2022-2023学年北京市门头沟区大峪中学九年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2022-2023学年北京市门头沟区大峪中学九年级（上）期中数学试卷【含解析】，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）若，则等于（ ）
A．﹣5B．5C．D．
2．（4分）把抛物线y＝x2+1向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（ ）
A．y＝（x+3）2﹣1B．y＝（x+3）2+3C．y＝（x﹣3）2﹣1D．y＝（x﹣3）2+3
3．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB的值为（ ）
A．B．C．D．
4．（4分）如图，D是△ABC的边AB上一点，那么下面四个命题中错误的是（ ）
A．如果∠ADC＝∠ACB，那么△ACD∽△ABC
B．如果∠ACD＝∠B，那么△ACD∽△ABC
C．如果，那么△ACD∽△ABC
D．如果，那么△ACD∽△ABC
5．（4分）一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为（﹣2，1），则此抛物线的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
6．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点 D．若BC＝24，csB＝，则AD的长为（ ）
A．12B．10C．6D．5
7．（4分）如图，D，E为△ABC的边AB，AC上的点，DE∥BC，若AD：DB＝1：3，AE＝2，则AC的长是（ ）
A．10B．8C．6D．4
8．（4分）若点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝a（x+1）2+2（a＜0）上，则下列结论正确的是（ ）
A．2＞y1＞y2B．2＞y2＞y1C．y1＞y2＞2D．y2＞y1＞2
9．（4分）若对于一切实数x，不等式mx2﹣mx﹣1＜0恒成立，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣4或m＞0B．m＜﹣4或m≥0C．﹣4＜m＜0D．﹣4＜m≤0
10．（4分）下表是小红填写的实践活动报告的部分内容：
设铁塔顶端到地面的高度FE为xm，根据以上条件，可以列出的方程为（ ）
A．x＝（x﹣10）tan 50°B．x＝（x﹣10）cs50°
C．x﹣10＝x tan 50°D．x＝（x+10）sin 50°
11．（4分）如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：
①2a+b＝0；
②abc＞0；
③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；
④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；
⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，
其中正确的是（ ）
A．①②③B．①③④C．①③⑤D．②④⑤
12．（4分）如图，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB与CD之间的距离为4，AD＝5，CD＝3，∠ABC＝45°，点P，Q同时由A点出发，分别沿边AB，折线ADCB向终点B方向移动，在移动过程中始终保持PQ⊥AB，已知点P的移动速度为每秒1个单位长度，设点P的移动时间为x秒，△APQ的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本题共32分，每小题4分）
13．（4分）反比例函数的图象，当x＞0时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是 ．
14．（4分）如图，直线y＝kx+b与抛物线y＝﹣x2+2x+3交于点A，B，且点A在y轴上，点B在x轴上，则不等式﹣x2+2x+3＜kx+b的解集为 ．
15．（4分）如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为18cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为 cm．
16．（4分）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为 ．
17．（4分）若二次函数y＝ax2﹣2ax+c与x轴的一个交点坐标为（3，0），则关于x的方程ax2﹣2ax+c＝0的实数根是 ．
