一块活动场地，如图所示，现规划土地由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10m，BE＝24m，则EF的长是 m．
16．（2分）如图．四边形ABCD，ECGF，IHGB都是正方形，如果AB＝12，BG＝13，那么图中阴影部分的面积的和为 ．
17．（2分）平行四边形的一个内角平分线将对边分成3cm和5cm两个部分，则该平行四边形的周长是 cm．
18．（2分）小桃桃根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．
以下为小桃桃的探究过程，请补充完整：
具体运算，发现规律，
特例1：
特例2：
特例3：
（1）如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为： ；
（2）应用运算规律化简：＝ ．
三、解答题（本题共54分，19题10分，20-24题每小题10分，25-26题每题7分）
19．（10分）计算：
（1）；
（2）．
20．（6分）如图，已知点P、Q是平行四边形ABCD对角线BD上的两个点，且BP＝DQ．求证：四边形APCQ是平行四边形．
21．（6分）已知，如图，等腰△ABC的底边BC＝10cm，D是腰AB上一点，且CD＝8cm，BD＝6cm，求AB的长．
22．（6分）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程
已知：直线l及直线l外一点P．
求作：直线PQ，使得PQ∥l．
作法：如图，
①在直线l上取一点A，作射线AP，以点P为圆心，PA长为半径画弧，交AP的
延长线于点B；
②以点B为圆心，BA长为半径画弧，交l于点C（不与点A重合），连接BC；
③以点B为圆心，BP长为半径画弧，交BC于点Q；
④作直线PQ．
所以直线PQ就是所求作的直线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明
证明：∵PB＝PA，BC＝ ，BQ＝PB，
∴PB＝PA＝BQ＝ ．
∴PQ∥l（ ）（填推理的依据）．
23．（6分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个顶点叫做格点．
（1）在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；
（2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形的三边长分别为 2，，，并求这个三角形的面积．
24．（6分）已知：如图，四边形ABCD中，AB＝a，BC＝b，CD＝c，DA＝d，AC与BD相交于O，且AC⊥BD，则a，b，c，d之间一定有关系式：a2+c2＝b2+d2，请说明理由．
25．（7分）如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD为边作等边△ADE，过点C作CF∥DE交AB于点F．
（1）若点D是BC边的中点（如图①），求证：EF＝CD；
（2）若点D是BC边上的任意一点（除B、C外如图②），那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
26．（7分）小明在学习了“二次根式”后，发现一些含根号的代数式可以写成另一个根号的代数式的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b＝m2+2mn+2n2，a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了把类似a+b的代数式化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的代数式分别表示a、b，则：a＝ ，b＝ ；
（2）利用所探索的结论找一组正整数a、b、m、n填空： + ＝（ + ）2；
（3）若a+6＝（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值．
2022-2023学年北京市海淀区育英中学八年级（上）期中数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（单选，本题共10小题，共30分）
1．（3分）下列式子中，为最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用最简二次根式定义进行解答即可．
【解答】解：A、＝，故原式不是最简二次根式，故此选项不合题意；
B、是最简二次根式，故此选项符合题意；
C、＝2，故原式不是最简二次根式，故此选项不合题意；
D、＝2，故原式不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了最简二次根式，关键是掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
2．（3分）在下列条件中，能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A．两组对边分别平行
B．一组对边平行且另一组对边相等
C．两组邻边相等
D．对角线互相垂直
【分析】根据平行四边形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故本选项符合题意；
B、一组对边平行且另一组对边相等的四边形是等腰梯形，不是平行四边形，故本选项不符合题意；
C、两组邻边相等的四边形不一定是平行四边形，故本选项不符合题意；