18．（4分）如图，已知正方形OBCD的三个顶点坐标分别为B（1，0），C（1，1），D（0，1）．若抛物线y＝（x﹣h）2与正方形OBCD的边共有3个公共点，则h的取值范围是 ．
19．（4分）如图，等边△ABC中，AB＝4，点D在BC上，BD＝1，E是线段AB上的一个动点（点E不与B点重合），F在射线CA上，且∠EDF＝∠B．设BE＝x，CF＝y，则自变量x的取值范围是 ，y关于x的函数关系式为 ．
20．（4分）设P（x，y1），Q（x，y2）分别是函数C1，C2图象上的点，当a≤x≤b，总有﹣1≤y1﹣y2≤1恒成立，则称函数C1，C2在a≤x≤b上是“逼近函数”，a≤x≤b为“逼近区间”．则下列结论：
①函数y1＝x﹣5，y2＝3x+2在1≤x≤2上是“逼近函数”；
②函数y1＝x﹣5，y2＝x2﹣4x在3≤x≤4上是“逼近函数”；
③0≤x≤1是函数y1＝x2﹣1，y2＝2x2﹣x的“逼近区间”；
④2≤x≤3是函数y1＝x﹣5，y2＝x2﹣4x的“逼近区间”
其中，正确的结论序号为 ．
三、解答题（本题共70分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.（答案写在答题纸上）
21．（5分）解不等式：﹣2x2﹣3x+9＞0．
22．（6分）先化简，再求值，其中．
23．（6分）计算．
24．（7分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACB，点E，F分别在AB，BC上，且∠EFB＝∠D．
（1）求证：△EFB∽△CDA；
（2）若AB＝20，AD＝5，BF＝4，求EB的长．
25．（8分）某校九年级数学兴趣小组的同学进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测量某塔的高度，他们先在点D用高1.5米的测角仪DA测得塔顶M的仰角为30°，然后沿DF方向前行40m到达点E处，在E处测得塔顶M的仰角为60°．请根据他们的测量数据求此塔MF的高．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
26．（10分）如图，一次函数y＝kx+2（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0，x＞0）的图象交于点A（2，n），与y轴交于点B，与x轴交于点C（﹣4，0）．
（1）求k与m的值；
（2）P（a，0）为x轴上的一动点，当△APB的面积为时，求a的值．
27．（14分）如图，以D为顶点的抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y＝﹣x+6．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在直线BC上有一点P，使PO+PA的值最小，求点P的坐标；
（3）在x轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
28．（14分）定义：对于平面直角坐标系xOy上的点P（a，b）和抛物线y＝x2+ax+b，我们称P（a，b）是抛物线y＝x2+ax+b的相伴点，抛物线y＝x2+ax+b是点P（a，b）的相伴抛物线．
如图，已知点A（﹣2，﹣2），B（4，﹣2），C（1，4）．
（1）点A的相伴抛物线的解析式为 ；过A，B两点的抛物线y＝x2+ax+b的相伴点坐标为 ；
（2）设点P（a，b）在直线AC上运动：
①点P（a，b）的相伴抛物线的顶点都在同一条抛物线Ω上，求抛物线Ω的解析式；
②当点P（a，b）的相伴抛物线的顶点落在△ABC内部时，请直接写出a的取值范围．
2022-2023学年北京市门头沟区大峪中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共48分，每小题4分）
1．（4分）若，则等于（ ）
A．﹣5B．5C．D．
【分析】由，得x＝y，再代入所求的式子化简即可．
【解答】解：∵，
∴x＝y，
∴＝＝﹣5．
故选：A．
【点评】此题考查了比例的性质，找出x、y的关系，代入所求式进行约分．
2．（4分）把抛物线y＝x2+1向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（ ）
A．y＝（x+3）2﹣1B．y＝（x+3）2+3C．y＝（x﹣3）2﹣1D．y＝（x﹣3）2+3
【分析】易得原抛物线的顶点及平移后抛物线的顶点，根据平移不改变抛物线的二次项系数可得新的抛物线解析式．
【解答】解：由题意得原抛物线的顶点为（0，1），
∴平移后抛物线的顶点为（3，﹣1），
∴新抛物线解析式为y＝（x﹣3）2﹣1，
故选：C．
【点评】考查二次函数的几何变换；用到的知识点为：二次函数的平移不改变二次项的系数；得多新抛物线的顶点是解决本题的突破点．
3．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解，也可以利用互为余角的三角函数关系式求解．
【解答】解：由题意，设BC＝4x，则AB＝5x，AC＝＝3x，
∴tanB＝＝＝．
故选：B．
【点评】本题利用了勾股定理和锐角三角函数的定义．通过设参数的方法求三角函数值．
4．（4分）如图，D是△ABC的边AB上一点，那么下面四个命题中错误的是（ ）
A．如果∠ADC＝∠ACB，那么△ACD∽△ABC
B．如果∠ACD＝∠B，那么△ACD∽△ABC
C．如果，那么△ACD∽△ABC
D．如果，那么△ACD∽△ABC
【分析】根据三角形相似的判定定理逐项判断即可．
【解答】解：如果∠ADC＝∠ACB，又∠A＝∠A，则△ACD∽△ABC，故选项A正确，不符合题意；
如果∠ACD＝∠B，又∠A＝∠A，则△ACD∽△ABC，故选项B正确，不符合题意；
如果，又∠A＝∠A，则△ACD∽△ABC，故选项C正确，不符合题意；
由，不能得到△ACD∽△ABC，故选项D错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．
5．（4分）一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为（﹣2，1），则此抛物线的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】首先确定a的值，再利用顶点式即可解决问题．
【解答】解：∵抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，
∴a＝，
∵顶点为（﹣2，1），
∴抛物线解析式为y＝（x+2）2+1．
故选：C．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，在解答时运用抛物线的性质求出a值是关键．
6．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点 D．若BC＝24，csB＝，则AD的长为（ ）
A．12B．10C．6D．5
【分析】先根据等腰三角形的性质得出BD＝BC＝12，再解直角△ABD，求出AB，然后利用勾股定理求出AD．
【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，
∴BD＝BC＝12．
在直角△ABD中，∵csB＝＝，
∴AB＝13，
∴AD＝＝＝5．
故选：D．
【点评】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质以及勾股定理，求出BD与AB的长是解题的关键．
7．（4分）如图，D，E为△ABC的边AB，AC上的点，DE∥BC，若AD：DB＝1：3，AE＝2，则AC的长是（ ）
A．10B．8C．6D．4
【分析】根据平行线分线段成比例定理可得，然后求解即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴＝．
∵AE＝2，
∴AC＝8
故选：B．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟记定理并准确识图准确确定出对应相等是解题的关键．
8．（4分）若点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝a（x+1）2+2（a＜0）上，则下列结论正确的是（ ）
A．2＞y1＞y2B．2＞y2＞y1C．y1＞y2＞2D．y2＞y1＞2
【分析】先求出抛物线的对称轴方程，然后根据二次函数的性质，通过比较A、B点到对称轴的距离大小可得到y1，y2的大小关系．
【解答】解：抛物线y＝a（x+1）2+2（a＜0）的对称轴为直线x＝﹣1，
而A（1，y1）到直线x＝﹣1的距离比点B（2，y2）到直线x＝﹣1的距离小，
所以2＞y1＞y2．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：熟练掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
9．（4分）若对于一切实数x，不等式mx2﹣mx﹣1＜0恒成立，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣4或m＞0B．m＜﹣4或m≥0C．﹣4＜m＜0D．﹣4＜m≤0
【分析】分m＝0和m≠0两种情况分类讨论，若m≠0，根据二次函数的性质解决问题．
【解答】解：若m＝0，则﹣1＜0，显然成立，
若m≠0，若不等式mx2﹣mx﹣1＜0的解是一切实数，则抛物线y＝mx2﹣mx﹣1的开口向下，与x轴无交点，
∴，
解得：﹣4＜m＜0，
综上，m的取值范围是﹣4＜m≤0．