D、对角线互相平分的四边形才是平行四边形，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了平行四边形的判定定理，能熟记平行四边形的判定定理的内容是解此题的关键，注意：平行四边形的判定定理有：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③两组对角分别平行的四边形是平行四边形，④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形．
3．（3分）下列计算中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据二次根式的乘除运算法则以及二次根式的性质即可求出答案．
【解答】解：A、原式＝3，故A不符合题意．
B、原式＝＝5，故B不符合题意．
C、原式＝＝，故C不符合题意．
D、原式＝＝6，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查二次根式的乘除运算法则以及二次根式的性质，本题属于基础题型．
4．（3分）若以下列长度的三条线段为边，可以组成直角三角形的是（ ）
A．1，1，2B．2，3，4C．3，4，6D．6，8，10
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定即可．
【解答】解：A、12+12≠22，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、32+22≠62，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、62+82＝102，能构成直角三角形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
5．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，若∠A+∠C＝140°，则∠D的度数为（ ）
A．100°B．110°C．120°D．140°
【分析】根据平行四边形的对角相等，邻角互补可得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，∠A+∠D＝180°，
∵∠A+∠C＝140°，
∴∠A＝70°，
∴∠D＝110°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
6．（3分）如图所示，Rt△BCD中，∠BDC＝90°，CD长度为单位1，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】先运用勾股定理求得线段BC的长度，再根据数轴上点的特点，即可得出a的值．
【解答】解：由题意得，BC＝＝，
∴数轴上点A所表示的数为a为：﹣1，
故选：A．
【点评】此题考查了利用数轴上的点表示有理数的能力，关键是能准确理解题意并列式、计算．
7．（3分）如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到AC和BC的中点M、N，测量得MN＝16米，则A、B两点间的距离为（ ）
A．30米B．32米C．36米D．48米
【分析】根据三角形中位线的定义推知MN是三角形ABC的中位线，然后利用三角形中位线定理求得AB的长度即可．
【解答】解：∵点M、N是分别是AC和BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，MN＝16米，
∴MN＝AB＝16米，
∴AB＝32米．
故选：B．
【点评】此题考查的是三角形中位线定理，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
8．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．BO＝DOB．∠BAD＝∠BCDC．CD＝ABD．AC＝BD
【分析】根据平行四边形的性质（①平行四边形的对边平行且相等，②平行四边形的对角相等，③平行四边形的对角线互相平分）判断即可．
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD（平行四边形的对角线互相平分），正确，不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD，正确，不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，正确，不符合题意；
D、根据四边形ABCD是平行四边形不能推出AC＝BD，错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质的应用，注意：平行四边形的性质是：①平行四边形的对边平行且相等，②平行四边形的对角相等，③平行四边形的对角线互相平分．
9．（3分）如图，Rt△ABC中，AB＝18，BC＝12，∠B＝90°，将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（ ）
A．8B．6C．4D．10
【分析】设BN＝x，则由折叠的性质可得DN＝AN＝18﹣x，根据中点的定义可得BD＝6，在Rt△BND中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解．
【解答】解：设BN＝x，由折叠的性质可得DN＝AN＝18﹣x，
∵D是BC的中点，
∴BD＝6，
在Rt△NBD中，x2+62＝（18﹣x）2，
解得x＝8．
即BN＝8．
故选：A．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强．
10．（3分）如图，在直角△ABC中，AB＝BC，点D是边AC上一动点，以BD为直角边作等腰直角△DBE，DE交BC于点F，连接CE．过点B作BQ⊥DE于点P，交CD于点Q．下面结论中正确的有（ ）个．
①△ABD≌△CBE；
②∠CDE＝∠ABD；
③AD2+CQ2＝DQ2；
④当AD：DC＝1：2时，S△BEC+S△DCE＝S△DBE；