故选：D．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，一元二次不等式与二次函数的关系，注意分类讨论是正确解答的关键．
10．（4分）下表是小红填写的实践活动报告的部分内容：
设铁塔顶端到地面的高度FE为xm，根据以上条件，可以列出的方程为（ ）
A．x＝（x﹣10）tan 50°B．x＝（x﹣10）cs50°
C．x﹣10＝x tan 50°D．x＝（x+10）sin 50°
【分析】过D作DH⊥EF于H，则四边形DCEH是矩形，根据矩形的性质得到HE＝CD＝10，CE＝DH，求得FH＝x﹣10，得到CE＝x﹣10，根据三角函数的定义列方程即可得到结论．
【解答】解：过D作DH⊥EF于H，
则四边形DCEH是矩形，
∴HE＝CD＝10，CE＝DH，
∴FH＝x﹣10，
∵∠FDH＝α＝45°，
∴DH＝FH＝x﹣10，
∴CE＝x﹣10，
∵tanβ＝tan50°＝＝，
∴x＝（x﹣10）tan 50°，
故选：A．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，由实际问题抽象出一元一次方程，正确的识别图形是解题的关键．
11．（4分）如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：
①2a+b＝0；
②abc＞0；
③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；
④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；
⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，
其中正确的是（ ）
A．①②③B．①③④C．①③⑤D．②④⑤
【分析】根据抛物线对称轴方程对①进行判断；由抛物线开口方向得到a＜0，由对称轴位置可得b＞0，由抛物线与y轴的交点位置可得c＞0，于是可对②进行判断；根据顶点坐标对③进行判断；根据抛物线的对称性对④进行判断；根据函数图象得当1＜x＜4时，一次函数图象在抛物线下方，则可对⑤进行判断．
【解答】解：∵抛物线的顶点坐标A（1，3），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴2a+b＝0，所以①正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以②错误；
∵抛物线的顶点坐标A（1，3），
∴x＝1时，二次函数有最大值，
∴方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根，所以③正确；
∵抛物线与x轴的一个交点为（4，0）
而抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣2，0），所以④错误；
∵抛物线y1＝ax2+bx+c与直线y2＝mx+n（m≠0）交于A（1，3），B点（4，0）
∴当1＜x＜4时，y2＜y1，所以⑤正确．
故选：C．
【点评】本题考查了二次项系数与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
12．（4分）如图，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB与CD之间的距离为4，AD＝5，CD＝3，∠ABC＝45°，点P，Q同时由A点出发，分别沿边AB，折线ADCB向终点B方向移动，在移动过程中始终保持PQ⊥AB，已知点P的移动速度为每秒1个单位长度，设点P的移动时间为x秒，△APQ的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】分点Q在线段AD上，点Q在线段CD上，点Q在线段BC上，三种情况讨论，由三角形面积公式可求解析式，即可求解．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥AB于F，
∴DE＝CF＝4，DE∥CF，∠CFA＝90°，
∴四边形DEFC是矩形，
∴DC＝EF＝3，
∵AD＝5，DE＝4，
∴AE＝＝＝3，
∵∠ABC＝45°，
∴∠FCB＝∠ABC＝45°，
∴CF＝BF＝4，
∴AB＝AE+EF+BF＝10，AF＝AE+EF＝6，
当点Q在线段AD上时，则0≤x≤3，y＝×x×x＝x2，
当点Q在线段CD上时，则3＜x≤6，y＝×x×4＝2x，
当点Q在线段BC上，则6＜x≤10，
如图，
∵AP＝x，AB＝10，
∴BP＝10﹣x，
∵∠ABC＝45°，QP⊥AB，
∴∠PBQ＝∠PQB＝45°，
∴PQ＝PB＝10﹣x，
∴y＝×x×（10﹣x）＝﹣x2+5x，
故选：B．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，三角形的面积公式，求出各段的函数关系式是解题的关键．
二、填空题（本题共32分，每小题4分）
13．（4分）反比例函数的图象，当x＞0时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是 k＜2 ．
【分析】先根据当x＞0时，y随x的增大而减小得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
【解答】解：∵反比例函数的图象，当x＞0时，y随x的增大而减小，
∴2﹣k＞0，
解得k＜2．
故答案为：k＜2．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数y＝（k≠0）中，当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小是解答此题的关键．
14．（4分）如图，直线y＝kx+b与抛物线y＝﹣x2+2x+3交于点A，B，且点A在y轴上，点B在x轴上，则不等式﹣x2+2x+3＜kx+b的解集为 x＜0或x＞3 ．
【分析】先求出点A，点B坐标，结合图象可求解．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+2x+3交y轴于点A，交x轴正半轴于点B，
∴点A（0，3），
当y＝0时，0＝﹣x2+2x+3，
∴x1＝3，x2＝﹣1，
∴点B（3，0），
∴不等式﹣x2+2x+3＜kx+b的解集为x＜0或x＞3，
故答案为：x＜0或x＞3．
【点评】本题考查了二次函数与不等式的应用，利用数形结合思想解决问题是本题的关键．
15．（4分）如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为18cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为 8 cm．
【分析】正确理解小孔成像的原理，因为AB∥CD所以△ABO∽△CDO，则有＝而AB的值已知，所以可求出CD．
【解答】解：∵△ABO∽△CDO
∴＝，
又∵AB＝18cm，
∴CD＝8．
故答案为：8．
【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，相似比等于对应高之比在相似中用得比较广泛．
16．（4分）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为 2 ．
【分析】根据双曲线上的点向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积S与k的关系：S＝|k|即可判断．
【解答】解：延长BA交y轴于E，
∵AB∥x轴，
∴AE垂直于y轴，
∵点A在双曲线上，
∴四边形AEOD的面积为1，
∵点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，
∴四边形BEOC的面积为3，
∴矩形ABCD的面积为3﹣1＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了反比例函数 中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
17．（4分）若二次函数y＝ax2﹣2ax+c与x轴的一个交点坐标为（3，0），则关于x的方程ax2﹣2ax+c＝0的实数根是 ﹣1或3 ．
【分析】根据抛物线与x轴的交点坐标求出c＝﹣3a，再把c＝﹣3a代入方程ax2﹣2ax+c＝0得到方程的解．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣2ax+c与x轴的一个交点坐标为（3，0），
∴9a﹣6a+c＝0，
解得：c＝﹣3a，
∴方程ax2﹣2ax+c＝0可转化为ax2﹣2ax﹣3a＝0，
即x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴方程ax2﹣2ax+c＝0的实数根是﹣1或3，
故答案为：﹣1或3．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，解题的关键是求得抛物线与x轴的两个交点坐标．
18．（4分）如图，已知正方形OBCD的三个顶点坐标分别为B（1，0），C（1，1），D（0，1）．若抛物线y＝（x﹣h）2与正方形OBCD的边共有3个公共点，则h的取值范围是 0＜h＜1 ．
【分析】由于函数y＝（x﹣h）2的图象为开口向上，顶点在x轴上的抛物线，因为O、B点为抛物线与正方形ABCD有有3个公共点的临界点，代入求出即可得解．
【解答】解：∵函数y＝（x﹣h）2的图象为开口向上，顶点在x轴上的抛物线，
∴其图象与正方形OBCD的边若有两个公共点为点O和点B，
把点O坐标代入y＝（x﹣h）2，