⑤当CD＝BC时，BD：EF＝+1．
A．5B．4C．3D．2
【分析】由“SAS”可证△ABD≌△CBE，故①正确；由等腰直角三角形的性质和外角的性质可得∠ABD＝∠CDE，故②正确；由等腰三角形的性质可得BQ是DE的中垂线，可得DQ＝QE，由全等三角形的性质可得∠A＝∠BCE＝45°，AD＝CE，由勾股定理可得AD2+CQ2＝DQ2；故③正确；分别求出△BEC，△DCE，△DBE的面积，可得S△BEC+S△DCE≠S△BDE，故④错误；分别求出EF2，BD2，即可求解．
【解答】解：∵∠ABC＝∠DBE＝90°，
∴∠ABD＝∠CBE，
在△ABD和△CBE中，
，
∴△ABD≌△CBE（SAS），故①正确；
∵∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴∠A＝∠ACB＝45°，
∵∠DBE＝90°，DB＝BE，
∴∠BDE＝∠BED＝45°，
∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝∠BDE+∠CDE，
∴∠ABD＝∠CDE，故②正确；
如图，连接QE，
∵∠DBE＝90°，DB＝BE，BQ⊥DE，
∴BQ是DE的中垂线，
∴DQ＝QE，
∵△ABD≌△CBE，
∴∠A＝∠BCE＝45°，AD＝CE，
∴∠QCE＝90°，
∴QC2+CE2＝QE2，
∴AD2+CQ2＝DQ2；故③正确；
∵AD：DC＝1：2，
∴设AD＝a，DC＝2a，
∴AC＝3a，
∴BC＝AB＝a，
∴DE＝＝a，
∴BP＝DE＝a，
∴S△BDE＝×a×a＝a2，
∵S△BEC+S△DCE＝×a×a+×a×2a＝a2，
∴S△BEC+S△DCE≠S△BDE，故④错误；
如图，过点E作EM⊥BC于N，
设AB＝BC＝x＝CD，则AC＝x，
∴AD＝（﹣1）x，
∵CB＝CD，∠ACB＝45°，
∴∠CBD＝∠CDB＝67.5°，
∴∠ABD＝22.5°＝∠CDE，
∴∠CED＝67.5°，
∵△ABD≌△CBE，
∴AD＝CE＝（﹣1）x，∠BCE＝∠A＝45°，
∴∠CFE＝∠CEF＝67.5°，
∴CF＝CE＝（﹣1）x，
∵∠BCE＝45°，EN⊥BC，
∴∠CEN＝∠BCE＝45°，
∴CN＝NE＝（﹣1）x＝（1﹣）x，
∴FN＝（﹣2）x，BN＝x，
∴EF2＝EN2+FN2＝（﹣）x2+（﹣6）x2＝（10﹣7）x2，BD2＝BE2＝EN2+BN2＝（﹣）x2+x2＝（2﹣）x2，
∴＝，
∴＝+1，故⑤正确，
故选：B．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，旋转的性质等知识，利用参数表示线段的长度是解题的关键．
二、填空题（本题共8小题，共16分）
11．（2分）代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥5 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得，x﹣5≥0，
解得x≥5，
故答案为：x≥5．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
12．（2分）写出一个在2和3之间的无理数 （答案不唯一） ．
【分析】估算无理数的大小，写出一个答案即可．
【解答】解：∵4＜5＜9，
∴2＜＜3，
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
13．（2分）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，两条对角线的和为18，AD的长为5，则△OBC的周长为 14 ．
【分析】根据两对角线之和为18，可得出OB+OC的值，再由AD＝BC，可得出△OBC的周长．
【解答】解：由题意得，OB+OC＝（AC+BD）＝9，
又∵AD＝BC＝5，
∴△OBC的周长＝9+5＝14．
故答案为：14．
【点评】此题考查了平行四边形的性质，解答此题需要掌握平行四边形的对角线互相平分，对边相等的性质．
14．（2分）计算：（3+2）（3﹣2）＝ 6 ．
【分析】根据平方差公式计算．
【解答】解：原式＝（3）2﹣（2）2
＝18﹣12
＝6．
故答案为6．
【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
15．（2分）“赵爽弦图”是2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽，它与数学中著名的勾股定理有着密切关系．在学完我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图后，我校某同学想在逐梦运动场规划出一块活动场地，如图所示，现规划土地由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10m，BE＝24m，则EF的长是 14 m．
【分析】先根据线段的差可得EG＝FG＝14m，再由勾股定理可得答案．
【解答】解：如图，由题意得：AG＝BE＝24m，AE＝10m，∠AGD＝90°，
∴EG＝FG＝AG﹣AE＝24﹣10＝14m，∠EGF＝90°，
由勾股定理得：EF＝＝＝14（m）．
故答案为：14．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，解题的关键是熟练掌握勾股定理．
16．（2分）如图．四边形ABCD，ECGF，IHGB都是正方形，如果AB＝12，BG＝13，那么图中阴影部分的面积的和为 60 ．
【分析】根据正方形的性质证明△IDM≌△BEN（SAS），进而即可解决问题．
【解答】解：四边形ABCD，BIHG，ECGF都是正方形，
∴AB＝BC＝12，BI＝BG＝13，
∴在Rt△BCG中，根据勾股定理得AI＝CG＝5，
∴ID＝BE，
在△IDM和△BEN中，