得0＝（0﹣h）2
∴h＝0；
把点B坐标代入y＝（x﹣h）2，
得0＝（1﹣h）2
∴h＝1．
抛物线y＝（x﹣h）2与正方形OBCD的边共有3个公共点，则h的取值范围是0＜h＜1．
故答案为：0＜h＜1．
【点评】本题考查二次函数图象与正方形交点的问题，需要先判断抛物线的开口方向，顶点位置及抛物线与正方形二者的临界交点，需要明确临界位置及其求法．
19．（4分）如图，等边△ABC中，AB＝4，点D在BC上，BD＝1，E是线段AB上的一个动点（点E不与B点重合），F在射线CA上，且∠EDF＝∠B．设BE＝x，CF＝y，则自变量x的取值范围是 0＜x≤4 ，y关于x的函数关系式为 y＝ ．
【分析】根据点E是线段AB上的一个动点（点E不与B点重合），即可得出自变量x的取值范围；证明△BED∽△CDF，利用相似三角形对应边成比例即可得出y关于x的函数关系式．
【解答】解：∵点E是线段AB上的一个动点（点E不与B点重合），BE＝x，AB＝4，
∴自变量x的取值范围是0＜x≤4，
∵等边△ABC中，AB＝4，BD＝1，
∴BC＝AB＝4，∠B＝∠C＝60°，
∴CD＝4﹣1＝3，
∵∠EDF＝∠B，∠EDF+∠FDC＝∠B+∠BED，
∴∠FDC＝∠BED，
∴△BED∽△CDF，
∴，即，
∴y关于x的函数关系式为．
【点评】本题考查等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是构造x，y所在的两个三角形相似．
20．（4分）设P（x，y1），Q（x，y2）分别是函数C1，C2图象上的点，当a≤x≤b，总有﹣1≤y1﹣y2≤1恒成立，则称函数C1，C2在a≤x≤b上是“逼近函数”，a≤x≤b为“逼近区间”．则下列结论：
①函数y1＝x﹣5，y2＝3x+2在1≤x≤2上是“逼近函数”；
②函数y1＝x﹣5，y2＝x2﹣4x在3≤x≤4上是“逼近函数”；
③0≤x≤1是函数y1＝x2﹣1，y2＝2x2﹣x的“逼近区间”；
④2≤x≤3是函数y1＝x﹣5，y2＝x2﹣4x的“逼近区间”
其中，正确的结论序号为 ②③ ．
【分析】根据当a≤x≤b时，总有﹣1≤y1﹣y2≤1恒成立，则称函数C1，C2在a≤x≤b上是“逼近函数”，a≤x≤b为“逼近区间”，逐项进行判断即可．
【解答】解：①y1﹣y2＝﹣2x﹣7，在1≤x≤2上，当x＝1时，y1﹣y2最大值为﹣9，当x＝2时，y1﹣y2最小值为﹣11，即﹣11≤y1﹣y2≤﹣9，故函数y＝x﹣5，y＝3x+2在1≤x≤2上是“逼近函数”不正确；
②y1﹣y2＝﹣x2+5x﹣5，在3≤x≤4上，当x＝3时，y1﹣y2最大值为1，当x＝4时，y1﹣y2最小值为﹣1，即﹣1≤y1﹣y2≤1，故函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x在3≤x≤4上是“逼近函数”正确；
③y1﹣y2＝﹣x2+x﹣1，在0≤x≤1上，当x＝时，y1﹣y2最大值为﹣，当x＝0或x＝1时，y1﹣y2最小值为﹣1，即﹣1≤y1﹣y2≤﹣，当然﹣1≤y1﹣y2≤1也成立，故0≤x≤1是函数y＝x2﹣1，y＝2x2﹣x的“逼近区间”正确；
④y1﹣y2＝﹣x2+5x﹣5，在2≤x≤3上，当x＝时，y1﹣y2最大值为，当x＝2或x＝3时，y1﹣y2最小值为1，即1≤y1﹣y2≤，故2≤x≤3是函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x的“逼近区间”不正确；
∴正确的有②③，
故答案为：②③．
【点评】本题考查一次函数、二次函数的综合应用，解题的关键是读懂“逼近函数”和“逼近区间”的含义，会求函数在某个范围内的最大、最小值．
三、解答题（本题共70分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.（答案写在答题纸上）
21．（5分）解不等式：﹣2x2﹣3x+9＞0．
【分析】可将该不等式转化为二次函数，利用二次函数的图象来解．
【解答】解：令y＝﹣2x2﹣3x+9，
当y＝0时，﹣2x2﹣3x+9＝0
解得：x1＝，x2＝﹣3．
∴抛物线y＝﹣2x2﹣3x+9与x轴的交点为A（﹣3，0），B（，0），如图所示．
∴当﹣3＜x＜时，y＞0即﹣2x2﹣3x+9＞0．
∴不等式﹣2x2﹣3x+9＞0的解集为﹣3＜x＜．
【点评】本题考查了不等式组的解法、二次函数图象的应用等知识，考查了转化的思想以及数形结合的思想，其中将一元二次不等式转化为二次函数是解决本题的关键．
22．（6分）先化简，再求值，其中．
【分析】先把括号内的通分相加，然后因式分解再约分即可将所求式子化简，再将x＝3y代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：原式＝（+）•
＝•
＝，
∵＝3，
∴x＝3y，
∴原式＝＝．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确题意分式混合运算的运算法则和运算顺序．
23．（6分）计算．
【分析】先将特殊角三角函数值代入，然后先算乘方，再算乘除，最后算加减．
【解答】解：原式＝4×﹣×++3
＝2﹣1+3+3
＝7．
【点评】本题考查特殊角三角函数值，二次根式的混合运算，掌握特殊角三角函数值以及二次根式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键．
24．（7分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACB，点E，F分别在AB，BC上，且∠EFB＝∠D．
（1）求证：△EFB∽△CDA；
（2）若AB＝20，AD＝5，BF＝4，求EB的长．
【分析】（1）根据相似三角形的判定即可求出答案．
（2）根据△EFB∽△CDA，利用相似三角形的性质即可求出EB的长度．
【解答】解：（1）∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵∠B＝∠ACB，
∴∠B＝∠DAC，
∵∠D＝∠EFB，
∴△EFB∽△CDA；
（2）∵△EFB∽△CDA，
∴，
∵AB＝AC＝20，AD＝5，BF＝4，
∴BE＝16．
【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．
25．（8分）某校九年级数学兴趣小组的同学进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测量某塔的高度，他们先在点D用高1.5米的测角仪DA测得塔顶M的仰角为30°，然后沿DF方向前行40m到达点E处，在E处测得塔顶M的仰角为60°．请根据他们的测量数据求此塔MF的高．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
【分析】首先证明AB＝BM＝40，在Rt△BCM中，利用勾股定理求出CM即可解决问题；
【解答】解：由题意：AB＝40米，CF＝1.5米，∠MAC＝30°，∠MBC＝60°，
∵∠MAC＝30°，∠MBC＝60°，
∴∠AMB＝30°
∴∠AMB＝∠MAB
∴AB＝MB＝40，
在Rt△BCM中，
∵∠MCB＝90°，∠MBC＝60°，
∴∠BMC＝30°．
∴BC＝＝20（米），
∴（米），
∴MC≈34.64（米），
∴MF＝CF+CM＝36.14≈36.1（米）．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，本题的突破点是证明AB＝BM＝40，属于中考常考题型．
26．（10分）如图，一次函数y＝kx+2（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0，x＞0）的图象交于点A（2，n），与y轴交于点B，与x轴交于点C（﹣4，0）．
（1）求k与m的值；
（2）P（a，0）为x轴上的一动点，当△APB的面积为时，求a的值．
【分析】（1）把点C的坐标代入一次函数的解析式求出k，再求出点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数的解析式中，可得结论；
（2）根据S△CAP＝S△ABP+S△CBP，构建方程求解即可．
【解答】解：（1）把C（﹣4，0）代入y＝kx+2，得k＝，
∴y＝x+2，
把A（2，n）代入y＝x+2，得n＝3，
∴A（2，3），
把A（2，3）代入y＝，得m＝6，
∴k＝，m＝6；
（2）当x＝0时，y＝2，
∴B（0，2），
∵P（a，0）为x轴上的动点，
∴PC＝|a+4|，
∴S△CBP＝•PC•OB＝×|a+4|×2＝|a+4|，S△CAP＝PC•yA＝×|a+4|×3，
∵S△CAP＝S△ABP+S△CBP，
∴|a+4|＝+|a+4|，
∴a＝3或﹣11．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用参数构建方程解决问题．
27．（14分）如图，以D为顶点的抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y＝﹣x+6．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在直线BC上有一点P，使PO+PA的值最小，求点P的坐标；
（3）在x轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先求出点B，C坐标，再用待定系数法即可得出结论；
（2）作点O关于BC的对称点O′，则O′（6，6），则OP+AP的最小值为AO′的长，然后求得AP的解析式，联立直线AP和BC的解析式可求得点P的坐标；