，
∴△IDM≌△BEN（SAS），
∵∠ABI＝90°﹣∠IBC＝∠CBG，
在△ABI和△CBG中，
，
∴△ABI≌△CBG（ASA），
∴△ABI和△CBG的面积相等，
∴阴影部分的面积＝S△BAI+S△BCG＝2×5×12×＝60．
故答案为：60．
【点评】本题考查了正方形的性质．解决本题的关键是利用不同的方法表示同一个图形的面积也是证明公式的一种常用方法．
17．（2分）平行四边形的一个内角平分线将对边分成3cm和5cm两个部分，则该平行四边形的周长是 22或26 cm．
【分析】根据题意画出图形，由平行四边形得出对边平行，又由角平分线可以得出△ABE为等腰三角形，可以求解．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE为角平分线，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠AEB＝∠BAE，
∴AB＝BE，
∴①当BE＝3cm时，CE＝5cm，AB＝3cm，
则周长为22cm；
②当BE＝5cm时，CE＝3cm，AB＝5cm，
则周长为26cm．
故答案为：22或26．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，结合了等腰三角形的判定．注意有两种情况，要进行分类讨论．
18．（2分）小桃桃根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．
以下为小桃桃的探究过程，请补充完整：
具体运算，发现规律，
特例1：
特例2：
特例3：
（1）如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为： ＝（n+1） ；
（2）应用运算规律化简：＝ 2023 ．
【分析】（1）从数字找规律，即可解答；
（2）利用（1）的结论，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：
＝（n+1），
故答案为为：＝（n+1）；
（2）
＝2023×
＝2023×
＝2023，
故答案为：2023．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，规律型：数字的变化类，从数字找规律是解题的关键．
三、解答题（本题共54分，19题10分，20-24题每小题10分，25-26题每题7分）
19．（10分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先化简再计算即可求出值；
（2）先化简再计算即可求出值．
【解答】解：（1）原式＝2+
＝2+
＝2；
（2）原式＝﹣1+2
＝．
【点评】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（6分）如图，已知点P、Q是平行四边形ABCD对角线BD上的两个点，且BP＝DQ．求证：四边形APCQ是平行四边形．
【分析】连接AC，交BD于O，由平行四边形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，由BP＝DQ，得出OP＝OQ，即可得出四边形APCQ为平行四边形．
【解答】证明：连接AC，交BD于O，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BP＝DQ，
∴OP＝OQ，
∴四边形APCQ为平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，熟记对角线互相平分的四边形是平行四边形是解决问题的关键．
21．（6分）已知，如图，等腰△ABC的底边BC＝10cm，D是腰AB上一点，且CD＝8cm，BD＝6cm，求AB的长．
【分析】根据勾股定理的逆定理求出∠BDC＝90°，求出∠ADC＝90°，在Rt△ADC中，由勾股定理得出a2＝（a﹣6）2+82，求出a即可．
【解答】解：设AB＝AC＝acm，
∵BC＝10cm，CD＝8cm，BD＝6cm，
∴BD2+CD2＝BC2，
∴∠BDC＝90°，
即∠ADC＝90°，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC2＝AD2+CD2，
即a2＝（a﹣6）2+82，
解得：a＝，
即AB＝cm．
【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，勾股定理的逆定理等知识点，能根据勾股定理的逆定理求出∠ADC＝90°是解此题的关键．
22．（6分）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程
已知：直线l及直线l外一点P．
求作：直线PQ，使得PQ∥l．
作法：如图，
①在直线l上取一点A，作射线AP，以点P为圆心，PA长为半径画弧，交AP的
延长线于点B；
②以点B为圆心，BA长为半径画弧，交l于点C（不与点A重合），连接BC；
③以点B为圆心，BP长为半径画弧，交BC于点Q；
④作直线PQ．
所以直线PQ就是所求作的直线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明
证明：∵PB＝PA，BC＝ BA ，BQ＝PB，
∴PB＝PA＝BQ＝ QC ．
∴PQ∥l（ 三角形的中位线定理 ）（填推理的依据）．
【分析】（1）根据要求画出图形．
（2）利用三角形的中位线定理证明即可．
【解答】解：（1）直线PQ即为所求．
（2）证明：∵PB＝PA，BC＝BA，BQ＝PB，
∴PB＝PA＝BQ＝QC．
∴PQ∥l（三角形的中位线定理）．
故答案为：BA，QC，三角形的中位线定理
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的判定，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