（3）先判断出△BCD是直角三角形，求出，，得出∠BDC＝∠CAO．分两种情况由相似三角形的性质可得出比例线段，求出AQ的长，则可得出答案．
【解答】解：（1）把x＝0代入y＝﹣x+6，得：y＝6，
∴C（0，6），
把y＝0代入y＝﹣x+6得：x＝6，
∴B（6，0），
将C（0，6）、B（6，0）代入y＝﹣+bx+c得：
，
解得
∴抛物线的解析式为y＝﹣+2x+6；
（2）如图1所示：作点O关于BC的对称点O'，则O'（6，6），
∵O'与O关于BC对称，
∴PO＝PO'．
∴PO+AP＝PO'+AP．
∴当A、P、O'在一条直线上时，OP+AP有最小值．
∵y＝﹣+2x+6，
当y＝0时，﹣+2x+6＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝6，
∴A（﹣2，0），
设AP的解析式为y＝mx+n，
把A（﹣2，0）、O'（6，6）代入得：，
解得：，
∴AP的解析式为y＝
将y＝与y＝﹣x+6联立，
解得：，
∴点P的坐标为；
（3）如图2，
∵y＝﹣+8，
∴D（2，8），
又∵C（0，6）、B（6，0），
∴CD＝2，BC＝6，BD＝4．
∴CD2+BC2＝BD2，
∴△BCD是直角三角形，
∴tan∠BDC＝＝3，
∵A（﹣2，0），C（0，6），
∴OA＝2，OC＝6，AC＝2
∴tan∠CAO＝＝3，
∴∠BDC＝∠CAO．
当△ACQ∽△DCB时，有，
即，解得AQ＝20，
∴Q（18，0）；
当△ACQ∽△DBC时，有，
即，解得AQ＝2，
∴Q（0，0）；
综上所述，当Q的坐标为（0，0）或（18，0）时，以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似．
【点评】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理逆定理，锐角三角函数等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
28．（14分）定义：对于平面直角坐标系xOy上的点P（a，b）和抛物线y＝x2+ax+b，我们称P（a，b）是抛物线y＝x2+ax+b的相伴点，抛物线y＝x2+ax+b是点P（a，b）的相伴抛物线．
如图，已知点A（﹣2，﹣2），B（4，﹣2），C（1，4）．
（1）点A的相伴抛物线的解析式为 y＝x2﹣2x﹣2 ；过A，B两点的抛物线y＝x2+ax+b的相伴点坐标为 （﹣2，﹣10） ；
（2）设点P（a，b）在直线AC上运动：
①点P（a，b）的相伴抛物线的顶点都在同一条抛物线Ω上，求抛物线Ω的解析式；
②当点P（a，b）的相伴抛物线的顶点落在△ABC内部时，请直接写出a的取值范围．
【分析】（1）a＝b＝﹣2，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣2，故答案为：y＝x2﹣2x﹣2；将点A、B坐标代入y＝x2+ax+b并解得：a＝﹣2，b＝﹣10；
（2）①直线AC的表达式为：y＝2x+2，设点P（m，2m+2），则抛物线的表达式为：y＝x2+mx+2m+2，顶点为：（﹣m，﹣m2+2m+2），即可求解；
②如图所示，Ω抛物线落在△ABC内部为EF段，即可求解．
【解答】解：（1）a＝b＝﹣2，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣2，
故答案为：y＝x2﹣2x﹣2；
将点A、B坐标代入y＝x2+ax+b并解得：a＝﹣2，b＝﹣10，
故答案为：（﹣2，﹣10）；
（2）①由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝2x+2，
设点P（m，2m+2），则抛物线的表达式为：y＝x2+mx+2m+2，
顶点为：（﹣m，﹣m2+2m+2），
令x＝﹣m，则m＝﹣2x，
则y＝﹣m2+2m+2＝﹣x2﹣4x+2，
即抛物线Ω的解析式为：y＝﹣x2﹣4x+2；
②如图所示，Ω抛物线落在△ABC内部为EF段，
抛物线与直线AC的交点为点E（0，2）；
当y＝﹣2时，即y＝﹣x2﹣4x+2＝﹣2，解得：x＝﹣2，
故点F（﹣2，﹣2）；
故0＜x＜﹣2+2，由①知：a＝m＝﹣2x，
故：4﹣4＜a＜0．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、解不等式等，这种新定义类题目，通常按照题设的顺序逐次求解．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/7/11 11:38:38；用户：笑涵数学；邮箱：15699920825；学号：36906111题目
测量铁塔顶端到地面的高度
测量目标示意图
相关数据
CD＝10m，α＝45°，β＝50°
题目
测量铁塔顶端到地面的高度
测量目标示意图
相关数据
CD＝10m，α＝45°，β＝50°