23．（6分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个顶点叫做格点．
（1）在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；
（2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形的三边长分别为 2，，，并求这个三角形的面积．
【分析】（1）利用数形结合的思想作出图形即可；
（2）利用数形结合的思想解决问题即可．
【解答】解：（1）如图，正方形ABCD即为所求；
（2）如图，△DEF即为所求．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
24．（6分）已知：如图，四边形ABCD中，AB＝a，BC＝b，CD＝c，DA＝d，AC与BD相交于O，且AC⊥BD，则a，b，c，d之间一定有关系式：a2+c2＝b2+d2，请说明理由．
【分析】由于AC⊥BD，在四个直角三角形中，可分别用两边的平方和表示另一边，进而可得出结论．
【解答】解：∵AC⊥BD，∴a2＝OA2+OB2，b2＝OB2+OC2，
c2＝OD2+OC2，d2＝OA2+OD2
∴a2+c2＝OA2+OB2+OC2+OD2
b2+d2＝OA2+OB2+OC2+OD2
∴a2+c2＝b2+d2
【点评】熟练掌握勾股定理的性质，能够运用勾股定理求证一些线段相等的问题．
25．（7分）如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD为边作等边△ADE，过点C作CF∥DE交AB于点F．
（1）若点D是BC边的中点（如图①），求证：EF＝CD；
（2）若点D是BC边上的任意一点（除B、C外如图②），那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
【分析】（1）根据△ABC和△AED是等边三角形，D是BC的中点，ED∥CF，求证△ABD≌△CAF，进而求证四边形EDCF是平行四边形即可；
（2）根据ED∥FC，结合∠ACB＝60°，得出∠ACF＝∠BAD，求证△ABD≌△CAF，得出ED＝CF，进而求证四边形EDCF是平行四边形，即可证明EF＝DC．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，且∠BAD＝∠BAC＝30°，
∵△AED是等边三角形，
∴AD＝AE，∠ADE＝60°，
∴∠EDB＝90°﹣∠ADE＝90°﹣60°＝30°，
∵ED∥CF，
∴∠FCB＝∠EDB＝30°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠ACF＝∠ACB﹣∠FCB＝30°，
∴∠ACF＝∠BAD＝30°，
在△ABD和△CAF中，，
∴△ABD≌△CAF（ASA），
∴AD＝CF，
∵AD＝ED，
∴ED＝CF，
又∵ED∥CF，
∴四边形EDCF是平行四边形，
∴EF＝CD．
（2）解：成立；理由如下：
理由如下：∵ED∥FC，
∴∠EDB＝∠FCB，
∵∠AFC＝∠B+∠BCF＝60°+∠BCF，∠BDA＝∠ADE+∠EDB＝60°+∠EDB
∴∠AFC＝∠BDA，
在△ABD和△CAF中，，
∴△ABD≌△CAF（AAS），
∴AD＝FC，
∵AD＝ED，
∴ED＝CF，
又∵ED∥CF，
∴四边形EDCF是平行四边形，
∴EF＝CD．
【点评】此题主要考查学生对平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质的理解和掌握．此题涉及到的知识点较多，综合性较强，难度较大．
26．（7分）小明在学习了“二次根式”后，发现一些含根号的代数式可以写成另一个根号的代数式的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b＝m2+2mn+2n2，a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了把类似a+b的代数式化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的代数式分别表示a、b，则：a＝ m2+5n2 ，b＝ 2mn ；
（2）利用所探索的结论找一组正整数a、b、m、n填空： 21 + 4 ＝（ 1 + 2 ）2；
（3）若a+6＝（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值．
【分析】（1）仔细阅读材料根据探索得问题，通过完全平方公式去掉括号表示出a、b；
（2）在（1）的基础上，求出a＝m2+5n2，b＝2mn，根据a，b，m，n均为正整数，给m和n赋值即可；
（3）在（1）的基础上，求出a＝m2+5n2，b＝2mn，根据a，b，m，n均为正整数，可求出m，n．
【解答】解：（1）（m+n）2＝m2+2mn+5n2＝a+b，
∴a＝m2+5n2，b＝2mn，
故答案为：m2+5n2；2mn；
（2）由（1）知a＝m2+5n2，b＝2mn，
令m＝1，n＝2，
则a＝12+5×22＝21，b＝2×1×2＝4．
故答案为：21；4；1；2；
（3）由（1）知a＝m2+5n2，6＝2mn，
∴mn＝3，
∵a、m、n均为正整数，
∴令m＝1，n＝3或m＝3，n＝1；
当m＝1，n＝3时，a＝12+5×32＝46．
当m＝3，n＝1时，a＝32+5×12＝14．
综上，a的值为14或46．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简、整式的加减、完全平方式，熟练掌握完全平方式的应用，读懂材料明确题意是解题关键．
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